методика синтеза системы управления синхронным двигателем

 «Вестник ИГЭУ» Вып. 3 2005 г.
УДК 621.313.323
МЕТОДИКА СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
СИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
НА ОСНОВЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
В.Ф. Глазунов, д. т. н., проф.; В.В. Пикунов, к. т. н., доц.; А.А. Репин, магистр
Представлена методика синтеза системы управления, обеспечивающей высокую точность отработки синхронным электроприводом заданных технологических уставок.
При решении задач комплексной автоматизации
промышленного производства все более широкое
применение получают электроприводы (ЭП) переменного тока, в том числе и на основе синхронных двигателей (СД).
В последнее время в ЭП малой мощности часто
применяют СД, в которых для создания поля возбуждения используются постоянные магниты [1]. Постоянное совершенствование современных микропроцессорных средств сделало возможной программную
реализацию весьма сложных законов управления ЭП
с синхронными двигателями на постоянных магнитах
(СДПМ), в частности законов многоканального (векторного) управления. Теория синтеза многоканального
управления, снимающая практически все ограничения
по размерности управляемого объекта и характеру
нелинейных взаимодействий в нем, получила свое
продолжение в рамках синергетического подхода [2].
Развитие этого концептуально нового подхода
создало реальные предпосылки к разработке и реализации более эффективных законов управления в
управляемом ЭП переменного тока для дальнейшего
наращивания его качественных характеристик. В этой
связи широкое использование СДПМ в ЭП малой
мощности обусловило актуальность применения синергетического подхода при синтезе векторных регуляторов для ЭП на базе таких двигателей.
На основе общепринятых допущений и упрощений [3] получим в начале нелинейную математическую
модель СДПМ в виде системы дифференциальных
уравнений в форме Коши.
В системе координат dq [4], вращающейся вместе с ротором, с учетом уравнений баланса напряжений обмоток статора, уравнений для компонентов вектора потокосцепления обмоток статора и уравнения
движения ротора [3] нелинейная модель СДПМ будет
иметь следующий вид:
 dγ эл
 dt = ωэл ;

 dωэл 3 pп2 (Ld − Lq )
3 p 2Ψ
p
=
i d i q + п пм i q − п M с ;

2J
2J
J
 dt

L
1
di
R
q
 d =
Ud −
id +
i q ωэл ;
 dt
Ld
Ld
Ld

 di q = 1 U − R i − Ld i ω − Ψпм ω .
q
q
d эл
эл
 dt
Lq
Lq
Lq
Lq

(1)
где R – активное сопротивление обмотки статора;
Ld , Lq – индуктивности обмотки статора по осям
осям d и q; Ud , Uq – компоненты вектора напряжения
статора по осям d и q; ωэл – электрическая скорость
вращения ротора; γ эл – электрический угол поворота
ротора; Ψпм – потокосцепление постоянных магнитов;
pп – число пар полюсов; J – суммарный момент
инерции, приведенный к валу двигателя; Mc – статический момент сопротивления на валу двигателя.
Представим (1) в форме пространства состояний
[1]:
x = A(x )x + Bu − Gϑ ,
(2)
4
где x ∈ ℜ – вектор фазовых координат:
x1 = γ эл , x 2 = ωэл , x3 = i d , x 4 = i q ;
u ∈ ℜ2 – вектор управляющих воздействий:
u1 = U d , u 2 = U q ;
ϑ = M c – измеряемое возмущение;
1
0

