МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Микроцели изучения модуля
В результате изучения данного раздела студенты должны
знать:
понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации;
понятие касательной к кривой, соприкасающейся и нормальной плоскости, репера
Френе, главной нормали и бинормали;
формулу для нахождения длины дуги, угла между кривыми на поверхности, площади поверхности;
понятия кривизны и кручения кривой, формулы Френе, натуральные уравнения
кривой;
уметь:
доказывать непрерывность и гомеоморфность отображений;
выполнять действия над вектор-функциями одного аргумента;
определять, является ли кривая гладкой, плоской; строить параметризацию кривых;
находить уравнения касательной, нормали, главной нормали и бинормали кривой,
уравнения соприкасающейся и нормальной плоскости кривой;
находить точки и углы пересечения кривых;
вычислять кривизну и кручение кривой по формулам Френе;
Практическое занятие №4
Тема: Способы задания элементарной кривой. Вектор–функция одного переменного.
Длина кривой. Касательная
План занятия
1. Способы задания элементарной кривой. Вектор–функция одного переменного.
2. Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Угол между кривыми.
3. Длина кривой. Натуральная параметризация.
Основные термины
Элементарная кривая, дуга кривой, параметризация кривой, координатные функции параметризации, явное задание кривой, регулярная параметризация, гладкая кривая,
вектор–функция одного переменного, векторная параметризация кривой, предел вектор–
функции, непрерывность вектор–функции, операции над вектор–функциями, производная
вектор–функции, дифференцируемость и интегрируемость вектор–функции, определенный интеграл от вектор–функции, формула Ньютона–Лейбница для вектор–функций, векторное уравнение кривой, касательный вектор и касательная к гладкой кривой в точке,
единичный вектор касательной, угол между кривыми, нормальная плоскость кривой, длина кривой, спрямляемая кривая, натуральная (естественная) параметризация кривой,
Общую структурно-логическую схему раздела можно представить следующим образом:
Явное задание
Способы задания кривой
Векторная параметризация
Вектор-функция одного скалярного аргумента
Натуральная параметризация
Регулярная параметризация
Длина кривой
118 между
Угол
кривыми
Элементарная кривая
Гладкая кривая
Касательный вектор, касательная
Нормальная плоскость
Способы задания элементарной кривой.
Вектор–функция одного переменного
Основные факты
Множество С (на плоскости или в пространстве) называется элементарной кривой,
если оно является образом отрезка при некотором непрерывном взаимно однозначном
отображении этого отрезка в плоскость или в пространство.
Образы концов отрезка называются концами элементарной кривой, а образ любого
отрезка, содержащегося в исходном отрезке, называется дугой. Всякая дуга элементарной
кривой сама является элементарной кривой.
Взаимно однозначное и непрерывное отображение F:[a,b]→ℜ3, при котором элементарная кривая С является образом отрезка [a,b], называется параметризацией кривой
С.
Положение любой точки на кривой С определяется значением t∈[a,b]. Переменная t
называется параметром кривой С. Если в пространстве задана система координат Охуz, то
координаты х, у, z каждой точки являются функциями параметра t:
(1)
 х = f1 (t )

 y = f 2 (t ) .
 z = f (t )
3

Непрерывные числовые функции f1, f2, f3, заданные на отрезке [a,b], называются координатными функциями параметризации F.
Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями кривой.
Всякая плоская элементарная кривая допускает явное задание: у=f(х).
 у = f ( х)
, если
 z = g ( х)
Пространственная элементарная кривая допускает явное задание 
 х=t

она обладает параметризацией вида:  y = f (t ) .
 z = g (t )

