1 МАТРИЦЫ Матрицей размера m×n называется совокупность

1 МАТРИЦЫ
Матрицей размера m×n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной
таблицы из m строк и n столбцов.
Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки и обозначают большими буквами А,В,С и т.д
или большими буквами с индексами А m n , В m n и т.д.
Пример 1.
⎛ 5 3⎞
⎛ 7 12 −6 0 ⎞
A2 2 = ⎜
⎟ , B2 4 = ⎜
⎟.
⎝ −7 1 ⎠
⎝ 2 3 8 9⎠
В общем виде матрицу размером m×n записывают так
⎛ b 11 b1 2 b13 ⎞
⎛ c 11 c 1 2 ... c 1 n ⎞
⎛ a11 a1 2 a1 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A23 = ⎜
... ... ... ⎟ .
⎟ , B 33 = ⎜ b 2 1 b 2 2 b 2 3 ⎟ , C m n = ⎜ ...
⎝ a 21 a 2 2 a 2 3 ⎠
⎜ b 31 b 32 b 3 3 ⎟
⎜ c m 1 c m 2 ... c m n ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы
Первый индекс элемента указывает номер строки, а второй – номер столбца.
Например, элемент a23 стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.
Например, элемент a i j стоит во i-ой строке, j- м столбце.
Ещё об обозначениях.
⎛ a 11 a 1 2
Матрицу A23 = ⎜
⎝ a 21 a 2 2
a1 3 ⎞ записывают
⎡ a 11
: A23 = ⎢
⎟
a23 ⎠
ещё так
⎣a 2 1
a1 2
a2 2
a 13 ⎤
a 2 3 ⎦⎥
или
так
: A23 = {a i j } 2 × 3 .
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число
ее строк или столбцов называется порядком квадратной матрицы.
На примере квадратной матрицы А3 3 порядка 3 объясним некоторые специальные названия
0 ⎞
⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎛1 0 0⎞
⎛ b11 b12 b13 ⎞
⎛ c11 0
⎛ 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A33 = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ , E33 = ⎜ 0 1 0 ⎟ , B33 = ⎜ 0 b22 b23 ⎟ , C 33 = ⎜ 0 c22 0 ⎟ , O33 = ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜a
⎟
⎜0 0 1⎟
⎜0
⎜ 0
⎜ 0 0 0⎟
0 b33 ⎟⎠
0 c33 ⎟⎠
⎝ 31 a32 a33 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎝
⎠
А3 3 − квадратная матрица порядка 3. Её элементы a 11 , a 2 2 , a 3 3 образуют главную диагональ.
Е3 3 − единичная, В3 3 − треугольная, С3 3 − диагональная, О3 3 − нулевая.
Равенство матриц Две матрицы А m n и В p q называются равными, если они имеют одинаковые
размеры (m = p, n = q) и равные элементы на одинаковых местах : a ij = b ij .
Напимер,
⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎛ b11 b12 b13 ⎞
Пусть A2 3 = ⎜
⎟ , B2 3 = ⎜
⎟.
⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠
⎝ b 21 b 2 2 b 23 ⎠
Тогда A=B, если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 13 = b 13 , a 21 = b 21 , a 22 = b 22 , a 23 = b 23 .
Транспонирование. Дана матр А размера m×n. Если строки этой матр записать в столбцы, то
получим матрицу, которая обозначается А⊥ и называется транспонированной к матрице А.
1
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
⎛1 4⎞
⎛ 3 5⎞
⎛3 7⎞
⎛ 1 2 3⎞
⊥
⊥
⎜
⎟
Пример 2. A22 = ⎜
⎟ , A22 = ⎜
⎟ , B23 = ⎜
⎟ , B32 = ⎜ 2 5 ⎟ − матрица размера 3 × 2
⎝ 7 8⎠
⎝5 8⎠
⎝ 4 5 6⎠
⎜ 3 6⎟
⎝
⎠
Операции над матрицами
Суммой (разностью) матриц А и В одного размера называется матрица, обозначаемая А+В
(соответственно А−В), элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов
матриц А и В.
Произведением матрицы А на число λ называется матрица, обозначаемая λА, элементы которой
равны произведению элементов матрицы А на число λ.
