2. ПРЯМОЕ ВВЕДЕНИЕ ПОРЯДКА В СИСТЕМЕ ПЕАНО В конце

2. ПРЯМОЕ ВВЕДЕНИЕ ПОРЯДКА В СИСТЕМЕ ПЕАНО
В конце XIX века было завершено построение содержательных
аксиоматических теорий двух важнейших областей математики арифметики и евклидовой геометрии (Гильберт). Арифметика была
аксиоматизирована немецким математиком Рихардом Дедекиндом и
итальянским математиком и логиком Джузеппе Пеано. Последний в
1889 году предложил лаконичную аксиоматику натурального ряда. В
качестве первичных понятий были выбраны: натуральное число,
выделенное натуральное число 1 и унарная операция
«взятия
последующего числа» на множестве N натуральных чисел.
Предполагается выполнение следующих трех аксиом.
Р1.
Р2.
Р3. Если
то M=N.
Алгебраическая система (N, 1,'), удовлетворяющая аксиомам Р1,
Р2, РЗ, называется системой Пеано. Любая конкретная система Пеано
называется
натуральным
рядом.
Аксиомы
Р1-Р3
логически
независимы друг от друга. Любые два натуральных ряда изоморфны,
т.е. аксиоматика Пеано категорична. Непротиворечивость аксиоматики
Пеано доказать (финитно) невозможно. Здесь может быть принят тезис
Кронекера: Бог создал натуральные числа, а остальное (в математике) дело человеческого разума.
Аксиома Р1 утверждает, что число 1 не имеет «предшествующего
элемента». Аксиома Р2 показывает, что операция ' инъективна. Аксиома
РЗ - это принцип математической индукции, означающий отсутствие
собственных подалгебр в системе Пеано.
Как простые следствия аксиом получаются:
Предложение 1.
Предложение 2.
19
Замечание. В силу предложения 1 и аксиомы Р2 для каждого
натурального числа п
1 существует единственное т такое, что m' = n;
обозначив его `n, получим (`п)' = п и `(n') = п.
При развитии теории Пеано далее обычно вводятся операции
сложения и умножения натуральных чисел, даются индуктивные
доказательства их свойств, определяется отношение порядка (через
сложение),
затем
устанавливается
возможность
построений
по
индукции, доказывается категоричность и т.д. [1, 4, 5, 7, 10, 11].
Нередко
рассматриваются
модификации
системы
Пеано,
сразу
включающие в себя операции сложения и умножения, а то и отношение
порядка [3, 6, 8, 9]. Наиболее четко теория Пеано изложена в книге [11].
Мы же попытаемся непосредственно ввести отношение порядка в
системе Пеано, исходя из следующих понятий.
Начальным отрезком, или просто отрезком, натуральных чисел
называется
произвольное
множество
A
N,
содержащее
1
и
удовлетворяющее условию
Лучом натуральных чисел назовем всякое множество А
N со
свойством
Например, {1}, N - отрезки, а
N и N\{1} - лучи. Если луч А
содержит 1, то А = N по Р3. Из определений вытекает
Предложение 3. Имеют место следующие утверждения:
а) пересечение и объединение всякого непустого семейства
отрезков (соответственно, лучей) в N являются отрезками (лучами);
б) непустое подмножество А в N является отрезком тогда и
только тогда, когда N\A есть луч.
Пусть п N. Наименьший отрезок в N, содержащий п
(пересечение всевозможных отрезков, содержащих п), называется
отрезком, порожденным п, и обозначается [1, n]. Аналогично
20
определяется луч.[n,
), порожденный п. Легко видеть, что [1,1] = {1}и
[1', ) = N\{1}
Определение. Для любых т,п
N положим
Ясно, что бинарное отношение
< на N рефлексивно и
транзитивно. Покажем, что (N, <) - дискретное вполне упорядоченное
множество.
Для этого докажем следующую цепочку свойств отрезков.
Запись т < п означает, что т<п и т
предложению 2. Будем писать А
В = Х, если А
п. Например, п<п' по
В=Х и А
В=
01.[1, n] {n'} = [1, п'] для любого п N.
02.[п, ) = [n', )
03. [1, n) [n',
{п} для любого п N.
) = N для каждого п N.
04. Для любых т, п N выполняется ровно одно из соотношений:
[1,т] [1,п] т = п или [1,п] [1,т].
05. {k N :n<k<n'} = {n, n'} для каждого п N.
06.[1,n]={k
N : k < n } и[n, )={k
N: п<k} для любого п N.
07. Всякий отрезок в N, отличный от N, имеет вид [1, n] для
некоторого однозначно определенного п
N.