Параметризация F называется регулярной, если функции f1, f2, f3 непрерывно дифференцируемы и при каждом значении параметра t∈[a,b] хотя бы одна из производных f1′,
f2′, f3′ не обращается в нуль.
Если каждому числу t∈[a,b] поставлен в соответствие вектор v трехмерного евклидова пространства, то говорят, что на отрезке [a,b] определена вектор–функция v (t).
Координаты вектора v (t) являются числовыми функциями от параметра t: v (t)(v1(t),
v2(t),v3(t)). Эти функции называются координатными функциями вектор–функции v (t).
Кривая, обладающая регулярной параметризацией,
называется гладкой.
Если F:[a,b]→ℜ3 – некоторая параметризация
кривой С, то ей соответствует вектор–функция v (t),
определенная по формуле: v (t)= OF (t ) .
119
Вектор–функция v (t) называется векторной
параметризацией кривой С (рис. 1). Если радиус–вектор OF (t )
Рис. 1.
обозначить через r , то равенство r = v (t) называется векторным уравнением кривой С.
Понятие предела, непрерывности, производной, интеграла вектор–функции вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для числовых функций, известными из
курса математического анализа.
Для вектор–функций определены те же алгебраические операции, что и для
обычных векторов: сложение, вычитание, умножение на числовую функцию, скалярное,
векторное и смешанное произведение. Вводятся они поточечно.
Правила дифференцирования вектор–функций:
(2)
( v + w )′= v ′+ w ′,
( v – w )′= v ′– w ′,
(f⋅ v )′=f ′ v +f v ′,
( v ⋅ w )′= v ′⋅ w + v ⋅ w ′,
( v × w )′= v ′× w + v × w ′,
( u , v , w )′=( u ′, v , w )+( u , v ′, w )+( u , v , w ′),
где u , v , w – вектор функции; f – числовая функция.
Формула Ньютона–Лейбница:
b
(3)
∫ v ′(t ) dt = v (b)– v (a).
a
Примеры решения типовых задач
Задача 1
Найти смешанное произведение вектор–функций f (t), g (t), h (t):
а) f (t)=(t2, t,
t ), g (t)=(sin t, cos t, tg t), h (t)=(ln t, ln t , ln t2).
Решение
Воспользуемся формулой смешанного произведения векторов:
t2
t
( f (t), g (t), h (t))= sin t cos t
ln t ln t
+(t–
t
tg t =(2t2– t )⋅ln t⋅cos t+( 1
2
ln t 2
t –2t)⋅ln t⋅sin t+
1 2
t )⋅ln t⋅tg t.
2
Задача 2
Найти первую и вторую производные вектор–функции f (t):
а) f (t)=(
2
t +1
3
, sin( t ), e t );
t
б) f (t)=ln t a +arctg t b , где a и b – постоянные векторы трехмерного евклидова пространства.
Решение
а) Так как координаты производной вектор–функции f (t) равны производным ее
соответствующих координат:
120
f ′(t)=(–t–2–
2
1 − 32 1 − 23
t , t cos( 3 t ), 2t e t );
3
2
f ′′(t)=(2t–3+
2
2
3 − 5 2 2 − 53
1 −4
t , – t cos( 3 t )– t 3 sin( 3 t ), 2e t +4t2e t ).
4
9
9
д) Так как a и b – постоянные векторы, то
f ′(t)=(ln t )′ a +(arctg t)′ b =
f ′′(t)=–
1
1
a+ 2
b;
2t
t +1
2t
1
b.
2
2 a–
(t + 1) 2
2t
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти сумму, скалярное и векторное произведения вектор-функций f (t ) и g (t ) :
(
)
а) f (t ) = ln t ,− cos t , sin t , g (t ) = (2, sin t , cos t );
(
)
(
)
б) f (t ) = 1, t , t , g (t ) = − t ,1,−t ;
3
2
в) f (t ) = (t cos t , t sin t , t ), g (t ) = (cos t , sin t ,−1);
(
)
(
г) f (t ) = sin 2t , e , t − 1 , g (t ) = (sin t ) , e , (t + 1)
t
д) f (t ) = e a + e
t
− t
2
−1
−t
−1
);
b , g (t ) = e − t a + e t b , где a и b - векторы пространства E3 ;
е) f (t ) = tgta + ctgtb , g (t ) = ctgta + tgtb , где a и b - векторы пространства E3 .
2. Найти смешанное произведение вектор-функций f (t ) , g (t ) , h (t ) :
(
f (t ) = (t ,
)
(
)
а) f (t ) = t , t , t , g (t ) = (sin t , cos t , tgt ), h (t ) = ln t , ln t , ln t ;
2
б)
)
t , t , g (t ) = (sin t , cos t ,1), h (t ) = (1, cos t , sin t );
2
в) f (t ) = t a + tb +
t c , g (t ) = t a + tb , h (t ) = t 2 b − tc , a , b , c ∈ E3 .
3. Найти производные r ′ и r ′′ вектор-функции r (t ) :
 t +1