⎛1 4 2⎞
⎛ 4 5 3⎞
Пример 3. A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎟ . Найти A + B, A − B, 3 A, 2 A − 3B
⎝ 3 −5 6 ⎠
⎝ 1 −3 2 ⎠
Решение.
4+5
2 + 3⎞ ⎛ 5 9 5⎞
⎛1 + 4
A+ B = ⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 3 + 1 −5 + (−3) 6 + 2 ⎠ ⎝ 4 −8 8 ⎠
4−5
2 − 3 ⎞ ⎛ −3 −1 −1⎞
⎛1 − 4
A− B = ⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 3 − 1 −5 − (−3) 6 − 2 ⎠ ⎝ 2 −2 4 ⎠
3⋅ 4
3 ⋅ 2 ⎞ ⎛ 3 12 6 ⎞
⎛ 3 ⋅1
3A = ⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 3 ⋅ 3 3 ⋅ (−5) 3 ⋅ 6 ⎠ ⎝ 9 −15 18 ⎠
4 ⎞ ⎛12 15 9 ⎞ ⎛ −10 −7 −5 ⎞
⎛2 8
2 A − 3B = ⎜
⎟−⎜
⎟=⎜
⎟
−1 6 ⎠
⎝ 6 −10 12 ⎠ ⎝ 3 −9 6 ⎠ ⎝ 3
В символической записи: если А = {a i j} m × n , В = {b i j} m × n ,
то А + В = {a i j + b i j} m × n , А − В = {a i j − b i j} m × n , λА = {λa i j } m × n .
Умножение матриц. Перемножать можно только так называемые согласованные матрицы используя
специальное правило.
Матрицы А m n , В p q называются согласованными, если длина строки первой равна высоте столбца
второй, то есть n = p .
Пример 4.
⎛1 4⎞
⎛ 7 8 9 10 ⎞
⎜
⎟
A3×2 = ⎜ 2 5 ⎟ , B 2×4 = ⎜
⎟ − согласованы.
⎝11 12 13 14 ⎠
⎜3 6⎟
⎝
⎠
.
⎛1 4⎞
⎛ 7 8 9 10 ⎞
⎜
⎟
Однако B 2×4 = ⎜
⎟ и A3×2 = ⎜ 2 5 ⎟ − не согласованы.
⎝11 12 13 14 ⎠
⎜ 3 6⎟
⎝
⎠
Очевидно две квадратные матрицы одного порядка всегда согласованны.
⎛ 1 2 3⎞
⎛ 7 3 4⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
C = ⎜ 2 5 1 ⎟ , D = ⎜ 0 1 3 ⎟ − согласованы.
⎜ 6 7 9⎟
⎜ 2 6 5⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Специальное правило умножения матриц покажем вначале на примере.
2
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
⎛1 2⎞
⎛ 5 6⎞
⎛ 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 1⋅ 6 + 2 ⋅ 8 ⎞ ⎛ 19 22 ⎞
Пример 5. A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎟ . AB = ⎜
⎟=⎜
⎟.
⎝3 4⎠
⎝7 8⎠
⎝ 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 ⎠ ⎝ 43 50 ⎠
1-ю строку А “умножаем” на столбцы В и записываем в 1-ю строку АВ.
2-ю строку А “умножаем” на столбцы В и записываем в 2-ю строку АВ.
Пример 6.
⎛ b11 b12 b13 b14 ⎞
⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎜
⎟
A2×3 = ⎜
⎟ , B 3×4 = ⎜ b 21 b 22 b 23 b 24 ⎟
⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠
⎜ b31 b32 b33 b34 ⎟
⎝
⎠
⎛ b11 b12 b13 b14 ⎞
⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜
⎟ ⎛ c 11 c 12 c 13 c 14 ⎞
A2×3 ⋅ B 3×4 = ⎜
⎟ ⎜ b 21 b 22 b 23 b 24 ⎟ = ⎜
⎟ = C 2×4
c 21 c 22 c 23 c 24 ⎠
⎝
⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠ ⎜ b
⎟
⎝ 31 b32 b33 b34 ⎠
c 11= a11b11 + a12b21 + a13b31 , c 12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 , ... , c 23 = a 21b13 + a 22b23 + a 23b33 , ... .
