Московский колледж авиационного моторостроения

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ГОРОДА МОСКВЫ «ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ»
СТРУКТУРНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ
(МОСКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ)
Методические рекомендации
к выполнению практической работы № 6
«Определение главных центральных моментов инерции составного сечения»
по дисциплине «Техническая механика»
для специальностей
24.02.02 «Производство авиационных двигателей»
44.02.06 «Профессиональное обучение»
Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории
Москва
2014
ОДОБРЕНЫ
предметной (цикловой)
комиссией «Специальных
дисциплин»
Протокол №1
от 28 августа 2014 г.
Председатель предметной
(цикловой) комиссии
___________Сайманин А.С.
Согласовано с методической службой колледжа ______________________
Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории
Пояснительная записка
Настоящие методические рекомендации предназначены для студентов
специальностей 24.02.02 «Производство авиационных двигателей» и 44.02.06
«Профессиональное обучение» для выполнения практических и самостоятельных
работ
по разделу 2 «Сопротивление материалов» дисциплины «Техническая
механика». Указания содержат варианты практической работы и образец их
выполнения.
В
настоящих
методических
рекомендациях
представлены
варианты
практической работы № 6 «Определение главных центральных моментов инерции
составного сечения» и образец её выполнения.
Настоящие
методические
рекомендации
содержат
необходимый
теоретический материал для выполнения практической работы.
Рекомендуемая литература
Аркуша
А.И.
Техническая
механика.
Теоретическая
механика
и
сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 2003.
Ицкович Г.М., Минин М.С., Винокуров А.И. Руководство к решению
задач по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 2003.
Олофинская В.П. Техническая механика. – М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007.
Эрдеди А.А. , Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление
материалов. - М.: Высшая школа, Академия, 2001.
Обозначения
А – площадь плоской составной фигуры, (м2);
Аi – площадь i-той элементарной фигуры, (м2);
zi,yi – координаты центра тяжести i-той фигуры по осям Z,Y(м);
i= 1…n – количество элементарных фигур, на которые разбивается фигура;
zc , yc – координата центра тяжести плоской фигуры по осям Z,Y (м);
Sz , Sy статические моменты инерции фигуры относительно осей Z,Y (м3);
Ip – полярный момент инерции плоской фигуры, (м4);
Iz , Iy –осевые моменты инерции плоской фигуры относительно осей Z,Y (м4);
Izу – центробежный момент инерции плоской фигуры, (м4);
IZc , IYc – главные центральные моменты инерции плоской фигуры
относительно осей Z,Y (м4);
Содержание
Основные понятия
При деформациях растяжения (сжатия), сдвига (среза), смятия
геометрической характеристикой поперечного сечения является площадь.
При
деформациях
кручения
и
изгиба
при
расчётах
напряжений
применяются другие геометрические характеристики сечения.
Рассмотрим произвольное сечение (Рис. 1).
Y
dA
y
ρ
z
Z
Рис. 1
Разбиваем сечение на элементарные площадки dA.
Координаты центра тяжести элементарной площадки dA - y и z .
ρ – расстояние от начала системы координат (полюса) до центра тяжести
элементарной площадки.
Статическим моментом инерции площади плоского сечения относительно
оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма
произведений площадей элементарных площадок на расстояние их до этой
оси.
Sy = ∫z dA =zсּА ;
Sz = ∫y dA = yсּА ,
A
A
где zс , yс – координаты центра тяжести сечения.
Единица измерения статического момента [м3] .
Статический
момент
сечения
может
быть
положительным,
отрицательным и равным 0.
Статический момент относительно оси симметрии равен 0.
Полярным моментом инерции сечения относительно точки (полюса),
называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных
площадок на квадрат расстояния до этой точки.
Ip = ∫ρ2 dA ,
A
Единица измерения полярного момента инерции [м4] .
Полярный момент инерции всегда положителен и не равен 0.
Полярный момент инерции используется при изучении деформаций
кручения валов круглого и кольцевого поперечного сечения. (Рис. 2).
D
D
d
Рис. 2
Для круглого поперечного сечения:
Ip = πD4/32 ≈ 0,1D4 ;
Для кольцевого сечения : Ip = πD4 (1-с4)/32 ≈ 0,1D4 (1-c4) ,
где с = d/D ;
D – диаметр круга или наружный диаметр кольца;
d – внутренний диаметр кольца.
Осевым моментом инерции площади плоского сечения относительно оси,
лежащей в той же плоскости,
называется взятая по всей площади сумма
произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояний
их до этой оси.