0
0

A(x ) = 0
0


0 − Ψпм

Lq
0

0
1
B=
 Ld

0

0
3 pп2 (Ld − Lq )
2J
−
−
x4
R
Ld
Ld
x2
Lq
0 
3 pп2Ψпм 

2J 
Lq
;
x2 
Ld

R 
−
Lq 
0
0

0
 pп 
0  ;G =  J  .
0

 
1
 0 

Lq 
Определим далее типы инвариантов, которые
должна отрабатывать синтезируемая система управления СДПМ.
Из синергетической теории управления известно,
что совокупность критериев управления или набор
желаний проектировщика системы принято выражать
в виде соответствующей системы инвариантов [2].
СДПМ как объект управления имеет только два
управляющих канала, поэтому для него можно задать
не более двух инвариантов. Первым определим технологический инвариант, в качестве которого примем
стабилизацию частоты вращения вала двигателя
φ1 = x 2 − x 20 = 0 ,
(3)
d и q; i d , i q – компоненты вектора тока статора по
 ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
1
 «Вестник ИГЭУ» Вып. 3 2005 г.
где x 20 – заданная частота вращения вала.
Для обеспечения максимального электромагнитного момента при фиксированном токе статора необходимо, чтобы продольная составляющая тока статора i d была равна нулю. Исходя из этого, второй (электромагнитный) инвариант будет выглядеть следующим образом:
φ2 = x3 = 0 .
(4)
Согласно процедуре аналитического конструирования агрегированных регуляторов [2] для модели (2)
вводится вектор агрегированных макропеременных
Ψ1 ∈ ℜ2. Очевидно, что на данном этапе синтеза возможно решение задачи выполнения инварианта (4),
тогда вектор макропеременных выбираем в следующем виде [1]
(
)
Ψ1 = P x1 + ϕ1 ,
где
1
[
= [0
Ψ =
1
ϕ
]
T
Ψ21
Ψ11
]
T
ϕ12
которая должна удовлетворять решению дифференциального уравнения
2 + λ2Ψ2 = 0 ,
Ψ
1
1 1
2
где λ1 > 0 обеспечивает асимптотически устойчивое
решение уравнения (9).
Очевидно, что решением дифференциального
уравнения является Ψ12 = 0 , из чего следует, что в
замкнутой системе при попадании изображающей точки в окрестность многообразия Ψ12 = 0 будет выполняться технологический инвариант (3).
Из совместного решения (7) – (9) определим
внутреннее управление:
ϕ12 =
(5)
– вектор внутренних управлений;
При этом вектор макропеременных (5) должен удовлетворять решению векторного дифференциального
уравнения [1]:
(6)
)
1
1
1
где Λ = diag λ1, λ 2 .
Для обеспечения асимптотической устойчивости
решения уравнения (6) необходимо выполнение следующего условия [1]:
1
По окончании переходных процессов Ψ = 0 ,
скорость протекания которых обусловливается вели-
чинами λ11 и λ12 , происходит динамическая декомпозиция замкнутой системы [1]. Тогда движение изображающей точки замкнутой системы управления СДПМ
будет описываться нелинейным векторным дифференциальным уравнением второго порядка
где
x 1 = [x1
(7)
x 2 ] – декомпозированный вектор
T
состояния;
0


0 1 ~1
~1  0 
~
2


(
)
p
L
L
3
−
(
)
=  pп  .
G
=
A1 = 
;
B
x
;
п
d
q



 J 
0 0
2J


На следующем этапе синтеза для системы (7)
вводится макропеременная [1]
Ψ12 = x 2 − x 20 ,
(x2 − x 20 ) −
2
ϑ.
3 pпΨпм
(10)
( )
где
−1 

dϕ1
1
+ P −1Λ 1Ψ1  ,
 A (x )x +
dt



0
A1(x ) = 
0


1

L
1
B = d
0

−
0
−
Ψпм
Lq
−
R
Ld
Ld
x2
Lq
(11)

x2 
Ld
;
R 
−
Lq 
Lq

0
.
1
Lq 
Представим (11) после некоторых преобразований в виде системы дифференциальных уравнений:
λ11, λ12 > 0 ,
~
~
~
x 1 = A1x 1 + B1(x )ϕ12 − G1ϑ ,
3 pп2Ψпм
u = − B1
 x3 
 p11 p12 
x = ; P= 
 – числовая матрица.
x
 4
 p21 p22 
1
(
2λ21J
Далее, совместно решая (2), (5) и (6) с учетом
(10), определим элементы вектора управляющего
воздействия:
– вектор макропеременных;
1 + Λ 1Ψ1 = 0 ,
Ψ
(9)
(8)
U d = Ri d − Lq i q ωэл − Ld (ε11i d + ε12 i q ) −