а) r (t ) = 
, sin 3 t , e t ;
 t

2
2t
б) r (t ) = (t + 1, sin t , e );
1 
 t +1 2
в) r (t ) = 
, t + 1, 3 ;
t
 t
tgt
t
г) r (t ) = (e , ln(cos t ), sin(e ) );
2
( )
2
д) r (t ) = ln t a + arctgtb , где a и b - постоянные векторы пространства E3 ;
1
t
е) r (t ) = cos(t + 1) a + sin t b + tg c , где a , b и c - постоянные векторы простран2
ства E3 .
4.Найти производную rs′ сложной вектор-функции r (t ( s )) , если:
121
(
а) r (t ) = t , t , t
3
−1
), t (s) = 1 ;
s
s
б) r (t ) = (sin t , cos t , tgt ), t ( s ) = e ;
t
−t
2t
в) r (t ) = (e , e , e ), t ( s ) = ln s .
5. Найти частные производные ru , rv , ru , rv , ruv от вектор-функции r (u , v ) :
(
2
)
2
а) r (u, v ) = e , ln(u + v ), u + v ;
uv
2
(
)
б) r (u , v ) = sin(u + v ), cos(u − v ), tg (u + v) ;
2
(
)
в) r (u, v ) = arctg u , arcsin 2v, arccos(u + v ) ;
2
2
г) r (u , v ) = e a + ln(uv )b , где a и b постоянные векторы пространства E3 .
2
u v
2
6. Найти производную r ′ сложной вектор-функции:
(
)
а) r (u , v ) = u + v, u − v, uv , u (t ) = t , v (t ) = t + 3 ;
2
2
u


t
−t
v


в) r (u, v ) = (cos u ⋅ cos v, sin(u ⋅ v ), sin(cos v ) ), u (t ) = t , v (t ) = 3t .
7. Найти производные rt ′ и rs′ сложной вектор-функции r (u (t , s ), v (t , s )) , если:
б) r (u, v ) =  ln(uv), ln , ln(u + v) , u (t ) = e , v (t ) = e ;
u

v

1
s
 3
2
б) r (u , v ) =  u v , 3 uv , , u = st , v = , t > 0, s > 0 ;
uv 
t

 2u u v 
в) r (u , v ) =  e , e v , e , u = ln(st ), v = ln t .


а) r (u , v ) =  u + v, uv, , u = s − t , v = s + t ;
8. Найти производную от скалярного произведения вектор-функций m (t ) и n (t ) :


1
t
а) m (t ) =  t , t , , n (t ) =
2
(
)
t , t, t 3 + 1 ;


1
2
б) m (t ) = (sin t , cos t sin 2t ,2 cos 3t ), n (t ) =  cos 2t ,1,  ;
(
в) m (t ) = ln t , ln t , ln e
2
tgt
), n (t ) =  2, 12 , ctgt  .


9. Найти производную от векторного произведения вектор-функций m (t ) и n (t ) :
1
 t2 2 

