Натуральные числа

Часть 1
Натуральные числа
Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных
чисел, базирующейся, главным образом, на аксиоматике Пеано.
Большое внимание уделено индуктивным процедурам.
1. СИСТЕМА ПЕАНО
Введение
Число
и геометрическая фигура - исходные абстракции,
составляющие, вместе с их обобщениями, предмет математики. Сначала
возникли натуральные числа 1, 2, 3,..., служащие для пересчета и счета
вещей, для измерения различных величин. По Кронекеру, «Бог создал
натуральные
числа,
все
остальное
-
творение
человека».
И
действительно, «теория пар» Гамильтона позволяет строить целые
числа, исходя из натуральных, а рациональные числа на основе целых
чисел. Кантор показал, что действительные числа можно определить как
классы
эквивалентных
фундаментальных
последовательностей
рациональных чисел. Далее методом удвоения вводятся комплексные
числа (Гаусс), кватернионы (Гамильтон) и октавы (числа Кэли) [1].
Расширение понятия числа - магистральный путь развития математики,
начиная с пифагорейского учения «Все есть натуральное число» вплоть
до гипердействительных и р-адических чисел [2]. Это привело в
частности к расцвету современной алгебры.
Во второй половине XIX века были предприняты попытки строго
определить сами натуральные числа, создать теорию натурального ряда.
Дело в том, что на числовой основе можно построить всю классическую
математику - арифметизироватъ математику. Математика - точная
дедуктивная наука, в которой одни положения (теоремы) выводятся из
других (в конечном счете, из аксиом). Поэтому построение должно
начинаться с обоснования натуральных чисел. Такое обоснование дает
аксиоматический
математики
метод.
Необходимость
аксиоматизации
основ
подтвердилась на рубеже XIX-XX веков в связи с
5
обнаружением противоречий (парадоксов, антиномий)
в теории
множеств, вызванных ничем не ограниченным употреблением общих
понятий.
В 1861 году Грассман ввел индуктивные определения операций
сложения
и
умножения
натуральных
чисел,
исходя
из
операции «взятия следующего числа», и доказал их основные свойства.
В
1889
году Пеано дал следующее
индуктивное
определение
натуральных чисел: 1) 1 - натуральное число; 2) если п - натуральное
число, то n' - натуральное число; 3) любое натуральное число может
быть получено применением пунктов 1) и 2); 4)
натурального числа п; 5)
m'=n'
для каждого
т=п для любых натуральных чисел
тип.
В результате натуральный ряд предстает как последовательность
попарно различных элементов (натуральных чисел):
1, 1', 1'', 1''', 1'''', ....
Данное определение носит конструктивный характер: все
натуральные числа порождаются 1 при последовательном применении
операции '. Это порядковый, а не количественный подход к
натуральным числам (есть их упорядоченность - пересчет, но пока нет
счета- операций над натуральными числами).
Индуктивное определение натуральных чисел математически
описывает натуральный ряд как известный реально существующий
объект (созданный Богом). Модификацией постулатов 1)-5) получается
аксиоматическое определение натуральных чисел (аксиоматика Пеано).
В нем наряду с аксиомами имеются первичные (неопределяемые)
понятия, математическая суть которых выражена в аксиомах. Любая
модель аксиоматики Пеано может быть названа натуральным рядом.,
Данную ситуацию полезно сравнить с евклидовой геометрией. В
"Началах" Евклида геометрия предстает перед нами как "физическая
математика",
описывающая
реальное
пространство.
Строгая
аксиоматическая теория евклидовой геометрии была впервые построена
Гильбертом в 1899 году.
6
Возвращаясь к началу очерка, отметим, что аксиоматические
теории Пеано и Гильберта, относящиеся к основаниям математики, как
раз и описывают фундаментальные понятия натурального числа и
геометрической фигуры.
Аксиоматика Пеано
Для определения системы Пеано необходимо задать первичные
термины и аксиомы. При этом мы будем применять элементарные
теоретико-множественные
понятия
(множество,
элемент,
подмножество, отображение и т.д.) и пользоваться обычной логикой.
Первичные понятия: «множество N», «отображение ' из N в N»,
«элемент 1 из N». Таким образом, на множестве N задана операция ' и
выделен элемент 1. В результате получается алгебраическая система
<N, ', 1>.
Определение 1. Система (N, ', 1) называется системой Пеано (см.
