М.В. Грешнов16 Понятие финансового взаимодействие

УДК 658.11
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРИИ БИФУРКАЦИИ В АНАЛИЗЕ
ФИНАНСОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГОСУДАРСТВА И МАЛОГО БИЗНЕСА
М.В. Грешнов16
НОУ ВПО «Международный институт рынка»
443030, г. Самара, ул. Г.С. Аксакова, 21
E-mail: greshnov@imi-samara.ru
В статье рассматривается вопрос использования систем дифференциальных уравнений
и теории бифуркции как основы создание системы ограничений при моделировании
финансового взаимодействия государства и малого бизнеса. Цель использования
системы дифференциальных уравнений заключается в возможности проведения
бифуркционного анализа в пакетах имитационного моделирования для нахождения
устойчивого состояния (фокуса), которое впоследствии можно использовать как
конечную цель в процессе управления анализируемой социально-экономической системой.
Ключевые слова: финансовое взаимодействие государства и малого бизнеса, малый
бизнес, малое и среднее предпринимательство, теория бифуркации, системы
нелинейных уравнений, критерии, факторы.
Понятие финансового взаимодействие государства и малого бизнеса можно
определить как взаимовыгодные финансовые или денежные отношения предприятий
малого бизнеса и органов государственной власти, ориентированные на
сотрудничество в области экономической (как правило, финансовой) и социальной
политики, основной целью которого является развитие сектора малого бизнеса и
институтов его государственной поддержки [2].
Для изучения вопроса финансового взаимодействия государства и малого бизнеса целесообразно остановиться на оценке развития малого бизнеса ( SMEll ) на конкретной территории (область, район, федеральный округ), которая в этом случае
определяется исходя комплексных значений двух главных показателей:
– уровень финансового развития субъектов малого бизнеса ( SMEdl );
– уровень развития институтов государственной финансовой поддержки малого
бизнеса ( SMEss ).
Поскольку каждый из критериев, в свою очередь, подлежит оценке, необходимо
произвести декомпозицию критериев по каждому составляющему фактору, используя метод нормирования анализируемых коэффициентов, чтобы избежать несовпадения размерности, и факторный анализ, который является наиболее распространенным методом анализа социально-экономических процессов [3].
Для определения значения уровня финансового развития субъектов малого бизнеса ( SMEdl ) необходимо учесть 4 группы финансовых критериев: социальноэкономический ( SEC ), институциональный ( IsC ), финансово-экономический
16
Максим Владимирович Грешнов,
компьютерных технологий.
ассистент
кафедры
информационных
систем
и
( FEC ), инвестиционный ( IvC ). Для определения значения уровня развития институтов государственной финансовой поддержки малого бизнеса ( SMEss ) необходимо
учесть также 4 группы финансовых критериев: финансовый ( FC ), консультационный ( CC ), правовой ( LSC ), информационный ( IC ).
Каждая группа критериев содержит количественные и качественные параметры.
Первые рассчитываются исходя из данных статистической отчетности в регионах,
вторые, напротив, являются субъективными, что предполагает проведение опроса
населения или экспертов в области малого бизнеса для определения их значений[9].
Разработанная модель финансового взаимодействия государства и малого бизнеса на основе финансовой устойчивости будет выглядеть следующим образом:
SMEll  SMEdl  SMEss  max
SMEdl    SEC    IsC    FEC    IvC
1
2
3
4

SMEss   1  FC   2  CC   3 LSC   4  IC

 dSMEdl
  1  SMEdl  SMEss   2  SMEdl   3


dt

 dSMEss
 1   2  SMEdl  SMEss
 dt

Особенностью данной модели является использование качественной теории
дифференциальных уравнений и теории бифуркации для введения ограничений в
виде системы нелинейных дифференциальных уравнений, что позволяет добиться
более существенных результатов. Дело в том, что при исследовании финансовоэкономических процессов с использованием качественной теории и теории бифуркации используется как математический, так и прикладной аппарат. Математическая
часть качественного исследования позволяет найти и проанализировать систему
дифференциальных уравнений, а прикладная часть позволяет интерпретировать и
сопоставить неприводимые структуры фазового портрета с существующими финансово-экономическими процессами и проведением бифуркационного анализа.
Интерпретация и значения коэффициентов системы дифференциальных уравнений, являющейся основным ограничение целевой функции, будет следующим: 1 –
описывает рост уровня развития малого бизнеса за счет ресурсов, полученных от
государства в виде государственной поддержки сектора;  2 – описывает снижение
уровня развития малого бизнеса за счет выплаты налогов и пропорционального потребления;  3 – описывает постоянное потребление ресурсов сектором, не зависящее от уровня развития малого бизнеса; 1 – описывает рост уровня развития институтов государственной поддержки малого бизнеса за счет инвестиций из федерального и муниципального бюджетов;  2 – описывает снижение уровня развития
институтов государственной поддержки малого бизнеса за счет превышения расходов на поддержку сектора над доходами бюджетов, являющимися результатами этой
поддержки.
Проведем стандартный анализ системы дифференциальных уравнений на устойчивость:
 dSMEdl
 1  SMEdl  SMEss   2  SMEdl   3
 dt

