Банаховы алгебры

âÁÎÁÈÏ×Ù ÁÌÇÅÂÒÙ
ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ÍÉÎÉ-ËÕÒÓ ÌÅËÃÉÊ ÄÌÑ ÁÓÐÉÒÁÎÔÏ×
á.ñ.èÅÌÅÍÓËÉÊ
÷ÏÔ Ï ÞÅÍ ÐÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ ÎÁ ÜÔÉÈ ÌÅËÃÉÑÈ. ÷ ÞÁÓÔÉ I Ñ ÄÁÍ, ÐÏÓÌÅ ÐÏÄÇÏÔÏ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ËÒÁÔËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ (ÓÁÍÕÀ ÓÕÔØ) ÐÑÔÉ ÔÅÏÒÅÍ,
ËÏÔÏÒÙÅ, ÐÏ ÍÎÅÎÉÀ ×ÁÛÅÇÏ ÌÅËÔÏÒÁ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ × ÔÅÏÒÉÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ
ÁÌÇÅÂÒ. üÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ, Ä×Å ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ (¤ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ¥ É ¤ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ¥), ÔÅÏÒÅÍÁ óÁËÁÉ É ÔÅÏÒÅÍÁ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ. ÷
ÞÁÓÔÉ II Ñ ÄÁÍ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ É ÅÅ ÐÏÌÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï; × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÁÓÓËÁÖÕ Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÏÊ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ
ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ çÅÌØÆÁÎÄÁ. ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÞÁÓÔÉ III Ñ ÄÁÍ
ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ É
ËÒÁÔËÏ ÒÁÓÓËÁÖÕ Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÔÁË
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ çîó-ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ; ÜÔÉ ÆÁËÔÙ ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÂÝÅÎÙ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×.
÷ÓÔÕÐÌÅÎÉÅ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÅ ×ÅÈÉ.
20-Å ÇÏÄÙ. âÁÎÁÈÏ×Ù ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÕÖÅ ÏÔËÒÙÔÙ, ÎÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÉÚ
ÎÉÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÇÎÏÒÉÒÕÅÔÓÑ.
1930. òÁÂÏÔÙ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ Ï ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ (ÂÕÄÕÝÉÈ) ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ
ÁÌÇÅÂÒ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÈ ¤ÁÌÇÅÂÒÁÈ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ¥, ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÍÅÓÔÉÌÉÝÁÈ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ. óÒÅÄÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÑ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ (ÓÒ. ÂÕÄÕÝÕÀ ôÅÏÒÅÍÕ 5).
1936. âÁÎÁÈÏ×Ù ÁÌÇÅÂÒÙ (ÐÏÄ ÄÒÕÇÉÍ ÉÍÅÎÅÍ) ××ÅÄÅÎÙ îÁÇÕÍÏ, ÎÏ ÔÏÌËÏÍ
ÎÅ ÉÚÕÞÅÎÙ.
1939 1941. çÅÌØÆÁÎÄ ÓÏÚÄÁÅÔ ÔÅÏÒÉÀ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ (×
ÅÇÏ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ¤ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ËÏÌÅÃ¥). óÍ. ôÅÏÒÅÍÕ 1.
1943. çÅÌØÆÁÎÄ É îÁÊÍÁÒË ÏÓÏÚÎÁÀÔ ÒÏÌØ ÉÎ×ÏÌÀÃÉÉ É ÓÏÚÄÁÀÔ ÔÅÏÒÉÀ
C -ÁÌÇÅÂÒ (ôÅÏÒÅÍÙ 2 É 3).
∗
1956. óÁËÁÉ ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ÁÌÇÅÂÒ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ (ôÅÏÒÅÍÁ 5). ¤ëÒÕÇ ÚÁÍËÎÕÌÓÑ¥.
1
I. îÁÞÁÌØÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÐÒÉÍÅÒÙ É
ËÒÁÔËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÅÏÒÅÍ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. õÍÎÏÖÅÎÉÅ × ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A ÜÔÏ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ m : A × A → A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ, × ÚÁÐÉÓÉ ab := m(a, b),
¤ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ¥ (ab)c = a(bc). áÌÇÅÂÒÁ ÜÔÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÂ
ÓÎÁÂÖÅÎÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ.
áÌÇÅÂÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÓÅÇÄÁ ab = ba. üÌÅÍÅÎÔ e ∈ A
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÅÊ, ÅÓÌÉ ×ÓÅÇÄÁ ea = ae = a. õÎÉÔÁÌØÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÜÔÏ
ÁÌÇÅÂÒÁ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ. üÌÅÍÅÎÔ A ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ,
ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ) b ∈ A, ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ab = ba = e.
üÔÏÔ b ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë a É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ a−1 .
ðÏÄÁÌÇÅÂÒÁ × A ÜÔÏ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï B, ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ a, b ∈ B ×ÌÅÞÅÔ ab ∈ B
ðÒÉÍÅÒÙ ÌÀÂÉÍÙÅ ÉÇÒÕÛËÉ ÞÉÓÔÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÓÔÏ×. ÷ÏÔ ÏÎÉ:
C[t] (ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ)
C(t) (ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ)
Mn (n × n ÍÁÔÒÉÃÙ)
O(U ) (ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏÂÌÁÓÔÉ U ∈ C
CM (×ÓÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ;
L(E) (×ÓÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å E
F(E) (×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁÑ ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ × L(E), ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×).
åÓÌÉ ÅÄÉÎÉÃÙ × A ÎÅÔ, ÅÅ ¤ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ¥. ðÏÌÏÖÉÍ A+ := A ⊕ C É
××ÅÄÅÍ ÔÁÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ (a + λ)(b + µ) = ab + λb + µa + λµ. ôÏÇÄÁ
(0, 1) ÅÄÉÎÉÃÁ × A+ , É A ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÏÊ {(a, 0); a ∈ A} × A+ .
áÌÇÅÂÒÁ A+ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÎÉÔÉÚÁÃÉÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÜÔÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒ φ : A → B ÍÅÖÄÕ ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ,
ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ φ(ab) = φ(a)φ(b). õÎÉÔÁÌØÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÜÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÍÅÖÄÕ ÕÎÉÔÁÌØÎÙÍÉ ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ, ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ φ(eA ) = eB . éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÁÌÇÅÂÒ ÜÔÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ.
óÐÕÓËÁÅÍÓÑ ÉÚ ÁÌÇÅÂÒÙ × ÁÎÁÌÉÚ. ÷ÏÔ ÎÁÛÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. âÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÜÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ A, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ÐÒÉÞÅÍ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ∥ab∥ ≤ ∥a∥∥b∥; a, b ∈ A. ÷
ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ∥e∥ = 1.
åÓÌÉ A ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÏ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÏÇÏ×ÏÒÅÎÏ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ
ÄÒÕÇÏÅ, ÅÅ ÕÎÉÔÉÚÁÃÉÑ A+ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÎÏÒÍÙ ∥(a, λ)∥ := ∥a∥ + |λ|.
÷ ÁÎÁÌÉÚÅ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÉÓÔÏÞÎÉËÁ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ. îÁÛÉ ÐÒÉÍÅÒÙ
ÜÔÏ ÌÀÂÉÍÙÅ ÉÇÒÕÛËÉ ¤ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÓÔÏ×¥.
2
ðÅÒ×ÙÊ ÉÓÔÏÞÎÉË ÜÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ. ïÎÁ ÄÁÅÔ:
B(M ) (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M
C(K) (ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ËÏÍÐÁËÔÅ K
l∞ (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ)
L∞ (X, µ) (ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å)
A(D) (ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ÄÉÓËÅ × C, ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÙÅ × ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ)
C n [a, b] (n ÒÁÚ ÇÌÁÄËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ).
÷ÓÅ ÜÔÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁÄÅÌÅÎÙ ÐÏÔÏÞÅÞÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ, É ×ÓÅ, ËÒÏÍÅ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ,
ÎÁÄÅÌÅÎÙ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÌÉÂÏ × ÓÌÕÞÁÅ L∞ (X, µ) ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ
ÎÏÒÍÏÊ (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ∥ · ∥∞ ). áÌÇÅÂÒÁ C n [a, b] ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÎÏÒÍÏÊ
∑
(k)
∥a∥ := nk=0 ∥f k!∥∞ .
ïÓÏÂÏ ×ÙÄÅÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÁÌÇÅÂÒÙ C(K). âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏÍÐÁËÔÎÏÇÏ ÐÏÓÌÅ ×ÙÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ. (÷ ÓÌÕÞÁÅ ÈÁÕÓÄÏÒÆÏ×Á ËÏÍÐÁËÔÁ ÔÁËÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ¤×ÎÕÔÒÅÎÎÅÍÕ¥ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÌÏËÁÌØÎÏ
ËÏÍÐÁËÔÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÁË ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ Ó ËÏÍÐÁËÔÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ. îÏ ÎÁÍ ÜÔÏ ÎÅ ÐÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ). òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ËÏÍÐÁËÔÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏ. (ðÒÉÓÏÅÄÉÎÉÌÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ, Á ÐÏÔÏÍ ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ).
åÓÌÉ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏÍÐÁËÔÁ K+ ÐÏÓÌÅ ×ÙÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÅÊ ÔÏÞËÉ {∗}, ÔÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÁ K ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
φ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÓÞÅÚÁÀÝÅÊ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ,
ÂÕÄÕÞÉ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÁ ÎÕÌÅÍ ÎÁ {∗}. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÈÁÕÓÄÏÒÆÏ×Á K+ ÜÔÏ, ËÁË ÌÅÇËÏ
×ÉÄÅÔØ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ε > 0 ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÍÐÁËÔ L ⊆ K,
ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ φ < ε ×ÎÅ L. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÁÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÁ ËÏÍÐÁËÔÅ
ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÏÐÑÔØ-ÔÁËÉ (ÓÒ. ×ÙÛÅ), ÐÏÔÏÍÕ ÞÔÏ Ë ËÏÍÐÁËÔÕ
ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ, Á ÐÏÔÏÍ ÅÅ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÉÓÞÅÚÁÀÝÉÈ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÁ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÍ
ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å K ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ C0 (K); ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÏ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÏÒÍÙ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. âÁÎÁÈÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C0 (R), ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ×ÁÍ ÉÚ ÁÎÁÌÉÚÁ [3],
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÐÏÄ ÔÅÍ ÖÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. ÷ÅÄØ ÐÒÑÍÁÑ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÜÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó
×ÙÂÒÏÛÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ.
