Сопряженные функции. Субдифференциалы. Принцип

Сопряженные функции. Субдифференциалы. Принцип минимакса.
Задачи о проективной двойственности
Срок сдачи 18 апреля 2014 г.
(1) Найти сопряженные к функциям
p
(a) |x|p , p ≥ 1
(b) ex−1
(c) max{|x|, x2 }
(d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q — симметричная положительная d × d
матрица, b, x ∈ Rd , c ∈ R
(e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd )
(f) max{x
1 , · · · , xn }
√
(g) 1 + x2
(h) δA , где A — множество в Rd и δA (x) = 0, если x ∈ A, δA (x) = +∞, если
x∈
/A
(i) hA , где A — множество в Rd и hA (y) = sup{hx, yi, x ∈ A}.
(2) Докажите неравенство
p
p
hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 ,
(3)
(4)
(5)
(6)
x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Когда достигается точное равенство?
Как устроена функция, сопряженная к функции, график которой — выпуклый многогранник?
Рассмотрим множество отрезков длины 1 на R+ ×R+ с концами на координатных прямых. Докажите, что астроида является огибающей для этого множества. Какая функция является сопряженной к функции, графиком которой
является астроида?
Пусть f — функция, не являющаяся выпуклой. Опишите ее вторую сопряженную.
Пусть f, f ∗ — гладкие выпуклые функции, причем в каждой точке матрицы
вторых производных (гессианы) D2 f, D2 f ∗ невырождены. Докажите, что для
любого x выполнено соотношение
D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I,
где I — единичная матрица.
(7) Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения
f 00 = (f − xf 0 )2 .
(8) Вычислить субдифференциал выпуклой функций в нуле
(a) max{ex , 1 − x}
P
(b) di=1 |xi |
(c) max1≤i≤d |xi |
(9) Докажите, что x0 — точка минимума выпуклой функции f тогда и только
тогда, когда 0 ∈ ∂f (x0 ).
(10) Найти минимум функций
(a) x2 + y 2 + 4p
max(x, y)
(b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2
(11) Докажите соотношение
(f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ ,
1
где f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)).
(12) Докажите (не используя принцип минимакса), что максимум в задаче линейного программирования не превосходит минимума в двойственной.
(13) Сформулируйте двойственную к задаче линейного программирования и решите ее.
x1 + 2x2 + · · · + nxn → min
x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n
xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n.
Задачи о проективной двойственности
Определение. Двойственной проективной плоскостью RP2∗ называется пространство прямых на проективной плоскости RP2 .
14) Докажите, что двойственная проективная плоскость имеет естественную структуру проективной плоскости, в которой прямая – это семейство прямых в RP2 , проходящих через данную точку. (В частности, многообразия RP2 и RP2∗ диффеоморфны.)
15) Рассмотрим произвольные две различные прямые a, b ⊂ RP2 , обозначим O =
a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. На каждой прямой имеется естественная вещественная
аффинная координата, определенная однозначно с точностью до композиции с аффинным преобразованием: a, b ' R. Для любых x ∈ a и y ∈ b пусть l(x, y) – прямая,
проходящая через x и y. Докажите, что отображение a × b → RP2∗ , (x, y) 7→ l(x, y)
является аффинной картой.
Определение. Пусть γ ⊂ RP2 – гладкая кривая. Двойственной кривой к γ называется кривая γ ∗ ⊂ RP2∗ , являющаяся семейством касательных прямых к γ.
16) Докажите, что γ ∗∗ = γ.
17) Пусть f (x) – гладкая строго выпуклая функция, a f ∗ (x∗ ) – сопряженная к ней.
Рассмотрим их графики Γ(f ) и Γ(f ∗ ) в соответствующих аффинных плоскостях (x, y)
и (x∗ , y ∗ ) (точнее, конечные части графиков, где значения функций конечны). Докажите, что кривая Γ(f ∗ ) переводится аффинным преобразованием в кривую, двойственную к Γ(f ).
Указание: использовать результат задачи 2).
18) Докажите, что кривая, двойственная гладкой конике (кривой второго порядка,
не сводящейся к паре прямых), также является гладкой коникой.
19) Дайте определение двойственной ломаной (двойственного многоугольника) и
решите аналоги задач 3) и 4) для ломаной γ и кусочно-аффинной функции f (график
– ломаная).
2