Iy = ∫z2dА ,
A
Iz = ∫y2dA ;
A
Единица измерения осевого момента инерции [м4] .
Осевой момент инерции величина всегда положительная и не равная 0.
Сумма
осевых
моментов
инерции
относительно
двух
взаимно
перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно
начала координат.
Iy + Iz = ∫z2dА + ∫y2dA = ∫(z2 + y2 )dА = ∫ρ2 dA= Ip ;
A
А
A
А
Осевой момент инерции используется при изучении деформаций изгиба
бруса различных поперечных сечений. (Рис. 3).
Y
D
Z
Y
h
D
Y
Z
Z
d
b
Рис. 3
Прямоугольник b х h :
Iy = hb3/12 , Iz = bh3/12 ;
Круг диаметром D :
Iy = Iz = πD4/64≈ 0,05D4 ;
Кольцо D х d :
Iy = Iz = (π/64) (D4-d4)≈ 0,05(D4-d4) ;
Оси,
проходящие
через
центр
тяжести
сечения,
называются
центральными.
Центральными моментами инерции сечения называются моменты
относительно центральных осей (оси Z,Y, Z1, Y1) (Рис. 4).
Y1
Y
Z1
Z
Рис. 4
Если оси Y и Z поворачивать в плоскости вокруг начала координат, то Iy и Iz
будут меняться, причём Iy + Iz = const. При одном из положений осей один из
моментов достигает максимального, а другой – минимального значения.
Главные оси инерции – это оси, относительно которых моменты инерции
имеют максимальное и минимальное значение.
Главные моменты инерции – моменты инерции относительно главных осей.
Главная центральная ось – главная ось, проходящая через центр тяжести
сечения. Ось симметрии фигуры – всегда главная центральная.
Главные центральные моменты инерции – моменты инерции относительно
главных центральных осей.
Центробежным моментом инерции называется
сумма произведений
элементарных площадок на произведение расстояний этих площадок до двух
взаимно перпендикулярных осей.
Izу = ∫zуdА
А
Единица измерения центробежного момента инерции [м4].
Центробежный момент может быть положительным, отрицательным и
равным 0.
При параллельном переносе оси Z0 в новое положение Z1 (Рис.5)
Y1
Y0
Z0
а
Z1
b
Рис. 5
значения момента инерции Iz меняются: Iz1 = Iz0 + а2А ,
где Iz0 – момент инерции относительно оси Z0 ,
Iz1 – момент инерции относительно оси Z1 ,
А – площадь сечения,
а – расстояние между осями Z0 и Z1 .
b– расстояние между осями Y0 и Y1 .
Для осей Y0 и Y1 - аналогично: Iy1 = Iy0 + b2А .
Главные центральные моменты инерции сложной (составной) фигуры
(Izс, IYс) можно вычислить как алгебраическую сумму осевых моментов инерции
простых фигур (I, II, III) на которую разбивают сложную фигуру (Рис. 6).
Y,Yс
t
Z1
a
t
I
b
Z2 , Zс
a
II
Z3
III
t
b
Рис. 6
Прямоугольник 1: IIY=IIYc=tb3/12 ,
IIZ1 = bt3/12 ;
IIZc = IIZ1+ а2АI= bt3/12+ a2bt.
Прямоугольник 2: IIIY = IIIYc= bt3/12,
IIIZ2=IIIZc = tb3/12;
Прямоугольник 3: IIIIY=IIIIYc= tb3/12,
IIIIZ3 = bt3/12;
IIIIZc = IIIIZ3+АIIIа2= bt3/12+ a2bt;
Для всей фигуры: IYc = IIYc+ IIIYc+ IIIIYc , IZc = IIZc+ IIIZc+ IIIIZc .
Практическая работа №6
«Определение главных центральных моментов инерции составного сечения»
Раздел 1: «Сопротивление материалов».
Тема: «Геометрические характеристики плоских сечений»
Количество часов: 2
Цель работы: овладение студентами навыками определения главных
центральных моментов инерции плоских составных фигур.
Форма контроля: ответы на вопросы, решение задач
Критерии оценки: «5» - 91-100% правильных ответов;
«4» - 81-90% правильных ответов;
«3» - 70-80% правильных ответов;
«2» - менее 70% правильных ответов;
Оснащение занятия: ПК, проектор, методические рекомендации.
2а
14а
10а
8а
2а
10а
14а
Рис. 7
Для
заданной
расчётной
схемы
требуется
определить
центральные моменты инерции составного сечения (Рис. 7).
главные
Задания
Варианты практической работы № 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
а
b
b
a
a
b b
a
Примечания.
