Спектр мощностей компонент корреляционно

Спектр мощностей компонент корреляционно-иммунных
функций, бент-функций, совершенных раскрасок и кодов∗
В. Н. Потапов
Аннотация
В работе исследованы мощности компонент совершенных кодов и раскрасок, корреляционно-иммунных и бент-функций (множеств единиц этих функций). Основываясь на
результатах Т. Касами и Н. Токуры показано, что для любого из перечисленных комбинаторных объектов мощность компоненты в промежутке между 2k и 2k+1 может принимать только значения вида 2k+1 − 2p , где p ∈ {0, . . . , k} и 2k — минимальная мощность
компоненты для комбинаторного объекта с теми же параметрами. Для бент-функций
доказано существование компонент любой мощности из данного спектра. Для совершенных раскрасок с некоторыми параметрами и корреляционно-иммунных функций
найдены компоненты некоторых из указанных выше мощностей.
Ключевые слова: совершенная раскраска, совершенный код, МДР-код, корреляционно-иммунная функция, бент-функция, компонента.
§ 1. Введение
Обозначим через E n множество упорядоченных двоичных наборов (вершин) длины n. Булев
n-мерный куб E n естественным образом наделяется структурой векторного пространства
над полем GF (2). Введём операцию [x, y] = (x1 y1 , . . . , xn yn ) и внутреннее произведение
hx, yi = x1 y1 ⊕ · · · ⊕ xn yn векторов x, y ∈ E n . Количество единиц в наборе y ∈ E n называется
весом набора и обозначается через wt(y) = hy, 1i. Гранью размерности n−wt(y) называется
множество Eyn (z) = {x ∈ E n : [x, y] = [z, y]}.
Пусть S ⊂ E n , через χS будем обозначать характеристическую функцию множества S.
Функция χS называется корреляционно-иммунной порядка n − m, если для любой грани
Eyn (z) размерности m пересечения Eyn (z) ∩ S имеют одинаковую мощность. Множество S ⊂
E n и его характеристическую функцию χS будем называть битрейдом порядка n − m, если
для любой грани Eyn (z) размерности m мощность пересечения Eyn (z) ∩ S чётная (возможно
равна нулю). Отметим, что корреляционно-иммунная функция порядка n − m является
битрейдом порядка n − m − 1.
Расстоянием Хэмминга между вершинами x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и y = (y1 , y2 , . . . , yn )
называется число позиций, в которых наборы x и y различаются, т. е. d(x, y) = wt(x ⊕ y).
Множество вершин, которые находятся от вершины x на расстоянии не более d, называется
шаром радиуса d с центром в x. Сферой радиуса 1 с центром в вершине x называется
множество F (x) = {y ∈ E n : d(x, y) = 1}.
Совершенной раскраской булева n-куба в k цветов называется отображение Col : E n →
{1, . . . , k}, удовлетворяющее следующему условию: мощность пересечения |Col−1 (i) ∩ F (x)|
∗
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 10-0100424, 10-01-00616) и ФЦП <Научные и научно-педагогические кадры инновационной России> на 2009-2013
гг. (гос. контракт № 02.740.11.0429)
1
зависит только от цветов i и Col(x), но не от вершины x ∈ E n . Каждой совершенной
раскраске соответствует матрица параметров A = {aij }, где aij — число вершин цвета
j в сфере радиуса 1 с центром в вершине цвета i. В дальнейшем речь пойдёт только о
раскрасках в два цвета, причём для удобства изложения будем считать, что множество
цветов есть {1, 0} . В этом случае функция Col является булевозначной и Col = χS , где S
— множество вершин цвета 1.
Известно, (см., например,
[1, 2]), что совершенная раскраска булева n-куба с матрицей
n−b
b
является корреляционно-иммунной функцией порядка b+c
параметров
2 −1.
c
n−c
Совершенным кодом с расстоянием 3 называется подмножество булева n-куба, пересекающееся с любым шаром радиуса 1 ровно по одной вершине. Подмножество C ⊂ E n ,
пересекающееся с любым шаром радиуса 1 ровно по t вершинам, называется t-кратным
совершенным кодом. Нетрудно видеть, что характеристической функцией t-кратного соn является совершенная раскраска χC с матрицей параметров вида
вершенного
кода C ⊂ E
t−1 n−t+1
.
A=
t
n−t
Расстояние между булевыми функциями f и g определяется как d(f, g) = |{x ∈ E n :
f (x) 6= g(x)}|. Булевы функции в E n при чётном n, находящиеся на максимальном расстоянии от множества аффинных функций, называются бент-функциями.
Пусть S1 , S2 ⊂ E n и функции χS1 , χS2 являются совершенными раскрасками с одинаковыми параметрами, корреляционно-иммунными функциями одного порядка и одной
мощности или бент-функциями. Множества S1 \ S2 и S2 \ S1 будем называть компонентами (альтернативными) совершенных раскрасок (корреляционно-иммунных функций,
бент-функций) χS1 и χS2 соответственно. Объединение альтернативных компонент, т. е. симметрическую разность S1 △ S2 будем называть двойной компонентой.
Вопрос о спектре мощностей компонент совершенных кодов был поставлен в статье [3].
