ìåëãéñ 2 ÎÁ ÛÁÒ B

÷ûü, 2014/15 õþ.ç., 4 íïäõìø
ìåëãéñ 2
ôïðïìïçéñ
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ. ôÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÔÅÏÒÅÍÅ âÒÁÕÜÒÁ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÛÁÒ Bn ÎÁ
• ÛÁÒ Bn (r; a) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ r > 0 Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÃÅÎÔÒÏÍ a ∈ Rn ;
• ËÕ [a; b]n Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ a; b ∈ R,
n = {(x ; : : : ; x ) ∈ Rn+1 | x ≥ 0; x2 + · · · + x2 = 1};
• ÐÏÌÕÓÆÅÒÕ S+
0
n
0
n
0
• ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Tn = {(x0 ; : : : ; xn ) ∈ Rn+1 | x1 ; : : : ; xn ≥ 0; x1 + · · · + xn = 1},
ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ âÒÁÕÜÒÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÈ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×
M ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ fM : M → Bn ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁ−1
ÖÅÎÉÅ fM
ÔÏÖÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ (ÔÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ). åÓÌÉ ÔÅÐÅÒØ g : M → M
−1
| ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÔÏ G def
= fM ◦ g ◦ fM
: Bn → Bn ÔÏÖÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
−1
−1
x ∈ Bn ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ G(x) = x, ÏÔËÕÄÁ g(fM (x)) = fM (x), ÔÏ ÅÓÔØ g ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ.
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ fM ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÔÁË: ÅÓÌÉ M = Br (a), ÔÏ fM (x) = (x − a)=r. åÓÌÉ M | ÐÏÌÕÓÆÅÒÁ, ÔÏ
fM (x0 ; x1 ; : : : ; xn ) = (x1 ; : : : ; xn ). åÓÌÉ M | ËÕÂ ÉÌÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ÔÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÐÏÓÔÒÏÉÍ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÕÞÁÀ
ÛÁÒÁ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ × ËÕÂ ÉÌÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒ N Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÃÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÁÝÉÊ × ÛÁÒÅ Bn (Ô.Å.
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÅÎØËÉÊ). ðÏÔÏÍ ÐÏÓÔÒÏÉÍ fN : N → Bn ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ fN (x) = x=`(x), ÇÄÅ `(x) = max{ |y| | y =
tx; t > 0; y ∈ N } | ÜÔÏ ÔÁËÖÅ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ.
îÁÐÒÏÔÉ×, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ M ÜÔÏ
o
• ÏÔËÒÙÔÙÊ ÛÁÒ B ,
• ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌ (0; 1].
• ÓÆÅÒÁ S n = {(x0 ; : : : ; xn ) ∈ Rn+1 | x20 + · · · + x2n = 1},
ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ âÒÁÕÜÒÁ ÄÌÑ M ÎÅ×ÅÒÎÁ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g : M → M ÂÅÚ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÙÈ
ÔÏÞÅË. äÌÑ ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÐÏÌÏÖÉÍ g(x) = x2 , ÄÌÑ ÓÆÅÒÁ g(x) = −x. äÌÑ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó
ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÎÁÞÁÌÅ ÐÏÓÔÒÏÉÍ, ËÁË ×ÙÛÅ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ ÎÁ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÕ N = (0; 1)n , Á
ÐÏÔÏÍ ÐÏÌÏÖÉÍ gN (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = (x21 ; x2 ; : : : ; xn ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÛÁÒÁ, ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÉÌÉ ÓÆÅÒÙ ÎÁ Bn (ÐÒÉÞÅÍ Ó ÌÀÂÙÍ n).
ôÏÐÏÌÏÇÉÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× U ⊂ X (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ) ÓÏ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
1) X ⊂ X É ∅ ⊂ X ÏÔËÒÙÔÙ.
2) ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ) ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÔËÒÙÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÔËÒÙÔÏ.
3) ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ) ÏÔËÒÙÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÔËÒÙÔÏ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÄÁÎÁ ÔÏÐÏÌÏÇÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ.
ó×ÏÊÓÔ×Á ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ Ë Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ ÏÔËÒÙÔÙÈ:
1) ∅ ⊂ X É X ⊂ X ÚÁÍËÎÕÔÙ.
2) ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ) ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÍËÎÕÔÏ.
3) ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ) ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÍËÎÕÔÏ.
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X → Y Ä×ÕÈ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ⊂ Y ÅÇÏ ÐÒÏÏÂÒÁÚ f −1 (U ) def
= {x ∈ X | f (x) ∈ U } ⊂ X ÏÔËÒÙÔ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ
(ÐÏÞÅÍÕ?) ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ: ÐÒÏÏÂÒÁÚ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÍËÎÕÔ.
ðÒÉÍÅÒ 1 (ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÐÒÉÍÅÒÙ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×). äÉÓËÒÅÔÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X : ×ÓÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ⊂ X Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (ÐÏÞÅÍÕ?): ÌÀÂÏÅ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × X Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. ìÀÂÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÉÚ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÅ
ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÐÒÏÏÂÒÁÚ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ f −1 (a) ⊂ Y ÏÔËÒÙÔ.
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï-\ËÌÅÃËÁ" (ÁÎÇÌ. knodel space): ÔÏÌØËÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ⊂ X É ∅ ⊂ X ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ. ÷ÓÑËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × X ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ; ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ X × ÄÒÕÇÏÅ
ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÌÀÂÏÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÅÓÑ Ó ÎÉÍ ÏÔËÒÙÔÏÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÇÏ.