08. Всякий непустой луч в N имеет вид [n,
) для некоторого
единственного п N.
Доказательство свойств О1 - О8
О1. Поскольку [1, n]
то [1, n]
[1,n'] и [1, n]
{n'} есть отрезок при n N,
{n'} = [1,n']. Индукцией по л покажем, что n' [l, n]. В силу
Р1 имеем 1' {l} = [l,l]. Предположим, что n' [l, n]. Если бы n'' [1,n'],
то, учитывая n'' n' (предположение 2), получили бы n'' [1,n] и,
следовательно, n' [l, n]: противоречие.
21
02. Так как
и
- луч, то [п,
)=[n',
.
По предложению 3б) и свойству 01 N\[l, n] - луч, содержащий n'.
Поэтому[n',
N\[l, n] то есть [l, n] [n', ) =
Значит, n [n',
)
03. Доказательство проведем индукцией по п. По Р3 получаем
[l,l] [1', ) = N, причем 1 [1', ) в силу 02. Предположим, что [l, n]
= N. По 01 и 02 имеем [l,n'] = [l,n]
{n'} и [n'', )=[n', )\{n'}
Откуда [l, n'] [n'', )=N.
04. Пусть даны
[l,m]
[l, п], либо [1,n]
либо т
т n из N. Требуется доказать, что либо
[l, m]. По 03 имеем [1,n] [n',
) = N. Поэтому
[l, п] либо т [n', ).
Пусть т
[1,n]. Поскольку т n, то существует `n. По 01 имеем
[l, п] = [l,`n] {n}, то есть т
[l,`n] и [l, m]
Пусть теперь т
Откуда [l, n]
[l,`m]
[l,`n]
[l, n].
Тогда существует `т и [т,
[1, т] в силу 03 и 0 1 .
05. Вытекает из 01 и О4.
06. Действительно,
Второе равенство вытекает из первого на основании О3 и 04.
07. Рассмотрим отрезок А
N. Существует л е А такое, что n' A.
Поэтому [l, п] А. Предположим, что нашлось т е А\[l, n]. Тогда по 04
и Ol [l, n]
[1,т] и [1,n'] [1,m]
А, что противоречит n' А. Значит,
А \ [1, n]= , и А = [l, n} Единственность п следует из 04.
Свойство 08 вытекает из свойств 07 и 0 3 .
Свойство О4 показывает, что (N, <) - линейно упорядоченное
множество с наименьшим элементом 1.
Напомним некоторые порядковые понятия. Сечением линейно
упорядоченного множества (X, <) называется пара (А, В) его непустых
подмножеств, таких, что А
В = Х и а<b для любых а
А и b В.
Линейно упорядоченное множество называется дискретным (дискретно
упорядоченным), если для всякого его сечения (А, В) множество А
22
имеет наибольший элемент, а множество В обладает наименьшим
элементом (такое сечение называется скачком). Упорядоченное
множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое
подмножество имеет наименьший элемент. Очевидно, что вполне
упорядоченные множества линейно упорядочены.
Теорема 1. Пусть (N, l, ') - система Пеано. Тогда (N, <) дискретное
вполне
упорядоченное
множество
с
наименьшим
элементом 1, но без наибольшего элемента.
Доказательство. Рассмотрим произвольное сечение (А, В) в N.
Ясно, что А - собственный отрезок в N. По свойству О7 А = [1, п] для
некоторого п
N. В силу ОЗ B = [n', ). Тогда по О6 множество А
обладает наибольшим элементом п, а множество В имеет наименьший
элемент п'.
Наконец, возьмем непустое подмножество С в N. Если 1
обладает
В={п
наименьшим
элементом.
N: т < п для некоторого т С]
Пусть
и
С, то С
1
С.
Положим
A = N\B.
В
результате
получаем сечение (А, В) дискретно упорядоченного множества (N,<).
Поэтому множество B, а вместе с ним и С имеют наименьший элемент.
Теоремa доказана.
Упражнения
1. Докажите, что любой непустой луч в N имеет вид [п, )для
некоторого однозначно определенного п
N.
2. Убедитесь, что всякое дискретно упорядоченное множество с
наименьшим элементом вполне упорядоченно.
3. Дайте описание всех дискретно упорядоченных множеств.
4. Покажите, что утверждение теоремы может быть принято
за определение натурального ряда как упорядоченного множества [3].
5. Пусть Х - линейно упорядоченное множество. Докажите, что
любое ограниченное сверху непустое подмножество в X обладает
точной верхней гранью тогда и только тогда, когда каждое сечение
(А, В) в X имеет границу (рубеж), то есть элемент, являющийся
23
наибольшим в А или наименьшим в В. Может ли сечение иметь более
одной границы? См. очерк 11.
