А.И.Маркушевич ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТОМ II

А.И.Маркушевич
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ТОМ II. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму тому
Глава пятая
Конформные отображения. Применение к вопросам приближения
функций многочленами
§ 1. Отображения посредством аналитических функций. Критерии
однолистности
§ 2. Теоремы существования Римана и Гильберта. Свойства однолистных
функций
§ 3. Соответствие границ. Строение границы односвязной области
§ 4. Теорема С. Н. Мергеляна. Многочлены Фабера и теорема С. Н.
Бернштейна. Многочлены, ортогональные по площади области
Глава шестая
Гармонические и субгармонические функции. Гидромеханический смысл
аналитических функций. Функции ограниченного вида
§ 1. Гармонические функции. Задача Дирихле и функция Грина для
односвязной области
§ 2. Гидромеханический смысл аналитических функций комплексного
переменного. Профили Жуковского — Чаплыгина
§ 3. Субгармонические функции. Обобщенный принцип максимума
модуля и его приложения
§ 4. Формула Пуассона — Иенсена
§ 5. Функции ограниченного вида
§ 6. Граничные свойства функций ограниченного вида
Глава седьмая
Целые и мероморфные функции
§ 1. Рост целой функции. Порядок и тип
§ 2. Разложение в бесконечное произведение. Связь между ростом целой
функции и ее нулями
§ 3. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби
§ 4. Гамма-функция
§ 5. Периодические функции
§ 6. Эллиптические функции и функции, связанные с ними. Тета-функции
§ 7. Характеристическая функция T (p)
Глава восьмая
Понятие римановой поверхности. Аналитическое продолжение
§ 1. Понятие поверхности. Абстрактная риманова поверхность
§ 2. Триангуляция поверхности. Внутренние отображения
§ 3. Риманова поверхность в собственном смысле слова
§ 4. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция и
аналитический образ
5
7
27
62
92
143
171
193
214
226
235
243
272
290
303
324
337
406
436
446
457
474
§ 5. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Прямолинейная
484
звезда элемента. Аналитический образ как риманова поверхность
§ 6. Особые точки. Алгебраические функции
520
§ 7. Принцип симметрии. Отображение полуплоскости на произвольный
543
многоугольник
§ 8. Модулярная функция. Критерий нормальности. Большая теорема
562
Пикара и прямые Жюлиа
Приложение. О базисе в пространстве аналитических функций
574
Литература ко второму тому
618
Предметный указатель
621
Предметный указатель
— теорема 272
Абеля метод суммирования 166
— —, обобщение 301
Абстрактная риманова поверхность
Векторное топологическое
441
пространство 501
Адамара теорема 282
Верхняя подобласть 91
— — о трех кругах 202
Вихрь скорости 173
Алгебраическая точка разветвления
Внутреннее отображение 449
524
Вращения теоремы 50
Алгебраические функции 541
Выделенная окрестность 440
Аналитическая функция,
Гамма-функция 303
гидромеханический смысл 171
Гармоническая мажоранта 198
— —, полная 477
Гармонические функции 144
— —, элемент 476
— — сопряженные 144
Аналитические отображения,
Гармонический многочлен степени п
теорема о сохранении области 7
145
Аналитический образ 483
Гарнака теорема 158
Аналитическое продолжение 475
Гаусса формула 310
— — непосредственное 474
Гидромеханический смысл