Общая формула : c ij = a i1b1 j + a i 2b2 j + a i 3b3 j .
Пример 7.
а)
⎛1 2⎞
⎛ 5 6⎞
⎛ 19 22 ⎞
A=⎜
⎟, B = ⎜
⎟ . В примере 5 получено AB = ⎜
⎟.
⎝3 4⎠
⎝7 8⎠
⎝ 43 50 ⎠
⎛ 5 6 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 5 + 18 10 + 24 ⎞ ⎛ 23 34 ⎞
⎡ не так как у чисел ⎤
BA = ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟=⎜
⎟ ⇒ AB ≠ BA ⎢
⎥
⎝ 7 8 ⎠⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 7 + 24 14 + 32 ⎠ ⎝ 31 46 ⎠
⎣ например 5 ⋅ 8 = 8 ⋅ 5⎦
⎛ 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞
⎛1 2⎞
⎛1 0⎞
б) A = ⎜
⎟=⎜
⎟
⎟, E = ⎜
⎟ , AE = ⎜
⎝ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1⎠ ⎝ 3 4 ⎠
⎝3 4⎠
⎝0 1⎠
⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 2 ⎞
⎛1 2⎞
⎡ роль матрицы E такая как роль ⎤
EA = ⎜
⎟⎜
⎟ = ... = ⎜
⎟ . ⇒ AE = A, EA = A. ⎢
⎥
⎝ 0 1 ⎠⎝ 3 4 ⎠
⎝3 4⎠
⎣ числа 1. Например 1 ⋅ 8 = 8
⎦
⎛ 7 − 2 − 24 ⎞ ⎛ −19 ⎞
⎛ 1 2 −3 ⎞
⎛7⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
в ) С = ⎜ 4 0 −2 ⎟ , D = ⎜ −1⎟ , CD = ⎜ 28 + 0 − 16 ⎟ = ⎜ 12 ⎟
⎜ 35 − 3 + 48 ⎟ ⎜ 80 ⎟
⎜5 3 6 ⎟
⎜8⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
Свойства операций над матрицами
1. А+В=В+А – коммутативность сложения.
2. А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения.
3. A+O = A
4. А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность умножения.
5. A(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС дистрибутивность
6. (αА)В=А(αВ)=α(АВ)
7. AE = EA = A
Во всех свойствах предполагается, что при сложении матрицы имеют один размер, а при умножении
согласованы.
3
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
Упражнения по теме МАТРИЦЫ
А написать транспонированную матрицу A⊥ :
⎛7⎞
⎛ 3 5 0⎞
⎜ ⎟
A=⎜
⎟ ; в ) A = ( 2 3) ; г ) A = ⎜ 8 ⎟
⎝ 2 1 8⎠
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
0 −3 ⎞
⎟ . Написать матрицы A + B, A − B, 4 A, 2 A − 3B .
5 −2 ⎠
⎛ a 4 b⎞ ⎛a 4 7⎞
⎛ a 1 ⎞ ⎛ 4 b ⎞ ⎛ 10 7 ⎞
3. Найти a, b, c, d если: а) ⎜
⎟=⎜
⎟ ; б) 2 ⎜
⎟+⎜
⎟=⎜
⎟.
⎝ d c 6⎠ ⎝ 5 8 a⎠
⎝ 5 d ⎠ ⎝ a −3 ⎠ ⎝ c 5 ⎠
⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞
⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞
4. Вычислить произведения матриц: а ) ⎜
⎟⋅⎜
⎟; б) ⎜
⎟⋅⎜
⎟;
⎝ 5 −4 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠
⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 5 −4 ⎠
1. Для заданной матрицы
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
а) A = ⎜ 4 5 6 ⎟ ; б )
⎜7 8 9⎟
⎝
⎠
−
1
0
7
⎛
⎞
⎛2
2. A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎝8 9 1 ⎠
⎝4
⎛ 1 −3 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
в ) ⎜ 3 −4 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ ;
⎜ 2 −5 3 ⎟ ⎜ −3 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 4⎞
⎜
⎟ ⎛ 2 −1 1 0 ⎞
г) ⎜ 2 5 ⎟ ⋅ ⎜
⎟;
0
3
1
2
⎝
⎠
⎜4 1⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 10 ⎞
5. Найти х, у из равенства ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .
⎝ 0 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 3 ⎠
3
⎛ 1 −2 ⎞
д) ⎜
⎟ ;
⎝ 3 −4 ⎠
⎛ 1 3 1 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
6. Найти х, у, z из равенства ⎜ 0 2 3 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 8 ⎟ .
⎜ 0 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ответы.
1)
2)
3)
5)
4
⎛1 4 7⎞
⎛ 3 2⎞
⎛ 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⊥
а) A = ⎜ 2 5 8 ⎟ ; б ) A = ⎜ 5 1 ⎟ ; в) A ⊥ = ⎜ ⎟ ; г ) A ⊥ = ( 7 8 2 ).
⎝ 3⎠
⎜3 6 9⎟
⎜0 8⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 3 0 −10 ⎞
⎛ −1 0 −4 ⎞
⎛ 4 0 −28 ⎞
⎛ −4 0 −5 ⎞
A+ B =⎜
⎟, A − B = ⎜
⎟, 4A = ⎜
⎟ , 2 A − 3B = ⎜
⎟.
⎝12 14 −1 ⎠
⎝4 4 3⎠
⎝ 32 36 4 ⎠
⎝ 4 3 8⎠
а) а = 6, b = 7, c = 8, d = 5;.
б) а = 3, b = 5, c = 13, d = 4;
х = 4, у = 3.;
6) х = −3, у = 1, z = 2.
⊥
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
2 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
Каждой квадратной матрице А по специальному правилу ставится в соответствие число, которое
называется определителем матрицы А и обозначается det А или A .
Изложим это правило.
a ⎞
⎛a
n = 2, A = ⎜ 11 12 ⎟ ,
⎝ a21 a22 ⎠
⎛ a 11 a 12
⎜
n = 3, A = ⎜ a 21 a 2 2
⎜ a 31 a 3 2
⎝
det A =
a 13 ⎞
⎟
a 23 ⎟ .
a 33 ⎟⎠
a11 a12
= a 11 ⋅ a 2 2 − a 2 1 ⋅ a 1 2
a21 a22
det A = a 11 A11 + a 1 2 A1 2 + a 1 3 A1 3 .
(1)
Числа A11 , A1 2 , A1 3 из (1) называются алгебраическими дополнениями и опреределяются
следующим образом.
Минором элемента а i j матрицы А, называются число, обозначаемое М i j и равное определителю
матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента а i j матрицы А называются число обозначаемое
А i j и равное А i j = (−1) i + j М i j.
2 −4
⎛ 2 −4 ⎞
а) A = ⎜
= 2 ⋅ 7 − 5 ⋅ (−4) = 34
⎟ , det A =
5 7
⎝5 7 ⎠
⎛ 1 2 −3 ⎞
4 1
⎜
⎟
= 4 ⋅ 0 − 6 ⋅1 = −6;
б ) A = ⎜ −2 4 1 ⎟ ;
M 11 =
A11 = (−1) 1 + 1 M 11 = 1⋅ (−6) = −6
6 0
⎜ 7 6 0 ⎟
⎝
⎠
−2 1
= 0 − 7 = −7;
M 12 =
A12 = (−1) 1 + 2 M 12 = (−1) ⋅ (−7) = 7
7 0
Пример 1.
M 13 =
−2 4
7
6
= −12 − 28 = −40;
A13 = (−1) 1 + 3 M 13 = 1⋅ (−40) = −40
det A = [ по формуле (1) ] = a11 A11 + a1 2 A1 2 + a 1 3 A1 3 = 1 ⋅ (−6) + 2 ⋅ 7 + (−3)(−40) = 128
Формулу (1) называют разложением определителя по первой строке. Таким образом
a11 a12 a13
a 22 a 23
a 21 a 2 3
a 21 a 2 2
( 1а )
a21 a22 a23 = a 11 A11 + a 1 2 A1 2 + a 1 3 A1 3 = a 11
− a1 2
+ a 13
a 3 2 a 33
a 31 a 33
a 31 a 3 2
a31 a32 a32
Пример 2
3 −2 4
0
6
5
1
5 3
0 3
0 5
3 = (−1) 1 + 1 ⋅ 3 ⋅
+ (−1) 1 + 2 ⋅ (−2) ⋅
+ (−1) 1 + 3 ⋅ 4 ⋅
=
1 2
6 2
6 1
2
= 3 ⋅ (10 − 3) + 2 ⋅ (0 − 18) + 4 ⋅ (0 − 30) = 21 − 36 − 120 = −135
Опеделитель 3 порядка можно найти и по специальной формуле − формуле Саррюса.