÷ÔÏÒÏÊ ÉÓÔÏÞÎÉË ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÜÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×. ïÎÁ ÄÁÅÔ:
B(E) (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å E
K(E) (×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁÑ ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ × B(E), ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ËÏÍÐÁËÔÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×)
3
D(lp ) (ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ × B(lp ); 1 ≤ p ≤ ∞), ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×)
÷ ÜÔÉÈ ÁÌÇÅÂÒÁÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ, É ×ÓÅ ÏÎÉ ÓÎÁÂÖÅÎÙ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ
ÎÏÒÍÏÊ.
îÁËÏÎÅÃ, ÔÒÅÔÉÊ ÉÓÔÏÞÎÉË ÜÔÏ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ∑
ÁÎÁÌÉÚ. ïÎ ÄÁÅÔ:
=
l1 (G) (ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÕÐÐÅ∑G, ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ∥a∥ = t∈G |a(t)| < ∞, co Ó×ÅÒÔÏÞÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ a ∗ g(t) = r,s:rs=t f (r)g(s)
L1 (R) (ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ×ÁÍ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÎÁÄÅÌÅÎÎÏÅ Ó×ÅÒÔÏÞÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ)
çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÀÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ ËÁË ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ. (íÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÏ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ).
ðÒÉÍÅÒ. éÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ l∞ → D(lp ), ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÐÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÜÔÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ.
ðÒÉÍÅÒ.
√ åÓÌÉ F : L1 (R) → C0 (R) ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ æÕÒØÅ ÎÁ
ÐÒÑÍÏÊ, ÔÏ 2πF ÓÖÉÍÁÀÝÉÊ (ÎÏ ÎÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ) ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ.
îÁÉÂÏÌÅÅ ÇÌÕÂÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÐÏÌÕÞÅÎÙ ÐÒÉ ÏÄÎÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÊ: ÌÉÂÏ ÎÁÛÁ ÁÌÇÅÂÒÁ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ, ÌÉÂÏ ÏÎÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÅÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÉÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ. îÁÞÎÅÍ Ó
¤ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ¥ ÔÅÏÒÉÉ.
ðÕÓÔØ A (ÐÏËÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ) ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ. åÅ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍ ÎÕÌØÓÔÅÐÅÎÎÙÍ
√ (ÎÁ ÚÁÐÁÄÎÙÊ ÍÁÎÅÒ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÙÍ), ÅÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ lim n ∥an ∥ = 0.
ðÒÉÍÅÒ. ¤ïÐÅÒÁÔÏÒ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ
ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ¥ T : L2 [0, 1] →
∫t
L2 [0, 1] : x ∈ L2 [0, 1] 7→ T x(t) := 0 x(s)ds Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍ ÎÕÌØÓÔÅÐÅÎÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ × ÁÌÇÅÂÒÅ B(l2 ) (ÉÌÉ × K(l2 )).
ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÕÐÒÏÓÔÏÊ ÅÓÌÉ 0 ÜÔÏ ÅÅ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÊ ÎÕÌØÓÔÅÐÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÅÓÔØ ÞÉÓÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÏÌÕÐÒÏÓÔÏÊ (ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ) ÁÌÇÅÂÒÙ, ËÏÔÏÒÏÅ × ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ¤ÂÁÎÁÈÏ×ÏÓÔÉ¥
ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ Ñ ÓËÁÚÁÌ. îÏ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ.
ôÅÐÅÒØ ÕÖÅ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÄÁÔØ ÓÁÍÕÀ ÓÕÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ¤ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ¥
ÔÅÏÒÉÉ.
4
ôÅÏÒÅÍÁ 1 (çÅÌØÆÁÎÄÁ). (ËÒÁÔËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ). ëÁÖÄÁÑ ÐÏÌÕÐÒÏÓÔÁÑ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÌÇÅÂÒ, Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ÉÓÞÅÚÁÀÝÉÈ
ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÈÁÕÓÄÏÒÆÏ×ÏÍ ÌÏËÁÌØÎÏ
ËÏÍÐÁËÔÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. üÔÁ ÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÄÅÌÅÎÁ ÐÏÔÏÞÅÞÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
É ÎÏÒÍÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÂÏÌØÛÅÊ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÏÒÍÙ.
é ÕÖ ÓÏ×ÓÅÍ ËÒÁÔËÏ: ×ÓÑËÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÅÓÔØ, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÐÏÌÕÐÒÏÓÔÏÔÙ, ÁÌÇÅÂÒÁ ÆÕÎËÃÉÊ.
÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÐÒÏÓÉÔØ: ÏÔËÕÄÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï,
ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ? ïÔ×ÅÔ ÄÁÅÔ ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ çÅÌØÆÁÎÄÁ. ï ÎÅÊ ÐÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ.
ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ¤ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ¥ ÔÅÏÒÉÉ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÅÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÐÏÌÕÞÅÎÙ × ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ ÎÁÌÉÞÉÑ Õ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ
ÎÅËÏÅÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÎ×ÏÌÀÃÉÑ × ÁÌÇÅÂÒÅ A ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (∗) : A → A,
ËÏÔÏÒÏÅ, × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ a∗ := (∗)(a); a ∈ A, ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
(a + b)∗ = a∗ + b∗ (ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔØ)
^ (ÁÎÔÉ-ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔØ)
(λa)∗ = λa
(ab)∗ = b∗ a∗ (ÁÎÔÉ-ÇÏÍÏÍÏÒÆÎÏÓÔØ)
a∗∗ = a (ÐÅÒÉÏÄ 2)
áÌÇÅÂÒÁ, ÓÎÁÂÖÅÎÎÁÑ ÉÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÉÌÉ,
ËÏÒÏÞÅ, ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ. ðÏÄÁÌÇÅÂÒÁ × ∗ -ÁÌÇÅÂÒÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ∗ -ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÅÓÌÉ ÉÚ
a ∈ A ÓÌÅÄÕÅÔ a∗ ∈ A.
÷ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÏÊ ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ e∗ = e, Á ÔÁËÖÅ,
ÄÌÑ ÏÂÒÁÔÉÍÏÇÏ a, (a−1 )∗ = (a∗ )−1 .
0 +
ðÒÉÍÅÒÙ. éÎ×ÏÌÀÃÉÑ × C[t] ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (λ0 + · · · + λn tn )∗ = λ
n
· · · + λn t .
éÎ×ÏÌÀÃÉÑ × C0 (Ÿ), l∞ , L∞ (X, µ) É C n [a, b] ÜÔÏ ÐÅÒÅÈÏÄ Ë ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÓÏÐÒÑÖÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÌÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.
éÎ×ÏÌÀÃÉÑ × O(C) É A(D) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ w∗ (z) = w(
z)
åÓÌÉ H ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÏ ÉÎ×ÏÌÀÃÉÑ × B(H) ÜÔÏ ÐÅÒÅÈÏÄ
Ë ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Õ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÏÍÕ ÏÐÅÒÁÔÏÒÕ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, K(H) ÜÔÏ ∗ -ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ ×
B(H)
éÎ×ÏÌÀÃÉÑ × l1 (G) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ f ∗ (t) = f (t−1 ), Á ÉÎ×ÏÌÀÃÉÑ × L1 (R)
ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ f ∗ (t) = f (−t).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÉÌÉ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÜÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ φ : A → B ÍÅÖÄÕ ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ, ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ φ(a∗ ) = φ(a)∗ .
∗
-éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ∗ -ÁÌÇÅÂÒ ÜÔÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÊ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ.
5
ðÒÉÍÅÒÙ. õËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ l∞ → D(l2 ) É
∗
-ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ∗ -ÁÌÇÅÂÒ.
√
2πF Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
åÓÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÉÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ É ÎÏÒÍÏÊ, ÜÔÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
ÏÂÙÞÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÀÔÓÑ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÁË:
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. âÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ú×ÅÚÄÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
a ∈ A ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ∥a∗ ∥ = ∥a∥.
òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ×ÓÅ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÁÌÇÅÂÒÙ, ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÉÍÅÒÏ×, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ú×ÅÚÄÎÙÍÉ.
óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÄÁÌÅËÏ ÉÄÕÝÉÅ ÐÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÅÓÌÉ × ÎÅÊ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ¤C ∗ -ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï¥
∥a∗ a∥ = ∥a∥2 .
ìÅÇËÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ú×ÅÚÄÎÏÊ.
ïÔËÕÄÁ ÔÁËÏÊ ÔÅÒÍÉÎ? åÇÏ ××ÅÌ éÒ×ÉÎÇ óÉÇÁÌ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÐÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÂßÑÓÎÑÌ, ÞÔÏ ÐÏÄ ¤C¥ ÏÎ ÉÍÅÌ ××ÉÄÕ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔØ (¤closeness¥), ÁÌÇÅÂÒ ÐÒÉ ÉÈ
ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁÃÉÉ (ÓÍ. ÎÉÖÅ), Á Ú×ÅÚÄÏÞËÁ ÐÏÄÞÅÒËÉ×ÁÌÁ ÒÏÌØ ÉÎ×ÏÌÀÃÉÉ.
¤ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ¥ ÐÒÉÍÅÒ. áÌÇÅÂÒÁ C0 (Ÿ) ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ÿ.
¤îÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ¥ ÐÒÉÍÅÒ. áÌÇÅÂÒÁ B(H), ÇÄÅ H ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ
ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Á ÔÁËÖÅ ÅÅ ÌÀÂÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÐÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ÎÏÒÍÅ
∗
-ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ (ÓËÁÖÅÍ, K(H) ÉÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× × H := l2 ).
ôÁËÉÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ, ÉÌÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÍÉ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÄÎÁËÏ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÁÌÇÅÂÒÙ A(D), C n [a, b] É
L1 (R) ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ. äÌÑ ÐÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, Á
ÄÌÑ ÔÒÅÔØÅÊ ÜÔÏ ÎÅ ÓÔÏÌØ ÐÒÏÓÔÏ.
ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÄÒÕÇÉÈ ÐÒÉÍÅÒÏ× C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ, ËÒÏÍÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ!