 dSMEss      SMEdl  SMEss
1
2
 dt
Убедимся, что система дифференциальных уравнений диссипативна, то есть, допускает устойчивые решения. Для этого вычислим дивергенцию вектора правых частей:
div F 
dF1
dF2

 1 SMEss   2   2 SMEdl ,
dSMEdl dSMEss
где SMEdl , SMEss – стационарные точки системы.
Система диссипативна, если дивергенция меньше нуля ( div F  0 ), что дает следующее ограничение на фактор  2 :
1 SMEss   2   2 SMEdl  0
 2  1 SMEss   2 SMEdl
Найдем стационарные точки SMEdl , SMEss :

dSMEdl dSMEss
1 SMEdl  SMEss   2 SMEdl   3  0

 0 => 
dt
dt

1   2 SMEdl  SMEss  0
Первая пара точек:

1 SMEdl  SMEss   2 SMEdl   3  0






SMEdl

SMEss

0
2
 1
1 SMEdl  SMEss   2 SMEdl   3  0


1

SMEss   x
2

1

1 SMEdl  SMEdl   2 SMEdl   3  0

2


1
SMEss 

 2 SMEdl
11 SMEdl   2  2 SMEdl  SMEdl   3  2 SMEdl
0

 2 SMEdl



1
SMEss 

 2 SMEdl
 SMEdl (11   2  2 SMEdl   3  2 )
0

 2 SMEdl



1
SMEss 

 2 SMEdl
11   2  2 SMEdl   3  2  0


1

SMEss


 2 SMEdl

11   3  2
   3 2


SMEdl  1 1
SMEdl 

 22
 22




1
 2 1
SMEss 
SMEss 


11   3  2
 2 SMEdl
Найдем параметры  и  для первой пары точек. Для этого составим матрицу
коэффициентов линеаризованной системы:
  SMEss   2
dFi
 1
dx j
  2  SMEss
1  SMEdl
.
  2  SMEdl
Рассчитаем параметр  и проверим его на соответствие условию   0 при
SMEdl 
11   3  2
 2 1
и SMEss 
:
 22
11   3  2
  1 SMEss   2   2 SMEdl
   32
1 2 1
2  1 1
0
 1 1   3  2
2
1 2 1  1 2 1   2 3  2 1 1   3  2

0
 1 1   3  2
2
 2 3  2
   3 2
 1 1
0
11   3  2
2
 2 3  2
   32
 1 1
 1 1   3  2
2
(11   3  2 ) 2   2 2 3  2
11   3  2   2  3  2
Решение условия 11   3  2   2  3 2 выполним через некоторое время.
Рассчитаем параметр  и проверим его на соответствие условию   0 при
SMEdl 
11   3  2
 2 1
и SMEss 
:
 22
11   3  2
  (1 y   2 )  2 SMEdl  1 2 SMEdl  SMEss  0
 1  2 x y   2  2 x  1  2 x y  0
 22 x  0
   
