Вопр к экз_МФ_1 сем_Дорофеев А.В

Утверждено на заседании
кафедры математического
анализа протокол № 5 от 12.12.12
Зав. кафедрой _________________
Вопросы и задачи к экзамену
по математическому анализу
(1 семестр, специальность МиФ, 2012-13 уч.г.)
Составил проф. Дорофеев А.В.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Множества. Операции над множествами. Множество рациональных чисел и его свойства.
Множество действительных чисел R, свойства. Геометрическое изображение и представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями.
Модуль действительного числа. Геометрический смысл и теоремы об абсолютной величине
числа.
Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
Существование точных граней ограниченного множества.
Принцип вложенных отрезков. Теорема Кантора.
Числовые последовательности. Предел последовательности.
Признак сходимости монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса.
Свойства сходящихся последовательностей.
Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Числовые функции. Сложная функция. Способы задания функции.
Ограниченные и неограниченные функции
Монотонные функции.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Предельные точки множества. Предел как локальное свойство функции. Определение предела функции по Коши и Гейне. Геометрическое истолкование предела функции в точке.
Односторонние конечные пределы, бесконечные пределы в конечной точке, предел на бесконечности, предел по множеству.
Локальные свойства функции, имеющей конечный предел: единственность предела, ограниченность функции, о сохранении функцией знака своего предела. Свойства пределов, связанные с неравенствами.
Бесконечно малые функции. Свойства.
Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Теорема о пределе
сложной функции.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Локальные
свойства функций непрерывных в точке. Арифметические операции над непрерывными
функциями и непрерывность сложной функции.
Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении
точных граней.
Теорема БольцаноКоши о промежуточных значениях функции.
Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между б.б.ф. и неограниченной функцией.
Существование и непрерывность обратной функции.
Равномерная непрерывность функции.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции: неравенства, связанные с
ними, непрерывность. 1й замечательный предел.
Число е и 2ой замечательный предел.
Пределы, связанные с логарифмической, показательной и степенной функциями.
30 Сравнение б.м.ф. Эквивалентные б.м.ф. Теорема о замене функций эквивалентными при вычислении пределов. Признак эквивалентности б.м.ф.
31 Степенная функция с целым и рациональным показателем. Свойства.
32 Показательная функция на множестве рациональных чисел. Свойства. Определение степени
с иррациональным показателем.
33 Логарифмическая функция и ее свойства.
34 Степенная функция любым вещественным показателем. Показательностепенная функция и
ее предел.
35 Асимптоты кривых.
36 Гиперболические функции.
Студент должен знать:
1.
определение ограниченного (неограниченного) множества.
2.
понятие точных граней числовых множеств.
3.
теорему о точных гранях.
4.
определение предела числовой последовательности и его геометрический смысл.
5.
определение возрастающей (убывающей) последовательности.
6.
признак сходимости монотонных последовательностей.
7.
теорему БольцаноВейерштраса о подпоследовательностях.
8.
способы задания числовых функций.
9.
основные глобальные свойства числовых функций: ограниченность (неограниченность), монотонность, четность (нечетность), периодичность.
10. определение предела функции и его геометрический смысл.
11. локальные свойства функции, имеющей конечный предел: ограниченность, сохранение знака своего предела,
12. теоремы о пределе промежуточной функции и предельном переходе в неравенстве.
13. определение б.м.ф. и их свойства.
14. связь б.м.ф. с функцией, имеющей конечный предел.
15. арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел.
16. свойства функции непрерывной на отрезке: теоремы Вейерштрасса об ограниченности и достижении точных граней, теорема БольцаноКоши о промежуточных значениях, теорема Коши о нулях
непрерывной функции.
17. определение б.б.ф. и их свойства.
18. связь между б.б.ф. и неограниченной функцией
19. теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
20. определение равномерной непрерывности
Студент должен уметь
1. Строить графики основных элементарных функций
ax  b
y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=
, y=x, y=ax, y=ex, y=logax,
cx  d
y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
y=shx, y=chx, y=thx, y=cthx
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вычислять различные типы пределов (односторонние конечные пределы, бесконечные пределы в
конечной точке, предел на бесконечности, предел по множеству)
Исследовать функцию на непрерывность.
Исследовать точки разрыва функции
Вычислять пределы методом замены переменных, заменой эквивалентными функциями)
Раскрывать неопределенности 0/0,/ , , 0, 1, 0, 00.
Применять замечательные пределы
Вычислять асимптоты кривых
Примерный билет экзамена
1. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции и о достижении
точных граней.
2. Дать определение АВ и построить это множество, если А= {(x,y)| x22x<y}, B={(x,y)| 0<y<2+х}.
3. Дайте определение понятиям и приведите соответствующие примеры:
а) множество Х  ограничено;
б) точная верхняя грань множества;
в) возрастающая на области определения функция;
г) бесконечно малая функция при х1
4. Сформулируйте с помощью неравенств утверждение: lim хn = 2. В чем состоит геометрический
n
смысл предела последовательности. Приведите пример последовательности на это свойство.
5. Построить график функции y=

х
 
sin х  sin a
6. Вычислить предел lim
хa
xа
7. Найти область определения функции y= arccos(log2(x–3))
Задачи к экзамену
1. Изобразить множества на координатной плоскости:
1) А={(х.у)0ух}, В={(х.у)у (х2)2}, А\В, АВ;
2) А={(х.у)0х3}, В={(х.у) х+у1}, А\В, АВ, В\А;
2. Сравнить числа:
1) 3/7 и 6/11; 2) а= 3 +2 и b= 5  2 ; 3) 2
3.
2
7
и 2,2(8)
Решить уравнения и неравенства
1. 2х2
4. x 2 – 6 | x |– 7  0
3. | x 2 – 2 |+ |6 – x 2 |=4
2. x 2 + | x |– 2 =0
5 . |2 x – 1 |+ |2 x +1 | 4
 n2

n  N  на ограниченность. Найти sup A, inf A
n 1

4. Исследовать множество М= 
5. Вычислить пределы последовательностей
а)
lim
(n  )
n 
, б)
n 
 

  n
 

lim
 

n 
   n
 



6. Найти область определения функций:
1. у=lg(3xx3),
2. y=arcsin
х
 х
3. y=
х  
х   х  
4 y=lоg0,5 (log2x))
7. Провести элементарное исследование и построить график функции

1. у=arccos(cosx), 2. y=
, 3. y=x11, 4. y=log2(4x2)
log  x
8. Вычислить пределы через замену эквивалентными функциями:
sin  x
2x 2  x  
arctg  x
1) lim
,
2) lim 
, 3) lim
x  ln(    x )
x   x  x 
x x   x
e

 1 х 
9. Для функции f(x)= 

2 х
1 х
1 х
найти lim f(x), lim f(x), lim f(x)
x 0
x 1
x