[3]), если она удовлетворяет следующим трем аксиомам:
P1 n' 1 для каждого п
Р2.m'=n'
N.
т = п для любых m, п
N.
Р3.Для любого подмножества М в N: если 1)1 M и 2) n M
n'
М для каждого п
N, то М = N.
Натуральным рядом
называется
всякая
конкретная
система
Пеано, т.е. модель аксиоматической теории Пеано. Элементы из N
называются
натуральными числами, а само N - множеством (всех)
натуральных чисел. Интуитивно 1 - "первое" натуральное число, а
операция ' означает "взятие следующего числа" n' = n + 1. Аксиома Р1
утверждает, что у 1 нет "предшествующего элемента". Аксиома Р2
показывает, что отображение ': N
N переводит неравные числа в
неравные. Аксиома Р3 - это аксиома индукции, алгебраический смысл
которой состоит в том, что система Пеано не имеет собственных
подсистем.
Несколько
предполагаем
ее
слов
о
свойствах
непротиворечивость:
аксиоматики
Пеано.
Мы
существует хотя бы один
7
натуральный
ряд.
Можно
доказать,
что
аксиоматика
Пеано
категорична, т.е. любые два натуральных ряда изоморфны. Аксиомы
Р1 - Р3 логически независимы, т.е. ни одна из них не вытекает из
остальных. Для доказательства независимости этих аксиом строятся
соответствующие примеры, в каждом из которых выполняются ровно
две из трех аксиом.
Примеры.
1.
Пусть
и
N={1}
1' = 1.
Система (N, ', 1)
удовлетворяет аксиомам Р2 и Р3, но в ней не выполняется аксиома Р1.
2. Положим N= {1, а} и 1' = а = а'. Такая система удовлетворяет
аксиомам Р1 и Р3, но не удовлетворяет аксиоме Р2.
3. Возьмем некоторый натуральный ряд (N1,', 1) и объект р N1 .
Рассмотрим
множество
N=N1
{p},
на
которое
распространим
операцию ', положив р' = р. Полученная система (N,', 1) удовлетворяет
аксиомам Р1 и Р2, но при M = N1
N выполняются условия 1) и 2)
аксиомы Р3.
Введем
еще
одно
понятие.
Система
(N, ', 1) называется
индукционной системой [4], если она удовлетворяет аксиоме индукции
РЗ. Любая система Пеано, системы из примеров 1 и 2 являются
индукционными системами, а система из примера 3 не является
индукционной. Индукционные системы - это в точности системы
(N, ', 1), порожденные элементом 1.
Из аксиом Пеано легко выводятся следующие свойства системы
Пеано:
1°.n'
n для любого п
N.
2°. Для каждого п 1 из N существует единственный элемент
k
N такой, что n = k'.
Упражнение. Существует ли индукционная система, которая не
удовлетворяет ни аксиоме Р1, ни аксиоме Р2?
Отношение порядка
Система
Пеано
имеет
порядковую
природу.
Поэтому
на
произвольной системе Пеано (N, ', 1) сразу определим отношение
8
порядка, следуя [5] (см. очерк 2). Отметим, что обычно сначала
вводятся операции сложения и умножения натуральных чисел, а затем
отношение порядка определяется через операцию сложения [3]: т< п
означает, что п=т+k для некоторого k N.
Нам потребуются понятия отрезка (или начального отрезка) и луча
в N. Множество
называется отрезком, если
для
любого п N. Дополнения B = N\A до отрезков А в N будем называть
лучами (они характеризуются условием:
Очевидно, что
пересечение любого непустого семейства отрезков (лучей) в N также
является
отрезком
(лучом).
Поэтому
для
произвольного
существуют наименьший отрезок [1,n] и наименьший луч [n,
),
содержащие натуральное число п. Интуитивно [1, п] есть множество
натуральных чисел от 1 до п.
Определение 2. Для любых т,п N пусть
т
п означает, что [1, т]
[1, n].
Получили бинарное отношение (см. [6])
обладающее
свойствами рефлексивности (п
транзитивности (k
что отношение
линейно (т
m, m
n
k
на множестве N,
п для всех п N) и
п). Можно показать (см. очерк 2),
на N антисимметрично (т
п
п
т
т = п) и
п или п < т для любых т, п N).