1
ðÒÉÍÅÒ 2 (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ). X = R; ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ X ÏÔËÒÙÔÏ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÌÉÂÏ ÐÕÓÔÏ, ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× (× ÌÀÂÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å; ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÇÕÔ ÐÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ). ó×ÏÊÓÔ×Á 1 É 2 ÏÞÅ×ÉÄÎÙ;
ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á 3 ×ÏÚØÍÅÍ a ∈ U1 ∩ U2 ; ÔÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (p1 ; q1 ) É (p2 ; q2 ) ÔÁËÉÅ,
ÞÔÏ a ∈ (p1 ; q1 ) ⊂ U1 É a ∈ (p2 ; q2 ) ⊂ U2 . ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ (p; q) = (p1 ; q1 ) ∩ (p2 ; q2 ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏÍ, ÌÅÖÉÔ ×
U1 ∩ U2 É ÓÏÄÅÒÖÉÔ a. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ a ∈ U1 ∩ U2 ÎÁÛÅÌÓÑ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÅÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ, ÌÅÖÁÝÉÊ
× U1 ∩ U2 . ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÅÓÔØ U1 ∩ U2 .
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ f : R → R | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (× ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ), É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ R ÏÔËÒÙÔÏ.
ðÕÓÔØ f (a) ∈ U ; ÔÏÇÄÁ × ÓÉÌÕ ÏÔËÒÙÔÏÓÔÉ f (a) ∈ (p; q) ⊂ U . ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ " > 0 ÔÁËÏÅ,
ÞÔÏ (f (a) − "; f (a) + ") ⊂ U . ðÏÓËÏÌØËÕ f ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÔÏÞËÅ a (× ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ), ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ > 0,
ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ÔÏÞËÉ x ∈ (a − ; a + ) (Ô.Å. ×ÓÑËÏÊ ÔÏÞËÉ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ |x − a| < ) ×ÅÒÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
|f (x) − f (a)| < ", ÔÏ ÅÓÔØ f (x) ⊂ (f (a) − "; f (a) + ") ⊂ U , ÔÏ ÅÓÔØ x ∈ f −1 (U ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f −1 (U )
| ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ïÂÒÁÔÎÏ, ÐÕÓÔØ f ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ ÐÒÏÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔËÒÙÔ.
éÎÔÅÒ×ÁÌ (f (a) − "; f (a) + ") ÏÔËÒÙÔ | ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÇÏ ÐÒÏÏÂÒÁÚ ÎÁÒÑÄÕ Ó ÔÏÞËÏÊ a ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (a − ; a + ). üÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÔÏÞËÅ a (× ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ).
ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÒÁ 2: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÁÚÏÊ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÊ (× ÌÀÂÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å; ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÏÇÕÔ ÐÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ),
ÐÌÀÓ ÐÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÔÏÐÏÌÏÇÉÀ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ × R | ÂÁÚÁ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ
×ÙÛÅ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ
1. íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÏÊ (ËÁËÏÊ-ÔÏ) ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ, ÅÓÌÉ
S
1) X = B∈B B ;
2) äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ B1 ; B2 ∈ B ÌÉÂÏ B1 ∩ B2S= ∅, ÌÉÂÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÂÏÒ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ)
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× B ∈ B ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ B1 ∩ B2 = B .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ | ÕÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÕ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ, ÐÏÔÏÍÕ ÞÔÏ
ÐÒÑÍÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× É ÎÅÐÕÓÔÏÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× | ÉÎÔÅÒ×ÁÌ.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÕÓÔØ X = [a; b] ⊂ R. âÁÚÕ ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ × X ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (p; q), ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ [a; q) É
ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (p; b]; ÚÄÅÓØ ×ÓÅÇÄÁ a < p < q < b. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ [a; b] ÏÔËÒÙÔÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔËÒÙÔÏÅ (× ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï V ⊂ R ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ U = [a; b] ∩ V .
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÂÁÚÙ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: [a; q) = (−∞; q) ∩ [a; b], (p; b] = (p; +∞) ∩ [a; b],
Á (p; q) ⊂ [a; b] ÓÁÍ ÏÔËÒÙÔ. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÂÌÁÄÁÅÔ É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÂÁÚÙ, Ô.Å. ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ïÂÒÁÔÎÏ: ÐÏÓËÏÌØËÕ V ÏÔËÒÙÔÏ, ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×. ôÏÇÄÁ U def
= [a; b] ∩ V | ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ×ÉÄÁ (p; q) ∩ [a; b], Á ÜÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÂÁÚÙ.
ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÒÁ 3:
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1 (ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á). ðÕÓÔØ X | ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, É Y ⊂ X . ôÏÇÄÁ Y
ÍÏÖÎÏ ÎÁÄÅÌÉÔØ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÐÏÌÁÇÁÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ Y ÏÔËÒÙÔÙÍ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï V ⊂ X ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ U = Y ∩ V .
îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÐÒÏÄÅÌÁÊÔÅ!), ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÐÏÌÏÇÉÑ. åÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X → Z ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ, É Y ⊂ X , ÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ f |Y : Y → Z ÔÁËÖÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ. (äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ U ⊂ Z ÏÔËÒÙÔÏ,
ÔÏ f −1 (U ) ⊂ X ÏÔËÒÙÔÏ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ( f |Y )−1 (U ) = f −1 (U ) ∩ Y ⊂ Y ÔÁËÖÅ ÏÔËÒÙÔÏ.) ïÂÒÁÔÎÏÅ ÎÅ
ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ×ÅÒÎÏ: ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : (0; ∞) → R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = 1=x, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ÎÁ (0; +∞) ÎÉËÁËÏÇÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ R → R, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ
ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉ x → 0.