"Введение в моделирование отдельных нейронов и нейронных

Методы физики для нейронаук:
теория динамических систем,
неравновесная статистическая
физика, вэйвлет-анализ.
Р.Р. Алиев (ИТЭБ РАН, МФТИ),
С.В. Божокин (СПбГПУ)
А.В.Горбатюк (ФТИ)
А.В.Чижов (ФТИ)
Project - “Postgraduate Training Network in Biotechnology
of Neurosciences (BioN)“ (Tempus, 2010 - 2012)
We invite to participate in schools and modular
courses, organized by BioN.
http://www.neurobiotech.ru/
Umea
UmU
Cambridge
MRC-CBU
Helsinki
UH
St.Petersburg
СПбГУ, ФТИ, СПбФТНОЦ
Nizhniy Novgorod
Moscow
НГГУ, ИПФ
МГУ ИВНД
МГУ,
Rostov-on-Don
ЮФУ
Paris
ENS
Genova
IIT
1
Лекция 1
"Введение в моделирование отдельных нейронов
и нейронных популяций" (А. В. Чижов)
(нейрон Ходжкина-Хаксли, модели нейронных ансамблей на основе ур. Фоккера-Планка)
Лекции 2-3
"Элементы нелинейной динамики точечных систем" (А. В. Горбатюк)
(анализ динамических систем, устойчивость, бифуркации, хаос)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 4-5
"Введение в неравновесную статистическую физику» (С.В. Божокин)
(броуновское движение, ур. Больцмана, ур. гидродинамики, ур. Фоккера-Планка и ур. Ланжевена)
Лекция 6
"Модель популяции нейронов типа Ходжкина-Хаксли" (А. В. Чижов)
(Уравнение для рефрактерной плотности, пороговая модель нейрона, функция риска, модель коры)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 7-8
"От термодинамики к нелинейной распределенной
нервной ткани" (Р. Р. Алиев)
(Э
(Энергия
Г
Гиббса,
бб
потенциалы Н
Нернста и ГХК
ГХК, явления переноса в мембране,
б
активные автоволновые среды))
Лекция 9
”Нелинейные распределенные системы" (А. В. Горбатюк)
(распределенные активные cистемы, бегущие фронты, неустойчивость Тьюринга, автосолитоны)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 10
"Введение в вейвлеты" (Р. Р. Алиев)
Лекции 11-12
"Вейвлет-анализ" (С.В. Божокин)
Synapse
10
≈ 10
neurons
synapses
≈ 10 13
1 mm 2 of the cortex contains ≈ 10 5 neurons
1 neuron has
≈ 103 ÷ 10 4 synapses
Total number of
2
Закон сохранения тока:
h
r
V(x)
Внутри
V(x+∆x)
jm
i
C
im
Снаружи
φ(x+∆x))
φ(
[Покровский, 1978]
Модель пирамидного нейрона
dV
= − I Na − I DR − I A − I M − I H − I L − I AHP − s(t ) (V − V0 ) + u(t ) + η (t )
dt
u(t ) = ∑S g S (t ) (VS − V0 ) + I electrode (t )
I ... = g... x p (t ) y q (t ) (V (t ) − V... )
s(t ) = ∑S g S (t )
C
dx x∞ (U ) − x
=
,
dt
τ x (U )
dy y∞ (U ) − y
=
dt
τ y (U )
EXPЕRIМЕNТ
Approximations for
I Na , I DR , I A , I M , I H are
from [L.Graham, 1999];
IAHP is from [N.Kopell et al., 2000]
MODEL
Color noise model
(Ornstein-Uhlenbeck
process):
τ
dη
= −η + 2τ σξ (t )
dt
3
Нейрон – это динамическая система
r
r
r r
dX
= F(X ) + S
dt
Для нейрона Ходжкина-Хаксли:
r
X = (V , m, h, n )
Лекция 1
"Введение в моделирование отдельных нейронов
и нейронных популяций" (А. В. Чижов)
(нейрон Ходжкина-Хаксли, модели нейронных ансамблей на основе ур. Фоккера-Планка)
Лекции 2-3
"Элементы нелинейной динамики точечных систем" (А. В. Горбатюк)
(анализ динамических систем, устойчивость, бифуркации, хаос)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 4-5
"Введение в неравновесную статистическую физику» (С.В. Божокин)
(броуновское движение, ур. Больцмана, ур. гидродинамики, ур. Фоккера-Планка и ур. Ланжевена)
Лекция 6
"Модель популяции нейронов типа Ходжкина-Хаксли" (А. В. Чижов)
(Уравнение для рефрактерной плотности, пороговая модель нейрона, функция риска, модель коры)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 7-8
"От термодинамики к нелинейной распределенной
нервной ткани" (Р. Р. Алиев)
(Э
(Энергия
Г
Гиббса,
бб
потенциалы Н
Нернста и ГХК
ГХК, явления переноса в мембране,
б
активные автоволновые среды))
Лекция 9
”Нелинейные распределенные системы" (А. В. Горбатюк)
(распределенные активные cистемы, бегущие фронты, неустойчивость Тьюринга, автосолитоны)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 10
"Введение в вейвлеты" (Р. Р. Алиев)
Лекции 11-12
"Вейвлет-анализ" (С.В. Божокин)
4
Статистическая теория нейронных ансамблей
Нейроны
Нейронные популяции
Полномасштабные
модели мозга
(NMM & FR-models
for EEG & MRI)
Молекулы
Кинетические уравнения
Уравнения гидродинамики
Эксперимент. Ответы таламического нейрона кошки
на 3 повторения стимула-фильма.