Напомним, что бинарное отношение на непустом множестве X
называется отношением порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и
антисимметрично. А само множество X с заданным на нем отношением
порядка называется упорядоченным множеством', при этом, если
отношение
порядка
на X линейно,
то
X называется
линейно
упорядоченным множеством (или цепью). В результате мы получим
линейно упорядоченное множество (N, <).
Сечением линейно упорядоченного множества (X, <) называется
пара (А, В) его непустых подмножеств, таких, что А
любых а
В=Х и а<b для
А и b В. Запись а<b означает, конечно, что а<b и а
b.
Линейно упорядоченное множество называется дискретным, если для
9
всякого его сечения (А, В) множество А обладает наибольшим
элементом, а множество В - наименьшим (т.е. сечение (А, В) - скачок).
Наконец, упорядоченное множество называется вполне упорядоченным,
если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Теорема 1. Если (N, ', 1) - система Пеано, то (N, <) - дискретное
вполне упорядоченное множество с наименьшим элементом 1, но без
наибольшего элемента.
Заключение этой теоремы может быть принято за определение
натурального ряда как упорядоченного множества.
Упражнения. 1. Покажите, что п< n' для любого п
N.
2. Докажите, что всякое дискретное упорядоченное множество с
наименьшим элементом является вполне упорядоченным.
3. Докажите, что на любой системе Пеано всякий линейный
порядок
с условием
при любых п совпадает с отношением
порядка < из определения 2.
4. Попытайтесь доказать теорему 1.
Построения по индукции
Теорема 1 позволяет проводить индуктивное построение функций
на системе Пеано по заданным начальному условию и рекуррентным
соотношениям. Точнее, справедлива следующая
Теорема 2. Пусть {N, ', 1) - произвольная система Пеано, Х некоторое множество и х0 X. Тогда существует и единственна
функция f:N Х, удовлетворяющая условиям:
2) для каждого п 1 из N значение f (n) однозначно определяется
по некоторому закону значениями f (k) при k < п.
Теорема 2 является частным случаем общей теоремы о
построениях по индукции на упорядоченных множествах с условием
минимальности (см. [7], с. 26-27).
Схема доказательства теоремы 2. Сначала строятся функции fn
на отрезках [1, п], удовлетворяющие соотношениям 1) и 2) теоремы 2.
10
Единственность функций fn вытекает из полной упорядоченности N
Рассмотрим множество М ={п
N: fn существует}. Функция f1: [1,1]
X определена равенством f1 (l) = x0. Если функция fn: [1, п]
существует, то существует и функция fn': [1, n']
X
X, равная fn на [1, п] и
принимающая на элементе n' значение, предписанное условием 2).
П о л а г а я f(п)=fn (n) для всех п N, получаем искомую функцию.
Перейдем к понятию гомоморфизма системы (N, ', 1) в систему
(N1, ', 1) (операции и выделенные элементы в однотипных системах
обозначаются
одинаково).
Отображение
f:N
N1
называется
гомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т.е. f(n')= f(n)' для
любого п
N и f(1) = 1. Гомоморфизм f являющийся взаимно
однозначным отображением N на N1, называется изоморфизмом. При
этом обратное отображение f1: N1
N также является изоморфизмом.
Две системы называются изоморфными, если существует изоморфизм
одной из них на другую. Изоморфные системы обладают одинаковыми
абстрактными свойствами, служат копиями друг друга.
Из теоремы 2 непосредственно следует
Теорема 3. Для любой системы Пеана (N, ', 1) и произвольной
системы (N1 , ', 1) существует единственный гомоморфизм f: N
В
частности,
только
тождественное
отображение
N1.
служит
гомоморфизмом любой системы Пеано в себя. Пусть даны две системы
Пеано: (N, ', 1) и (N1, ', 1). По теореме 3 существуют гомоморфизмы
f:N
N1
являются
и
g:
N1
N. Их композиции go f:N
тождественными
отображениями.
N и f0 g:N1
Поэтому
N1
-1
g= f
и
гомоморфизмы f и g суть изоморфизмы. И мы получаем категоричность
аксиоматики Пеано:
Теорема 4. Любые две системы Пеано изоморфны.
Итак, с точностью до изоморфизма имеется одна-единственная
система Пеано, которую будем обозначать далее через N (в этом
качестве может быть выбран любой натуральный ряд). Элементы из N
11
будем
обозначать
привычным
образом
(в
десятинной
системе
счисления):
1,2 = 1',3 = 2'=1'', 4 = 3' = 1''',...,100 = 99',101 = 100',....