а) m (t ) =  t ,0, 2 , n (t ) = 
, t ,0  ;
t 

t +1

1


б) m (t ) = (cos t , tgt , ctgt ), n (t ) =  ctgt ,
,0  ;
cos t 

t
в) m (t ) = ln t ⋅ a + e ⋅ b , n (t ) = e′ ⋅ a + ln t ⋅ b , где a и b – постоянные векторы пространства E3 .
Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Угол между кривыми
122
Основные факты
Пусть С – гладкая элементарная кривая, f (t) – вектор–функция, задающая ее регулярную параметризацию, а Р= f (t0) – некоторая точка этой кривой. Тогда вектор f ′(t0)
называется касательным вектором кривой С в точке Р (рис. 2).
Рис. 2.
Рис. 3.
Прямая, проходящая через точку Р в направлении касательного вектора называется
касательной прямой в точке Р. При этом точка Р называется точкой касания. Направление касательной в точке не зависит от выбора параметризации.
(4)
(5)
r (τ)= f (t0)+τ f ′(t0) – параметрическое уравнение касательной.
у=f(х0) – уравнение касательной к кривой, заданной явно.
Теорема (геометрическое свойство касательной).При стремлении точки Q кривой С к точке Р этой кривой предел отношения расстояния δ от точки Q до касательной в точке Р к расстоянию d \от Q до Р равен нулю: lim
Q→P
δ
d
=0.
Касательная является единственной прямой,
обладающей этим свойством (рис. 3).
Если две кривые С1 и С2 проходят через
одну точку Р, то углом между данными
кривыми называется угол между их
касательными в этой точке. Плоскость,
содержащая точку Р кривой С и ортогональная
касательной прямой, называется нормальной
плоскостью кривой С в точке (рис. 4).
Рис. 4.
Примеры решения типовых задач
Задача 3
Найти уравнения касательной и нормали кривой, определяемой вектор–
функцией f (t)=( t ,t3), в точке с параметром t0=1.
Решение
f ′(t)=(
1
, 3t2);
2 t
1
f ′(t0)=( , 3) – направляющий вектор касательной.
2
f (t0)=(1,1) – точка касания.
Тогда каноническое уравнение искомой касательной имеет вид:
123
х −1 y −1
=
, или 6х–у–5=0.
1
3
2
Нормаль кривой имеет направляющий вектор, перпендикулярный касательной:
n (6,–1).
Поэтому уравнение нормали имеет вид:
х −1 y −1
=
, или х+6у–7=0.
6
−1
Задача 4
Найти координаты точек параболы у=х 2+2х–1, в которых касательная параллельна прямой 2х–у+3=0.
Решение
Данную параболу можно задать параметризацией f (t)=(t, t2+2t–1).
f ′(t)=(1, 2t+2) – направляющий вектор касательной.
Из условия параллельности прямой и вектора следует:
2⋅1–(2t+2)=0.
Отсюда t=0. Значит, искомая точка имеет координаты (0,–1).
Задача 5
Даны уравнения кривых: у=sin x, y=cos x, х∈[0,
π
2
]. Найти координаты их точ-
ки пересечения и угол между ними.
Решение
Координаты точки пересечения кривых являются решениями системы уравнений
 y = sin x
π
. Из системы следует, tg x=1, х= , следовательно, кривые пересекаются в

4
 y = cos x
π 2
точке ( ,
).
4 2
Первая кривая задается параметризацией f (t)=(t, sin t), а вторая – параметризацией g (t)=(t, cos t). Найдем направления касательных данных кривых:
f ′(t)=(1, cos t), g ′(t)=(1,–sin t);
f ′(t)=(1,
2
2
), g ′(t)=(1, –
).
2
2
`Угол между кривыми равен углу между их касательными в точке пересечения:
cos ϕ=
1− 1
1
1
2
= , ϕ=arccos .
3
3
1+ 1 ⋅ 1+ 1
2
2
Задача 6
Кривая задана как линия пересечения поверхностей Ф1: ху=z и
2
Ф2: х +у2=2. Найти уравнения касательной кривой в точке М(1,–1,–1).
Решение
Найдем параметризацию кривой в точке М. Пусть у=t, тогда х= 2 − t ,
2
124
z=t 2 − t . Тогда параметризация кривой в окрестности точки М имеет вид:
2
f (t)=( 2 − t 2 , t, t 2 − t 2 ).
Найдем f ′(t):
f ′(t)=( −
t
2 − t2
2−t −
2
, 1,
t2
2−t2
).
Точке М соответствует параметр t0=–1.
f ′(–1)=(1,1,0) – направляющий вектор касательной.
 x = 1+ t