5
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
Составляется 6 слагаемых. Три слагаемые со знаком “+” и три со знаком “−” .
Каждое слагаемое − это произведение трёх элементов матрицы.
D D D
D D D
Схема составления
слагаемых со знаком
D D D
D D D
Схема составления
слагаемых со знаком
D D D
(+)
D D D
( −)
Пример 3. Найти опеделитель из примера 2 по формуле Саррюса.
3 −2 4
0 5 3 = ( 3 ⋅ 5 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 3 ⋅ 6 + 0 ⋅1⋅ 4 ) − ( 6 ⋅ 5 ⋅ 4 + 0 ⋅ (−2) ⋅ 2 + 3 ⋅1⋅ 3) =
6
1
2
= (30 − 36 + 0) − (120 + 0 + 9) = −6 − 129 = −135
Свойство определителей
1. Определитель квадратной матрицы можно вычислить разложением по любой строке и по
любому столбцу аналогично формулам (1), (1а).
Например: для матрицы порядка3
⎛ a11 a12 a13 ⎞
det A = a 31 A31 + a 3 2 A3 2 + a 3 3 A 3 3 по 3-й строке
⎜
⎟
A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟
det A = a1 2 A1 2 + a 2 2 A2 2 + a 3 2 A 3 2 по 2-му столбцу
⎜ a 31 a 32 a 33 ⎟
⎝
⎠
2. Определитель не изменится, если к любой строке матрицы прибавить любую другую
строку, умноженную на любое число α ∈ R. Аналогично для столбцов.
3. A⊥ = A , где А⊥ − транспонированная для А.
4. Если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец, то ее определитель = 0.
5. Если в матрице А есть две одинаковые строки (или столбца), то ее определитель = 0.
6. Если строку (столбец) матрицы А умножить на число α, то определитель умножится на α .
7. Если в матрице поменять местами две строки, то определитель изменит знак.
Так же для двух столбцов.
Все эти свойства верны для определителей любого порядка n ≥ 2.
Проиллюстрируем эти свойства на примерах.
6
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
4. ( К свойству 1 )
Вычислить
2 5 3
а ) по 2-й строке
определитель
3 6 0
б ) по 1-му столбцу
4 1 0
в ) по 3-му столбцу
⎛ Всех таких формул имеется шесть ⎞
⎜
⎟
⎜ по 1-й, 2-й, 3-й строкам
⎟
⎜ по 1-му, 2-му, 3-му столбцам
⎟
⎝
⎠
Решение.
2 5 3
а)
2 3
5 3
+ (−1) 2 + 2 ⋅ 6 ⋅
+ 0 = −3 ⋅ (0 − 3) + 6 ⋅ (0 − 12) + 0 = 9 − 72 = −63
3 6 0 = (−1) 2 + 1 ⋅ 3 ⋅
1 0
4 0
4 1 0
б)
2 5 3
6 0
5 3
5 3
3 6 0 = (−1) 1 + 1 ⋅ 2 ⋅
+ (−1) 2 + 1 ⋅ 3 ⋅
+ (−1) 3 + 1 ⋅ 4 ⋅
=
1 0
1 0
6 0
4 1 0
= 2 ⋅ (0 − 0) − 3 ⋅ (0 − 3) + 4 ⋅ (0 − 18) = 0 + 9 − 72 = −63
2 5 3
в)
3 6 0 = (−1) 1 + 3 ⋅ 3 ⋅
3 6
4 1
+ 0 + 0 = 3 ⋅ (3 − 24) = −63
4 1 0
Ответ. −63.
Очевидно, легче всего вычислить было по 3-му столбцу, так как в 3-м столбце имеется два нуля.