 22 1 1 3 2  0
22
11   3  2  0
 
1  3 2
1
Вернемся к предыдущему ограничению 11   3  2   2  3 2 и отметим,
что исходя из анализа параметра  , вырисовывается ограничение 11   3  2  0 ,
что дает возможность раскрыть модуль предыдущего ограничения следующим способом:
11   3  2   2  3  2
11   3  2   2  3  2
1 
 2  3 2   3 2
1
Моделирование рассмотренной системы дифференциальных уравнений проводится в пакете имитационного моделирования AnyLogic 5.4 [5, 6]. На основе полученных ограничений и теории размерности получим значения коэффициентов равные  (0,8; 0,4;1) и  (1; 0,5) . Представленные зависимости от времени переменных
SMEdl и SMEss , а также фазовые портреты моделируемой системы в тех же координатах (см. рисунок), позволяют отметить устойчивый фокус, т.е. состояние равновесия анализируемой системы. Стоит отметить, что это состояние достигается достаточно долго. При увеличении значения 1 до 0,9, сможет увидеть более быстрые переход системы в устойчивое состояние, а при уменьшении 1 до 0,7 наоборот, выход
из него, так как условие устойчивости системы при рассматриваемых значениях будет нарушено.
Устойчивое состояние системы при
 (0,8; 0,4;1)
и
 (1; 0,5)
Управление финансово-экономической системой в этом случае с точки зрения
рассмотренных выше условий будет осуществляться в соответствии со следующими
правилами:
1) стационарные состояния системы, определяемые совокупностью параметров,
являются определенными финансово-экономическими категориями;
2) при управлении системой необходимо, используя определенные рычаги
управления, изменять ее параметры, тем самым производя сдвиг системы по фазовой
траектории к нужным значениям;
3) необходимо все время соблюдать соотношение между параметрами системы
так, чтобы она оставалась устойчивой [1,4,7,].
Следуя этим правилам можно обеспечить стабильное, устойчивое и самое главное эффективное управление финансово-экономической системой, а именно такого
уровня финансового взаимодействия государства и малого бизнеса, при котором
вложенные государством средства в развитие малого бизнеса приносили максимальную эффективность и малому бизнесу, и самому государству.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Астапов С.В., Васильев М.М. Формирование модели управления промышленным комплексом (на примере автосборочного предприятия) / С.В. Астапов, М.М. Васильев // Экономические науки. – 2010. – № 62. – С. 312-317.
2. Грешнов М.В. Качественный подход к анализу финансово-экономических систем /
М.В. Грешнов // Вестник Международного института рынка. – 2011. – № 1 (7). – С. 13-21.
3. Нестерова С.И. Модель комплексной диагностики организационной структуры
управления предприятия / С.И. Нестерова // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. – 2009. – № 119. – С. 113-116.
4. Рамзаев М.В. Модели и механизмы инвестиционного развития конкурентоспособности муниципальных образований на примере малых городов Экономические науки. – 2009. –
№ 59. – С. 376-381.
5. Хаймович И.Н. Применение методологии SADT при моделировании бизнеспроцессов технологической подготовки производства машиностроительного предприятия /
И.Н. Хаймович // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. – 2008.
– № 1. – С. 21.
6. Хаймович И.Н., Дровянников В.И. Особенности интеграции экономикоматематического инструментария в информационную систему управления вуза / И.Н. Хаймович, В.И. Дровянников // Вестник Самарского государственного экономического университета. – 2010. – № 74. – С. 17-20.
7. Чумак В.Г., Рамзаев В.М., Кукольникова Е.А. Шестова Н.С. Конкурентоспособность
как синергетическая характеристика кластерного развития социально-экономических систем.
Альманах современной науки и образования. – 2011. – № 1. – С. 173-177.
8. Щелоков Д.А., Васильев М.М., Петрушин Д.А. Модель финансовых потоков при оценке
стоимости предприятия с использованием доходного подхода / Д.А. Щелоков, М.М. Васильев, Д.А. Петрушин. – Экономические науки. – 2009. – № 60. – С. 371-376.
Поступила в редакцию 28/XI/2012;
в окончательном варианте – 30/XI/2012.
UDC 658.11
THEORY OF USE OF DIFFERENTIAL EQUATIONS SYSTEMS AND BIFURCATION
AT THE ANALYSIS OF FINANCIAL COOPERATION BETWEEN STATES AND
SMALL BUSINESS
M.V. Greshnov
NOU VPO " International Market Institute "
21 Aksakova Str., 443030 , Samara
The paper discusses the use of systems of differential equations and the theory of bifurcations
as the basis for creating a system of financial constraints when modeling interaction between
government and small business. The purpose of using a system of differential equations is the
possibility of bifurcation analysis simulation package for finding the steady state ( the focus) ,
which can then be used as the ultimate goal in the management analyzed the socio– economic
system.
Keywords: financial cooperation of the state and small business , small business, small and
medium enterprises , bifurcation theory of nonlinear equations , criteria, factors.
Original article submitted 28/XI/2012;
revision submitted – 30/XI/2012.
______________________
Maxim V. Greshnov, assistant lecturer of Information systems and computer technology.