Осознание метода математической индукции как отдельного

Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность
некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером
1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее
утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое
угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает
следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это
база индукции), то все косточки в ряду упадут.
Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю иГерсониду, хотя
отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида[1]. Современное название
метода было введено де Морганом в 1838 году.
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским
математиком Джузеппе Пеано.
Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также
использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде
аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов
о непротиворичевости и полноте теории чисел.
Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента
множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и
исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого
порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя
аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных
чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого
порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.
1.
1 является натуральным числом;
2.
Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3.
1 не следует ни за каким натуральным числом;
4.
Если натуральное число
непосредственно следует как за числом
, так и за числом
, то
и
тождественны;
5.
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно
верно для натурального числа
, вытекает, что оно верно для следующего за
натурального числа
(индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Введём функцию
1.
, которая сопоставляет числу
;
2.
;
3.
;
следующее за ним число.
4.
;
5.
.
Возможна и иная форма записи:
1.
;
2.
3.
;
;
4.
.
Последнее утверждение может быть сформулировано так:
Если некоторое высказывание
верности
верно для
следует верность и
любых натуральных
(база индукции) и для любого
при допущении, что из
(индукционное предположение), то
верно для
.
Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с
помощью следующих аксиом:
1.
;
2.
3.
;
;
4.
.
Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который
показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции
следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики
натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 годусформулировал итальянский
математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге "Основания арифметики,
изложенные новым способом" (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В1888 году (за год до Пеано) практически
в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[1]. Непротиворечивость арифметики
Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала
Как следует из
второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:


Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:





После появления аксиом Пеано в середине XVIII века и теории множеств Кантора в конце XIX века у математиков
сложилось впечатление, что не осталось универсальных идей, которые позволили бы ввести множество
натуральных чисел каким-либо новым способом. И в аксиомах Пеано, и в аксиомах теории множеств Кантора для
натуральных чисел присутствует базовая операция арифметики - добавление единицы (сложение «плюс 1»).
Вслед за сложением определяется вторая базовая операция – умножение, согласованная со сложением
аксиомой дистрибутивности (A + 1)B = AB + B.

В начале 21-го века выяснилось, что имеет право на существование еще одна концепция,
названнаянепифагоровой арифметикой, в которой сначала вводится умножение, а, затем, сложение.

Множество натуральных чисел и операция умножения определяются с помощью алгебры цифровых вертушек.
Цифровые вертушки на телефонной Т-матрице как механические устройства для счёта, использующие принцип
поворота, впервые описаны в 1999 г. С их появлением возникла математическая задача изучения минимальной
системы правил цифровых вертушек, определяющих умножение однозначных чисел посредством поворотов
лучей на плоскости. Задача решена в 2011 г. Теоремы, приведённые ниже, цитируютя в формулировке автора
В.Б. Творогова [3]
Основные свойства нуля





Нуль не имеет знака.
Любое число при сложении с нулём не меняется.
При вычитании нуля из любого числа получается то же число.
Умножение любого числа на нуль даёт нуль.
При делении нуля на любое число, кроме самого 0, получается нуль. Деление нуля на нуль приводит
кнеопределённости
.

Нуль является чётным числом, поскольку при делении на 2 получается целое число.

Деление на ноль невозможно в пространстве комплексных чисел. В самом деле, если обозначить
определению деления формально должно быть
комплексном
, в то время как выражение
, то по
, при любом
, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного числа в пространстве комплексных
чисел. Но это возможно на расширенной комплексной плоскости.

При возведении любого числа, кроме нуля, в степень 0, получаем 1:
, при
.
История
Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля,
начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше.
Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние
майя и их соседи в Центральной
Америке(древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).
В Древней
Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые
клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. ονδεν — ничего); не исключено, что это обозначение
индийские
математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел.
повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели
Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г., он имеет вид привычного нам кружочка.
В Европе долгое время нуль считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке
Валлисписал:
«Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация
полного разорения. Полному уравнению его в правах с другими числами особенно способствовали труды
Эйлера.
Леонарда