5. (К свойству 1)
Определитель 4-го порядка вычислим по 3-й строке (так как там много нулей)
3 −2 6 4
3 −2 4
⎡ этот определитель ⎤
0 5 7 3
⎥ = 2 ⋅ (−135) = −270
3+3
= 0 + 0 + (−1) ⋅ 2 ⋅ 0 5 3 + 0 = ⎢⎢
вычислен в
⎥
0 0 2 0
⎢⎣
⎥⎦
6 1 2
примере 2
6 1 9 2
6. (К свойству 2) Вычислить определитель используя свойство 2.
Применяя свойство 2 занулим элементы a 21, a 31 в первом столбце, а затем вычислим
определитель разложением по 1-му столбцу.
1 3 −2
1 3 −2
⎡ первую строку ⎤
⎡ первую строку ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−2 −4 5 = ⎢ умножим на 2 и ⎥ = 0 2 1 = ⎢ умножим на − 3 и ⎥ = 0 2 1 =
⎢⎣сложим со второй ⎥⎦
⎢⎣сложим со третьей ⎥⎦
3 14 −2
3 14 −2
0 5 4
2 1
⎡вычисли разложением ⎤
=⎢
= (−1) 1+1 ⋅ 1 ⋅
+ 0 + 0 = 1 ⋅ (8 − 5) = 3
⎥
5 4
⎣ по первому столбцу ⎦
1
3
−2
7. (К свойству 3)
⎛1 2⎞
⎛ 1 3⎞
⊥
Пусть А = ⎜
⎟ . Тогда А = ⎜
⎟.
⎝3 4⎠
⎝ 2 4⎠
1 2
1 3
А=
= 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2, А ⊥ =
= 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2
3 4
2 4
7
⇒
A⊥ = A
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
8. (К свойству 4)
3 7 9
Этот же результат получим если вычислим
0 0 0 = 0 по свойству 4.
его разложением например по 2-й строке.
4 1 5
9. (К свойству 5)
3 7 9
Этот же результат получим если применим
3 7 9 = 0 по свойству 5.
совйство 2: 1-ю строку умножим на (-1) и
4 1 5
прибавим её ко второй строке.
3 7 9
3 7 9
4 1 5
4 1 5
Получим:
3 7 9 = 0 0 0 = [ см предыдущий пример ] = 0
10. (К свойству 6)
⎛a b
Рассмотрим
⎜
А=⎜d e
матрицу
⎜m n
⎝
c ⎞
⎛ λ ⋅ a λ ⋅ b λ ⋅ c ⎞ полученную из А
⎟
⎜
⎟
g ⎟ и матрицу B = ⎜ d
e
g ⎟ , умножением 1-й
⎜ m
k ⎟⎠
n
k ⎟⎠ строки на число λ
⎝
Тогда по свойству 6 определитель B = λ ⋅ A .
Подтверждение этому можно увидеть, разложив определители A и B по первой строке
А = aA11 + bA12 + cA13 .
B = λ a ⋅ B11 + λb ⋅ B 12 + λ c ⋅ B 13 .
Так как алгебраические дополнения A11 , A12 , A13 к элементам 1-й строки у матриц A и B
⎛
⎞
e g
= B 11 , и аналогично для остальных ⎟ ,
одинаковы ⎜ A11 = (−1) 1+1 ⋅
n k
⎝
⎠
B = λ a ⋅ B11 + λb ⋅ B 12 + λ c ⋅ B 13 = λ a ⋅ A11 + λb ⋅ A12 + λ c ⋅ A13 = λ (aA11 + bA12 + cA13 ) = λ ⋅ А
11. (К свойству 7)
Рассмотрим
⎛ a b ⎞ поменяем местами 1-ю и 2-ю
⎛ c d ⎞
А=⎜
B=⎜
⎟
⎟.
матрицу
⎝ c d ⎠ строки и получим матрицу
⎝ a b ⎠
По свойству 7 определитель B = (−1) ⋅ A .
Подтверждение этому можно увидеть, если вычислить определители A и B
А = ad − dc,
B = cb − ad = − ad + cb = −(ad − dc) = (−1) ⋅ A .
Упражнения по теме ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
1. Вычислить: а )
−1 4
−5 2
2. Решить уравнение
x
; б)
x+1
−4 x+1
3. Вычислить определитель
8
500 50
20
2
;
в)
a+b a−b
a−b a+b
;
г)
cos α
− sin α
sin α
cos α
..
