Глава 2 ФИЛОСОФСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ОБОСНОВАНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV—XV вв. в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и раззитием совершенно новых математических идей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли в связи с потребностями науки, в особенности механики, и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка предопределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Проблема обоснования дифференциального исчисления В дискуссиях о природе бесконечно малых величин, которые велись математиками в XVIII в., фигурировал идеал математики под наименова28 нием греческой строгости. «Строгости древних» требовали от математики Лейбниц, Эйлер, Ньютон, Лагранж и другие ученые XVIII в. Под этим наименованием имелся в виду прежде всего метод, примененный Евклидом в «Началах», т. е. метод выведения одних положений из других, без использования каких-либо предпосылок, помимо зафиксированных в аксиомах и определениях. С современной точки зрения ясно, что ни Евклид, ни кто-либо другой из античных математиков не осуществил указанного идеала, хотя бы потому, что они не сформулировали всех аксиом, необходимых для строгого развития геометрии. Однако, несомненно, что у Евклида, Платона и Аристотеля была правильная идея математического доказательства, строгого отделения математически доказанного от очевидного, а также точного от приближенного. Такой идеал математики был принят и математиками XVIII в. Однако практически, сами это осознавая, они должны были отступать от него. Прежде всего это относится к создателям дифференциального исчисления Ньютону и Лейбницу. В работах математиков XVII в. (Кеплер, Кавальери, Ферма, Барроу и другие) различными частными методами были решены многочисленные задачи, которые сегодня мы относим к дифференциальному и интегральному исчислению — нахождению площадей криволинейных фигур, проведение касательной к произвольной кривой, нахождение максимумов и минимумов элементарных функций и т. д. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон завершили работу созданием алгоритма, позволяющего единообразным приемом решать все эти, на первый взгляд, различные задачи. Этот алгоритм, будучи принят, подвергся, однако, сразу же критике за неясность в основных понятиях. Основным понятием теории Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию у = =f(x). Если мы увеличим ее аргумент (х) на некоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x + h)—f(x). Для Лейбница но вместе с тем эта величина столь мала, что, ум29 ножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении таким образом Лейбниц проводил чуждую элементарной математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины 1. Эта идея, однако, была необходима Лейбницу для оправдания предлагаемого им способа вычисления дифференциала. Пусть, к примеру, дана функция у=х2. Придавая переменной х приращение dx, получаем y + dy = = 2 (x+dx) 2 =x 2 +2x*dx+dx 2 , откуда dy=2x*dx + +dx . Величину dx2 Лейбниц предлагает отбрасывать как несравненно малую по отношению к величине 2x*dx. В результате dy=2x*dx — правильный результат! Эта процедура является, очевидно, противоречивой. Если допустить, что dx=0, то очевидно, что и dy будет равно нулю (из исходного равенства). Но если , то, не нарушая строгости, мы не имеем права отбрасывать dx2. Рассуждение Лейбница о несравненно малых величинах были попыткой как-то оправдать такой способ действия. Практика, однако, показывала (что и было, конечно, основным аргументом за принятие алгоритма в целом), что если мы условимся отбрасывать в разложении y+dy все члены, содержащие dx в степени выше первой, то с помощью таким образом определенного понятия (дифференциала) мы можем получать точные ответы в широком классе задач. Поскольку интегрирование определяется как операция, обратная дифференцированию, то, к примеру, площадь любой фигуры, ограничивающая линия которой задана в виде той или иной функции, найдется теперь как некоторое значение первообразной функции от этой данной. Мы получаем таким образом универсальный метод вычисления площадей и объемов самых различных фигур, метод, совершенно несводимый к методам традиционной геометрии. Алгоритм Ньютона базировался на понятии флюксии (производной — в современной термино1 Согласно аксиоме Архимеда, для любых двух величин а и b найдется такое целое N, что а*N>b. 30 логии) и страдал тем же самым противоречием. При отыскании флюксии Ньютон также отбрасывал члены, заведомо не равные нулю (хотя вообще считал, что в математике нельзя пренебрегать никакими количествами, хотя бы и самыми малыми). К. Маркс писал по поводу исчисления флюксии у Ньютона: «... Если в [слагаемое] отбрасывается ввиду его бесконечной малости по сравнению с или ,то математическим оправданием этому может служить лишь ссылка на то, что имеет в наших глазах приближенное значение, мыслимое сколь угодно близким к точному. Подобного рода маневр встречается и в обыкновенной алгебре. Но тогда мы оказываемся перед лицом еще большего чуда: благодаря этому методу мы получаем для производной функции [в]х отнюдь не приближенные, а совершенно точные значения...» [1, с. 153]. Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, было очевидным для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического здания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в некоторую проблему века, вызывавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире неспециалистов.