57 Лекция 7. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Лекция 7. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
2. Теорема о равенстве смешанных производных.
3. Дифференциалы высших порядков.
1. Частные производные и дифференциалы высших
порядков.
Пусть функция z = f ( x, y ) двух переменных имеет непрерывf x′ (x, y ) ,
f y′ (x, y ) в точке
ные частные производные
P(x; y ) ∈ D( f ) . Эти производные, в свою очередь, являются
функциями двух переменных x и y . Функции f x′ ( x, y ) и
f y′ (x, y ) называются частными производными первого поряд-
ка. Частные производные по x и по y от частных производных
первого порядка, если они существуют, называются частными
производными второго порядка от функции z = f ( x, y ) в точке
P(x; y ) .
Обозначаются:
∂2z
∂ 2 f ( x, y )
′
′
(
)
, z ′xx′ – функция f дифференцирует,
f
x
,
y
,
xx
∂x 2
∂x 2
ся последовательно два раза по x ;
∂2z
∂ 2 f ( x, y )
, f xy′′ (x, y ) ,
, z ′xy′ – функция f дифференциру∂x∂y
∂x∂y
ется сначала по x , а затем по y ;
вать как по x , так и по y . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:
∂3 z
∂3z
∂3 z
∂3z ∂3z
∂3z
∂3z
∂3 z
,
,
.
,
,
,
,
,
∂x 3 ∂x 2 ∂y ∂x∂y∂x ∂x∂y 2 ∂y∂x 2 ∂y∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y 3
Таким образом, частная производная от производной (n − 1) го порядка называется частной производной n -го порядка и
∂n f
∂n f
∂n f
обозначается
,
и т.д.
,
∂x n ∂x n −1∂y ∂x n − 2 ∂y 2
Частные производные высших порядков функции z , взятые
∂2z
∂2z
∂3z
по различным переменным, например
,
,
,
∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y∂x
∂3z
∂3z
,
называются смешанными производными.
∂y∂x 2 ∂y∂x 2
Пример. Найти частные производные второго порядка функции z = sin x 2 + y 2 .
(
)
∂2z
∂ 2 f ( x, y )
′
′
(
)
,
f
x
,
y
,
, z ′yy′ – функция f дифференцируетyy
∂y 2
∂y 2
ся последовательно два раза по переменной y .
Производные второго порядка можно снова дифференциро-
Р е ш е н и е . Функция определена и непрерывна на R 2 . Найдем частные производные первого порядка
∂z
∂z
= 2 y cos x 2 + y 2 .
= 2 x cos x 2 + y 2 ,
∂y
∂x
Частные производные первого порядка определены и непрерывны на R 2 .
Вычислим частные производные второго порядка
∂2z
∂2z
= −4 xy sin x 2 + y 2 ,
= −4 xy sin x 2 + y 2 .
∂x∂y
∂y∂x
Видно, что смешанные частные производные второго порядка этой функции равны:
∂2z
∂2 z
=
.
∂y∂x ∂x∂y
Далее находим:
∂2x
= 2 cos x 2 + y 2 − 4 2 x sin x 2 + y 2 ,
2
∂x
57
58
∂2z
∂ 2 f ( x, y )
, f yx′′ (x, y ) ,
, z ′yx′ – функция f дифференциру∂y∂x
∂y∂x
ется сначала по y , а затем по x ;
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
∂2z
= 2 cos x 2 + y 2 − 4 y 2 sin x 2 + y 2 .
2
∂y
2. Теорема о равенстве смешанных производных.
Среди частных производных второго порядка функции
∂2 f
∂2 f
z = f (x, y ) имеются две смешанные производные
и
.
∂x∂y
∂y∂x
Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования
функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.
Теорема 1. Если функция z = f ( x, y ) и ее частные производные f x′ , f y′ , f xy′′ , f yx′′ определены и непрерывны в точке
P0 (x0 ; y0 ) и в некоторой ее окрестности, то
f xy′′ (x0 , y0 ) = f yx′′ (x0 , y0 ) .
Π = {(x; y ) x − x0 < ε , y − y0 < δ }
и непрерывны в точке P0 (x0 ; y0 ) .
Рассмотрим в прямоугольнике Π функцию
g (x; y ) = f (x; y ) − f (x0 ; y ) − f (x; y0 ) + f (x0 ; y0 ) .
При фиксированном
y ∈ ( y0 − δ ; y0 + δ ) на интервале
(x0 − ε ; x0 + ε ) рассмотрим функцию
ϕ (t ) = f (t ; y ) − f (t ; y0 ) ,
которая дифференцируема на этом интервале и
ϕ ' (t ) = f x' (t ; y ) − f x' (t ; y0 ) .
Функцию g (x; y ) можно записать в виде
g (x; y ) = ϕ (x ) − ϕ (x0 ) .