ôÅÏÒÅÍÁ 2 (ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ). (ëÒÁÔËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ) ëÁÖÄÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ∗ -ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÌÇÅÂÒ, Ó C0 (Ÿ) ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ÿ.
ïÔÓÀÄÁ ÃÅÎÎÙÊ ×Ù×ÏÄ: ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏ-ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÁÚ ÜÔÏ C0 (Ÿ) ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ
Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ÿ, É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. çÏ×ÏÒÑ ÎÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ¤ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒa ÜÔÏ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ, ÞÔÏ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÅ
ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï¥. (ðÏÄÏÂÎÏÅ ÚÁÑ×ÌÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÓÔÒÏÇÕÀ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ËÁÔÅÇÏÒÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ ×ÁÓ ÉÚÂÁ×ÌÑÀ). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ
6
É ÐÒÉÎÏÓÉÔ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ! ÍÙÓÌÉÔØ ÔÅÏÒÉÀ ÏÂÝÉÈ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ
ËÁË ¤ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÔÏÐÏÌÏÇÉÀ¥. (þÁÓÔØ ×ÅÓØÍÁ ÍÏÄÎÏÊ × ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ
¤ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ¥). ìÀÂÏÐÙÔÎÙÅ ÍÏÇÕÔ ÚÁÌÅÚÔØ × [6].
îÏ ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁÈ?
ôÅÏÒÅÍÁ 3 (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ, 1943).
(ëÒÁÔËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ). ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
ÄÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ∗ -ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÌÇÅÂÒ, Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ( = ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ) C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ.
éÔÁË, ÐÅÒÅÆÒÁÚÉÒÕÑ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÅ ÓÌÏ×Á ÐÒÏÒÏËÁ íÕÈÁÍÍÅÄÁ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ:
ÎÅÔ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ, ËÒÏÍÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÈ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ.
á ÔÅÐÅÒØ ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÐÒÏÓÉÔØ: ÏÔËÕÄÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï,
ÇÄÅ ÜÔÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ? ïÔ×ÅÔ ÄÁÅÔ ¤çîó-ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ¥, ÎÁÚ×ÁÎÎÁÑ ÔÁË
× ÞÅÓÔØ çÅÌØÆÁÎÄÁ É îÁÊÍÁÒËÁ, ÅÅ ÓÏÚÄÁ×ÛÉÈ, É óÉÇÁÌÁ, ÅÅ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×Á×ÛÅÇÏ É ÏÓÏÚÎÁ×ÛÅÇÏ ÅÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÃÅÎÎÏÓÔØ (×ËÌÀÞÁÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÅ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ). ñ ÓÏÂÉÒÁÀÓØ ×ËÒÁÔÃÅ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ, × ÞÁÓÔÉ III.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ìÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎÁ É ÔÁËÁÑ ×ÁÒÉÁÃÉÑ
C -ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: ∥a∗ a∥ = ∥a∗ ∥∥a∥. ÷ÏÐÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ×ÅÒÎÏ ÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏÅ, ÏËÁÚÁÌÓÑ
×ÅÓØÍÁ ËÒÅÐËÉÍ ÏÒÅÛËÏÍ. ôÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ÞÅÔ×ÅÒÔØ ×ÅËÁ ÐÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ
É îÁÊÍÁÒËÁ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÕÓÉÌÉÑÍ ÃÅÌÏÇÏ ÒÑÄÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÜÔÏ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË.
∗
îÏ Ñ ÏÂÅÝÁÌ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ 5 ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÅÏÒÅÍ, Á ÐÏËÁ ÐÒÉ×ÅÌ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ.
ïÓÔÁÌÉÓØ ÓÁÍÁÑ ÍÏÌÏÄÁÑ É, ËÁË ÎÉ ÓÔÒÁÎÎÏ, ÓÁÍÁÑ ÓÔÁÒÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÅÏÒÅÍ.
÷Ï ×ÓÔÕÐÌÅÎÉÉ ÕÐÏÍÉÎÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÐÅÒ×ÙÊ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ (× ÖÉÔÅÊÓËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ
ÓÌÏ×Á) ËÌÁÓÓ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ, Ó ÐÏÄÞÅÒËÎÕÔÙÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅÍ Ë ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ÂÙÌ ××ÅÄÅÎ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÏÍ × 1930 ÇÏÄÕ. ÷ÙÒÁÖÁÑÓØ ÐÏ-ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍÕ,
ÜÔÏ ÂÙÌ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÊ ËÌÁÓÓ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ.
ëÁË ×ÁÍ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÁÌÇÅÂÒÁ B(H), ÇÄÅ H ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÂÌÁÄÁÅÔ, ÐÏÍÉÍÏ ¤ÎÏÒÍÏ×ÏÊ¥ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ, ÅÝÅ É ÄÒÕÇÉÍÉ ÔÏÐÏÌÏÇÉÑÍÉ. îÁÍ È×ÁÔÉÔ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÎÉÈ; ÐÕÓÔØ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ, ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÓÉÌØÎÏ-ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÁÑ (¤so¥-) ÔÏÐÏÌÏÇÉÑ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÐÒÅÄÎÏÒÍ
{∥ · ∥x ; x ∈ H}, ÇÄÅ: ∥T ∥x := ∥T x∥ [3].
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ∗-ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ × B(H), ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ
1, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ (ÉÎÏÇÄÁ, ÞÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÎÅÄÏÒÁÚÕÍÅÎÉÊ,
ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ), ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÁ × B(H) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÓÉÌØÎÏ-ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ.
ðÏÓËÏÌØËÕ so-ÔÏÐÏÌÏÇÉÑ ÓÌÁÂÅÅ ÎÏÒÍÏ×ÏÊ, ×ÓÑËÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓÁÍÁ B(H), ÁÌÇÅÂÒÁ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× {λ1 : λ ∈ C}, Á ÔÁËÖÅ ÁÌÇÅÂÒÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× × l2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, K(H) ÔÁËÏ×ÏÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ.
7
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. so-ÚÁÍÙËÁÎÉÅ K(H) × B(H) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ B(H).
ïËÁÚÁÌÏÓØ É ÜÔÏ ÔÁËÖÅ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÔÅÏÒÉÉ ¤ÁÌÇÅÂÒ
ÁÎÁÌÉÚÁ¥ ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÙ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÞÉÓÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ. îÁÚÏ×ÅÍ ËÏÍÍÕÔÁÎÔÏÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á M × B(H) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ! := {b ∈ B(H) : ab = ba ÄÌÑ ×ÓÅÈ a ∈ M}, Á ÂÉËÏÍÍÕÔÁÎÔÏÍ ÜÔÏÇÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M !! := (M ! )! .
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÔÁÎÔ ÁÌÇÅÂÒÙ K(H) ÜÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÂÉËÏÍÍÕÔÁÎÔ ÁÌÇÅÂÒÙ K(H) ÜÔÏ ×ÓÑ B(H).
ôÅÏÒÅÍÁ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ Ï ÂÉËÏÍÍÕÔÁÎÔÅ. (∗ )-ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ A × B(H)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ ÓÏ
Ó×ÏÉÍ ÂÉËÏÍÍÕÔÁÎÔÏÍ: A!! = A.
ðÏÓÌÅ ÒÅÁÌÉÚÁÃÉÉ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ ËÁË ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÈ (ôÅÏÒÅÍÁ 3) ×ÏÚÎÉË ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÐÒÏÓ: ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÁÌÇÅÂÒÙ
ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ? äÏÌÇÏ ÎÁÄ ÜÔÉÍ ÂÉÌÉÓØ, É ÔÏÌØËÏ × 1956 ÇÏÄÕ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ ÐÒÏÓÔÏÊ É ËÒÁÓÉ×ÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÐÒÉÛÅÌ ÉÚ ñÐÏÎÉÉ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. (áÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ) C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ W ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÉÌÉ
ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ, ÅÓÌÉ, ËÁË ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÎÁ
ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÐÒÅÄÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A∗ , ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÏÅ (A∗ )∗ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ A.
ôÕÔ ÕÍÅÓÔÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× × l2 ÏÂÌÁÄÁÅÔ
ÐÒÅÄÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ, Á ÉÍÅÎÎÏ, l1 ; ÜÔÏ ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÁÍÉ. äÁÌÅÅ (ÜÔÏ ÕÖÅ
ÔÒÕÄÎÅÅ), ÓÁÍÁ B(H) ÔÏÖÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÐÒÅÄÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ, ÞØÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÔÁË
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÑÄÅÒÎÙÈ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× N (H). á ×ÏÔ K(H) ÕÖÅ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÐÒÅÄÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ.
ôÅÏÒÅÍÁ 4 (óÁËÁÉ). C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ W ∗ ÁÌÇÅÂÒÏÊ (ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÓÏÐÒÑÖÅÎÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï), ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ∗ -ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ (ÔÏ ÅÓÔØ,
so-ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ∗ -ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÅ × B(H) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
H).
ôÅÐÅÒØ, ¤ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÂÙÌÏ ËÒÁÓÉ×Ï¥, ÞÅÇÏ ÎÅÈ×ÁÔÁÅÔ? ðÏÓÍÏÔÒÉÔÅ ÎÁ ÔÁÂÌÉÃÕ:
8
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ îÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ôÅÏÒÅÍÁ
|
ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ôÅÏÒÅÍÁ
çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ
|
çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ
ÄÁÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÀ,
|
ÄÁÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÀ,
× ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ
|
× ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ
ÁÎÁÌÉÚÁ, ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ
|
ÁÎÁÌÉÚÁ, ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ
∗
C -ÁÌÇÅÂÒ
|
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ôÅÏÒÅÍÁ óÁËÁÉ ÄÁÅÔ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÀ,
|
|
× ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ
ÁÎÁÌÉÚÁ, W ∗ -ÁÌÇÅÂÒ
(= ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ
ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ)
|
|
|
|
?
¤?¥ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÐÒÏÓ. ëÁË ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ, ×
ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ, ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ W ∗ -ÁÌÇÅÂÒÙ?
îÏ ÏÔ×ÅÔ ÕÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌ, ÐÒÉÞÅÍ ÅÝÅ Ó 1930 ÇÏÄÁ, ÔÏÌØËÏ ÏÎ ÂÙÌ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× É × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. üÔÏ
ÐÑÔÁÑ (É ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ) ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÜÔÉÈ ÌÅËÃÉÊ.