5
Обычно популяции
локализованы в
пространстве
spontaneous activity
Whole-cell (WC) recording of a layer
2/3 neuron of the C2 cortical barrel
column was performed simultaneously
with
measurement
of
VSD
fluorescence under conventional optics
in a urethane anesthetized mouse.
evoked activity
Типы популяционной активности
• Evoked responses
• Oscillations
•Traveling waves
Voltage-sensitive Dye Optical Imaging
[W.Tsau, L.Guan, J.-Y.Wu, 1999]
6
Популяция нейронов
•
Стимулирующий ток
Определения:
Популяция – статистический ансамбль – это
бесконечное число одинаковых нейронов,
получающих
у
одинаковый входной сигнал
(двумерный) + шум
Популяционная частота:
1 nact (t; t + Δt )
Δt →0 N →∞ Δt
N
ν (t ) = lim lim
Many ODEs
Direct Monte-Carlo simulation
of individual neurons:
(4000)
Типы популяционных моделей
∂V
C
= I − g L (V − VL ) + σ I ξ (t )
∂t
если V > V T , т V = Vreset и спайк
ν (t ) =
Стимулирующий ток
1 nact ( t + Δt )
N
Δt
Few 1-d PDEs
Probability Density Approach (PDA):
RD модель :
∂ρ ∂ρ
+
= − ρH
∂t ∂t *
⎛ ∂U ∂U ⎞
+
C⎜
⎟ = I − g L (U − VL )
⎝ ∂t ∂t * ⎠
1
H (U ( t , t*)) = ( A(U ) + B(U , dU / dt ))
τm
∞
v (t ) = ρ (t ,0) = ∫ ρ H dt *
Few ODEs
+0
Firing-rate:
ν (t ) = f ( I (t ))
dν
or
τ
= −ν + f ( I (t ))
or
(4000)
f
dt
dU
C
= I − g L (U − VL ),
dt
ν (t ) = ~f (U (t ))
“f-I-curve”
I
Assumption. Neurons are de-synchronized.
7
Формальная идея вероятностного подхода (PDA)
Уравнение Ланжевена
для единичного нейрона (типа Х-Х)
r
r
r r
dX
= F(X ) + S
dt
r
F -- общая правая часть для всех нейронов популяции,
r
S -- вклад шума.
где
Для классической модели Ходжкина-Хаксли:
r
X = (V , m, h, n )
Уравнение Фоккера-Планка
r
для плотности распределения ρ ( X , t )
(
)
r r
∂ρ
∂
∂
= − r ⋅ F(X ) ρ + r
∂t
∂X
∂X
⎛ t ∂ρ ⎞
⋅ ⎜⎜W r ⎟⎟
⎝ ∂X ⎠
где матрица диффузионных коэффициентов
r
влияние шума S
[B.Knight 1972]
t
W отражает
Проблема! Уравнение многомерно (5 независ. переменных)
Уравнение Фоккера-Планка для ρ(t,V)
Leak Integrate-and-Fire (LIF) neuron:
τm
if
i (t )
dV
= −V + S + η (t ),
gL
dt
V >VT
then V = V reset
Fokker-Planck equation for ρ(t,V)
τm
∂ρ
∂ ⎡⎛
iS ⎞ ⎤ σ 2 ∂ 2 ρ
⎟ρ ⎥ +
=−
+ ν (t ) ⋅ δ (V − Vreset )
⎢ ⎜⎜ − V +
∂t
∂V ⎣ ⎝
g L ⎟⎠ ⎦ 2 ∂V 2
ν (t ) =
σ 2 ∂ρ
2 ∂V V =T
ρ
Hz
0
Vreset
VT V
8
Лекция 1
"Введение в моделирование отдельных нейронов
и нейронных популяций" (А. В. Чижов)
(нейрон Ходжкина-Хаксли, модели нейронных ансамблей на основе ур. Фоккера-Планка)
Лекции 2-3
"Элементы нелинейной динамики точечных систем" (А. В. Горбатюк)
(анализ динамических систем, устойчивость, бифуркации, хаос)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 4-5
"Введение в неравновесную статистическую физику» (С.В. Божокин)
(броуновское движение, ур. Больцмана, ур. гидродинамики, ур. Фоккера-Планка и ур. Ланжевена)
Лекция 6
"Модель популяции нейронов типа Ходжкина-Хаксли" (А. В. Чижов)
(Уравнение для рефрактерной плотности, пороговая модель нейрона, функция риска, модель коры)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 7-8
"От термодинамики к нелинейной распределенной
нервной ткани" (Р. Р. Алиев)
(Э
(Энергия
Г
Гиббса,
бб
потенциалы Н
Нернста и ГХК
ГХК, явления переноса в мембране,
б
активные автоволновые среды))
Лекция 9
”Нелинейные распределенные системы" (А. В. Горбатюк)
(распределенные активные cистемы, бегущие фронты, неустойчивость Тьюринга, автосолитоны)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 10
"Введение в вейвлеты" (Р. Р. Алиев)
Лекции 11-12
"Вейвлет-анализ" (С.В. Божокин)
• уравнение Фоккера-Планка (Колмогорова)
независимые марковские (без памяти) частицы под действием
общей детерминированной силы и
индивидуальной случайной небольшой внешней силы
• ур
уравнение Больцмана
ц
частицы под действием
общей детерминированной силы и
силы случайных локальных редких взаимодействий
• уравнение Власова
частицы под действием
общей детерминированной силы и
интегральной силы нелокальных (дальнодействующих) взаимодействий
• уравнения гидродинамики
для «около-равновесного» газа (описывающегося первыми моментами функции распределения)
в условиях ур. Больцмана
Случайные силы или
Взаимодействия со множественными
критическими состояниями
приводят к
Диссипации
Перемешиванию
Необратимости
9
К размышлению.
