Множества. Числа. Теоретико-множественный подход в

Множества. Числа.
ƒ Теоретико-множественный подход в современной математике
ƒ История развития теории множеств
Множества, операции над ними. Понятие множества является одним из
основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных.
Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных
по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система»,
«объединение» и другие являются синонимами слова «множество».
Например, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве
учебников по химии в библиотеке, множестве целых чисел и т. д. Из
приведенных примеров следует, что множество может содержать как
конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты,
из которых состоит множество, называются его элементами или точками.
Принадлежность элемента а множеству А обозначают следующим образом:
a ∈ A . Если b не является элементом множества А, то пишут: b ∉ A . Если
a1 , a2 , a3 ,…, an – некоторые элементы, то запись A = {a1 , a2 , a3 ,… , an } означает,
что А состоит из элементов a1 , a2 , a3 ,… , an .
Определение. Два множества А и B называют равными, если они состоят
из одних и тех же элементов, и пишут: А=В.
Определение. Множество А называется подмножеством множества B,
если все элементы множества А являются одновременно и элементами,
множества В (обозначение: A ⊂ B или B ⊃ A ; читается: «множество А
содержится в множестве В» или «множество В содержат множество А»).
Например, так как всякое натуральное число п является целым, то ⊂ , где
– множество натуральных чисел,
– множество целых чисел.
Множество, не содержащее ни одного элемента, будем называть пустым
множеством и обозначать ∅ . Это множество является подмножеством
любого множества.
Дадим следующие определения.
Пересечением множеств А и В называется множество С = A ∩ B
состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как A, так и В,
⎧⎪ ⎧ x ∈ A, ⎫⎪
т. е. С = A ∩ B = ⎨ x ⎨
⎬.
x
B
∈
⎩⎪ ⎩
⎭⎪
Объединением множеств A и В называется множество С = A ∪ B ,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух
⎧⎪ ⎡ x ∈ A, ⎫⎪
данных множеств, т. е. С = A ∪ B = ⎨ x ⎢
⎬.
∈
x
B
⎩⎪ ⎣
⎭⎪
Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из тех
элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т. е. А\В=
{x x ∈ A, x ∉ B} .
Дополнением множества A ⊂ E называется множество A , состоящее из
всех элементов b ∈ E , не принадлежащих А.
Таким образом, все, элементы, которые не принадлежат множеству А,
образуют множество A в E, A ∩ A = ∅ .
Отношение порядка. Пусть имеется некоторое множество X . На нем
может быть задано отношение порядка, которое обычно обозначается
символом ≤ . Отношение порядка – это отношение, которое рефлексивно, т.е.
x ≤ x для любого x ∈ X , и транзитивно, т.е. из x ≤ y и y ≤ z следует, что x ≤ z .
Отношение порядка – это абстракция для таких понятий, как «больше»,
«лучше», «предпочтительнее». Порядок называется линейным, если это
отношение определено для любых пар элементов, и частичным в противном
случае. Если для элементов x , y отношение порядка определено, то они
называются сравнимыми, и несравнимыми в противном случае. Отношение
линейного порядка называется также упорядочением или ранжировкой. Если
есть некоторое отношение ≤1 , то можно ввести двойственное к нему
отношение ≤ 2 по правилу: x ≤ 2 y ⇔ y ≤1 x .
Числовые множества
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Системы счисления. Цифры
Числа
Числовые множества
История развития теории множеств
– множество натуральных чисел;
– множество целых чисел;
– множество рациональных чисел;
J – множество иррациональных чисел;
– множество действительных (вещественных) чисел;
– множество комплексных чисел.
⊂
=
⊂
⊂ ⊂
J⊂ ⊂
∪J,
J
Пусть Х – множество, а р(х) – какое-либо свойство элементов этого
{x x ∈ X , p ( x)} означает совокупность тех
множества. Тогда запись
элементов множества X, которые обладают свойством р(х).
Например, если а и b – два числа и а< b, то встречавшиеся в элементарной
математике отрезок (или сегмент), интервал можно записать в следующем
виде:
[a, b] = {x x ∈ , a ≤ x ≤ b} – отрезок;
(a, b) = {x x ∈ , a < x < b} – интервал.
Здесь
– множество действительных (вещественных) чисел.
Пример. Множество (−∞, +∞) = {x x ∈ , −∞ < x < +∞} называется также
числовой прямой или числовой осью, а любое число – точкой этой прямой.
Пример. Существует две физические величины, выражающиеся
действительными числами: одна характеризует массу определенного
нуклида, другая — природную смесь изотопов. Значение массы атома и
атомной массы нуклида важно для физиков, которые имеют дело с
индивидуальными частицами. Для химиков, которым, как правило,
приходится иметь дело не с определенными нуклидами, а с природной
смесью изотопов того или иного химического элемента, более важной
величиной является атомная масса (относительная атомная масса) элемента.
Значения последних величин и приводятся в периодической таблице
элементов Д. И. Менделеева (где номера элементов – натуральные числа) и
используются в обычных химических расчетах.
В настоящее время под относительной атомной массой элемента (Аr)
понимают физическую величину, которая равна отношению средней массы,
приходящейся на атом в природной смеси изотопов, к 1/12 массы атома
нуклида углерода-12:
ma ( El )
.
Ar ( El ) =
1
12
ma ( C )
12
1
ma (12 C )
называют
постоянной
атомной
массы
Величину
12
( mu =1,6605402*10-27 кг). Приняв эту величину за единицу (ее так и называют
— атомной единицей массы), получили новую шкалу измерения масс
атомов. Если в шкале СИ единицей массы является 1 кг, то в шкале единиц
атомных масс — 1 атомная единица массы (1 а.е.м., или в английском
варианте — u, от англ. unite — «единица»). Построенные по различным
шкалам множества элементов не равны друг другу в математическом смысле,
хотя равносильны в химическом.