Если существует гомоморфизм одной системы на другую, то
вторая система называется гомоморфным образом первой. Применяя
теорему 3, получаем
следующую характеризацию
индукционных
систем.
Теорема 5. Индукционные системы
это
в
точности
гомоморфные образы системы N.
Упражнение. Если для системы (N, ', 1) выполняется заключение
теоремы 3, то она изоморфна N. Докажите.
Операции сложения и умножения
Построим
по
индукции
бинарные
операции
сложения
и
умножения натуральных чисел. Бинарная операция на N - это функция
от двух аргументов, пробегающих множество N, и принимающая
значения в N.
Фиксируем произвольное натуральное число т N. Функцию
fm: N
N задаем соотношениями: l)f m (l) = m' и 2) fm(n') = f m (n)'. Функция
fm существует и единственна по теореме 2.
Теперь для любых m , п
N полагаем т + п = fm(n).
Теорема 6. В N существует однозначно определенная бинарная
операция +, называемая сложением, которая удовлетворяет
соотношениям:
1)т+1=т' для всех т
N;
2) т + n' = (т + n)' для всех m, п N.
Аналогично, для каждого те N определяется функция gm: N
N,
удовлетворяющая условиям: g m (l) = m и gm(n') = gm(n) + m. Тогда
.
полагаем т п=gm(n) для любых m,n
N.
Теорема 7. B N существует единственная бинарная операция .,
называемая умножением, которая обладает следующими свойствами:
.
1) т 1 = т для любого т N;
12
2) т . п ' = т . п + т для любых т, п N.
Для операций сложения и умножения и отношения порядка в N
тождественно выполняются следующие свойства:
1. (k + m) + n = k + (m +n), (k . т) .п = k . (т . п) (ассоциативность
операций).
2.т + п = п + т, т . п = п . т (коммутативность операций).
3. (k+т)
.
п = k
.
п + т
.
п (дистрибутивность умножения
относительно сложения).
4. k + m = k + n т = n, k . т = k .п т = п (законы сократимости).
5.т<п
N.
п = т + k для некоторого k
.
.
6. т<п <=> m + k < n + k <=> m k< п k( связь порядка с операциями).
У п р а ж н е н и я . 1. Докажите по индукции свойства 1 - 6 .
2. Определите по индукции ряд чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13,21,....
3. Определите в N бинарную операцию возведения в степень тп и
докажите ее основные свойства.
4. Покажите, что гомоморфизм f: N N1 систем Пеано сохраняет
операции
.
сложения
и
умножения,
т.е. f(m +n) = f(m) + f(n) и
.
f (m n)=f(m) f (n) для любых т,п N.
Конгруэнции на N
Пусть даны произвольные системы (N, ', 1) и (N1, ', 1). Рассмотрим
их гомоморфизм
f:N
равнообразности ~ на
является
отношением
симметрично
(т~п
N1. Отображение f порождает отношение
N:т~п f(m) = f(n). Бинарное отношение ~
эквивалентности
на N, т.е.
рефлексивно,
п ~ т) и транзитивно [6]. Причем, если т ~ п для
каких-либо m, n е N, то и m' ~ n', поскольку f(m') = f(m)' = f(n)' = f(n') в
силу гомоморфности f. И мы приходим к понятию конгруэнции.
Произвольное отношение эквивалентности ~ на N называется
конгруэнцией на системе (N, ', 1), если
т~п m' '~ n' для любых
т, п N .
13
Зафиксируем некоторую конгруэнцию ~ на системе (N, ', 1).
Отношение ~ индуцирует разбиение множества N на попарно не
пересекающиеся классы = {т N:m ~ n) эквивалентных элементов.
Заметим, что
образуют
т ~ п при любых m, п N. Эти классы как элементы
фактормножество
N/~
множества
N
по
эквивалентности ~. Для любого п N положим
систему (N/~,', 1), где 1
f(n)=
отношению
Тогда получим
, и канонический гомоморфизм f.N
N/~,
для всех n N Система (N/~, ', 1) называется факторсистемой
исходной системы по конгруэнции ~ и является ее гомоморфным образом.
Соответствующее отношение равнообразности совпадает с отношением ~.