Тогда параметрические уравнения касательной имеют вид:  y = −1 + t .
 z = −1

Задача 7
Кривая задана параметризацией f (t)=( t , t2, t3). Существует ли точка этой
кривой, в которой касательная перпендикулярна плоскости x+у+2z+3=0?
Решение
Направляющий вектор касательной к данной кривой в произвольной точке имеет
вид: f (t)=(
1
2 t
, 2t, 3t2).
Этот вектор коллинеарен нормальному вектору данной плоскости, тогда:
1
2 t
=2t=
3 2
t.
2
Из равенства 2t=
шению
1
2 t
3 2
4
t получим: t=0, t= . Эти значения не удовлетворяют соотно3
2
=2t. Поэтому искомой точки не существует.
Задачи для самостоятельного решения
10. Дана вектор-функция r (t ) , определяющая параметризацию кривой. Найти уравнение
касательной и нормали кривой в точке с параметром t i .
а) r (t ) =
(
)
t , t 3 , t1 = 1 ;
2
б) r (t ) = (t , t ), t1 = 0, t 2 = 1, t 3 = −1, t 4 = 5
в) r (t ) = (a sin t , b cos t ), t1 = 0, t 2 = π , t 3 =
π
, t4 =
2
г) r (t ) = (a cht , b sht ), t1 = 0, t 2 = 1, t 3 = −1 ;
д) r (t ) = (a (t − sin t ), a (1 − cos t ) ), t1 =
π
2
3π
;
2
.
11. Дано уравнение линии. Найти уравнение касательных и нормалей в указанных точках:
2
а) y = x + 3, M 1 ( −1,4) ;
б)
a 3 
x2 y2
 , b  ;
+
=
1
,
M
(
0
,
b
),
M
1
2
a2 b2
2 2 
125
в)
x2 y2
−
= 1, M 1 (−a,0) .
a2 b2
12. Найти координаты точек параболы y = x + 2 x − 1 , в которых касательная параллельна прямой 2 x − y + 3 = 0 .
2
13. Найти точку, в которой касательная параболы y = x + 2 образует с осью Ох угол, рав2
ный
π
4
?
14. Дана вектор-функция r (t ) = (t , t ) , определяющая параметризацию кривой. Найти
координаты точек этой кривой, в которых касательные проходят через точку M ( −1,−3) .
2
15. Дана вектор-функция r (t ) = (t , t − 1) , определяющая параметризацию кривой. Най3
2
ти такие ее точки, в которых касательные параллельны прямой 2 x + y − 3 = 0 .
x2 y 2
x2 y2
16. Доказать, что касательные к эллипсу 2 + 2 = 1 , гиперболе 2 − 2 = 1 и параболе
a
b
a b
2
y = 2 px в точке M ( x0 , y0 ) , принадлежащей соответствующей кривой, имеют вид:
xx0 yy0
xx
yy
+ 2 = 1, 20 − 20 = 1, y0 y = p ( x + x0 ) .
2
a
b
a
b
17. Дано, что все нормали кривой проходят через одну точку. Доказать, что кривая является либо окружностью, либо частью окружности.
18. Даны уравнения кривых. Найти координаты их точек пересечения и углы, под которыми они пересекаются:
 π
;
 2 
а) y = sin x, y = cos x, x ∈ 0,
б) y = x, x = y ;
2
2
π
y = tg x, y = ctg x, x ∈ (0, ); ;
2
2
2
г) y = 2 x − 2 x, y = 2 x − 2 x ;
2
2
2
2
д) x + y = 4, x + y + x = 4 ;
2
2
е) x − y = 1, xy = 1 .
19. Дана параметризация r (t ) кривой. Найти уравнения касательных в точках кривой, соответствующих параметрам t i :
в)
(
)
а) r (t ) = e , ln t , 4 t , t1 = 1 ;
(
t
3
)
б) r (t ) = 2t , t , t + 1 , t1 = 0, t 2 = 1 ;
2
t + 1

