Лекция 58

322
Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной
области (D).
На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем:
M x = ∫∫ yρ ( x , y ) dxdy ,
M y = ∫∫ xρ ( x , y ) dxdy .
( D)
( D)
Исходя из механического смысла статического момента, применительно к пространственной системе n материальных точек статические моменты M xy , M yz , M xz
определяются относительно плоскостей декартовой системы координат следующими
выражениями:
n
n
n
i=1
i =1
i=1
M xy = ∑ mi z i , M yz = ∑ mi x i , M xz = ∑ mi y i .
Для пространственной материальной фигуры по аналогии с плоской фигурой,
получаем:
(4)
M xy = ∫ zρ ( P) dμ , M yz = ∫ xρ ( P) dμ , M xz = ∫ yρ ( P) dμ ,
(Φ)
(Φ)
(Φ)
где M xy , M yz , M xz - статические моменты области ( Φ ) относительно плоскостей Оху,
Оyz, Oxz соответственно.
Пример 1 Определить вид первой из формул (4) для случая, когда фигура ( Φ ) пространственная материальная линия (L), заданная параметрическими уравнениями
x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ) .
Имеем
t2
M xy =
∫ zρ( P)dμ = (∫)zρ( P)dl = ∫ z( t )ρ( x( t ), y( t ), z( t )) ( x ′) + ( y ′) + ( z ′ )
( )
2
2
t
Φ
L
t
t
2
dt .
t1
Пример 2 Найти выражение статического момента относительно плоскости
Oyz материальной поверхности (Q), уравнение которой x = ϕ ( y , z ), ∀( y , z ) ∈ D yz , где
( )
( D ) - проекция гладкой дифференцируемой поверхности (Q) íà плоскость Oyz.
yz
Воспользуемся второй из формул (3). Тогда
M yz = ∫∫ xρ( P) dq =
∫∫ ϕ ( y , z )ρ(ϕ ( y , z ), y , z )
( ) + (ϕ ′ ) dydz .
1 + ϕ y′
2
2
z
(D )
Пример 3 Найти статический момент относительно оси Ох однородной фигуры, ограниченной синусоидой y = sin x , и прямой ОА, проходящей через начало коор⎛π ⎞
динат и точку A⎜ ;1⎟ синусоиды.
( Q)
yz
⎝2 ⎠
Для определения M x воспользуемся формулой
M x = ∫∫ yρ ( x , y ) dxdy ,
( D)
323
учитывая при этом, что уравнение прямой ОА имеет вид y =
y
1
2x
π
.
A
x
0
π
2
sin x
0
2x
M x = ∫∫ yρ( x , y ) dxdy = ρ ∫ dx
( D)
∫
π
π
1 2⎛
4
⎞
ydy = ρ ∫ ⎜ sin 2 x − 2 x 2 ⎟ dx =
⎠
2 0⎝
π
π
1 2⎛ 1 − cos 2 x 4 2 ⎞
1 ⎛
2 ⎞ π
= ρ ∫⎜
− 2 x ⎟ dx = ρ ⎜ π − π ⎟ =
ρ.
⎠
⎝
⎝
2 0
2
8
3 ⎠ 24
π
Координаты центра масс материальной фигуры.
Одной из важных характеристик системы материальных точек, а также материальной фигуры ( Φ ) , является центр масс C( x c ; y c ; z c ) - точка, координаты которой описываются по следующим формулам:
1. Для плоской фигуры Mx c = M y , My c = M x т.е.
My
∫ xρ( P)dμ
M
xc =
=
, yc = x =
M
M
∫ ρ( P)dμ
(Φ)
( Φ)
∫ yρ( P)dμ
(Φ)
∫ ρ( P)dμ
(Φ)
2. для пространственной фигуры Mx c = M yz , My c = M xz , Mzc = M yx
M yz
∫ xρ( P) dμ
M
xc =
=
, y c = xz =
M
M
∫ ρ( P) dμ
( Φ)
( Φ)
∫ yρ( P) dμ
( Φ)
∫ ρ( P) dμ
( )
Φ
, zc =
M xy
M
=
∫ zρ( P) dμ
( Φ)
∫ ρ( P) dμ
( )
(5)
Φ
Пример Записать выражение для абсциссы центра масс пространственной области (V).
Используем первую из формул (5), получаем
324
xc =
xρ( x , y , z ) dxdydz
∫∫∫
( )
V
∫∫∫ ρ( x , y , z )dxdydz
.
(V )
Если однородная фигура ( ρ = const ) имеет ось или плоскость симметрии, то
статический момент относительно этой оси или плоскости равен нулю, а если однородная фигура имеет ось, центр или плоскость симметрии, то центр масс лежит на
этой оси, плоскости или в этом центре.
Пример Найти центр масс однородного цилиндрического тела, ограниченного
поверхностями z = x 2 + y 2 + 1, z = 0, x 2 + y 2 = 1 .
z
(V)
y
1
x
Вследствие симметрии x c = y c = 0, z c =
zdv
∫∫∫
( )
V
∫∫∫ dv
.