Опишем все конгруэнции на натуральном ряде N. В силу теорем 3
и 5 конгруэнции на N тесно связаны с индукционными системами.
Именно, каждая индукционная система изоморфна факторсистеме
системы N по некоторой однозначно определенной конгруэнции.
Поэтому описание всех конгруэнций на N фактически дает и описание
всех индукционных систем с точностью до изоморфизма.
Нам понадобится чуть-чуть развить арифметику натуральных
чисел. Для этого присоединим к N нулевой элемент 0 так, чтобы: 0' = 1,
0< n, 0+n = n+0 = и и 0+0 = 0.0 = 0.n = n.0 = 0 для каждого п N.
Обозначим множество
{0} через No.
В No имеет место известная теорема о делении с остатком:
Теорема 8. Для любых т
No и п
N существуют однозначно
.
определенные q,r No такие, что т = n q+r и r<п.
Элемент r называется остатком от деления т на п. Если r = 0, то
говорят, что т делится нацело на п или п делит т. Исходя из теоремы 8,
можно обосновать алгоритм Евклида для нахождения НОД двух
натуральных чисел и изложить элементарную теорию делимости в N (см.
очерки 4 и 5). Приведем примеры конгруэнций на N:
1. Отношение равенства =.
14
2. Отношение
равноостаточности
при
делении
на
данное
натуральное число п. При n =1 получаем несобственную конгруэнцию,
отождествляющую любые два натуральных числа.
3. Возьмем т, п
N и для любых а,b
N пусть а [т, п)b
означает, что а = b< т или а и b имеют равные остатки от деления на п
при т<а и т<b.В частности, [1, n) - это отношение равноостаточности
при делении на п.
Теорема
9.
Отношение равенства
и отношения
(т,п)
исчерпывают множество всех конгруэнции на системе N.
Упражнения. 1. Покажите, что любой гомоморфный образ
произвольной системы (N, ', 1) изоморфен некоторой факторсистеме
этой системы (это теорема о гомоморфизмах).
2. Докажите непосредственно, что для любых m, n
N найдется
.
k N, для которого т < k п.
3. Опишите все индукционные системы.
Конечные и бесконечные множества
Конечность
произвольного
множества
X
ассоциируется
с
возможностью нумерации (пересчета) всех его элементов натуральными
числами, не превосходящими некоторого п
X = {f(1), f(2),..., f(n)} для
подходящего
N. Это значит, что
взаимно
однозначного
отображения / отрезка [1, п] на множество X. Множество называется
поэлементным, если оно равномощно отрезку [1, п] для данного
натурального числа п. Напомним, что два множества называются
равномощными, если существует взаимно однозначное отображение
одного из них на другое. Пустое множество
имеет 0 элементов.
Дедекинд дал другое определение конечности, также согласующееся
с нашей интуицией. Множество X называется конечным, если X не
равномощно
никакому
своему
собственному
подмножеству
(т.е.
подмножеству, отличному от X). Множество, равномощное некоторому
своему собственному подмножеству, называется бесконечным. Тем
самым, все множества подразделяются на конечные и бесконечные.
15
Скажем, множества [1,1] = {1}, [1,2] = {1,2} и [1, 3] = {1, 2, 3} конечны, а
множество N бесконечно, так как операция ' отображает N на собственное
подмножество N\{1}. Нетрудно доказать, что любой отрезок [1, n], п N,
является конечным множеством.
Теорема 10. Непустое множество конечно тогда и только
тогда, когда оно п-элементно для некоторого (единственного) п N.
Операции сложения и умножения в N применяются к парам
натуральных чисел. Но мы знаем, что можно складывать и умножать и
несколько (конечное семейство) натуральных чисел. Для того чтобы это
строго сформулировать, определим понятия конечной и бесконечной
последовательности элементов данного множества X. Конечной, точнее,
п -элементной последовательностью в X называется произвольное
отображение g: [1, п]
X, где п - некоторое натуральное число. Такая
последовательность обозначается а1, а2,..., ап или (аi)i<n , если ai = g(i)
для любого i [1, n]. Бесконечной последовательностью в X называется
любое
отображение
g: N
X.
Обычно
последовательность
g
обозначается (аn), где аn = g(n) для всех п N.