•
В нейродинамике используется пока только уравнение Фоккера-Планка.
•
В качестве частиц могут выступать не только нейроны, но и пузырьки с
медиатором, спайки, ионные каналы и т.д.
Континуальная модель нервной среды
Уравнения для популяционной частоты – ДУЧП (t,V)
Уравнения для синаптических проводимостей – ОДУ (t)
Уравнения пространственного распространения спайков - ДУЧП (t,x,y)
Итого:
система ДУЧП (t,x,y,V) -- распределенная Динамическая Система
По-видимому, информационная ёмкость нейронной активности
По-видимому
обусловлена многообразием решений ДС, близостью режимов к
хаосу и возможностью самоорганизации.
10
Лекция 1
"Введение в моделирование отдельных нейронов
и нейронных популяций" (А. В. Чижов)
(нейрон Ходжкина-Хаксли, модели нейронных ансамблей на основе ур. Фоккера-Планка)
Лекции 2-3
"Элементы нелинейной динамики точечных систем" (А. В. Горбатюк)
(анализ динамических систем, устойчивость, бифуркации, хаос)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 4-5
"Введение в неравновесную статистическую физику» (С.В. Божокин)
(броуновское движение, ур. Больцмана, ур. гидродинамики, ур. Фоккера-Планка и ур. Ланжевена)
Лекция 6
"Модель популяции нейронов типа Ходжкина-Хаксли" (А. В. Чижов)
(Уравнение для рефрактерной плотности, пороговая модель нейрона, функция риска, модель коры)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 7-8
"От термодинамики к нелинейной распределенной
нервной ткани" (Р. Р. Алиев)
(Э
(Энергия
Г
Гиббса,
бб
потенциалы Н
Нернста и ГХК
ГХК, явления переноса в мембране,
б
активные автоволновые среды))
Лекция 9
”Нелинейные распределенные системы" (А. В. Горбатюк)
(распределенные активные cистемы, бегущие фронты, неустойчивость Тьюринга, автосолитоны)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Лекции 10
"Введение в вейвлеты" (Р. Р. Алиев)
Лекции 11-12
"Вейвлет-анализ" (С.В. Божокин)
Часть 2
2.
Модель популяции нейронов
типа Ходжкина-Хаксли.
Conductance-Based Refractory Density approach
11
Уравнение Фоккера-Планка для ρ(t,V)
∂ ⎡⎛
∂ρ
I (t ) ⎞ ⎤ σ V2 ∂ 2 ρ
⎜
⎟ρ⎥ +
−
−
=
V
V
+ τ m ⋅ν ⋅ δ (V − Vreset )
⎢
rest
∂t ∂V ⎣⎜⎝
g L + s(t ) ⎟⎠ ⎦ 2 ∂V 2
σ 2 ∂ρ
ν (t ) = − V
Стимулирующий ток
τ m ∂V V =V T
τm
Однако! Потенциал
неоднозначно
определяет состояние
реалистичного нейрона.
