Простая модель обмена.

Простая модель обмена.
Пусть дана экономическая система, состоящая из n производителей и n
видов продуктов, для которой выполнены требования:
1. Каждый производитель производит только один продукт.
2. Экономика замкнута, т. е. весь продукт, произведённый каждым
производителем потребляется внутри системы.
3. Каждый производитель весь свой продукт обменивает только на
продукцию, производимую внутри системы (т. е. нет никаких внешних
поступлений).
4. Продукция, произведённая каждым производителем за плановый
период, например, за год, принимается за единицу.
Экономическая система, в которой выполняются требования 1 – 4,
называется простой моделью обмена или моделью международной торговли.
Обозначим через αij количество продукта, потребляемое потребителем за плановый период.
n
P
Из аксиом 1-4 следуют равенства:
αij = 1, j = 1, 2, . . . n.
i=1
Матрица A = (αij ) называется матрицей обмена и имеет вид:


α11 α12 . . . α1n
n
P
где αij > 0,
αij = 1,
α22 . . . α2n 
α
A =  21
,

i=1
... ... ... ...
i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n.
αn1 αn2 . . . αnn
Обозначим через pi цену единицы продукта i-го производителя, она
же является его доходом за год. Расход такого производителя составn
P
ляет
αij pj . Будем говорить, что цены P = (p1 , p2 , . . . , pn ) такие, что
j=1
(P > 0) обеспечивают равновесие системы, если расход каждого производителя не превышает его дохода (запись P > 0, равносильна тому,
что для всех i = 1, 2, . . . , n, pi > 0):
n
X
αij pj 6 pi , i = 1, 2, . . . , n.
(1)
j=1
Покажем, что справедлива
Теорема 1. Если элементы αij , i, j = 1, 2, . . . , n образуют матрицу
обмена в простой модели обмена, в которой доход производителя не
1
превышает его расхода, то доход каждого производителя равен его расходу:
n
X
αij pj = pi , i = 1, 2, . . . , n.
(2)
j=1
Доказательство. Пусть αij , i, j = 1, 2, . . . , n – матрица обмена. Пусть
также в простой модели обмена доход производителя не превышает его
расхода. Тогда справедливы неравенства (1). Просуммируем все строки
неравенств (1), тогда:
n X
n
X
αij pj =
j=1 i=1
n
X
pj 6
j=1
n
X
pi .
j=1
Что возможно только когда имеют место равенства (2). Теорема доказана.
Теорема 2. Если в простой модели обмена существуют цены, для
которых выполняются равенства (2), то их можно выбрать неотрицательными.
Доказательство. Предположим, что цены pi в уравнениях (1) имеют
разные знаки. Просуммируем те уравнения, в которых цены в правой
части отрицательны (пусть это будут первые i = 1, 2, . . . , m > n).
m X
n
X
αij pj =
i=1 j=1
m
X
pi .
i=1
Перенесём все слагаемые, содержащие pi > 0, в правую сторону, а все
слагаемые, где pi < 0, – в левую сторону. После группировки получим:
m X
m
X
(1 − αij )pj =
i=1 j=1
m
n
X
X
αij pj .
i=1 j=m+1
Но в этом уравнении выражение слева отрицательно (pi < 0, i 6
m, 0 6 αk 6 1, k = 1, 2, . . . , n), а выражение справа – неотрицательно
(pi > 0, i > m). Противоречие показывает, что в балансовых уравнениях (2) все цены имеют один знак, например, они неотрицательны (т. к.
собственный вектор определён с точностью до произвольного множителя). Теорема доказана.
2
Итак, вектор равновесных цен – это неотрицательный вектор P =
(p1 , p2 , . . . , pn ), координаты которого удовлетворяют системе уравнений:

α p + α12 p2 + . . . + α1n pn = p1

 11 1
α21 p1 + α22 p2 + . . . + α2n pn = p2
...


αn1 p1 + αn2 p2 + . . . + αnn pn = pn
(3)
или в матричной форме: AP = P .
Таким образом, задача отыскания вектора равновесных цен сводится к нахождению собственного вектора матрицы обмена, отвечающего
собственному значению λ = 1. Покажем, что в простой модели обмена
такой вектор всегда существует.
Теорема 3. Если сумма элементов каждого вектор-столбца квадратной матрицы равна единице, то эта матрица имеет собственное значение, равное единице.
Доказательство. Рассмотрим квадратную матрицу

α11 − 1
α12
...
α1n
α22 − 1 . . .
α2n 
 α21
A−1·E =
,
...
...
...
...
αn1
αn2
. . . αnn − 1
Pn
для которой i=1 αij = 1 при каждом j = 1, 2, . . . , n.
Прибавим к первой строке матрицы A − E все другие строки. В
результате получим нулевую строку:
Pn
Pn
 Pn

i=1 α1i − 1
i=1 α2i − 1 . . .
i=1 αni − 1
α21
α22 − 1
...
α2n



=
...
...
...
...
αn1
αn2
...
αnn − 1


0
0
...
0
α22 − 1 . . .
α2n 
α
=  21
.
...
...
...
...
αn1
αn2
. . . αnn − 1

Определитель такой матрицы равен нулю. Следовательно, собственное значение, равное единице, является решением соответствующего характеристического уравнения.
3
Таким образом система (3) является системой линейных однородных
уравнений с нулевым определителем. Как известно такая система имеет
бесконечно много решений, среди которых по теореме 2 этого параграфа
имеется и такое, что P > 0. Теорема доказана.
Пример. Пусть экономическая система состоит издвух производите
0.5 0.9
лей и двух видов продуктов с матрицей обмена A =
. Найти
0.5 0.1
равновесный вектор цен.
Решение. Так как сумма элементов в каждом столбце матрицы обмена равна единице, то собственное значение λ, равное единице, существует. Найдём собственный вектор, соответствующий собственному
значению λ = 1, который и будет вектором равновесных цен.
−0.5 0.9
1 0
−0.5 0.9
A−1·E =A−E =
−
=
.
0.5 −0.9
0 1
0.5 −0.9
Тогда для нахождения равновесного вектора цен p1 , p2 имеем:
−0.5p1 + 0.9p2 = 0
⇒ 0.5p1 = 0.9p2 .
0.5p1 − 0.9p2 = 0
1.8C
1.8
Пусть p2 = C, тогда P =
=C·
. Равновесные цены
C
1
p2 = C, p1 = 1.8C определены с точностью до коэффициента C, который можно рассматривать как единицу масштаба цен. Например, если
второй продукт имеет цену 1 млн. руб., то для того, чтобы обеспечить
равновесие в простой модели обмена, необходимо установить цену первого продукта равной 1 млн. 800 тыс. рублей.
4