ôÅÏÒÅÍÁ 5 (ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎ). (ÓÒ.[5]) ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ W ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ∗ -ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ L∞ (X, µ)
ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (X, µ).
ôÁË ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ×ÏÐÒÏÓÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÚÎÁËÁ × ÔÁÂÌÉÃÅ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÎÁÐÉÓÁÔØ
¤ôÅÏÒÅÍÁ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ ÄÁÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÀ, × ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ,
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ W ∗ -ÁÌÇÅÂÒ¥.
åÓÌÉ, ËÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÔÅÏÒÉÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ (ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ ÉÌÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ
ÓÅÊÞÁÓ ÜÔÏ ÎÅ ×ÁÖÎÏ) ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÅÔ, × ÓÉÌÕ ôÅÏÒÅÍÙ 3, ÎÁÚ×ÁÎÉÑ ¤ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÔÏÐÏÌÏÇÉÑ¥, ÔÏ Ó ÔÅÍ ÖÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÙ ×ÐÒÁ×Å ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÉÑ
W ∗ -ÁÌÇÅÂÒ (ÉÌÉ, × ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÁÌÇÅÂÒ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ) ÜÔÏ, × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 5, ¤ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ¥. é ÓÎÏ×Á ÜÔÏ ×ÅÓØÍÁ ÐÏÌÅÚÎÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ×ÅÝÉ; ÓÍÏÔÒÉÔÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [6], ÜÔÕ ÂÉÂÌÉÀ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ
ÇÅÏÍÅÔÒÏ×.
II. ôÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ: ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
íÙ ÐÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÂÏÌÅÅ ÄÅÔÁÌØÎÏÍÕ ÉÚÌÏÖÅÎÉÀ ¤ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ¥ ÔÅÏÒÉÉ. ôÁË
ÏÔËÕÄÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÖÅÌÁÎÎÏÅ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ÿ, É ËÁËÉÍ ÏÂÒÁ-
9
ÚÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÁÛÅÊ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÐÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÆÕÎËÃÉÉ? óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ËÁË ÍÙ ÐÏÔÏÍ Õ×ÉÄÉÍ, ÄÏÓÔÁ×ÉÔ ÔÏÞËÉ ÎÁÛÅÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒ (ÐÏËÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ) ÁÌÇÅÂÒÙ A ÜÔÏ ÔÁËÏÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÎÁ A, ÞÔÏ χ(ab) = χ(a)χ(B); a, b ∈ A. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÈÁÒÁËÔÅÒ ÁÌÇÅÂÒÙ
ÜÔÏ ÅÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ × ÐÒÏÓÔÅÊÛÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ C.
òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÎÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ 0, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ.
åÓÌÉ χ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, χ(e) = 1.
ðÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ A ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÅÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÞÅÒÅÚ Ÿ+ , Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÞÅÒÅÚ Ÿ; ÍÏÖÅÔ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ,
ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÐÅÒ×ÏÇÏ, ÐÕÓÔÏ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. ëÁÖÄÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ χ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (¤Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ¥) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÓÖÉÍÁÀÝÉÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÏÍ (ÔÏ
ÅÓÔØ ∥χ∥ ≤ 1).
▹ åÓÌÉ, ÎÁÐÒÏÔÉ×, χ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÖÉÍÁÀÝÉÍ,
∑∞ ÔÏn ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ a, ÔÁËÏÊ,ÞÔÏ ∥a∥ < 1, χ(a) = 1. ðÏÌÏÖÉÍ b :
ôÏÇÄÁ ab = b − a, É
n=1 a .
χ(b) = χ(ab) = χ(b) − 1. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ◃
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. õ ÁÌÇÅÂÒ Mn É (ÞÔÏ ÓÌÏÖÎÅÅ ÐÏËÁÚÁÔØ) B(H) ÎÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ
ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ. üÔÉÍ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÂÌÁÄÁÅÔ É ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ËÁË ÚÁÍÙËÁÎÉÅ × B(L2 [0, 1]) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÔ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
ó ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ É ×ÐÌÏÔØ ÄÏ ÏÓÏÂÏÇÏ ÏÂßÑ×ÌÅÎÉÑ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ A ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Ÿ+
É Ÿ ÞÁÓÔÉ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A∗ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A É, ÂÏÌÅÅ
ÔÏÇÏ, ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÛÁÒÁ BA∗ × A∗ .
îÁÐÏÍÎÉÍ Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ×ÁÍ ÓÌÁÂÏÊ∗ ( = w∗ -) ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ × A∗ . éÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÅÀ ÔÏÐÏÌÏÇÉÑ × Ÿ, Á ÔÁËÖÅ × Ÿ+ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÐÏÌÏÇÉÅÊ çÅÌØÆÁÎÄÁ ×
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. âÕÄÕÞÉ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ
× (A∗ , w∗ ), Ÿ É Ÿ+ ÈÁÕÓÄÏÒÆÏ×Ù.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ÿ+ ÚÁÍËÎÕÔÏ × (A∗ , w∗ ). åÓÌÉ A ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ ÖÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ Ÿ.
▹ ðÕÓÔØ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ χν ∈ Ÿ+ ÓÈÏÄÉÔÓÑ × (A∗ , w∗ ) Ë ÎÅËÏÅÍÕ f , ÔÏ ÅÓÔØ
ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ c ∈ A É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, c = a, b, ab ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ f (c) = limν χν (c). îÏ
ÔÏÇÄÁ
f (ab) = lim χν (ab) = lim χν (a)χν (b) = lim χν (a) lim χν (b) = f (a)f (b).
ν
ν
ν
ν
ïÔÓÀÄÁ f ∈ Ÿ+ , É Ÿ+ ÚÁÍËÎÕÔÏ. äÁÌÅÅ, ÅÓÌÉ A ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, Á ×ÓÅ χν × ÎÁÛÅÊ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ, ÔÏ f (e) = limν χν (e) = 1 ̸= 0. ïÔÓÀÄÁ f ∈ Ÿ, É Ÿ
ÚÁÍËÎÕÔÏ. ◃
10
îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ, × ÓÉÌÕ ôÅÏÒÅÍÙ âÁÎÁÈÁ-áÌÁÏÇÌÕ, BA∗ ËÏÍÐÁËÔ × ÓÌÁÂÏÊ∗ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ÿ+
ÈÁÕÓÄÏÒÆÏ× ËÏÍÐÁËÔ; ÔÁËÏ× ÖÅ × ÕÎÉÔÁÌØÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ É Ÿ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ
Ÿ = Ÿ+ \ 0 ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÐÁËÔÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï.
ôÅÐÅÒØ ÄÌÑ a ∈ A ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ b
a+ : Ÿ+ → C ÆÕÎËÃÉÀ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ
ËÁÖÄÏÍÕ χ ÞÉÓÌÏ χ(a). ñÓÎÏ, ÞÔÏ b
a+ (0) = 0. åÓÌÉ Ÿ ̸= ∅, ÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÕÖÅÎÉÅ
b
a+ ÎÁ Ÿ ÞÅÒÅÚ b
a.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A ÆÕÎËÃÉÑ b
a+ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ Ÿ+ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ çÅÌØÆÁÎÄÁ. åÓÌÉ, ×ÄÏÂÁ×ÏË, Ÿ ̸= ∅, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ b
a ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ Ÿ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ É ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ.
▹ îÁÐÏÍÎÉÍ Ï ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ×ÌÏÖÅÎÉÉ i : A → A∗∗ , ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ
[i(a)](f ) := f (a). ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ (É ÏÞÅ×ÉÄÎÏ), ¤ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÏÚÎÁÞÉ×ÁÎÉÑ¥ i(a) :
A∗ → C : f 7→ f (a) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÅÎ × ÓÌÁÂÏÊ∗ -ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ. îÏ ÆÕÎËÃÉÑ b
a+ ÎÅ ÞÔÏ
ÉÎÏÅ, ËÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ ÎÁ Ÿ+ . äÁÌØÛÅ ÑÓÎÏ. ◃
ôÅÐÅÒØ ËÁÖÄÏÍÕ a ∈ A ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ b
a+ . îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ
ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ, ÜÔÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ •+ : A → C(Ÿ+ ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, •+
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, Ë ÔÏÍÕ ÖÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ, × ÓÉÌÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1, ÓÖÉÍÁÀÝÉÍ
ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍ.
åÓÌÉ ÖÅ, ×ÄÏÂÁ×ÏË, Ÿ ̸= ∅, ÔÏ, × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ ÖÅ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ • : A → C0 (Ÿ) : a 7→ b
a. üÔÏ ÔÁËÖÅ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓÖÉÍÁÀÝÉÊ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ, ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ÿ Ó ÔÏÐÏÌÏÇÉÅÊ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÌØÆÁÎÄÏ×ÓËÉÍ ÓÐÅËÔÒÏÍ,
ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ ÓÐÅËÔÒÏÍ ÜÔÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, Ÿ ̸= ∅,
ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a ∈ A ÆÕÎËÃÉÑ b
a : Ÿ → C ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ çÅÌØÆÁÎÄÁ
ÜÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, Á ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ • : A → C0 (Ÿ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ
çÅÌØÆÁÎÄÁ ÁÌÇÅÂÒÙ A.
äÏÔÏÛÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉ ÐÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ •+ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ×ÓÅÇÄÁ, Á ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ • ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÁÌÇÅÂÒÙ A
ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÙ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ A ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ÿ ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÎÁÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. ðÏÞÅÍÕ ÔÁË ËÒÁÓÉ×Ï ×ÙÑÓÎÉÔÓÑ ÐÏÚÄÎÅÅ.
îÁËÏÎÅÃ, ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù ÄÁÔØ ÐÏÄÒÏÂÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ¤ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ¥ ÇÌÁ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ, ËÒÁÔËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ
ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÌÁ ×ÙÛÅ ËÁË ôÅÏÒÅÍÁ 1.
11
ôÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ. ðÕÓÔØ A ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ. ôÏÇÄÁ
(i) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ
∥b
a+ ∥∞ = lim
√
n
∥an ∥,
√
× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, b
a+ = 0 ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ lim n ∥an ∥ = 0.