τ m = C / gL ,
σ V = σ I /( g L + s(t ))
ρ
Hz
0
Vreset
VT V
Модель популяции
реалистичных нейронов
(CBRD - Conductance-Based
Refractory Density approach )
[Chizhov, Graham, Turbin // Neurocomputing, 2006]
[Chizhov, Graham // Phys. Rev. E, 2007]
[Chizhov, Graham // Phys. Rev. E, 2008]
Ключевые детали:
1. Пороговая модель нейрона
t* is the time since the last spike;
p
2. Параметризация t*
3. Функция вероятности генерации
импульса одним нейроном
(Hazard-function)
H ≈ A+ B
∂ρ ∂ρ
+
= −ρ H
∂t ∂t ∗
⎛ ∂U ∂U ⎞
C⎜
+ * ⎟ = − I DR − I A − I M − I H − I L − I AHP − I i
∂t ⎠
⎝ ∂t
∂x ∂x
x (U ) − x
,
+ * = ∞
τ x (U )
∂t ∂t
y (U ) − y
∂y ∂y
= ∞
+
τ y (U )
∂t ∂t *
12
1. Threshold neuron model
Full single neuron model
C
dV
= − I Na − I DR − I A − I M − I H − I L − I AHP − I i
dt
Approximations for I Na , I DR , I A , I M , I H are taken from [L.Graham, 1999]; IAHP is from [N.Kopell et al., 2000]
Threshold model
C
dU
=− I Na − I DR − I A − I M − I H − I L − I AHP − I i
dt
dx x∞ (U ) − x
dy y∞ (U ) − y
=
=
,
τ x (U )
τ y (U )
dt
dt
if
U > V T then U = U reset = −40 mV
for
I DR : x = x reset = 0.262,
y = y reset = 0.473;
for
IA :
x = x reset = 0.743,
y = y reset = 0.691;
for
IH :
y = y reset = 0.002;
for
IM :
x = x + Δ x reset , Δ x reset = 0.18 (1 − x );
f
for
I AHP : w = w + Δ w reset , Δ w reset = 0.018 (1 − w).
)
13
2. Параметризация t* (CBRD для адаптивных нейронов)
t* -
время ОТ предыдущего спайка
ρ = ρ (t , t * ), U = U (t , t * ), x = x (t , t * ),
y = y (t , t * )
∂ρ ∂ρ
d • ∂ • dt * ∂ • ∂ • ∂ •
+
=
+
=
+ ∗ = −ρ H
dt
∂t dt ∂t * ∂t ∂t *
∂t ∂t
⎛ ∂U ∂U ⎞
C⎜
+ * ⎟ = − I DR − I A − I M − I H − I L − I AHP − I i
⎝ ∂t ∂t ⎠
∂x ∂x x∞ (U ) − x
+
=
,
∂t ∂t *
τ x (U )
∂y ∂y y∞ (U ) − y
+
=
∂t ∂t *
τ y (U )
H (U ) = 1 τ m ( A(U ) + B (U , dU dt ) )
I ... = g ... x y (U − V... )
for
I DR , I A , I M , I H , I AHP
-- Hazard function
τ m = C /( g DR (t , t * ) + g A (t , t * ) + g M (t , t * ) + g H (t, t * ) + g L + g AHP (t , t * ))
A(U ) = exp(6.1 ⋅ 10−3 − 1.12 T − 0.257 T 2 − 0.072 T 3 − 0.0117 T 4 ).
dT ~
UT −U
2 exp( −T 2 )
B (U ) = -τ m 2
F (T ),
T=
,
F~ (T ) =
dt
σ
π 1 + erf (T )
Граничные условия :
∞
ρ (t ,0) = ∫ ρ H dt ∗ ≡ ν (t )
+0
U (t ,0) = U
-- firing rate
reset
[Chizhov et al. // Neurocomputing 2006]
x (t ,0) = x reset ,
y (t ,0) = y reset
[Chizhov, Graham // PRE 2007,2008]
x (t ,0) = x (t , t ) + Δ x reset
for I M ;
w(t,0) = w(t , t *T ) + Δ wreset
for I AHP ;
*T
for I DR , I A , I H ;
t *T : U (t, t *T ) = U T ( dU (t , t *T ) dt ).
3. Функция риска
14
3. Функция риска H в случае белого гауссова шума
(Задача о достижении порога)
H ≈ A+ B
Аппроксимация:
[Chizhov, Graham // Phys. Rev. E, 2007]
A – solution in case of steady stimulation (self-similar);
B – solution in case of abrupt excitation
Ур. Ланжевена (LIF model)
τm
dV
= −V + U (t ) + η (t )
dt
if
V < UT
< η (t ) > = 0
< η (t )η (t ' ) >= σ 2 τ m δ (t − t ' )
then spike
Ур. Фоккера-Планка
σ 2 ∂ρ~ ⎤
∂ρ~ ∂ ⎡
(U (t ) − V ) ρ~ −
=0
τm
+
⎢
2 ∂V ⎥⎦
∂t ∂V ⎣
σ 2 ∂ρ~
H (t ) ≡ −
2τ m ∂V V =U
ρ~(t ,U T ) = 0
ρ~(t ,−∞) = 0
ρ~(0,V ) =
T
1
πσ
exp(− (V − U ) 2 σ 2 )
u(t ) =ˆ (V (t ) − U (t )) σ
T (t ) =ˆ (U T − U (t )) σ
∂ρ~ ∂ ⎡
1 ∂ρ~ ⎤
τm
+
− u ρ~ −
=0
⎢
∂t ∂u ⎣
2 ∂u ⎥⎦
ρ~(t , T (t )) = 0
ρ~(t ,−∞) = 0
ρ~(0, u ) =
~ (t ) / τ = − 1 ∂ρ~
H (t ) ≡ H
m
2τ m ∂u u =T ( t )
1
π
exp(− u 2 )
A(t) - автомодельное решение (T=const)
Equivalent formulation:
ρ~(t , u) = ρ (t ) p(t, u)
ρ (t ) − amplitude ,
where
ρ (t ) = ∫
ρ~(t , u ) du
u(t ) =ˆ (V (t ) − U (t )) σ
T (t ) =ˆ (U T − U (t )) σ
p (t , u ) − shape
∂p ∂ ⎡
1 ∂p ⎤ ~
+
−u p−
= H (t ) ⋅ p
∂t ∂u ⎢⎣
2 ∂u ⎥⎦
dρ
~ (t ),
τm
= −ρ H
dt
τm
Assumption.
T (t )
−∞
where
~ ( t ) = − 1 ∂p
H
2 ∂u u = T
p (t , T ) = 0
p(t ,−∞) = 0
1
p (0, u ) =
exp(− u 2 )
π
~
U(t)=const (or T(t)=const). Notation: A ≡ H
Then the shape of ρ~ , which is p(t , u) , is invariable.
∂ ⎡
1 ∂p ⎤
−u p−
= A(t ) ⋅ p
∂u ⎢⎣
2 ∂u ⎥⎦
where
τm
A(t ) = −
1 ∂p
2 ∂u u =T
p(t, T ) = 0
p(t ,−∞) = 0
dρ
= − ρ A(T )
dt
15
B(t) – «замороженное» распределение Гаусса (dT/dt = ∞)
Assumption.
T(t) decreases fast.
The initial Gaussian distribution remains almost unchanged except
cutting at u=T.
The hazard function in this case is H=B(T,dT/dt).
τm
dρ
= −ρ B
dt
B=−
or
where
ρ (t ) = ∫
τ m dρ
τ dρ ⎡ dT ⎤
=− m
ρ dt
ρ dT ⎢⎣ dt ⎥⎦ +
For the simplicity, we consider the case of
arbitrary but monotonically increasing T(t) and
the Gaussian distribution
B=−
T ((tt )
−∞
ρ~ (t , u ) du
U(t)
⎡ 1
exp(− u 2 ), if
~
ρ (t , u ) = ⎢ π
⎢
⎣⎢0, otherwise
UT
u (t ) < T (t )
τ m dρ ⎡ dT ⎤
⎡ dT ⎤ ~
= −τ m 2 ⎢ ⎥ F (T )
ρ dT ⎢⎣ dt ⎥⎦ +
⎣ dt ⎦ +
~
where F (T ) =
2 exp( −T 2 )
π 1 + erf(T )
[x]+ for x>0 and zero otherwise
Проверка аппроксимации H
слабый стимул
сильный стимул
Аппроксимация H функцией A (зелёным), B (голубым) и A+B (красным), точное решение –
чёрным. ν (t ) = ∂ρ ∂t
16
Hazard-function in the case of colored noise
dU
= − I tot (U , t )
dt
Without noise: C
With noise:
C
τ
dV
= − I tot (V , t ) + η (t )
dt
Langevin equation
U < UT
τ m (U , t )
V < UT
dη
= −η + 2τ σ ξ (t )
dt
or
< ξ (t ) > = 0
< ξ (t ) ξ (t ' ) >= τ δ (t − t ' )
dq
= − q + 2τ ξ (t )
dt
где u = gtot (U , t )(V − U ) / σ , q = η (t ) / σ ,
T~ (t ) = g (U , t )(U T − U ) / σ
τ
Fokker-Planck eq.
ρ~(t, u = ∞, q) = ρ~(t , u, q = −∞) =
= ρ~(t, u, q = +∞) = ρ~(t , u = T~, q ≤ T~ ) = 0
ρ~(t = 0, u, q) =
∞
~ (U (t )) ≡ 1 ( q − T~ ) ρ~(t , T~, q) dq,
H
∫
]
k (U , t ) ≡ τ m (U , t )/τ
or
∞
[
1+ k
⎛1+ k
⎞
exp⎜
− (1 + k )u 2 − q 2 + 2 qu ⎟
2π k
⎝ 2k
⎠
ρ~(t, u, q) = ρ (t ) p(t, u, q)
where ∫−∞ dq ∫− ∞ p (t , u, q ) du = 1
ρ (t ) − amplitude , p (t , u ) − shape
τm
u < T~(t )
tot
∂ρ~ ∂ ⎡ − u + q ~ ⎤ ∂ ⎡ q ~ ⎤ 1 ∂ 2 ρ~
+
=0
ρ ⎥ + ⎢− ρ ⎥ −
2
∂t ∂u ⎢⎣ τ m
⎦ ∂q ⎣ τ ⎦ τ ∂q
ρ T~
du
= −u + q(t ),
dt
T (t )
dρ
~ (t ),
= −ρ H
dt
ρ (t ) =
T~ ∞
∫ ∫ ρ~(t, u, q) dq du.
−∞−∞
∞
where
⎡∂
∂2 p ⎤ ~
∂p ∂
τm
(t ) p
= (u − q) p + k ⎢ qp + 2 ⎥ + H
∂q ⎦
∂t ∂u
⎣ ∂q
~ (U (t )) ≡ ( q − T~ ) p (t , T~, q ) dq
H
∫
T~
p(t , u = ∞, q) = p(t , u, q = −∞) =
= p(t , u, q = +∞) = p(t , u = T~(t ), q ≤ T~(t )) = 0
Self-similar solution (T=const)
U(t) (or T(t)) is constant or slow.
Then the shape of ρ~ , which is p(t , u, q), is invariable.
Assumption.
⎡∂
∂2 p ⎤
∂
(u − q) p + k ⎢ qp + 2 ⎥ + A p = 0
∂q ⎦
∂u
⎣ ∂q
∞
where
A = ∫ ( q − T~ ) p (t , T~, q ) dq
T~
p(t, u = ∞, q) = p(t , u, q = −∞) =
= p(t , u, q = +∞) = p(t , u = T~, q ≤ T~ ) = 0
1+ k
T = T~
2
q
u
A ∞ (T) = exp(0.0061 - 1.12 T - 0.257 T 2 - 0.072 T 3 - 0.0117 T 4 )
17
Hazard function in arbitrary case
K=1:
Weak stimulus
K=8:
Weak stimulus
H ≈ A+ B
Strong stimulus
Strong stimulus
Approximation of H
by A is green,
by B is blue,
by A+B is red,
exact solution is black.
ν (t ) = ∂ρ ∂t
Одна популяция: сравнение CBRD с Монте-Карло
Non-adaptive neurons
(4000)
18
Одна популяция:
LIF-нейроны, сравнение с аналитическим решением
Одна популяция:
осциллирующий входной ток
with IM
19
Одна популяция:
цветной шум
LIF
Одна популяция:
цветной шум,
сравнение с «адиабатическим» подходом
u ' τ H (u )
⎡ a
⎤
⎞
ν = ⎢τ m ∫0 exp⎛⎜ − ∫0 m
du ⎟ /(a − u′) du′⎥
a−u
⎝
⎠
⎣
⎦
−1
(*)
a = I a /g L (U T − VL )
dots – Monte-Carlo
solid – eq.(*)
dash – adiabatic approach
[Moreno-Bote,
[Moreno
Bote, Parga 2004]
Firing rate depends on the noise
time constant.
20
Одна популяция:
цветной шум,
адаптивные нейроны
Adaptive conductance-based neuron
CBRD
Single cell level
t* is the time since the last spike
∂ρ ∂ρ
= −ρ H
+
∂t ∂t ∗
⎛ ∂U ∂U ⎞
C⎜
+ * ⎟ = − I DR − I A − I M − I H − I L − I AHP − I i
⎝ ∂t ∂t ⎠
∂x ∂x x∞ (U ) − x
,
+
=
I ... = g ... x y (U − V... )
τ x (U )
∂t ∂t *
for I DR , I A , I M , I H , I AHP
∂y ∂y y∞ (U ) − y
+ *=
τ y (U )
∂t ∂t
Populations
∞
ρ (t ,0) = ∫ ρ F dt ∗ ≡ ν (t )
+0
Large-scale simulations
(NMM & FR-models
for EEG & MRI)
21
Simulations with CBRD-model
Interconnected populations
Synaptic current
kinetics
GABA-IPSC
AMPA-EPSC
GABA-IPSP
AMPA-EPSC
GABA-IPSC
AMPA-EPSP
GABA-IPSP
Membrane
equations
AMPA-EPSP
PSP
PSP
Threshold criterium
Spike
Spike
Population model
Firing rate
Firing rate
22
Approximation of synaptic current
Pyramidal neurons
Synaptic conductance:
200
AMPA-PSC
(with PTX, APV)
S = AMPA , GABA , NMDA
PSC, pA
Excitatory synaptic current:
iE = iAMPA + iNMDA
iAMPA = g AMPA (t ) (V − VAMPA )
experiment
model
Vh=-80 mV
100
50
Vh=-40 mV
-50
0
experiment
model
-40
10
Vh=+20 mV
-60
20
30
40
-80
0
50
25
t, ms
fast GABA-A -IPSC
(with CNQX, D,L-APV)
-200
Vh=-60 mV
-300
-100
experiment
model
-400
40
-500
0
2
d mS
dm
+ (τ Sr + τ Sd ) S + mS = τ ν Spre (t )
dt2
dt
0
10
20
30
50
experiment
model
10
20
t, ms
30
40
50
t, ms
Interneurons
S = AMPA , GABA , NMDA
AMPA-PSC
(with PTX, APV)
500
τ Sr , τ Sd - rise and decay time constants
ν Spre (t ) - presynaptic firing rate
100
-100
Vh=-64 mV
PSC, pA
PSC, pA
iI = gGABA (t ) (V − VGABA )
Non-dimensional synaptic conductances:
75
0
GABA-PSC
(with CNQX, D-AP5)
-50
50
t, ms
0
Inhibitory synaptic current:
NMDA-PSC
(with PTX, CNQX)
150
400
PSC, pA
100
300
experiment
model
Vh=-80 mV
200
100
0
50
experiment
model
0
-50
Vh=-40 mV
-100
Vh=+20 mV
-100
0
Vh=-40 mV
PSC, pA
τ = 1 μs
0
-20
Vh=+20 mV
f NMDA (V ) = 1 /(1 + Mg / 3.57 exp( −0.062 V ))
where
Vh=-40 mV
0
iNMDA = g NMDA (t ) f NMDA (V ) (V − VNMDA )
τ Srτ Sd
NMDA-PSC
(with PTX, CNQX)
20
150
PSC, pA
g S ( t ) = g S wS ( t ) m S ( t )
40
Vh=+20 mV
-150
10
20
30
40
50
t, ms
0
25
50
75
100
t, ms
Simulations. Interictal activity. Recurrent network of pyramidal cells,
including all-to-all connectivity by excitatory synapses.