=0
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
−1 3 2
2 8 1.
а ) разложением по 1-й строке;
б) разложением по 3-му столбцу;
в ) по формуле Саррюса:
1
4. Вычислить разложением
по строке или столбцу (выбрать
самый простой вариант)
5. Вычислить
занулением элементов:
1 2
1
а) 2
0 4
2 1 8
3 7;
б) 3 5 4 ;
−2 0 9
1 13 25
а ) 2 27 48 ;
а ) 1-го столбца; б ) 3-й строки.
0 0 6
6
2
1
4 ;
0
0
5
0
3
6
4
0
.
17 20 23
б ) 32 34 −22 ;
2 29 54
3
6. Вычислить любым способом а ) 2
в)
8 −7 9 4
2 3 12 0
1
1
6 2 5
б) 6 3 4 ;
−1 5 −1
Ответы.
Зан. 1) а) 18; б) 0; в) 4 ab; г) 1; 2) (−4;−1); 3) −36;
6) а) −66; б) −11 в) abc.
5 4 0
−1
a m n
в) 0 b k ;
0
0
c
4) а) 51; б) 42; в) 60;
5) а) 10; б) −50;
3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Напомним понятие обратного числа.
1 1
3
7
= . Если b = , то b − 1 = .
a 5
7
3
Но не для всех чисел существует обратное. Для числа c = 0 нет обратного.
Для числа a = 5 обратное число равно a − 1 =
Обратным числом для числа а является число, которое обозначается а −1 и удовлетворяет равенству
аа −1 = 1. Аналогично определяется обратная матрица.
Дана квадратная матрица А.
Обратной матрицей к матрице А называется матрица, обозначаемая А − 1
и удовлетворяющая равенствам
А⋅ А − 1 = Е, А − 1 ⋅ А = Е,
где Е – единичная матрица.
Рассмотрим для удобства матрицы порядка 3 .
( Для квадратной матрицы любого порядка всё аналогично )
Теорема. Пусть задана квадратная матрица порядка n = 3
⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ , для которой определитель A ≠ 0 .
⎜a
⎟
⎝ 31 a32 a32 ⎠
Тогда для матрицы А существует единственная обратная матрица,
которую вычисляют по формуле
9
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
⎛ A11
1 ⎜
−1
A =
A2 1
det A ⎜⎜
⎝ A31
⊥
⎛ A11 A 2 1 A31 ⎞
A1 3 ⎞
1 ⎜
⎟
⎟
A2 2 A2 3 ⎟ =
A1 2 A 2 2 A3 2 ⎟ ,
⎜
det A ⎜
⎟
A3 2 A3 2 ⎟⎠
⎝ A13 A 2 3 A3 3 ⎠
где A11 , A1 2 , A1 3 , A 2 1 ,..., A 3 3 − алгебраические дополнения элементов матрицы А.
⎛ A11
⎜
Матрицу A = ⎜ A 2 1
⎜ A31
⎝
A1 2
A1 3 ⎞
⎟
A 2 2 A 2 3 ⎟ называется присоединённой матрицей для матрицы.
A3 2 A3 2 ⎟⎠
⊥
1
A∗ ) .
С этим обозначением для обратной матрицы записывается короткая формула A −1 =
(
det A
A1 2
∗
⎛1 2 0⎞
Пример 1. Найти обратную матрицу для A = ⎜⎜ 3 2 1 ⎟⎟ .
⎜0 1 2⎟
⎝
⎠
Решение.