1. Диаметр круглого отверстия – а;
2. Квадратное отверстие – а х а;
3. Прямоугольное отверстие - а х 2b;
4. Для вариантов 1-16 а=0,02 м , b=0,03 м , b=1,5a;
для вариантов 17-32 а=0,04 м , b=0,06 м , b=1,5a.
Алгоритм выполнения задания
Плоская составная фигура (Рис.7) имеет две оси симметрии, которые
являются главными центральными осями (Zс,Yс). Следовательно, IZc=IYc .
Для плоской составной фигуры:
1. Выбираем систему координат Zс , Yс (Рис.9);
2. Разбиваем составную фигуру на простые фигуры.
3. Находим координаты центров тяжести (с1,с2, с3,с4,с5,с6) простых фигур в
выбранной системе координат:
с1(0,0), с2(0,0), с3(-5а,5а), с4(5а,5а), с5(-5а,-5а), с6(5а,-5а)
4. Находим площади элементарных фигур (А1, А2 , А3, А4, А5, А6)
А1=14а∙14а=196а2,
А2=πd2/4=π(8а)2/4 ≈ 50а2 ,
Y3,Y5
Yс Y1,Y2
III
I II
А3=А4=А5=А6=2а∙2а=4а2
Y4,Y6
IV
2а
Z3 , Z4
Zс , Z1, Z2
14а
10а
8а
Z5 , Z6
2а
V
10а
14а
VI
Рис. 9
5. Находим осевые моменты инерции простых фигур относительно собственных
центральных осей:
I фигура – сплошной квадрат 14а х 14а:
IIZ1=IIY1 = 14a·(14a)3/12=3201a4
IIфигура – круглое отверстие диаметром 8а: IIIZ2=IIIY2= πd4/64=π(8а)4/64 =201а4
III фигура – квадратное отверстие 2а х 2а:
IIIIZ3= IIIIY3 = 2a·(2a)3/12=(4/3)a4
IV фигура – квадратное отверстие 2а х 2а:
IIVZ4= IIVY4 = 2a·(2a)3/12=(4/3)a4
V фигура – квадратное отверстие 2а х 2а:
IVZ5= IVY5 = 2a·(2a)3/12=(4/3)a4
VI фигура – квадратное отверстие 2а х 2а:
IVIZ6= IVIY6 = 2a·(2a)3/12=(4/3)a4
6. Находим осевые моменты инерции простых фигур относительно главных
центральных осей – Zс ,Yс .
I фигура:
IIZс = IIZ1 = IIYс = IIY1 = 14a·(14a)3/12=3201a4
II фигура: IIIZс =IIIZ2 = IIIYс = IIIY2 = πd4/64=π(8а)4/64 =201а4
III фигура: IIIIZс= IIIIZ3 + А3·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈101а4
IIIIYс= IIIIY3 + А3·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈101а4
IV фигура: IIVZс= IIVZ4 + А4·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈101а4
IIVYс =IIVY4 +А4·(5а)2 = (4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈ 101а4
V фигура: IVZс= IVZ5 + А5·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈101а4
IVYс =IVY5 +А5·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈ 101а4
VI фигура: IVIZс= IVIZ6 + А6·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈101а4
IVIYс =IVIY6 +А6·(5а)2 =(4/3)a4 +4а2·(5а)2 ≈ 101а4
7. Находим главные центральные моменты инерции IZс и IYс
плоской
составной фигуры относительно главных центральных осей Zс , Yс .
Так как фигуры II, III, IV, V и VI являются отверстиями, то есть имеют
«отрицательную» площадь, их осевые моменты инерции войдут в уравнения со
знаком «минус»:
IZс= ΣIZсi = IIZс – IIIZс - IIIIZс - IIVZс – IVZс – IVIZс
IZс= 3201a4 -201а4 - 101а4 -101а4 -101а4 -101а4 =2596а4
IYс= ΣIYсi = IIYс – IIIYс - IIIIYс - IIVYс – IVYс – IVIYс
IYс= 3201a4 -201а4 - 101а4 -101а4 -101а4 -101а4 =2596а4
Подставив значение, а = 0,02 м, получим:
IZс= 2596а4 = 4,15∙10-4 м4
IZс= 2596а4 = 4,15∙10-4 м4
Контрольные вопросы и задачи к защите практической работы №6
Определите моменты инерции прямоугольника (Рис.10), треугольника
(Рис.11) и полукруга (Рис.12) в системе координат Z – Y .
2а
Y
а
а
2а
Z
Рис. 10
9а
Y
3а
3а
9а
Z
Рис. 11
9а
Y
3а
3а
6а
Z
Рис. 12