 2λ21J


(ωэл − ωz эл ) − 2  ;
−
ε
L
 2
d
12

3 pпΨпм 
 3 pп Ψпм

U q = Ψпм ωэл + Ld i d ωэл + Ri q −

 − Lq (ε 21i d + ε 22 i q ) −

2
2 
 − L ε  2λ1J (ω − ω ) −
−
q 22 
z эл
эл
2

3
p

пΨпм 
 3 pп Ψпм

2


d  2λ1J
(ωэл − ωz эл ) − 2  ,
 − Lq
 2
3 pпΨпм 
dt  3 pп Ψпм

(12)
где ωz эл – заданная величина электрической скорости ротора СДПМ;
ε11 =
(
)
p11p22 λ11 − p12 p21λ12
p p λ1 − λ12
; ε12 = 12 22 1
;
p11p22 − p12 p21
p11p22 − p12 p21
ε 21 = −
(
)
p p λ1 − p11p22 λ12
p11p21 λ11 − λ12
; ε 22 = − 12 21 1
.
p11p22 − p12 p21
p11p22 − p12 p21
 ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
2
 «Вестник ИГЭУ» Вып. 3 2005 г.
Уравнения (12), по сути, и являются искомыми
уравнениями нелинейного векторного регулятора, который должен обеспечивать требуемое качество переходных процессов и выполнение СДПМ (1) введенных инвариантов (3) и (4).
При выводе векторных законов управления (12)
информация о возмущении ϑ (2), фактически представляющем собой момент нагрузки M c на валу двигателя, полагалась заранее известной. Однако очевидно, что в реальных условиях сколько-нибудь точное прямое измерение момента нагрузки практически
невозможно. Это обусловливает необходимость постановки задачи о косвенной оценке M c .
Метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов, являющийся основой теории
синергетического управления, позволяет осуществлять идентификацию координат объекта управления
при помощи асимптотических наблюдателей состояния и воздействий [2].
В первую очередь для построения наблюдателя
Mc необходимо расширить исходное математическое
описание объекта управления, дополнив его уравнениями, описывающими реальные возмущения как частные решения некоторых дифференциальных уравнений [2].
Для нашего случая правомерно принять на интервале наблюдения момент нагрузки постоянным.
Тогда расширенная система уравнений СДПМ будет
выглядеть следующим образом:
 dγ эл
= ωэл ;

 dt
 dωэл 3 pп2 (Ld − Lq )
p
3 p 2Ψ
i d i q + п пм i q − п M с ;
=

J
2J
2J
 dt
Lq
R
1
 di d
Ud −
id +
i q ωэл ;
=

Ld
Ld
Ld
 dt
 di q
R
L
1
Ψ
Uq −
i q − d i d ωэл − пм ωэл ;
=

dt
L
L
L
Lq
q
q
q

 dM
c

= 0.
 dt
[
]
[
(15)
]
где C = 0 0 0 0 ; D = 0 0 ; H = 0 .
Предположим, что для заданных функций
g(y, v, u) и h(y, v,u) найдутся такие векторы ϕ(y, v ) ,
γ (y, u) и матрицы Γ(y ) , L(y ) , что окажется выпол-
ненным равенство [2]
∂ϕ
∂ϕ
g(y,v,u) +
h(y,v,u) − L(y )ϕ(y, v ) =
∂v
∂y
= Γ(y )g(y,u,v ) + γ (y,u).
(16)
Тогда задача синтеза наблюдателя сводится к
нахождению функций ϕ(y,v ) , L(y ) , Γ(y ) и γ (y, u) ,
удовлетворяющих соотношению (16), подстановка
которых в приведенные ниже уравнения наблюдателя
обеспечит требуемую идентификацию вектора v .
Уравнения наблюдателя приведем без вывода [2]:
y

z = L(y )z − L(y ) Γ(y )dy − γ (y,u);