Аргумента обобщенный принцип 88
аналитических функций 171
Базис в пространстве аналитических
Гильберта теорема 60
функций 574
Граничные значения функции
— — узком смысле слова 580
радиальные 236
— — широком смысле слова 570
— — — угловые 238
Бернштейна теорема 123
Граничный элемент 77
Бернштейна — Уолша лемма 121
— — второго рода 82
Бесконечного порядка функция 214
— — первого рода 82
— типа функция 245
— — третьего рода 83
Бибербаха гипотеза 58
— — четвертого рода 83
Бляшке произведение 226
Грина функция 168
— функция 226
Двойные логарифмические спирали
Большая теорема Пикара 569
183
Бореля преобразование 581
Двойственности принцип в задачах
— теорема 285
полноты и единственности 583
Вейерштрасса дзета-функция 372
Двоякопериодическая функция 327
Двумерное многообразие 438
Двухсторонняя поверхность 450
Дефект значения 412
Дефектное значение 411
Дзета-функция Вейерштрасса 372
— — Римана 372
Дирихле проблема 160
Дополнительный модуль функции
Якоби 398
Достижимая дуга границы 90
— точка границы 72
Дроби простейшие 294
Дуга жорданова свободная 90
Единственности теорема для
конформных отображений 36
— — — радиальных граничных
значений 239
Естественная граница функции 479
Жорданов интервал 78
— криволинейный полуинтервал 62
Жуковского теорема 193
Жуковского — Чаплыгина профиль
190
Жюлиа лучи 572
Звезда элемента прямолинейная 491
Значение дефектное 411
Иенсена неравенство 220
Иенсена — Пуассона формула 215
Инварианты функции V(z) 358
Индикатриса роста функции 257
— функции 263
Интеграл Пуассона 151
— —, ядро 151
Интегральная теорема Коши
обобщенная 100
Исключительное значение 411
Каратеодори область 125
— теорема об областях с
переменными границами 39
Келдыша теорема 100
k-листная функция 10
Комплексный потенциал 174
Конец простой 77
Конечного порядка функция 244
— типа функция 245
Конформный радиус области 36
Криволинейный полуинтервал 62
— — жорданов 62
— —, предельное множество 62
Круг элемента 482
Куранта теорема 92
Лаврентьева теорема 104
Лапласа уравнение 144
Лежандра соотношения 374
Линделефа — Фрагмена теорема 206
Линия тока 175
Лист Мёбиуса 439
Логарифмическая точка
разветвления 524
Логарифмические спирали двойные
183
Локальный параметр 440
Лучи Жюлиа 572
Мажоранта гармоническая 198
Максимального типа функция 245
Максимум модуля целой функции
243
Малая теорема Пикара 565
Мёбиуса лист 439
Мергеляна теорема 105
Мероморфная функция 290, 292, 302
— — первая основная теорема 410
— —, разложение на простейшие
дроби 290
— —, характеристическая функция
411
Минимального типа функция 245
Миттаг-Леффлера разложение в
прямолинейной звезде 495
— — теорема 294
— — —, обобщение 300
m-листная поверхность 462
Многолистная функция 10
Многообразие двумерное 438
Многочлен гармонический степени»
я 145
Многочлены Фабера 114
Модель римановой поверхности 460
Модуля обобщенный принцип
максимума 197
Модулярная функция 565
Монодромии теорема 488
Неориентируемая поверхность 451
Непосредственное аналитической
продолжение 474
Неразветвленный элемент 482
Неразрывности уравнение 173
Нижняя подобласть 91
Нормального типа функция 245
Норма, соответствующая
равномерной сходимости
внутри области 501, 574
Нормальное семейство 567
— —, критерий 567
Области с переменными границами,.
