Список вопросов к коллоквиуму - Кафедра Высшей Математики

СПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ К КОЛЛОКВИУМУ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
(1 СЕМЕСТР)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
А. А. Пожарский
1. Список определений
(1) Элементы математической логики и теории множеств.
• Высказывание.
• Отрицание высказывания.
• Конъюнкция высказываний.
• Дизъюнкция высказываний.
• Импликация высказываний.
• Эквивалентность высказываний.
• Объединение множеств.
• Пересечение множеств.
• Разность множеств.
• Произведение множеств.
• Инъекция.
• Сюръекция.
• Биекция.
• Образ множества при отображении.
• Прообраз множества при отображении.
• Композиция отображений.
• Сужение отображения.
(2) Вещественные числа.
• Аксиомы сложения.
• Аксиомы умножения.
• Аксиомы порядка.
• Аксиома полноты.
• Максимальный (минимальный) элемент.
• Верхняя (нижняя) грань.
• Точная верхняя (нижняя) грань.
• Неограниченное сверху (снизу) множество.
• Индуктивное множество.
• Множество натуральных чисел.
• Конечное множество.
• Счетное множество.
• Множество мощности континуума.
• Множество целых чисел.
• Множество рациональных чисел.
2
А. А. Пожарский
• Множество иррациональных чисел.
• Предельная точка множества.
(3) Предел последовательности.
• Сходящаяся последовательность и ее предел.
• Невозрастающая (неубывающая) последовательность.
• Возрастающая (убывающая) последовательность.
• Монотонная последовательность.
• Определение числа e.
• Фундаментальная последовательность.
• Бесконечные большие последовательности и их пределы
lim xn = +∞,
n→∞
lim xn = −∞,
n→∞
lim xn = ∞.
n→∞
• Подпоследовательность.
• Частичный предел последовательности.
• Верхний (нижний) предел последовательности.
(4) Предел функции.
• Функция, область определения и область значения.
• Предел функции по Коши.
• Предел функции по Гейне.
• Левый (правый) предел функции.
• Бесконечные пределы.
lim f (x) = ±∞,
x→±∞
lim f (x) = c,
x→∞
lim f (x) = ∞,
x→a
lim f (x) = ∞,
lim f (x) = ∞,
x→±∞
lim f (x) = c,
x→±∞
lim f (x) = ±∞,
x→a
x→∞
lim f (x) = c ± 0,
x→∞
lim f (x) = ∞,
x→a±0
lim f (x) = ±∞,
x→∞
lim f (x) = c ± 0,
x→±∞
lim f (x) = ±∞,
x→a±0
• O-большое.
• o-малое.
(5) Элементарные функции.
• Экспоненциальная функция (вещественный случай).
• Натуральный логарифм (вещественный случай).
• Показательная функция (вещественный случай).
• Степенная функция (вещественный случай).
• Множество комплексных чисел.
• Сходящаяся последовательность комплексных чисел и ее предел.
• Фундаментальная последовательность комплексных чисел.
• Экспоненциальная функция (комплексный случай).
• Тригонометрические функции (sin и cos).
• Аргумент комплексного числа (Arg).
• Главная ветвь аргумента комплексного числа (arg).
• Логарифм комплексного числа.
• Показательная функция (комплексный случай).
• Степенная функция (комплексный случай).
• Полином и рациональная функции.
(6) Непрерывные функции.
• Непрерывная в точке функция.
СПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ К КОЛЛОКВИУМУ (1 СЕМЕСТР)
•
•
•
•
•
•
•
3
Непрерывная справа (слева) в точке функция.
Непрерывная на множестве функция.
Классификация разрывов функции.
Невозрастающая (неубывающая) функция.
Возрастающая (убывающая) функция.
Монотонная (строго монотонная) функция.
Равномерно непрерывная функция.
2. Список утверждений и теорем (все с доказательством)
(1) Элементы математической логики и теории множеств.
• Метод доказательства от противного.
• Ассоциативность композиции отображений.
• Обратимость биекции.
(2) Вещественные числа.
• Однозначность определения множества вещественных чисел (без доказательства).
• Единственность максимального (минимального) элемента.
• Существование и единственность точной нижней грани.
• Корректность определения множества натуральных чисел.
• Принцип математической индукции.
• Существование максимального (минимального) элемента у конечного множества.
• Счетность множества рациональных чисел.
• Несчетность множества вещественных чисел.
• Принцип вложенных отрезков (Коши—Кантора).
• Принцип Бореля-Лебега.
• Теорема о предельной точке множества (Больцано — Вейерштрасса)
(3) Предел последовательности.
• Единственность предела последовательности.
• Ограниченность сходящейся последовательности.
• Предел суммы (разности) последовательностей.
• Предел произведения последовательностей.
• Предел частного последовательностей.
• Предельный переход в неравенствах.
• Теорема о сжатой переменной.
• Критерий сходимости монотонной последовательности (Вейерштрасс).
• Лемма Бернулли.
• Сходимость последовательности (1 + n1 )n .
• Ограниченность фундаментальной последовательности.
• Критерий Коши сходимости фундаментальной последовательности.
• Теорема о предельной точке последовательности (Больцано — Вейерштрасса).
• Критерий сходимости последовательности (связь с верхним и нижним пределами).
• Связь между пределом последовательности и пределом ее подпоследовательности.
(4) Предел функции.
• Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.
• Единственность предела функции.
• Предельный переход и арифметические операции.
• Предельный переход в неравенствах.
4
А. А. Пожарский
• Критерий существования предела функции (связь с левым и правым пределами).
(5) Элементарные функции.
n
P
xp
• Сходимость последовательности xn =
для x ∈ R.
p!
p=0
• Свойства экспоненты (вещественный случай).
• Свойства логарифма и показательной функции (вещественный случай).
• Существование и единственность решения уравнения xa = bc (вещественный случай).
• Оценка модуля комплексного числа через его вещественную и мнимую части.
• Критерий сходимостью последовательности комплексных чисел (связь со сходимостью вещественной и мнимой части).
• Предельный переход и арифметические операции (комплексные последовательности).
• Критерий Коши сходимости комплексной последовательности.
• Свойства экспоненты (комплексный случай).
• Свойства тригонометрических функций (sin и cos).
• Полярная форма комплексного числа.
• Формула Муавра.
• Теорема о корне полинома.
• Основная теорема алгебры (без доказательства).
• Разложение полинома на простые множители.
• Теорема о комплексных корнях вещественного полинома.
• Лемма о выделении главной части рациональной функции в окрестности особой
точки.
• Разложение рациональной функции на простые дроби.
• Разложение рациональной функции с вещественными коэффициентами на простые
дроби (без доказательства).
(6) Непрерывные функции.
• Эквивалентность различных определений непрерывности функции в точке.
• Непрерывность и арифметические операции.
• Непрерывность композиции функций.
• Теорема Больцано-Коши 1 о достаточном условии существования корня непрерывной функции.
• Теорема Больцано-Коши 2 о промежуточных значениях непрерывной функции.
• Теорема Вейерштрасса 1 об ограниченности непрерывной функции.
• Теорема Вейерштрасса 2 о максимуме и минимуме непрерывной функции.
• Теорема о характере разрыва монотонной функции.
• Критерий непрерывности монотонной функции.
• Непрерывная обратимость монотонной функции.
• Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
• Непрерывность элементарных функций.