ëÁË ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÙÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ:
ÇÅÌØÆÁÎÄÏ×ÓËÉÊ ÓÐÅËÔÒ Ÿ ÎÁÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ( = ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ×) ÐÕÓÔ ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × A Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍÉ ÎÕÌØÓÔÅÐÅÎÎÙÍÉ
ÅÓÌÉ ÎÅ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × A Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍÉ ÎÕÌØÓÔÅÐÅÎÎÙÍÉ (ÔÏ
ÅÓÔØ ÓÍ. ×ÙÛÅ Ÿ Îe ÐÕÓÔ, É ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ • : A → C0 (Ÿ)
ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ), ÔÏ ÑÄÒÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ
ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÈ ÎÕÌØÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
(ii) åÓÌÉ A ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ Ÿ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÐÕÓÔ, É ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A ÏÂÒÁÔÉÍ
ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ χ(a) ̸= 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ χ ∈ Ÿ.
éÚ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ×ÉÄÎÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A ÐÏÌÕÐÒÏÓÔÁ É ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ
ÎÕÌÑ, ÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ • ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ A É ÅÅ ÏÂÒÁÚÏÍ. üÔÏÔ ÏÂÒÁÚ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÉÓÞÅÚÁÀÝÉÈ
ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÊ ÎÁ Ÿ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÎÏÒÍÙ, ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ∥•(a)∥ := ∥a∥. ðÏÓÌÅ ××ÅÄÅÎÉÑ ÜÔÏÊ
ÎÏÒÍÙ ÎÁÛ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ. îÁÐÏÍÎÉ×,
ÞÔÏ, × ÓÉÌÕ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1, ∥•(a)∥∞ ≤ ∥a∥, ÍÙ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ôÅÏÒÅÍÕ
1. (óÌÕÞÁÊ A = 0 ÏÞÅ×ÉÄÅÎ).
ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÐÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ, Ñ×ÎÏ ÉÌÉ ÎÅÑ×ÎÏ, ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×Ï
×ÓÅÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. òÅËÏÍÅÎÄÕÅÍ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑÍ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ
× ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÐÒÉÍÅÒÁÈ.
ðÒÉÍÅÒ. äÌÑ ¤ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁ ÄÉÓËÅ¥ A(D) ÅÅ ÓÐÅËÔÒ Ÿ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ (ÚÄÅÓØ É
× ÄÒÕÇÉÈ ÐÒÉÍÅÒÁÈ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ) Ó D, Á
• : A(D) → C(D) ÜÔÏ ÐÒÏÓÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ.
óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÐÒÉÍÅÒÁ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÓÕÔØ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ × ÞÁÓÔÉ I ôÅÏÒÅÍÙ 2 (¤ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁîÁÊÍÁÒËÁ¥).
ðÒÉÍÅÒ. äÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ l∞ ÅÅ ÓÐÅËÔÒ Ÿ ÜÔÏ βN, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÓÔÏÕÎÞÅÈÏ×ÓËÁÑ ËÏÍÐÁËÔÉÆÉËÁÃÉÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ N, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏ ÕÓÔÒÏÅÎÎÙÊ
ËÏÍÐÁËÔ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ N × ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÌÏÔÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÏÝÎÏÓÔØ ¤Ä×Á × ÓÔÅÐÅÎÉ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ¥. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ • : l∞ → C(βN) ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ a ∈ l∞ ; a : N → C ÅÅ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ
ÐÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÎÁ βN.
12
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÏÏÂÝÅ, ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁ ¤ÉÓÐÒÁ×ÌÅÎÎÕÀ¥, ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÉÓÈÏÄÎÏÊ, ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ T ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å H, Á A ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÐÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ÎÏÒÍÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ T . ôÏÇÄÁ Ÿ ÜÔÏ ÓÐÅËÔÒ σ(T ), ÎÁÛÅÇÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ, Á • ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ S ∈ A × ÔÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ f ∈ C(σ(T )),
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ f (T ) = S.
ðÒÉÍÅÒ. äÌÑ A = L1 (R) Ÿ = R, Á ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ,
√ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
ÄÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ, ÜÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ æÕÒØÅ: • = 2πF , ÓÖÉÍÁÀÝÉÊ, ÎÏ ÎÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÍÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÞÕÔØ ÐÏÚÄÎÅÅ, Á ÓÅÊÞÁÓ
ÒÁÓÓËÁÖÅÍ Ï ÏÄÎÏÍ, ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÐÅÒ×ÏÍ ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÉ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ.
íÎÏÇÏ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ ÏÎÏ ×ÙÚ×ÁÌÏ Ë ÔÅÏÒÉÉ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÛÉÒÏËÉÈ ËÒÕÇÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂßÅËÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ: 2π-ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ f : R → C, ÒÁÚÌÁÇÁÀÝÕÀÓÑ
ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÒÑÄ æÕÒØÅ, ÔÏ
∑∞× ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ
∑∞
int
ÅÓÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÕÀ × ×ÉÄÅ f (t) =
n=−∞ cn e ;
n=−∞ |cn | < ∞ íÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÔÁËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ W . èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ
ôÅÏÒÅÍÁ ÷ÉÎÅÒÁ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f ∈ W ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÔÏ
ÆÕÎËÃÉÑ 1/f ÔÁËÖÅ ÌÅÖÉÔ × W .
ðÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÷ÉÎÅÒÁ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ É ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÐÏ ÍÎÅÎÉÀ ×ÁÛÅÇÏ ÌÅËÔÏÒÁ, ÎÁ ÉÚÏÝÒÅÎÎÏÊ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÈÎÉËÅ. á
×ÏÔ ËÁË ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ çÅÌØÆÁÎÄ:
▹ ëÁË ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ
∑ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÏÔÏÞÅÞÎÙÈ ÏÐÅÒÁÃÉÊ É ÎÏÒÍÙ ∥f ∥ := ∞
n=−∞ |cn |, ÇÄÅ cn ; n ∈ Z ËÏÜÆÆÉÃÉÜÎÔÙ æÕÒØÅ ÎÁÛÅÊ ÆÕÎËÃÉÉ. îÁÊÄÅÍ ÅÅ ÇÅÌØÆÁÎÄÏ×ÓËÉÊ ÓÐÅËÔÒ.
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ s ∈ [0, 2π) ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ¤ÈÁÒÁËÔÅÒ ÏÚÎÁÞÉ×ÁÎÉÑ¥ χs : f 7→ f (s). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÒÕÇÉÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× Õ W ÎÅÔ.
÷ÏÚØÍÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ χ ∈ Ÿ. ðÕÓÔØ χ(eit ) = λ. ôÏÇÄÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, χ(e−it ) =
1/λ, Á, ÚÎÁÞÉÔ, χ(eint ) = λn ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ∈ Z. îÏ ÔÁË ËÁË ∥eit ∥ = ∥e−it ∥ = 1,
ÔÏ × ÓÉÌÕ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ |λ|, |1/λ| ≤ 1. ïÔÓÀÄÁ |λ| = 1, É λ = eis
ÄÌÑ
s ∈ [0, 2π). îÏ ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ f ∈ W , ÒÁÚÌÁÇÁÀÝÅÊÓÑ × ÒÑÄ
∑∞ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ
int
n=−∞ cn e , ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ ×ÌÅÞÅÔ
χ(f ) =
∞
∑
cn χ(eins ) = f (s).
n=−∞
13
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ çÅÌØÆÁÎÄÁ fb(χ) = f (s). ðÏÜÔÏÍÕ,
ÒÁÚ f ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÔÏ ÖÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ fb ÎÁ Ÿ. îÏ ÔÏÇÄÁ, × ÓÉÌÕ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (ii) ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ, f ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÁÌÇÅÂÒÁ W . üÔÏ
ËÁË ÒÁÚ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ. ◃
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ëÁË ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÇÅÌØÆÁÎÄÏ×ÓËÉÊ ÓÐÅËÔÒ
ÁÌÇÅÂÒÙ W ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÅÎ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.
ôÅÐÅÒØ ×ÐÌÏÔÎÕÀ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ. ïÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔ ÉÄÅÉ É ÆÁËÔÙ ÁÌÇÅÂÒÙ É ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÂÏÌØÛÏÊ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÉÍÅÎÎÏ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ çÅÌØÆÁÎÄÕ ÏÎÉ
ÎÁÛÌÉ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ × ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÍ ÁÎÁÌÉÚÅ.
äÌÑ ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Inv(A) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á ÞÅÒÅÚ inv : Inv(A) → Inv(A) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ a 7→ a−1 .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4. ïÔËÒÙÔÙÊ ÛÁÒ U (e, 1) ÌÅÖÉÔ × Inv(A), Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
inv ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ × e.
ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Inv(A) ÏÔËÒÙÔÏ × A, Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ inv
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ×ÓÀÄÕ.
üÔÉ ÆÁËÔÙ ÓÏÏÂÝÁÌÉÓØ ×ÁÍ ÎÁ ÔÒÅÔØÅÍ ËÕÒÓÅ, ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÄÌÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×, ÎÏ ×ÓÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÐÅÒÅÎÏÓÑÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ
ÁÌÇÅÂÒ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÁËÖÅ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ×ÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óÐÅËÔÒ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a (ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ) ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A
ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {λ ∈ C : a − λe ÎÅ ÏÂÒÁÔÉÍ}. åÓÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ A ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ,
ÔÏ ÓÐÅËÔÒÏÍ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÐÅËÔÒ ÜÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × A+ . íÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÓÐÅËÔÒ ÞÅÒÅÚ σ(a). æÕÎËÃÉÑ R : C \ σ(a) → A : λ 7→ (a − λe)−1
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÚÏÌØ×ÅÎÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a.
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. îÁÊÄÉÔÅ σ(a), ÇÄÅ (i) a ∈ C[t], a ̸= const; (ii) a ∈ C(t),
a ̸= const; (iii) a ∈ CM . ïÔ×ÅÔÙ: C, ∅, {a(t); t ∈ M }.
íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × C, ÐÕÓÔÏÅ ÉÌÉ ÎÅ ÐÕÓÔÏÅ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÓÐÅËÔÒÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ A ÂÁÎÁÈÏ×Á
ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÏ ÐÏÄÏÂÎÏÊ ×ÓÅÄÏÚ×ÏÌÅÎÎÏÓÔÉ ÎÅÔ: ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÁÍ ÚÎÁËÏÍÏÅ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a σ(a) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÒÕÇÕ {λ ∈ C : |λ| ≤
∥a∥} É ÚÁÍËÎÕÔ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, σ(a) ËÏÍÐÁËÔ.
ôÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A ÅÇÏ ÒÅÚÏÌØ×ÅÎÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ É ÄÁÖÅ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ ×
14
ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ f ∈ A∗ ÆÕÎËÃÉÑ λ 7→ f (R)(λ)) ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ × ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. ïÔÓÀÄÁ, Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÚÎÁËÏÍÏÇÏ ×ÁÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÕÀÝÅÇÏ
ÓÐÅÒ×Á ÔÅÏÒÅÍÕ ìÉÕ×ÉÌÌÑ, Á ÚÁÔÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ èÁÎÁ-âÁÎÁÈÁ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 7. óÐÅËÔÒ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÅ ÐÕÓÔ.
á ×ÏÔ Ï ÏÄÎÏÍ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÜÔÏÇÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÁÍ
ÎÅ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌÉ. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÌÏÍ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÌÀÂÏÊ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÒÁÔÉÍ.
ôÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ-íÁÚÕÒÁ. âÁÎÁÈÏ×Ï ÔÅÌÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ
ÐÏÌÀ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
▹ ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÙÂÅÒÅÍ a ∈ A. óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ λ ∈ C, ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ a − λe ÎÅ ÏÂÒÁÔÉÍ. îÏ ÔÏÇÄÁ a − λe = 0, É a = λe.
óÏÐÏÓÔÁ×É× ÎÁÛÅÍÕ a ÜÔÏ λ ∈ C, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ i : A → C. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÁËÖÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ j : C → A : λ 7→ λe; ÜÔÏ,
ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ. îÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ij = 1C É ji = 1A .
üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ j ÂÉÅËÔÉ×ÅÎ. äÁÌØÛÅ ÑÓÎÏ. ◃.
÷ÅÒÎÅÍÓÑ × ÞÉÓÔÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ É ÎÁÐÏÍÎÉÍ ÏÄÎÏ ÉÚ ÅÅ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÐÏÎÑÔÉÊ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï I ÁÌÇÅÂÒÙ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÌÅ×ÙÍ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÎÎÏ, ÐÒÁ×ÙÍ) ÉÄÅÁÌÏÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x ∈ I, a ∈ A ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ax ∈ I
(ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, xa ∈ I). ðÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÁÌÇÅÂÒÙ, Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ
ÅÅ ÌÅ×ÙÍ É ÐÒÁ×ÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÍ ÉÄÅÁÌÏÍ.
òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÍÅÖÄÕ ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ
ÔÒÅÍÑ ÔÉÐÁÍÉ ÉÄÅÁÌÏ× ÐÒÏÐÁÄÁÅÔ, É ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÐÒÏÓÔÏ: ÉÄÅÁÌ.
ðÒÉÍÅÒÙ. ðÕÓÔØ E0 ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å E. ôÏÇÄÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {T : E0 ⊆ Ker(T )} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÅ×ÙÍ, Á {T : Im(T ) ⊆ E0 } ÐÒÁ×ÙÍ
ÉÄÅÁÌÏÍ × ÁÌÇÅÂÒÅ L(E). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, F(E) ÜÔÏ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÉÄÅÁÌ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ
ÁÌÇÅÂÒÙ.
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. åÓÌÉ E ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, ÔÏ ÄÒÕÇÉÈ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÉÄÅÁÌÏ×,
ËÒÏÍÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ, × L(E) ÎÅÔ, Á {0} ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÉÄÅÁÌ ÜÔÏÊ
ÁÌÇÅÂÒÙ. åÓÌÉ E ÓÞÅÔÎÏÍÅÒÎÏ, ÔÏ F(E) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÉÄÅÁÌ × L(E).
îÁÐÏÍÎÉÍ ÔÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 8. ñÄÒÏ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÌÇÅÂÒ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÏÇÏ
ÈÁÒÁËÔÅÒÁ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÉÄÅÁÌ × Ó×ÏÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ M ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á N ÅÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ôÏÇÄÁ I := {f :
f |N = 0} ÉÄÅÁÌ × ÁÌÇÅÂÒÅ CM .
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. åÓÌÉ M ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏ × CM ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÉÄÅÁÌÙ.
15
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 9. åÓÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÒÁÔÉÍ ÔÏÇÄÁ,
É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ( = ÎÅ
ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÅÍÕ ÓÏ ×ÓÅÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ) ÉÄÅÁÌÕ ÌÀÂÏÇÏ ÔÉÐÁ.
▹ îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. ðÕÓÔØ a ∈ I, ÇÄÅ I, ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÌÅ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ.
ìÀÂÏÊ b ∈ A ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ËÁË ba−1 a. ïÔÓÀÄÁ b ∈ I, É I = A.
äÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ. äÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ a ÌÅ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ {ba : b ∈ A} É ÐÒÁ×ÙÊ
ÉÄÅÁÌ {ab : b ∈ A} ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÄÉÎÉÃÕ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ a ÏÂÒÁÔÉÍ
ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á, Á, ÚÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÔÉÍ. ◃
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÜÔÏ ÔÏÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, ËÏÔÏÒÙÊ
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ÏÄÎÏÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÉÄÅÁÌÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÔÉÐÁ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 10. ñÄÒÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ
ÉÄÅÁÌÏÍ ÌÀÂÏÇÏ ÔÉÐÁ.
▹ ÷ ÓÉÌÕ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 8, ÜÔÏ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÌÅ×ÙÊ É ÐÒÁ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ.
ë ÔÏÍÕ ÖÅ, ÂÕÄÕÞÉ ÑÄÒÏÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÁ, ÜÔÏ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 1. úÎÁÞÉÔ, ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, É ÕÖ ÔÅÍ
ÂÏÌÅÅ ÉÄÅÁÌ. ◃
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 11. ÷ ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ×ÓÑËÉÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÄÅÁÌ (×
ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÎÕÌÅ×ÏÊ) ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍ ÉÄÅÁÌÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÔÉÐÁ. ëÁË
ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, × ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ×ÓÅÇÄÁ ÅÓÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÄÅÁÌÙ ÌÀÂÏÇÏ
ÔÉÐÁ.
▹ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏ ÔÉÐÉÞÎÙÊ ÒÉÔÕÁÌØÎÙÊ ÔÁÎÅà ×ÏËÒÕÇ ìÅÍÍÙ ãÏÒÎÁ
(É ÚÄÅÓØ, ËÓÔÁÔÉ, ÂÅÚ ÎÅÅ, Á, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÂÅÚ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ ÎÅ ÏÂÏÊÔÉÓØ). åÓÌÉ
I ÎÁÛ ÉÄÅÁÌ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï I ×ÓÅÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÔÏÇÏ ÖÅ
ÔÉÐÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ I; ÏÎÏ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÐÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÉÄÅÁÌÏ× ÉÚ I ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÄÉÎÉÃÕ
É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ, ÕÓÌÏ×ÉÑ ìÅÍÍÙ ãÏÒÎÁ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ I ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ËÏÔÏÒÙÊ É ÂÕÄÅÔ ÎÕÖÎÙÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ. ◃
õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. éÄÅÁÌ c00 × ÁÌÇÅÂÒÅ c0 ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ÏÄÎÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍ.
ëÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 9 É 11, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 12. åÓÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÒÁÔÉÍ ÔÏÇÄÁ, É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÍÕ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÉÄÅÁÌÕ ÌÀÂÏÇÏ ÔÉÐÁ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 13. ÷ ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ
ÌÀÂÏÇÏ ÔÉÐÁ ÚÁÍËÎÕÔ.
▹ ðÕÓÔØ I ÎÁÛ ÉÄÅÁÌ. ôÏÇÄÁ ÅÇÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ I ÅÓÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÄÅÁÌ ÔÏÇÏ
ÖÅ ÔÉÐÁ. äÁÌÅÅ, I, ÓÏÓÔÏÑ ÉÚ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÔËÒÙ ðÏÜÔÏÍÕ
ÔÙÍ ÛÁÒÏÍ U (e, 1) (ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4). úÎÁÞÉÔ, ÔÏ ÖÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ I.
16
ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ I. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó
I. ◃
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ I Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÉÄÅÁÌ × ÁÌÇÅÂÒÅ A. ôÏÇÄÁ, ËÁË ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÆÁËÔÏÒÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A/I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
(a + I)(b + I) := ab + I. åÓÌÉ A ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÅÄÉÎÉÃÅÊ e, ÔÏ e + I ÅÄÉÎÉÃÁ × A/I.
ðÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÁËÔÏÒÁÌÇÅÂÒÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A ÐÏ ÉÄÅÁÌÕ I; ÏÎÁ,
ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ, ÅÓÌÉ ÔÁËÏ×Á A. åÓÌÉ A, ×ÄÏÂÁ×ÏË, ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ, Á I ÚÁÍËÎÕÔ, ÔÏ, ËÁË ×Ù ÚÎÁÅÔÅ, A/I ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÆÁËÔÏÒÎÏÒÍÙ ∥a + I∥ = inf{∥b∥; b ∈ a + I}. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÜÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, Åݾ
É ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÆÁËÔÏÒÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ τ : A → A/I; a 7→ a + I ÜÔÏ,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÊ ÓÖÉÍÁÀÝÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ËÏÉÚÏÍÅÔÒÉÑ, Ó
ÑÄÒÏÍ I.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 14. ðÕÓÔØ I ÉÄÅÁÌ × ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ
A. ôÏÇÄÁ I ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ × ÔÏÍ, É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A/I ÐÏÌÅ.
▹ îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. îÁÄÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ a ∈
/ I ×ÌÅÞÅÔ a + I ∈ Inv(A/I). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × A/I ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï J := {ba + c; b ∈ A, c ∈ I}. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÏ ÉÄÅÁÌ,
ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ I É ÎÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÉÊ Ó ÐÏÓÌÅÄÎÉÍ. îÏ ÔÏÇÄÁ, ÔÁË ËÁË I ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, J = A, É ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ b É c ba + c = e. üÔÏ ×ÌÅÞÅÔ
(a + I)(b + I) = ba + I = e + I, ÔÏ ÅÓÔØ b + I = (a + I)−1 .