Model
I i (t ) = I ext (t ) + I S (t ),
with IM and IAHP
I S (t ) = g S (t ) (U (t ) − VS ),
d 2 g S (t )
dg (t )
τ S2
+ 2τ S S + g S (t ) = g S τ ρ (t ,0)
dt 2
dt
Experiment
I = 150 pA
ext
τ S = 5.4 ms,
τ = 1 ms,
VS = 5 mV,
g S = 1 mS/cm2
σ V = 2 mV ( at rest )
[S.Karnup, A.Stelzer 2001]
23
Model
Control (“Kainate”)
Experiments
Oscillations
+“Bicuculline”
All the simulations were done with a
single set of parameters. All the
parameters except synaptic maximum
conductances have been obtained by
fitting to experimental registration of
elementary events such as patchelectrode current-induced traces,
spike trains and monosynaptic
responses .
Spikes in single neurons
The model reproduces the following
characteristics of gamma-oscillations :
Conductances
‰ frequency of population spikes
‰ a single pyramidal cell does not fire
every cycle
Power Spectrum of Extracellular Potentials
bic
‰ every interneuron fires every cycle
con
‰ amplitude of EPSC is less than that
of IPSC
[Khazipov,
[Kh
i
Holmes,
H l
2003]
Kainate-induced oscillations [A.Fisahn et al., 1998]
Cholinergically induced
in CA3.
oscillations in CA3
‰ blockage of GABA-A receptors
reduces the frequency
‰ peak of pyramidal cell’s firing
frequency
corresponds
to
the
descending phase of EPSC and the
ascending phase of IPSC
‰ firing of interneurons follows the
firing of pyramidal cells
‰ gamma-oscillations are
homogeneous in space along the
cortical surface (data not shown)
[N.Hajos, J.Palhalmi, E.O.Mann, B.Nemeth,
O.Paulsen, and T.F.Freund. J.Neuroscience,
24(41):9127–9137, 2004]
Spike timing of pyramidal and inhibitory cells.
Model
Experiments
A
Evoked responses
B
The model reproduces postsynaptic currents
and postsynaptic potentials registered on
somas of pyramidal cells, namely:
‰ monosynaptic EPSCs and EPSPs
[S.Karnup, A.Stelzer
1999] Effects of GABA-A
receptor
blockade
on
orthodromic potentials in CA1
pyramidal cells. Superimposed
responses in a pyramidal cell
soma
before
and
after
application of picrotoxin (PTX,
100 muM). Control and PTX
recordings were obtained at V
rest (-64 mV; 150 muA
stimulation intensities; 1 mm
distance
between
stratum
radiatum stimulation site and
perpendicular
line
through
stratum pyramidale recording
site). The recordings were
carried out in ‘minislices’ in
which the CA3 region was cut
off by dissection.
PSPs and PSCs evoked by
extracellular stimulation and registered
at 3.5cm away, w/ and w/o kainate.
‰ disynaptic IPSC/Ps followed be EPSC/Ps
C
‰ po
polysynaptic
ysy apt c EPSC/Ps
SC/ s
‰ reduction of delays in polysynaptic EPSCs
‰ decay of excitation after II component of
poly-EPSCs in presence of GABA-A receptor
block.
[B.Mlinar,
A.M.Pugliese,
R.Corradetti
2001] Components
The model predicts that the evoked responses
are essentially non-homogeneous in space:
of
complex
synaptic
responses evoked in CA1
pyramidal neurones in the
presence
of
GABAA
receptor block.
[V.Crepel, R.Khazipov,
Y.Ben-Ari, 1997]
In normal concentrations of Mg and in the
absence of CNQX, block of GABA-A
receptors induced a late synaptic response.
Spatial profiles of membrane potential and
firing rate in pyramids.
24
Model
Experiments
Waves
In the case of reduced GABA-reversal
potential VGABA= -50mV and stimulation
by extracellular electrode we obtain a
traveling wave of stable amplitude and
velocity 0.15 m/s. The velocity is much
less than the axon propagation velocity
(1m/s) and is Adetermined mostly by
synaptic interactions.