Возьмем произвольную бесконечную последовательность (аn) в
No. Построим по индукции функцию «суммирования»/для элементов
этой последовательности, задав ее соотношениями (см. теорему 2):
1)f(1) = а1; 2)f(n')=f(n) + аn. Существует стандартное обозначение:
f(n)=
(п
N).
Тогда
суммой
конечной
последовательности
a1 , a2 ,..., am элементов из N называется значение f(m) функции
«суммирования»
для
бесконечной
последовательности
a1 , a2 ,..., am 0, 0, .... Аналогично определяется произведение конечной
последовательности чисел.
Отметим, что для конечных сумм и произведений натуральных
чисел можно доказать свойства коммутативности, ассоциативности,
дистрибутивности и т.п. (см. [3], пункт 3.4).
16
Упражнения. 1. Докажите, что равномощность отрезков [1, т] и
[1, n] влечет т = п для любых т, п N. Выведите отсюда конечность
отрезков в N, отличных от N.
2. Покажите, что каждый непустой луч в N бесконечен.
3. Проверьте, что сумма натуральных чисел а1, а2, a3 и а4 не
зависит от расстановки скобок.
4. Определите произведение конечной последовательности
натуральных чисел.
Аддитивные полугруппы натуральных чисел
Аддитивной полугруппой натуральных чисел называется непустое
подмножество A в N, замкнутое относительно операции сложения:
для любых m, n N. Выясним строение таких множеств.
Пусть А - аддитивная полугруппа в N. Множество
называется системой образующих полугруппы А, если каждый элемент
из А является суммой некоторой конечной последовательности
элементов в X. Если А обладает конечной системой образующих, то А
называется
конечнопорожденной
цолугруппой.
Всякая
конечнопорожденная полугруппа А имеет минимальную систему
образующих, в которой ни один элемент аддитивно не выражается через
остальные. В А существует стандартная система образующих,
получаемая следующим образом: пусть а1 — наименьшее натуральное
число из A; a2 - наименьшее число множества, полученного
вычеркиванием из А всех чисел, делящихся на а1 (если это множество не
пусто); и т.д. Можно показать, что стандартная система образующих
полугруппы А конечна, т.е. последовательность а1 , a2, a3, ... обрывается
на каком-то п-м шаге. В результате получаем в А систему образующих
{a1, a2, ..., aп}, содержащуюся, как легко видеть, в любой системе
образующих полугруппы А.
Теорема 11. Любая аддитивная полугруппа А в N обладает
следующими свойствами:
17
1) А - конечнопорожденная полугруппа, каждая система образующих
которой содержит стандартную систему образующих {a1 , а2у..., аn};
2) начиная с некоторого n0 А полугруппа А представляет собой
арифметическую прогрессию с разностью d, где d есть НОД чисел
а1 , а2., ...,а п и А
[n0у
) = {по, no+d, n0+2d,...}.
Например, если аддитивная полугруппа А порождается числами 6
и 8, то nо = 12 = 6+6, d= 2 и А = {6, 8, 12, 14, 16,...}.
Упражнения.
1.
Найдите
аддитивную
полугруппу
в
N с
минимальной системой образующих из 6 элементов.
2. Чему равна аддитивная полугруппа в N, порожденная числами 5 и 7?
3. Постарайтесь доказать теорему 11.
Замечу, что натуральному ряду посвящена одна из лекций [8] для
соросовских учителей Кировской области (январь 1999 г.).
Библиографический список
1. Сильвестров
В.В.
Системы
чисел//
Соросовский
Образовательный Журнал. - 1998. - № 8. - С. 121-127.
2. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел: Библиотечка «Квант». Вып.
54.-М.: Наука, 1986.- 118 с.
3. Феферман С. Числовые системы. - М.: Наука, 1971. - 440 с.
4. Генкин Л. О математической индукции: Математическая
библиотечка. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 36 с.
5. Вечтомов Е.М. Прямой способ введения отношения порядка в
системе Пеано// Математический вестник педвузов Волго-Вятского
региона. -1998. - Вып. 1. - С. 6-14 (см. очерк 2).
6. Баскаков AT. О бинарных отношениях и фактормножествах//
Соросовский Образовательный Журнал. -1998. - № 6. - С. 112-115.
7. Курош A.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
8. Вечтомов Е.М. Две соросовские лекции по математике. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 1999. - 37 с.
Примечание. Очерк написан на основе лекции 1 брошюры 8.
18