t3 ,
, t1 = 1, t 2 = 4 ;
t 

2t
−t
t
г) r (t ) = (e , e , e ), t1 = 0, t 2 = 1, t 3 = −1 ;
в) r (t ) =  t ,2t +
д) r (t ) = (cos t , sin t , tgt ), t1 =
π
4
, t2 =
π
, t3 =
5π
;
6
3
1
1
2
е) r (t ) = (arcsin t , arccos t ,2t + 1), t1 = , t 2 = 0, t 3 = −
.
2
2
126
20. Кривая задана как линия пересечения поверхностей P1 и P2 . Найти уравнения касательной кривой в точке М:
2
2
а) P1 : xy = z , P2 : x + y = 2, M (1,−1,−1) ;
б) P1 : xy = z , P2 : x = y , M ( −2,4,−8) ;
2
в) P1 : x + y = 4, P2 : y + z = 4, M ( 2,0,2) .
2
2
2
2
21. Дана параметризация кривой r (t ) = ( t , t , t ) . Существует ли точка этой кривой, в
которой касательная перпендикулярна плоскости x + y + 2 z + 3 = 0 ?
2
3
22. Дана параметризация кривой r (t ) = (t ,2t ,−7t ) . Найти уравнения таких ее касательных, которые параллельны плоскости x − y + z = 0 .
23.
Кривая,
параметризация
которой
определена
вектор-функцией
r (t ) = (a cos t , a sin t , bt ) , называется винтовой линией. Доказать, что она расположена на
цилиндре, а ее касательная в каждой точке составляет постоянный угол с образующей цилиндра. Найти этот угол.
24. Доказать, что касательная кривой, принадлежащей пересечению поверхностей
P1 : x 2 = y и P2 : 2 xy = 3 z , образуют постоянный угол с вектором p (1,0,1) . Найти этот
угол.
25. Выяснить, пересекаются ли кривые, заданные своими параметризациями r (t ) и g (t ) .
Если пересекаются, то найти координаты их общей точки и угол между ними:
2
3
а) r (t ) = (t , t ,2t ), g (t ) = ( −t ,−t ,−2t ) ;
3
1
t
2
б) r (t ) = (t + , t ,8), g (t ) = (3t , t , t ) ;
2


3
1
t
1
t
в) r (t ) = (3,2cht ,2sht ), g (t ) =  2t + 1, t + , t −  .
2
Длина кривой. Натуральная параметризация
Основные факты
Пусть элементарная кривая С задана векторной параметризацией f :[a,b]→ℜ3.
Длиной кривой С называется предел, к которому стремится длина вписанных в нее
ломаных при неограниченном возрастании числа звеньев ломаной и неограниченном убывании их длин.
Кривая С называется спрямляемой, если ее длина конечна.
Теорема. Всякая элементарная гладкая кривая С спрямляема; ее длина может
быть найдена по формуле:
b
(6)
S= | f ′(t ) | dt , где f – произвольная регулярная параметризация кривой С.
∫
a
Если f (f1, f2, f3), то длину кривой можно вычислить по формуле:
b
(6′)
S=
∫
′2
′2
′2
f 1 + f 2 + f 3 dt .
a
Если плоская кривая задана явно уравнением у=f(х), то формула для вычисления
длины кривой примет вид:
127
b
(6′′)
S=
∫
2
1 + f ′ dх .
a
Если в качестве параметра кривой выступает длина дуги s∈[0,S], то такая параметризация называется натуральной, или естественной. Естественную параметризацию кривой принято обозначать g (s)
Касательный вектор в естественной параметризации, т.е. вектор g ′(s), имеет единичную длину. Такой вектор называется единичным вектором касательной и обозначается t .
Примеры решения типовых задач
Задача 8
Найти длину кривой между точками М0 и М1, если кривая определена параметризацией f (t)=(е t cos t, е t sin t, е t), точке М0 соответствует параметр t=0, а точке М1 –
параметр t=π.
Решение
Найдем f ′(t):
f ′(t)= (е t cos t–е t sin t, е t sin t+е t cos t, е t)= е t (cos t–sin t, sin t+cos t, 1).
2
Тогда | f ′(t)|= f ′ (t ) =е t (cos t − sin t ) + (sin t + cos t ) + 1 = е t 3 .
Воспользуемся формулой (6):
2
2
π
S= 3
∫ е dt =
t
3 (еπ–1).
0
Задача 9
Найти длину дуги одного витка кривой:

 x = a (t − sin t )

 y = a (1 − cos t ) , где а>0, t∈(–∞,+∞)

t
 z = 4a cos 2
между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью Охz.
Решение
Данная кривая пересекает плоскость Охz, если у=0. Отсюда следует, что
cos t=1.
t=0 и t=2π – значения параметра t между соседними точками пересечения с плоскостью Охz.
х′(t)=a(1–cos t), у′(t)=a sin t, z′(t)=–2a sin
2π
S=
∫ 2 2a sin
0
t
t
dt =–4 2 аcos
2
2
t
. Тогда по формуле (6′) имеем:
2
2π
=8 2 a.
0
Задача 10
Найти натуральную параметризацию кривой, определенной вектор–функцией
128
f (t)=(
1 2 2 2 32
t , t).
t,
2
3
Решение
Найдем f ′(t):
Пусть t0=0.
Тогда | f ′(t)|=
f ′(t)=(t, 2t ,1).
2
f ′ (t ) = t 2 + 2t + 1 =|t+1|. Так как t≥0, то | f ′(t)|=t+1.
t
∫
По формуле (6) имеем: s= (t + 1) dt =
0
1 2
t +t. Выразим t через s:
2
2
t +2t–2s=0, отсюда t=–1± 1+ 2 s . Учитывая, что t≥0, имеем: t= 1+ 2 s –1.
Заменив параметр t на параметр s в параметрическом представлении f (t) кривой,
получим натуральную параметризацию g (s):
g (s)=(
3
1
2 2
( 1 + 2 s − 1) 2 , 1+ 2 s –1).
( 1+ 2 s –1)2,
2
3
Задачи для самостоятельного решения
26. Найти длину кривой между точками M 0 и M 1 , если кривая:
а) определена параметризацией r (t ) = (e cos t , e sin t , e ) , точке M 0 соответствует параметр t = 0 , а M 1 – параметр t = π ;
б) определена параметризацией r (t ) = ( a cos t , a sin t , bt ) (винтовая линия), точке M 0 соt
t
ответствует параметр t = 0 , а точке M 1 – параметр
M 1 − t = 2π ;
t
t = 2π
;


t
2
в) определена параметризацией r (t ) =  a (t − sin t ), a (1 − cos t ),4a cos  , M 0 и M 1 две последовательные точки ее пересечения с плоскостью Oxy ;
г) принадлежит пересечению поверхностей x = 3a y и 2 xy = a , точки M 1 и M 2 яв3
2
2
a
и y = 9a ;
3
д) определена параметризацией r (t ) = ( acht , asht , at ) , точкам M 0 и M 1 соответствуют параметры t 0 и t1 .
ляются точками пересечения кривой и плоскостей y =
27.
Вычислить
длину
замкнутой
кривой,
определенной
параметризацией
r (t ) = (cos t , sin t , cos 2t ) .
3
3
28. Найти натуральную параметризацию кривой, определенной вектор-функцией r (t ) :
3
t2 2

а) r (t ) =  ,
2t 2 , t  ;
2 3

б) r (t ) = ( 2 − 2t ,3 + t ,2t ) ;
в) r (t ) = ( a cos t , a sin t , bt ) ;
t
t
t
г) r (t ) = (e cos t , e sin t , e ) ;
129
3
t
 1 2t

t 4 2

.
r
(
t
)
=
e
+
3
,
2
e
,
e
+
1
д)
2

3


 2

2 2 1
cos 2 t ,
sin t , sin 2t  является
2
2
 2

29. Доказать, что параметризация кривой r (t ) = 
натуральной.
Вопросы для самоподготовки
1. Дайте определение элементарной кривой. Какие существуют способы задания кривой?
2. В каком случае параметризация кривой называется регулярной? Какая кривая называется гладкой?
3. Дайте определение вектор–функции одной переменной. Как с помощью вектор–
функции задать кривую?
4. Дайте определение предела, непрерывности, производной и интеграла вектор–
функции одной переменной. Перечислите основные алгебраические операции над вектор–
функциями и правила дифференцирования.
5. Дайте определение касательного вектора и касательной к кривой в точке. Каким геометрическим свойством обладает касательная? Напишите уравнение касательной.
6. Дайте определение длины кривой. В каком случае кривая называется спрямляемой? По
какой формуле вычисляется длина кривой, заданной регулярной параметризацией; заданной явно?
7. Какая параметризация кривой называется естественной, или натуральной? Дайте определение единичного вектора касательной.
130