140
voltage, pyramids
voltage, interneurons
firing rate, pyramids
firing rate, interneurons
120
100
-40
80
mV
Hz
Waves with unchanging chape and
velocity are observed in cortical tissue
in
disinhibiting
or
overexciting
conditions. The waves are produced
by complex interaction of pyramidal
cells and interneurons. That is
confirmed by much lower speed of the
wave propagation comparing with the
axon propagation velocity which is the
coefficient
ffi i t in
i the
th wave-like
lik equation.
ti
Analysis of wave solutions and more
detailed comparison with experiments
are expected in future.
B
60
40
20
0
-60
0
25
50
ms
120
0.15m/s
-40
mV
Hz
100
voltage, pyramids
voltage, interneurons
firing rate, pyramids
firing rate, interneurons
100
80
75
60
[Leinekugel et al. 1998]. Spontaneous GDPs
propagate synchronously in both hippocampi from septal to
temporal poles. Multiple extracellular field recordings from the CA3
region of the intact bilateral septohippocampal complex.
Simultaneous extracellular field recordings at the four recording
sites indicated in the scheme. Corresponding electrophysiological
traces (1–4) showing propagation of a GDP at a large time scale.
40
-60
20
0
10
20
mm
30
40
Fig.5. Wave propagating from the site
of extracellular stimulation at right
border of the “slice”.
A, Evoked responses of pyramidal
cells and interneurons at the site of
stimulation.
B, Profiles of mean voltage and firing
rate
in
pyramidal
cells
and
interneurons at the time 200 ms after
the stimulus.
[D.Golomb,
Y.Amitai,
Propagation of discharges
neocortical slices.
in
1997]
disinhibited
• spatial structure of connections
1 mm
Эксперимент. Зрительная кора. Карта
ориентационной избирательности
активности нейронов.
Модель “Pinwheels” карты
ориентационной
избирательности входных
сигналов.
Модель. Ответ зрительной коры на полосу горизонтальной,
а затем вертикальной ориентации.
25
Синаптические токи
AMPA- and NMDA-EPSCs
EPSCs and IPSCs
EXPERIMENT
[Myme et al. 2003]
[Dong et al. 2004]
MODEL
250
IPSC (pA)
100
600
400
EPSC
IPSC
200
0 mV
50
0mV
0
-50
EPSC (pA)
EPSC (pA)
150
-90mV
-100
0
20
40
60
80
100
120
t (ms)
0
0
-60 mV
Amplitude (pA)
+50mV
200
-200
0
20
40
t (ms)
60
400
200
0
0
80
20
40
60
80
Stimulus strength (μA)
Ответ на электрический стимул
EXPERIMENT
weak[Tucker
moderate
strong
PSPs
2
& Katz, 2003]
mV
mV
-64
-4
-66
-6
-68
0
20
ms
40
control
Bic
-62
0
-2
-60
0
60
20
ms
40
60
MODEL
PSPs
weak
moderate
strong
-60
-62
-62
-64
-64
-66
-68
-66
-70
-68
0
control
Bic
-60
mV
mV
-58
20
ms
40
60
0
20
40
60
ms
26
Model
Experiment
-50
Excitatory neurons
-60
60
40
-60
20
50
-40
100
150 200
Time (ms)
250
neuron preferred 0o-oriented bar
300
75
-50
50
-60
60
25
Interneurons
-70
-40
o
neuron preferred 45 -oriented bar
0
80
60
-50
40
-60
-70
0
Hz
neuron preferred 45 -oriented bar
-50
Hz
Voltage (mV)
0
80
o
-70
0
Volttage (mV)
50
25
-70
-40
Voltage (mV)
75
Hz
o
neuron preferred 0 -oriented bar
Hz
Voltage (mV)
-40
20
50
100
150 200
Time (ms)
250
300
E
X
P
E
R
I
M
E
N
T
M
O
D
E
L
Visual cortex
Stimulus
Visual stimulation
EXPERIMENT
1 mm
27
Hierarchy of models of visual cortex
2-d CBRD model
for Hodgkin-Huxley (HH)-neurons with
synaptic kinetics
Hz
20
15
10
5
0
CBRD
ring model for
HH-neurons with
synaptic kinetics
RDA-based
ring model for
LIF-neurons with
synaptic kinetics
=
Kolmogorov-Fokker-Planck (KFP)-based
ring model for
LIF-neurons with
synaptic kinetics
KFP-based
ring model for
LIF-neurons with
instantaneous synaptic currents
Firing-Rate (FR)
ring model with
instantaneous synaptic currents
Project - “Postgraduate Training Network in Biotechnology
of Neurosciences (BioN)“ (Tempus, 2010 - 2012)
We invite to participate in schools and modular
courses, organized by BioN.
http://www.neurobiotech.ru/
Umea
UmU
Cambridge
MRC-CBU
Helsinki
UH
St.Petersburg
СПбГУ, ФТИ, СПбФТНОЦ
Nizhniy Novgorod
Moscow
НГГУ, ИПФ
МГУ ИВНД
МГУ,
Rostov-on-Don
ЮФУ
Paris
ENS
Genova
IIT
28