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа по переменной x , получим
g (x; y ) = ϕ (x ) − ϕ (x0 ) = ϕ ' (x0 + θ1∆x )∆x =
[
g (x; y ) = f xy'' (x0 + θ1∆x; y0 + θ 2 ∆y ) ⋅ ∆x∆y ,
где 0 < θ 2 < 1 .
x ∈ (x0 − ε ; x0 + ε ) на интервале
При фиксированном
( y0 − δ ; y0 + δ ) рассмотрим функцию
ψ (τ ) = f (x;τ ) − f (x0 ;τ ) .
Аналогично предыдущим рассуждениям, получим
g (x; y ) = ψ ( y ) − ψ ( y0 ) = ψ ' ( y0 + θ 3 ∆y )∆y =
[
]
= f y' (x; y0 + θ 3 ∆y ) − f y' (x0 ; y0 + θ 3 ∆y ) ⋅ ∆y =
=
► Пусть смешанные производные f xy′′ и f yx′′ определены в
прямоугольнике
где 0 < θ1 < 1 .
Применяя еще раз формулу конечных приращений Лагранжа,
но уже по переменной y , имеем
f yx''
(x0 + θ 4 ∆x; y0 + θ 3∆y ) ⋅ ∆y∆x ,
где 0 < θ 3 < 1 , 0 < θ 4 < 1 .
Переходя к пределу при (∆x; ∆y ) → (0;0) и пользуясь непрерывностью смешанных производных в точке P0 (x0 ; y0 ) , получаем равенство
f xy′′ (x0 , y0 ) = f yx′′ (x0 , y0 ) . ◄
Замечание. Все приведенные выше рассуждения, а также
теорема 1 имеют место и для функции любого числа переменных.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции u = xyz − e x + y .
Р е ш е н и е . Функция определена и непрерывна на R 3 . Вычисляем:
∂u
∂u
∂u
= yz − e x + y ,
= xz − e x + y ,
= xy ,
∂x
∂z
∂y
∂ 2u
= −e x + y ,
2
∂x
∂ 2u
= z − e x+ y ,
∂x∂y
]
= f x' (x0 + θ1∆x; y ) − f x' ( x0 + θ1∆x; y0 ) ⋅ ∆x ,
59
60
∂ 2u
= y,
∂x∂z
∂ 2u
= −e x + y ,
2
∂y
∂ 2u
= x,
∂y∂z
∂ 2u
=0.
∂z 2
3. Дифференциалы высших порядков.
Случай 1. Функция z = f (x; y ) . Пусть z = f (x, y ) – функция
двух независимых переменных x и y , дифференцируемая в области D( f ) . Придавая x и y приращения ∆x = dx , ∆y = dy , в
любой точке P( x; y ) ∈ D( f ) можно вычислить полный дифференциал
dz = f x′ (x, y )dx + f y′ (x, y )dy ,
который называют дифференциалом первого порядка функции
z = f ( x, y ) .
Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой
точке P(x; y )∈ D( f ) если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается
d 2 z = d (dz ) .
Найдем аналитическое выражение для d 2 z , считая dx и dy
постоянными:
d 2 z = d f x′ (x, y )dx + f y′ (x, y )dy = d ( f x′ (x, y ))dx + d f y′ (x, y ) dy =
(
)
(
)
= ( f ′′ (x, y )dx + f ′′ (x, y )dy )dx + ( f ′′ (x, y )dx + f ′′ (x, y )dy )dy =
xx
yx
yx
yy
= f xx′′ (x, y )dx + 2 f xy′′ (x, y )dxdy + f yy′′ ( x, y )dy .
2
2
Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение
для дифференциала третьего порядка d 3 z :
d 3z = d d 2z =
( )
Замечания. 1. Аналитические выражения для dz , d 2 z и d 3 z
кратко записывают в виде следующих символических формул:
⎛ ∂
⎞
∂
dz = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z ,
∂y ⎠
⎝ ∂x
2
⎛ ∂
⎞
∂
d 2 z = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z ,
∂y ⎠
⎝ ∂x
3
⎞
⎛ ∂
∂
d z = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z .
∂y ⎠
⎝ ∂x
Тогда и для любого n справедливо соотношение
3
n
⎞
⎛ ∂
∂
d z = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z ,
∂y ⎠
⎝ ∂x
причем правая часть этого равенства раскрывается формально
по биномиальному закону.
2. Если z = f ( x, y ) – дифференцируемая функция промежуточных аргументов x и y , которые, в свою очередь, являются
дифференцируемыми функциями u и v , то dx ≠ ∆x , dy ≠ ∆y .
Следовательно, можно получить новые выражения для
d 2 z = d (dz ) , d 3 z = d d 2 z , …. Следовательно, приведенные выше формулы дифференциалов не являются инвариантными для
сложных функций.