1 2 0
2 1
3 1
det A = 3 2 1 = 1 ⋅
− 2⋅
+ 0 = 1 ⋅ 3 − 2 ⋅ 6 + 0 = −9
1 2
0 2
0 1 2
det A = −9 ≠ 0. Находим A
A11 = (−1) 1 + 1
A 2 1 = (−1) 2 + 1
A3 1 = (−1) 3 + 1
−1
⎛ A11
1 ⎜
=
A2 1
det A ⎜⎜
⎝ A3 1
A2 2
A3 2
2 1
3 1
= 3, A1 2 = (−1) 1 + 2
= −6,
1 2
0 2
2 0
1 2
2 0
2 1
= −4,
= 2,
⊥
A 2 2 = (−1) 2 + 2
A3 2 = (−1)3 + 2
⎛ 3 −6 3 ⎞
⎛ 3 −4
1 ⎜
1 ⎜
⎟
−1
−4 2 −1 ⎟ =
−6 2
A =
−9 ⎜⎜
−9 ⎜⎜
⎟
⎝ 2 −1 −4 ⎠
⎝ 3 −1
⎛ 3
1
⎜
−6
Можно проверить, что A −1 ⋅ A =
−9 ⎜⎜
⎝ 3
⎛2 6⎞
Пример 2. A = ⎜
⎟ , det A = 4,
⎝ −3 −7 ⎠
10
⊥
⎛ A11
A1 3 ⎞
1 ⎜
⎟
A2 3 ⎟ =
⎜ A1 2
det
A
⎜ A13
A3 2 ⎟⎠
⎝
A1 2
1 0
0 2
1 0
3 1
A1 3 = (−1) 1 + 3
A2 2
A2 3
A3 1 ⎞
⎟
A3 2 ⎟
A3 3 ⎟⎠
3 2
=3
0 1
= 2, A 2 3 = (−1) 2 + 3
= −1, A3 3 = (−1) 3 + 3
2 ⎞ ⎛ −1 3
⎟ ⎜
−1 ⎟ = ⎜ 2 3
−4 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 3
−4 2 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜
2 −1 ⎟ ⋅ ⎜ 3
−1 −4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
A2 1
1 2
0 1
1 2
3 2
= −1
= −4
− 2 9⎞
⎟
−2 9 1 9 ⎟
19
4 9 ⎟⎠
2 0⎞ ⎛1 0 0⎞
⎟ ⎜
⎟
2 1 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ и A ⋅ A −1 = E
1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
49
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012
A11 = (−1) 1 + 1 (−7) = −7;
A1 2 = (−1) 1 + 2 (−3) = 3;
A 2 1 = (−1) 2 + 1 ⋅ 6 = −6;
A 2 2 = (−1) 2 + 2 ⋅ 2 = 2
⊥
−3 ⎞
⎛ −7
1 ⎛ −7 3 ⎞
1 ⎛ −7 −6 ⎞ ⎜ 4
2⎟
=
=
A −1 = ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
3
1 ⎟
4 ⎝ −6 2 ⎠
4⎝ 3 2 ⎠
⎝ 4
2⎠
⎛a b ⎞
1⎛ c
−1
Для A = ⎜
⎟ обратная матрица равна A = ⎜
∆ ⎝ −d
⎝c d⎠
Предполагается, что ∆ ≠ 0.
−b ⎞
a b
= ad − bc .
⎟ , где ∆ = A =
a⎠
c d
Упражнения по теме ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
⎛2 7
⎜
а) A = ⎜ 3 9
⎜1 5
проверку: A −1 ⋅ A = E
⎝
2. Рерить матричные уравнения
⎛4
и выполнить проверку
а) ⎜
⎝1
1. Вычислить обратную
матрицу и выполнить
3⎞
⎛1 2⎞
⎟
4 ⎟; б) A = ⎜
⎟
⎝3 4⎠
3 ⎟⎠
3⎞
⎛5⎞
⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟;
1⎠
⎝ 2⎠
⎛3 2⎞
⎛ 4⎞
б) ⎜
⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟.
⎝5 4⎠
⎝ 6⎠
Указание: дано матричное уравнение АХ = В.
Найдём обратную А − 1 и умножим обе части уравнения на А − 1:
АХ = В ⇒ А − 1(АХ)= А − 1В ⇒ (А − 1А)Х = А − 1В ⇒ EХ = А − 1В ⇒ Х = А − 1В
Ответы.
1) а) ⎛ −7 6 −1⎞ б )
1⎜
⎟
5 −3 −1⎟ ;
⎜
3⎜
⎟
⎝ −6 3 3 ⎠
11
1 ⎞
⎛ −2
⎜
⎟;
⎝1,5 −0,5 ⎠
2) а )
⎛ −1⎞
X = ⎜ ⎟;
⎝3⎠
б)
⎛2⎞
X = ⎜ ⎟.
⎝ −1 ⎠
Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012