(V )
Вычислим тройные интегралы в цилиндрической системе координат.
z = x 2 + y 2 + 1 ⇒ z = r 2 + 1, x 2 + y 2 = 1 ⇒ r = 1.
Для области (V) имеем
0 ≤ ϕ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ z ≤ r 2 + 1 .
Следовательно
2π
1
r 2 +1
2π
1
2
1
7
zdv = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ zdz = ∫ dϕ ∫ r ( r 2 + 1) dr = π ;
∫∫∫
20
6
(V )
0
0
0
0
2π
1
r 2 +1
0
0
0
3
dv = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ dz = π ;
∫∫∫
2
( )
V
7
9
Таким образом z c = ,
7⎞
⎛
C⎜ 0,0, ⎟ .
⎝
9⎠
325
Моменты инерции.
Определение Моментом инерции I 0 материальной точки массой m относительно начала координат ( относительно оси Ох - I x , относительно плоскости Оху
- I xy ) называется произведение массы точки на квадрат расстояния до начала координат( соответственно оси Ох, плоскости Оху):
I 0 = md 2 , I x = m( y 2 + z 2 ), I xy = mz 2 ,
где d − расстояние от материальной точки до начала координат.
Момент инерции в механике называется моментом второго порядка, статический момент - моментом первого порядка.
Моменты инерции системы точек определяются аналогично тому, как это сделано для статического момента.
Например момент инерции плоской пластины (D) относительно координатных
осей прямоугольной декартовой системы координат вычисляются по формулам
I x = ∫ y 2 ρ ( P) dμ = ∫∫ y 2 ρ ( x , y ) dxdy , I y = ∫∫ x 2 ρ ( x , y ) dxdy .
( Φ)
( D)
( D)
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей
I xy = ∫ z 2 ρ ( P) dμ = ∫∫∫ z 2 ρ ( x , y , z ) dxdydz
( Φ)
(V )
Полярные моменты.
Моменты инерции I 0 относительно начала координат называют полярными
моментами они определяются по следующим формулам:
1. для плоской фигуры
I 0 = ∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y ) dμ .
( Φ)
2. для пространственной фигуры
I 0 = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) dμ
(Φ)
Пример 1 Записать выражение полярного момента для инерции для дуги про-
⎧x = x( t ) ,
⎪
странственной кривой (L) ⎨ y = y( t ) ,
⎪
⎩ z = z ( t ).
I0 =
∫ (x
( )
t ∈ [ t 0 , t1 ] .
2
+ y 2 + z 2 )ρ ( x , y , z ) dl =
L
t2
= ∫ ( x 2 ( t ) + y 2 ( t ) + z 2 ( t ) ) ρ( x( t ) , y( t ) , z( t ) )
( x ′( t )) 2 + ( y ′( t )) 2 + ( z ′( t )) 2 dt
t1
Пример 1 Найти момент инерции кругового цилиндра , высота которого h и
радиуса a относительно оси, служащей диаметром основания цилиндра.
326
z
h
y
a
x
В качестве оси возьмем ось Ох. Уравнение цилиндра в декартовых координатах
имеет вид x 2 + y 2 = a 2 . Вычисления проведем в цилиндрических координатах, при
этом уравнение цилиндра примет вид r = a
Пределы интегрирования:
0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h .
Имеем
2π
a
0
0
h
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 )dv = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ ( r 2 sin 2 ϕ + z 2 )dz =
(V )
2π
a
0
2π
⎛ a4
⎛ 2
h ⎞
h3 a 2 ⎞
2
2
= ∫ dϕ ∫ rdr ⎜ r h sin ϕ + ⎟ = ∫ ⎜ h sin ϕ +
⎟ dϕ =
3 ⎠ 0⎝ 4
3 2⎠
⎝
0
0
ha 4
=
4
3
2π
⎛ 2 h2 ⎞
1
h 3a 2
2 a
1
cos
2
−
ϕ
ϕ
+
π
=
π
+ ⎟.
d
ha
(
)
⎜
∫0 2
3
3⎠
⎝ 4
§ 11 Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции
Векторная функция трех переменных. Ориентированная фигура.
Пусть дана ограниченная, содержащая все граничные точки фигура ( Φ ) , ортоr r r
нормированный базис i , j , k и точка P( x , y , z ) ∈( Φ) . Вектор
r
r
r
r
r
a( P) = a( x , y , z ) = X ( x , y , z ) i + Y ( x , y , z ) j + Z( x , y , z ) k ,
(1)
определенный на ( Φ ) , называется векторной функцией трех переменных с областью определения ( Φ ) . Функции X ( x, y, z ), Y ( x, y, z ), Z ( x , y , z ) называются координатами в выбранном базисе.
Фигура (Ф) называется ориентированной, если в каждой ее точке задан некоr
торый вектор b ( P) , определенным образом характеризующий (Ф).