Пример. Найти dz и d 2 z , если z = ln (x − y ) + xy .
Р е ш е н и е . Используем формулу dz = z ′x dx + z ′y dy . Так как
n
( )
′′′ (x, y )dx 3 + 3 f xxy
′′′ (x, y )dx 2 dy + 3 f xyy
′′′ (x, y )dxdy 2 + 3 f yyy
′′′ (x, y )dy 3 .
= f xxx
И так далее.
О п р е д е л е н и е 1. Функция f называется k раз непрерывно дифференцируемой в области G , если для нее существует k -ый дифференциал в этой области.
Обозначается: f ∈ C Gk .
61
z ′x =
1
1
1
y
+
=
+
x − y 2 xy x − y 2
z ′y =
1
−1
x
+
=
x − y 2 xy 2
y
,
x
1
x
−
,
y x− y
то
⎛1
dz = ⎜
⎜2
⎝
⎛1
y
1 ⎞⎟
−
dx + ⎜
⎟
⎜2
x x− y⎠
⎝
62
x
1 ⎞⎟
−
dy .
y x − y ⎟⎠
Для определения d 2 z вычислим предварительно частные
производные второго порядка:
1
1 y
−
,
z ′xx′ =
2
(x − y ) 4 x 3
1
x
,
−
3
y
(x − y )2
1
1
+
.
z ′xy′ =
2
(x − y ) 4 xy
z ′yy′ = −
1
4
Тогда
⎛
1
1
d z=⎜
+
⎜ (x − y )2 4
⎝
2
y
x3
⎛
⎞ 2
1
1
⎟ dx + 2⎜
+
⎟
⎜ (x − y )2 4 xy
⎠
⎝
⎞
⎟ dxdy −
⎟
⎠
⎛ 1
1 x ⎞⎟ 2
−⎜
+
dy .
⎜ (x − y )2 4 y 3 ⎟
⎝
⎠
Случай 2. Функция u = f (x ) , x = (x1 , x2 ,..., xn ) . Пусть задана
функция многих переменных u = f (x ) , x = (x1 , x2 ,..., xn ) проn
Обозначим приращения независимых переменных δx1 , δx2 ,
... , δxn . Тогда
n n
∂ 2u
∂ (du )
δxk = ∑∑
dxiδxk .
k =1 ∂xk
k =1 i =1 ∂xk ∂xi
Выражение d (du ) есть билинейная форма относительно приращений δx1 , δx2 , ... , δxn . Полагая
dx1 = δx1 , dx2 = δx2 , ... , dxn = δxn
получаем квадратичную форму, которая называется вторым
дифференциалом функции u = f (x ) в точке x .
n
d (du ) = ∑
∂ 2u
dxi dxk .
k =1 i =1 ∂xk ∂xi
Аналогично, предполагая, что все частные производные
третьего порядка непрерывны, определяется третий дифференциал функции u = f (x ) :
n
n
n
n
Обозначается: d 2u = ∑∑
n
d 3u = ∑∑∑
k =1 i =1 j =1
∂ 3u
dxi dxk dx j .
∂xk ∂xi ∂x j
странства R . Производные порядка выше первого определяются по формуле
∂k f
∂ ⎛⎜ ∂ k −1 f ⎞⎟
.
=
∂xi1 ∂xi2 ...∂xik ∂xi1 ⎜⎝ ∂xi2 ...∂xik ⎟⎠
Дифференциал
∂u
∂u
∂u
dxn , x ∈ G ,
dx2 + ... +
dx1 +
du (x ) =
∂xn
∂x2
∂x1
есть функция 2n переменных, а именно x1 , x2 ,..., xn и dx1 , dx2 ,
... , dxn .
Если фиксировать переменные dx1 , dx2 , ... , dxn , то дифференциал du (x ) является функцией x , имеющей в области G непрерывные частные производные. Следовательно, du (x ) как
функция x имеет в каждой точке x ∈ G дифференциал d (du ) .
По индукции определяется дифференциал m -го порядка в
предположении, что все частные производные m -го порядка
непрерывны в точке x . Если дифференциал d m −1u вычислен как
однородная форма порядка m − 1 относительно dx1 , dx2 , ... , dxn
с коэффициентами, являющимися функциями x , то вычисляя
первый дифференциал от d m −1u и полагая затем dxi = δxi ,
i = 1,2,..., n , получим:
63
64
n
∂ mu
dxi1 ...dxim .
i =1 ∂xi1 ...∂xim
n
d m u = ∑ ...∑
k =1
Вопросы для самоконтроля
1. Как находятся частные производные высших порядков?
2. Что называется смешанной производной? Сформулируйте
теорему о равенстве смешанных производных.
3. Докажите формулу для дифференциала второго порядка.