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ (ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÍ ÎÅ ÐÒÉÇÏÄÉÔÓÑ) Ñ ÏÓÔÁ×ÌÑÀ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑÍ. ◃
íÙ ÐÏÄÏÛÌÉ Ë ËÕÌØÍÉÎÁÃÉÏÎÎÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ôÅÏÒÅÍÙ 1. ÷
ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ A ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ
ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. ÷ ÓÉÌÕ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 10, ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ G : Ÿ 7→ f, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÕ ÅÇÏ ÑÄÒÏ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 15. ðÕÓÔØ A ÕÎÉÔÁÌØÎÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ. ôÏÇÄÁ G ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÂÉÅËÃÉÀ ÍÅÖÄÕ Ÿ É f. (ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÎÁÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÅÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×; ÏÔÓÀÄÁ É ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ¤ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×¥ (ÓÒ. ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ).
▹ éÎßÅËÔÉ×ÏÓÔØ G ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÑÄÒÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ×
ÉÍÅÀÔ ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ 1. îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ
ÉÄÅÁÌ I × A ÅÓÔØ ÑÄÒÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ A/I. üÔÏ, ËÁË ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ É Ë ÔÏÍÕ ÖÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ,
ÐÏÌÅ (É ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÔÅÌÏ). ðÏÜÔÏÍÕ, × ÓÉÌÕ ôÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ-íÁÚÕÒÁ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ i : A/I → C. îÏ ÔÏÇÄÁ χ := iτ : A → C ÜÔÏ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÈÁÒÁËÔÅÒ Ó ÑÄÒÏÍ I. ◃
17
ïÔÓÀÄÁ ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (ii) ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ:
ÎÁÄÏ ÌÉÛØ ÏÂßÅÄÉÎÉÔØ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ Ó ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑÍÉ 11 É 12. îÏ
ÎÁÄ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ (i) Åݾ ÐÒÉÄÅÔÓÑ ÐÏÒÁÂÏÔÁÔØ.
÷ÅÚÄÅ ÄÏ ËÏÎÃÁ ÞÁÓÔÉ II, ÇÏ×ÏÒÑ Ï A, ÍÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 16. åÓÌÉ A ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ ÄÌÑ a ∈ A ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ σ(a) =
{b
a(χ); χ ∈ Ÿ}. åÓÌÉ A ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ ÄÌÑ a ∈ A ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ σ(a) =
{b
a+ (χ); χ ∈ Ÿ+ }.
▹ ÷ ÕÎÉÔÁÌØÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ λ ∈ C ×ËÌÀÞÅÎÉÅ λ ∈ σ(a), ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔØ a − λe, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ (ii)
ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ, ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ χ ∈ Ÿ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ χ(a − λe) = 0,
ÔÏ ÅÓÔØ λ = b
a(χ).
åÓÌÉ ÖÅ A ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ, ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
λ ∈ σ(a) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ λ = χ
e(a) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ
χ
e ÎÁ A+ . ïÔÓÀÄÁ λ = χ(a), ÇÄÅ χ ∈ Ÿ+ cÕÖÅÎÉÅ χ
e ÎÁ A. ïÂÒÁÔÎÏ, ÅÓÌÉ
λ = χ(a) ÄÌÑ χ ∈ Ÿ+ , ÔÏ λ = χ
e(a), ÇÄÅ χ
e ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó χ ÎÁ A É ÒÁ×ÅÎ 1 ×
ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÊ ÅÄÉÎÉÃÅ × A+ . ïÔÓÀÄÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ λ ∈ σ(a) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ,
ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ χ ∈ Ÿ+ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ λ = χ(a), ÔÏ ÅÓÔØ λ = b
a+ (χ). ◃
ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A σ(a) ÎÅÐÕÓÔÏÊ ËÏÍÐÁËÔ, ÔÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÞÉÓÌÏ r(a) := max{λ ∈ σ(a)}, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÐÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ a. éÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17. äÌÑ ÌÀÂÏÊ A (ÕÎÉÔÁÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÎÅÔ) É ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A
×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ∥b
a+ ∥∞ = r(a). ▹ ◃
ïÓÔÁÌÏÓØ Ó×ÑÚÁÔØ ÓÐÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ ÜÌÅÍÅÎÔÁ Ó ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÏÒÍ ÅÇÏ ÓÔÅÐÅÎÅÊ.
√
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 18. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ limn→∞ n ∥an ∥, É ÜÔÏ
ÞÉÓÌÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó r(a).
▹ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÌÅÍÍÙ, ÏÂßÅÄÉÎÑÑ ËÏÔÏÒÙÅ
ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. åÓÌÉ A ÎÅ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ, ÔÏ ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÕÀ
ÅÄÉÎÉÃÕ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ e; ÜÔÏ ÎÅ ×ÙÚÏ×ÅÔ ÐÕÔÁÎÉÃÙ.
√
ìÅÍÍÁ 1. ÷ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï r(a) ≤ limn→∞ n ∥an ∥.
÷ÏÚØÍÅÍ λ ∈ σ(a). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n ∈ N, λn ∈ σ(an ). (éÎÁÞÅ ÜÌÅÍÅÎÔ
an − λn e, ÒÁ×ÎÙÊ (a − λe)b ÄÌÑ b = an−1 + λan−2 + λ2 an−3 + . . . λn−2 a + λn−1 ,
ÉÍÅÌ ÂÙ ÏÂÒÁÔÎÙÊ, ÓËÁÖÅÍ, c, É ÔÏÇÄÁ a − λe = cb−1 ÔÁËÖÅ ÉÍÅÌ ÂÙ ÏÂÒÁÔÎÙÊ,
Á
√
n
n
−1
n
n
ÉÍÅÎÎÏ, bc ). ðÏÜÔÏÍÕ, × ÓÉÌÕ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6, |λ | ≤ ∥a ∥, ÏÔËÕÄÁ |λ| ≤ ∥a ∥.
ïÓÔÁÅÔÓÑ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÎÉÖÎÅÍÕ ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÏ n.
îÅ ÓÔÏÌØ ÐÒÏÓÔÁ
18
ìÅÍÍÁ 2. ÷ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï limn→∞
√
n
∥an ∥ ≤ r(a).
÷ÓÐÏÍÎÉÍ Ï ÒÅÚÏÌØ×ÅÎÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ R : C \ σ(a) → A : (e − λa)−1 ÜÌÅÍÅÎÔÁ
a. éÚ ÚÁÐÉÓÉ a − λe = −λ(e − λ−1 a) ÐÒÉ λ ̸= 0 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ,
U , ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ × C ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
∑∞ ÓËÁÖÅÍ,
n+1 n
R(λ) = n=0 −λ a (ÚÄÅÓØ ÍÙ
a0 := e). ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ f ∈ A∗
∑∞ÐÏÌÁÇÁÅÍ
É λ ∈ U ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ f [R(λ)] = n=0 −λn+1 f (an ). îÏ, ËÁË ÕÖÅ ÕÐÏÍÉÎÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ,
ÆÕÎËÃÉÑ f [R(λ)] ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ × ÏÂÌÁÓÔÉ C \ σ(a), É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë ËÏÌØÃÅ V :=
{λ : |λ| > r(a). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ËÏÌØÃÅ ÜÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ×
ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ. ëÁË ×Ù ÚÎÁÅÔÅ ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ
ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÔÅÍÉ ÖÅ, ÞÔÏ É ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ
ÎÁÛÕ ÆÕÎËÃÉÀ × U . ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
f [R(λ)] =
∞
∑
−λn+1 f (an )
n=0
×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ×Ï ×ÓÅÍ ËÏÌØÃÅ V . ïÔÓÀÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
λ ∈ V ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ −λn+1 f (an ); n = 0, 1, . . . ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ.
óÏÐÏÓÔÁ×É× ËÁÖÄÏÍÕ f ∈ A∗ É n ∈ N ÞÉÓÌÏ −λn+1 f (an ), ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÇÏ λ ∈ V ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÏ× ÎÁ
A∗ , Á ÉÍÅÎÎÏ αn : f 7→ −λn+1 f (an ). éÚ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
ÜÔÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÏÔÏÞÅÞÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ. ïÔÓÀÄÁ, ÐÏ ôÅÏÒÅÍÅ âÁÎÁÈÁûÔÅÊÎÈÁÕÓÁ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ C > 0 ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ∥αn ∥ < C. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ,
ÐÏÓËÏÌØËÕ αn ÅÓÔØ ÏÂÒÁÚ −λn+1 an ÐÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ×ÌÏÖÅÎÉÉ
i : A → A∗∗ , ÔÏ ∥αn ∥ = ∥ − λn+1√
an ∥, É ∥an ∥ √
≤ |λ|n+1 C. éÚ×ÌÅËÁÑ ËÏÒÎÉ, ÍÙ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n ÏÃÅÎËÕ n ∥an ∥ ≤ |λ| n λC. ðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ×ÅÒÈÎÅÍÕ ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÏ n É ×ÉÄÑ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÅÌ |λ|, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ λ ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ V , ÌÅÍÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. äÁÌØÛÅ ÑÓÎÏ.
◃
ïÂßÅÄÉÎÑÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 17 É 18, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÆÉÇÕÒÉÒÕÀÝÅÅ ×
ÐÅÒ×ÏÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ ôÅÏÒÅÍÙ 1, É, ËÁË ÅÇÏ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÙÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ
ÆÁËÔÙ, ÕËÁÚÁÎÎÙÅ × ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ. ôÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÁ.
úÁËÁÎÞÉ×ÁÑ ÞÁÓÔØ II, ÐÒÉ×ÅÄÅÍ (ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á) ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ôÅÏÒÅÍÙ 2.
ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ. ðÕÓÔØ A ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ. ôÏÇÄÁ ÅÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ • : A → C0 (Ÿ)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ∗ -ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ.
19
III. çîó-ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ É ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ
úÄÅÓØ ÍÙ ×ËÒÁÔÃÅ, ÎÅ ÏÓÏÂÏ ×ÄÁ×ÁÑÓØ × ÄÅÔÁÌÉ, ÉÚÌÏÖÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ôÅÏÒÅÍÙ 3 (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ).
éÔÁË, A C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ; ÂÕÄÅÍ ÄÌÑ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÕÎÉÔÁÌØÎÁ.
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÊÔÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï H É ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ π : A → B(H). ôÏÇÄÁ ÏÂÒÁÚ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, É ÏËÁÖÅÔÓÑ ÔÏÊ ÓÁÍÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ
∗
-ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÎÁÛÅÊ ¤ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ¥ ÁÌÇÅÂÒÅ A.
åÓÌÉ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ×ÙÄÁÀÝÕÀÓÑ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÀÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÙ, ÔÏ ÔÅÐÅÒØ ÎÁ ÐÅÒ×ÙÊ ÐÌÁÎ ×ÙÈÏÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÐÏÎÑÔÉÅ.
äÏ ÏÓÏÂÏÇÏ ÏÂßÑ×ÌÅÎÉÑ A (ÐÏËÁ) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÕÎÉÔÁÌØÎÁÑ ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÏÎÁÌ f : A → C ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ
f (a∗ a) ≥ 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a ∈ A.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÅÇËÏ ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (a∗ ) = f (a)
ðÒÉÍÅÒ.∫ ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÏÍ ÎÁ C(Ÿ), ÇÄÅ Ÿ ËÏÍÐÁËÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ f : a 7→ Ÿ a(t)dµ(t) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÍÅÒÙ µ ÎÁ Ÿ.
ðÒÉÍÅÒ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÏÍ ÎÁ B(H) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ f : a 7→ ⟨ax, x⟩,
ÇÄÅ x ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ. ôÁËÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ.
÷ÚÑ× ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ f , ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
⟨⟨·, ·⟩⟩ : A × A → C, ÐÏÌÏÖÉ× ⟨⟨a, b⟩⟩ := f (b∗ a). ðÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ
ÐÒÅÄÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. (÷ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÁËÓÉÏÍÙ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ,
ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÚ ⟨⟨a, a⟩⟩ = 0, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ a = 0). á
ÎÁÍ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÇÄÅ-ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ.
ðÏÌÏÖÉÍ I = {a ∈ A : ⟨⟨a, a⟩⟩ = 0}. ó ÐÏÍÏÝØÀ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÉÐÁ ëÏÛÉâÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÓÍÏÔÒÅÔØ, ÞÔÏ I ÌÅ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ × A.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ A/I É ÐÏÌÏÖÉÍ ⟨a + I, b + I⟩ := ⟨⟨a, b⟩⟩. üÔÏ ÕÖÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. ðÏÍÅÎÑÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ: ÂÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ
e f ×ÍÅÓÔÏ A/I. ðÏÐÏÌÎÅÎÉÅ H
e f ÐÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÎÏÒÍÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
H
H f ; ÜÔÏ ÕÖÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï.
e f ),
ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ π
ef : A → L(H
ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ÏÐÅÒÁÔÏÒ π
eaf : b + I 7→ ab + I. üÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÁÌÇÅÂÒ.
åÓÌÉ ÂÙ ÎÁÛÉ π
eaf ÂÙÌÉ ÂÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ, ÍÙ ÂÙ ÐÒÏÄÏÌÖÉÌÉ ÉÈ ÎÁ H f . îÏ
ÜÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÔÁË. ïÄÎÁËÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÂÝÁÅÍÏÅ ×ÁÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 19. åÓÌÉ A C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ, ÉÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ Ú×ÅÚÄÎÁÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á
πaf ∥ ≤ ∥a∥.
ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ f ÏÐÅÒÁÔÏÒ π
eaf ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ, ÐÒÉÞÅÍ ∥e
ó ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ A ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ Ú×ÅÚÄÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ.
20
ôÅÐÅÒØ ÍÙ ×ÐÒÁ×Å ÐÒÏÄÏÌÖÉÔØ π
eaf ÄÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ πaf ∈ B(H f ). ðÏÌÕÞÁÅÍ ÓÖÉÍÁÀÝÉÊ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ π f : A → B(H f ) : a 7→ πaf .
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. üÔÏÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ çîó-ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÁÌÇÅÂÒÙ A, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÍ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÏÍ f (Á ÅÇÏ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ çîó-ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÅÊ).
ðÒÉÍÅÒ. åÓÌÉ A = C(Ÿ), Á f ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ËÁË ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÍÅÒÅ µ (ÓÍ. ×ÙÛÅ),
ÔÏ H f = L2 (Ÿ, µ), a π f ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÆÕÎËÃÉÀ a × ÏÐÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ a.
ðÒÉÍÅÒ. åÓÌÉ f ×ÅËÔÏÒÎÙÊ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌ ÎÁ A = B(H) (ÓÍ. ×ÙÛÅ), ÔÏ
H f ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ H, Á π f : B(H f ) → B(H) ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ∗ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ.
òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ π f ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ, ÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ËÏÇÄÁ A C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ. äÌÑ ÍÎÏÇÉÈ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÕÄÁÅÔÓÑ ×ÙÂÒÁÔØ f
ÔÁË, ÞÔÏ π f ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÖÅÌÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. îÏ ×ÏÔ ÂÅÄÁ: ÍÏÖÅÔ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ,
ÞÔÏ π f ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ ÎÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ f : A → C.
éÄÅÑ çÅÌØÆÁÎÄÁ É îÁÊÍÁÒËÁ: ÞÔÏÂÙ ÄÏÓÔÉÞØ ÃÅÌÉ, ÎÁÄÏ ÕÓÔÒÏÉÔØ ÎÅÞÔÏ ×ÒÏÄÅ
ÓÕÍÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ çîó-ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ.
ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, È×ÁÔÉÔ É ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ
ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÏ× ÎÏÒÍÙ 1. (üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ f (e) = 1 ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÆÁËÔ). ôÅÒÍÉÎ ¤ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ¥ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌÙ
ÍÏÖÎÏ (ÐÒÉ ÂÏÌØÛÏÍ ÖÅÌÁÎÉÉ) ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ¤ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ¥. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
St(A).
·
⊕
(H f : f ∈ St(A). ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ¤ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Õ ÓÕÍÍÕ¥ H := ∑
f
¤ÓÔÒÏË¥ x = (. . . xf . . .) : xf ∈ H , ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ {∥xf ∥2 : f ∈ St(A)} < ∞}. üÔÏ
ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
∑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ
ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ⟨x, y⟩ := {⟨xf , yf ⟩ : f ∈ St(A)}.
á ÔÅÐÅÒØ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ a ∈ A ÏÐÅÒÁÔÏÒ πa × H, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÐÏ
ÐÒÁ×ÉÌÕ (. . . xf . . .) 7→ (. . . πaf (xf ) . . .). äÌÑ ÌÀÂÏÊ Ú×ÅÚÄÎÏÊ A ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÓÖÉÍÁÀÝÉÊ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ∗ -ÁÌÇÅÂÒ π : A → B(H) : a 7→
πa , ËÏÔÏÒÙÊ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÁÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ π ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ
ÁÌÇÅÂÒÙ A.
é ×ÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÉÓÔÉÎÙ.
îÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ôÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ-îÁÊÍÁÒËÁ × ÐÏÄÒÏÂÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ. åÓÌÉ A C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÏ ÅÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
þÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ: (i) π ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ,
É (ii) ËÁÖÄÙÊ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÊ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ (Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ. ïÂÁ ÆÁËÔÁ ÄÁÌÅËÉ ÏÔ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔÉ.
21
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ A ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÅÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ
-ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ Ó ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÊ × ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÏÍ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
∗
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó ×ÉÄÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÙÇÌÑÄÉÔ, ×ÙÒÁÖÁÑÓØ
ÎÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ×ÅÓØÍÁ ÎÅÜËÏÎÏÍÎÙÍ; ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï H, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ,
ÎÅ ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÏ. çÅÌØÆÁÎÄ É îÁÊÍÁÒË ÔÏÖÅ ÎÅ ÂÙÌÉ ÏÔ ÎÅÇÏ × ×ÏÓÔÏÒÇÅ (ÍÎÅ
ËÏÇÄÁ-ÔÏ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÜÔÏÍ íÁÒË áÒÏÎÏ×ÉÞ), ÏÄÎÁËÏ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ÉÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÌÑ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÈ ÔÅÏÒÅÍÙ. îÏ ×ÏÔ ÐÒÏÛÌÏ 15 ÌÅÔ, É ÏÂÎÁÒÕÖÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÒÑÄÏÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
× ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÌÀÂÙÅ ∗ -ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ A × ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ
B(H) ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ (ÏÔÓÀÄÁ É ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ¤ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ¥).
åÝÅ ÏÄÎÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ,
ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÂÉËÏÍÍÕÔÁÎÔÏÍ ÅÇÏ ÏÂÒÁÚÁ × B(H) ×
ÎÁÛÉ ÄÎÉ ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÙ
A ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ, ËÁË ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, A∗∗ . éÍÅÎÎÏ ÐÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÔÅÏÒÉÑ C ∗ -ÁÌÇÅÂÒ É ÔÅÏÒÉÑ ÁÌÇÅÂÒ ÆÏÎ îÏÊÍÁÎÎÁ, ÒÁÎÅÅ
ÒÁÚ×É×Á×ÛÉÅÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ÓÌÉÌÉÓØ × ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ¤ÔÅÏÒÉÀ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ¥.
References
[1] ÷. é. âÏÇÁÞÅ×, ï. ç. óÍÏÌÑÎÏ×. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÊ É ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ. í. îéã. 2009
[2] ÷. í. æÅÄÏÒÏ×. ëÕÒÓ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. í. ¤ìÁÎØ¥. 2005
[3] á. ñ. èÅÌÅÍÓËÉÊ. ìÅËÃÉÉ ÐÏ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ. í. íãîíï. 2004
[4] á. ñ. èÅÌÅÍÓËÉÊ. âÁÎÁÈÏ×Ù É ÐÏÌÉÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ: ÏÂÝÁÑ ÔÅÏÒÉÑ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ, ÇÏÍÏÌÏÇÉÉ. í. îÁÕËÁ. 1989.
[5] äÖ. í¾ÒÆÉ. C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÙ É ÔÅÏÒÉÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ×. í. ¤æÁËÔÏÒÉÁÌ¥. 1997
[6] A. Connes. Noncommutative Geometry. Academic Press. London. 1990
22