0

y

ϕ(y,v ) = Γ(y )dy − z ,

0
∫
(17)
∫
(13)
где v – асимптотическая оценка вектора неизмеряемых координат v объекта.
С учетом (15) уравнение (16) в нашем случае
примет вид
∂ϕ
[A(x )x + Bu − Gϑ] − L(y)ϕ(y, v ) =
∂y
= Γ(y )[A(x )x + Bu − Gϑ] + γ (y,u).
(18)
Нетрудно проверить, что функции
ϕ(y, v ) = ϑ , L(y ) = −
Представим (13) в виде [2]
y = g(y, v, u);

v = h(y, v, u),
y = x ;

v = ϑ ;

g(y, v, u) = A(x )x + Bu − Gϑ ;
h(y, v, u) = Cx + Du − Hϑ ,
(14)
где y – вектор измеряемых координат объекта; v –
вектор неизмеряемых координат объекта; u – вектор
управления; g(y, v,u) , h(y, v,u) – непрерывные нелинейные функции.
Задача синтеза наблюдателя заключается в построении асимптотической оценки вектора v по измеряемым значениям вектора y и известному, как
функции времени, вектору u [2].
Для рассматриваемого здесь случая с учетом
векторно-матричной модели СДПМ (2) очевидно, что
γ (y,u) =
pп
, Γ(y ) = [0 − 1 0 0] ,
J
3 pп2 (Ld − Lq )
3 p 2Ψ
y 3 y 4 + п пм y 4
2J
2J
удовлетворяют (18). Поэтому уравнения наблюдателя,
согласно (17), в обозначениях, введенных для систем
уравнений СДПМ (2) и (13), после некоторых преобразований будут выглядеть следующим образом:

3 pп (Ld − Lq )
pп 
id iq +
z = −
z + ωэл +
J 
2


3 pпΨпм 
iq  ;
(19)
 +
2


M = −ω − z ,
эл
 c

где Mc – искомая асимптотическая оценка момента
нагрузки на валу СДПМ.
 ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
3
 «Вестник ИГЭУ» Вып. 3 2005 г.
Очевидно, что совокупность систем уравнений
(1), (12) и (19) представляет собой полную нелинейную динамическую модель замкнутой синергетической
системы управления СДПМ.
Результаты расчета динамических характеристик
разработанной модели, полученные в среде Simulink
MATLAB 6.5, представлены на рисунке.
Расчет проводился при следующих параметрах
СДПМ, системы управления и нагрузки:
R = 39,81 (Ом);
λ11 = 30;
Ld = 7,757 (мГн);
λ12 = 40;
Lq = 6,5 (мГн);
Ψпм = 0,061 (Вб );
pп = 4;
(
λ21 = 20;
p11 = 1;
)
J = 1,247 ⋅ 10 − 4 кг ⋅ м2 ;
M c = 0,01 (Н ⋅ м);
p12 = 3;
p21 = 3;
p22 = 1.
Выводы
1) Синтезированная синергетическая система управления синхронным двигателем удовлетворяет введенным инвариантам и с высокой точностью отрабатывает заданные технологические уставки.
2) Принцип управления, совмещенный с идентификацией, позволяет обеспечить астатизм по скорости
электродвигателя, то есть практически полную инвариантность к возмущениям нагрузки на его валу.
3) Синергетический подход, в отличие от классических методов теории управления, позволяет осуществлять высокоэффективное, «не силовое» управление, согласующееся с существенно нелинейной и многосвязной структурой синхронного электропривода.
Список литературы
1. Синергетическое управление нелинейными электромеханическими системами / А.А. Колесников, Г.Е. Веселов, А.Н. Попов и др. – М.: Фирма «Испо-Сервис», 2000. –
248 с.
2. Колесников А.А. Основы теории синергетического
управления. – М.: Фирма «Испо-Сервис», 2000. – 264 с.
3. Глазунов В.Ф., Пикунов В.В., Митрофанов А.С.
Математическая модель синхронного двигателя с постоянными магнитами на роторе: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 6 / Под
ред. А.С. Карандаева, К.Э. Одинцова. – Магнитогорск: МГТУ,
2002. – С. 40–48.
4. Копылов И.П. Математическое моделирование
электрических машин: учеб. для вузов по спец. «Электромеханика». – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1994. –
318 с.
Результаты расчета динамических характеристик
математической модели электропривода
 ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
4