теорема Каратеодори 39
Область Каратеодори 125
— существования полной
аналитической функции 477
— элемента 476
Обобщенная интегральная теорема
Коши 100
Обобщенный принцип аргумента 88
— — максимума модуля 197
Обращение эллиптического
интеграла 363
Ограниченного вида функция 228,
240
Однозначная ветвь функции 477
Однолистная функция 10
— —, предел равномерно
сходящейся
последовательности 26
Однолистности условия 13
Однопериодическая функция 325
Односторонняя поверхность 451
Окрестность выделенная 440
Ориентация треугольника 446
Ориентированный треугольник 446
Ориентируемая поверхность 450
Ортогональные и нормированные по
площади многочлены 133
Основной параллелограмм периодов
327
Особые точки 520
Особый недостижимый граничный
элемент 529
Отображение внутреннее 449
Параметр локальный 440
Парсеваля равенство 136
Пенлеве метод 495
Период основной 325, 327
— функции 324
Периодическая функция 324
Периодов основной параллелограмм
327
— полоса 329
Пикара теорема большая 569
— — малая 565
Площадей теорема 43
Поверхности триангуляция 447
Поверхность двухсторонняя 450
— m-листная 462
— неориентируемая 451
— односторонняя 451
— ориентируемая 450
— риманова 459, 462
— — абстрактная 441
— топологическая 438
Подчиненные элементы 483
Подчиненный элемент 477
Показатель сходимости
последовательности 278
Полная аналитическая функция 477
— — —, область существования 477
Полнота системы аналитических
функций 579
Полоса периодов 329
Полуинтервал криволинейный 62
— — жорданов 62
Порядок целой функции 244
Последовательность областей, ядро
38
Потенциал комплексный 174
— скоростей 174
Потенциала равного кривые 175
Поток 172
Правильная аналитическая кривая
462
Предельное множество
криволинейного полуинтервала
62
Продолжение аналитическое 475
— — вдоль кривой 484
Простейшие дроби 294
Простой конец 77
Простопериодическая функция 325
Пространство аналитических
функций, базис 574
— векторное топологическое 501
Профиль Жуковского — Чаплыгина
190
Прямолинейная звезда элемента 491
Пуассона — Иенсена формула 215
Пуассона интеграл 151
— метод суммирования 166
Радиус области конформный 36
— элемента 482
Разветвления точка 461
— — алгебраическая 524
— — логарифмическая 524
— — трансцендентная 524
Разветвленный элемент 482
Разложение рациональной функции
на простейшие дроби 294
Решетка параллелограммов 326
Римана дзета-функция 372
Римана — Шварца принцип 543
Риманова поверхность 459, 462
— — абстрактная 441
— —, модель 460
— — функции 468
Род целой функции 288
Ряд сверхсходящийся 500
Свободная жорданова дуга 90
Семейство нормальное 567
Сигма-функция 374
Симметрии принцип 543
Соотношение дефектов 412
Сопряженные гармонические
функции 144
Спирали логарифмические двойные
183
Стирлинга формула 323
Субгармоническая функция 193
Суммирование, метод Пуассона (ил»
Абеля) 166
— ряда 166
Существования теорема Римана 32
Сходимость в среднем 132
Счетная база 437
Тета-функции Якоби 394
Течение, характеристическая
функция 174
Тока линия 175
Тока функция 175
Топологическая поверхность 438
Топологическое пространство 436
Трансцендентная точка разветвления
524
Треугольника ориентация 446
Треугольник ориентированный 446
Триангуляция поверхности 447
Тригонометрический многочлен 333
Уолша — Бернштейна лемма 121
Усиленная линейная независимость
577
—Фабера многочлены 114
— —, производящая функция 117
Фату теорема 237
Фрагмена — Линделёфа теорема 206
Функции максимального типа 245
— с интегрируемым квадратом
модуля 132
— Функция бесконечного порядка
244
— — типа 245
— Бляшке 226
— гармоническая 144
— — сопряженная 144
— Грина 168
— двоякопериодическая 327
— n-мерная 10
— конечного порядка 244
— — типа 245
— мероморфная 290, 292, 302
— минимального типа 245
— многолистная 10
— модулярная 565
— нормального типа 245
— ограниченного вида 228, 240
— однолистная 10
— однопериодическая 325
— периодическая 324
— простопериодическая 325
— субгармоническая 193
— тока 175
— экспоненциального типа 252
Функция эллиптическая 327
Фурье коэффициенты 134
— разложение 136
— — целой периодической функции
333
Характеристическая функция
мероморфной функции 411
— — течения 174
Христоффеля — Шварца формула
549
Центр элемента 482
Целая функция, порядок 244
— —, род 288
Цепь элементов 476
Циркуляция скорости 173
Чаплыгина — Жуковского профиль
190
Чаплыгина формула 192
Чебышева многочлены 116
Шварца формула 153
Шварца — Римана принцип 543
Шварца — Христоффеля формула
549
Эйлера постоянная 306
— формула 310
Эйлеров интеграл 310
Экспоненциального типа функция
252
Элемент аналитической функции 476
— граничный 77
— круговой 481
—, прямолинейная звезда 491
— функции 477
Эллиптическая функция 327
Ядро интеграла Пуассона 151
— последовательности областей 38
Якоби тета-функции 394
— эллиптические функции 387