Рассмотрим вкратце возможное дальнейшее построение теории
Пеано при нашем подходе.
Полная упорядоченность системы Пеано (теорема 1) позволяет
проводить индуктивное построение функций на N по заданным
рекуррентным соотношениям [6, с. 26-27].
Именно доказывается
Теорема 2 [11]. Пусть даны произвольное множество X, элемент
X0
Х
и
некоторая
функция
единственная функция f:N
g:X N
X.
Тогда
существует
X, удовлетворяющая двум условиям:
1) f(1) = x0;
2)
f(n')=g(f(n)
для
каждого
п
N.
Если (N, 1,') и (N, 1,') - системы Пеано, то при X=N, xo=1 и
g(x, n) = х' получаем изоморфизм/ данных систем.
Теорема 3. Любые две системы Пеано изоморфны.
С помощью теоремы 2 легко определяются операции сложения и
умножения в (N, 1, ) и развивается теория Грассмана (1861 год).
Теорема 4. На N существует единственная бинарная операция +,
называемая сложением, которая удовлетворяет соотношениям:
1)
2)
.
Теорема 5. На N существует единственная бинарная операция ,
называемая умножением, которая обладает следующими свойствами:
1) .
2)
По
индукции
доказываются
законы
коммутативности,
ассоциативности и сократимости операций сложения и умножения в N,
а также дистрибутивность умножения относительно сложения.
24
Упражнение б. Определите в N бинарную операцию возведения в
степень тп и докажите ее основные свойства.
Затем
выясняются
связи
между
операциями
сложения
и
умножения и отношением порядка в N. Имеют место утверждения:
С1..
С2.
С3.
С4.
Свойство С1 легко получается индукцией по k.
Доказательство С2. Рассмотрим множества В = {т + k: к
M=[1,m]
В для фиксированного т
N} и
N. В силу Cl [l,m] B= .
Очевидно 1 М. Пусть п М. Если п < т, то n' <, т и п' [l,m] M (см.
свойства 04 и О5). А если п = m, то n'=m+1 B M. Если же п
есть
п=т+k
при
некотором
k
N;
то
п'=т+k' В
В, то
М.
Следовательно, М = N по Р3. Откуда по 04 B = {n: т< п}, что и дает С2.
Свойства С3 и С4 вытекают из С2.
Суммируя сказанное, получаем-:
Теорема 6. (N, 1,+, •, <) дискретное вполне упорядоченное
коммутативное полукольцо с единицей (но без нуля), удовлетворяющее
законам сократимости.
Несколько слов о понятиях конечного и бесконечного множеств.
По Дедекинду, множество X называется бесконечным, если существует
взаимно однозначное отображение X на некоторое его собственное
подмножество, и конечным, если X не является бесконечным.
Упражнение 7. Покажите, что для любого п N отрезок [l, n]
является конечным множеством (по Дедекинду), а луч [п, ) бесконечным.
Если данное множество взаимно однозначно отображается на
отрезок [l, n], n
N, то говорят, что оно имеет п элементов.
25
Упражнение 8. Непустое множество конечно тогда и только
тогда, когда оно имеет п элементов для некоторого п N.
Системы целых, рациональных и комплексных чисел, а также
кватернионы строятся в рамках «теории пар», восходящей к Гамильтону
(1853 год). Грассман определял систему целых чисел как двусторонний
натуральный ряд. Система действительных чисел строится методом
Кантора через фундаментальные последовательности рациональных
чисел или методом сечений Дедекинда (около 1870 года). Возможен
также подход, при котором действительные числа определяются или
строятся как бесконечные десятичные дроби [7].
Библиографический список
1. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 1939.
2. Вентомов Е.М. Прямой способ введения отношения порядка в
системе Пеано// Математический вестник педвузов Волго-Вятского
региона. - 1998. - Вып. 1. - С. 6-14.
3. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 1959.
4. Демидов И.Т. Основания арифметики. - М.: Изд-во Мин-ва
просвещения РСФСР, 1963.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теории чисел. - М: Высш. шк., 1979.
6. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 1973.
7. Ларин С.В. Числовые системы. - М.: Издат. центр «Академия»,
2001.
8. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч.1. - М:
Просвещение, 1974.
9. Нечаев В.И. Числовые системы. - М.: Просвещение, 1975.
10. Проскуряков КВ. Числа и многочлены. - М.: АПН РСФСР,
1949.
11. Феферман С. Числовые системы. - М.: Наука, 1971.
Примечание.
Очерк
переработанную статью [2].
26
представляет
собой
несколько