Мощности компонент совершенных кодов или мощности пересечений совершенных кодов
рассматривались в работах [4]–[9], минимальная мощность компоненты совершенного кода
была давно известна как и минимальная мощность компоненты бент-функции (см. также [10]). Однако, проблема существования компонент мощности промежуточной между
минимальной и удвоенной минимальной оставалась мало исследованной. Ниже рассмотрен
вопрос о существовании компонент промежуточной мощности для совершенных кодов, раскрасок, а также корреляционно-иммунных и бент-функций. На основе результатов статьи
[11] установлены необходимые условия на мощность промежуточных компонент, которые в
ряде случаев являются достаточными.
§ 2. Алгебраическая степень совершенных раскрасок и корреляционно-иммунных функций
Каждая булева функция f : E n → E может быть представлена в виде многочлена Жегалкина ( в алгебраической нормальной форме)
M
G[f ](y)xy11 . . . xynn ,
f (x1 , . . . , xn ) =
y∈E n
где a0 = 1, a1 = a, G[f ] : E n → E — булева функция.
Алгебраической степенью булевой функции f называется максимальная степень слагаемого в её многочлене Жегалкина, т. е. deg f = max wt(y). Алгебраической степенью
G[f ](y)=1
2
множества S ⊂ E n будем называть алгебраическую степень его характеристической функции.
Справедливо, следующее
Утверждение
1. (см. [2, 12]) Для любой булевой функции f справедливо равенство G[f ](y) =
L
f (x).
x∈E n ,[x,y]=x
Поскольку f (x) =
L
G[f ](y), имеем равенство G[G[f ]] = f для любой булевой
y∈E n ,[x,y]=y
функции f .
Из утверждения 1 непосредственно следует
Утверждение 2. Булева функция f : E n → E является битрейдом порядка n − m тогда и
только тогда, когда deg f ≤ m − 1.
Пусть S1 , S2 ⊂ E n и корреляционно-иммунные функции χS1 , χS2 имеют порядок n − m.
Ясно, что множество S1 является битрейдом порядка n − m + 1, а двойная компонента
S1 △S2 является битрейдом порядка n − m. Таким образом, из утверждения 2 получаем
Утверждение 3. Пусть f : E n → E — корреляционно-иммунная функция порядка n − m.
Тогда
(a) deg(f ) ≤ m (неравенство Зигенталлера);
(b) алгебраическая степень двойной компоненты корреляционно-иммунной функции f
не превосходит m − 1.
Замечание 1. Если корреляционно-иммунная функция f порядка n − m имеет чётное
число единиц в каждой грани размерности m, то f является битрейдом порядка n − m и
по утверждению 2 имеем deg f ≤ m − 1.
Поскольку совершенная раскраска с матрицей параметров
n−b
b
c
n−c
является корреляционно-иммунной функцией порядка
утверждения 3 вытекает
b+c
2
(1)
− 1 (см., например, [1, 2]), из
Следствие 1. Пусть f : E n → E — совершенная раскраска с матрицей параметров (1).
Тогда
(a) deg(f ) ≤ n − b+c
2 + 1;
(b) алгебраическая степень двойной компоненты совершенной раскраски f не превосходит n − b+c
2 .
Совершенный код длины n (при n 6= 3) является не только корреляционно-иммунной
n−1
функцией порядка n−1
2 , но и битрейдом порядка 2 , поскольку пересекается с гранями
размерности n+1
2 по чётному числу вершин (см., например, [3]). Из утверждения 3 имеем
Следствие 2. Пусть C ⊂ E n — совершенный код. Тогда
(a) deg(χC ) ≤ n+1
2 ;
(b) алгебраическая степень двойной компоненты совершенного кода C не превосходит
n−1
2 .
Булевы функции f : E n → E можно рассматривать как элементы булева куба размерности 2n . Множество битрейдов порядка n − m − 1 (булевых функции алгебраической степени
n
не выше m) называется кодом Рида — Маллера типа R(m, n) в E 2 . В [13] рассмотрен
весовой спектр кодов Рида — Маллера и, в частности, имеются следующие утверждения.
3
Утверждение 4. ([13], глава 13, теоремы 3 и 5) Для любой не тождественно нулевой
булевой функции f = χS справедливо неравенство |S| ≥ 2n−deg(f ) . Если |S| = 2n−deg(f ) , то
множество S является линейным кодом.
Здесь и далее линейным кодом называется произвольное аффиное подмножество булева
куба E n , который рассматривается как векторное пространство над GF (2).
Утверждение 5. ([11]; [13], глава 15, теорема 10) Пусть f = χS — булева функция в E n ,
deg(f ) ≥ 2 и 2n−deg(f )+1 > |S|. Тогда |S| = 2n−deg(f )+1 − 2n−deg(f )+1−p , где p ∈ {1, . . . , µ}, где
µ = max{(n − deg(f ) + 2)/2, min{n − deg(f ), deg(f )}}.
Отметим, что в [11] и [15] перечислены (с точностью до аффинных преобразований) все
n
булевы функции в E n , соответствующие вершинам кода R(m, n) в E 2 веса не более чем в
2.5 раза превосходящего минимальный ненулевой вес 2n−m .
Из утверждений 2–5 докажем
Утверждение 6. Пусть множество S ⊂ E n есть компонента корреляционно-иммунной
функции порядка n − m и 2n−m+1 > |S|. Тогда |S| = 2n−m+1 − 2p , где p ∈ {0, . . . , n − m}.
Более того, компонента мощности 2n−m является линейным кодом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку мощность компоненты равна половине мощности
двойной компоненты, то из утверждений 3 и 5 получаем требуемые ограничения на мощности компонент. Из утверждения 4 следует, что двойная компонента A = S ∪S ′ , |A| = 2n−m+1 ,
корреляционно-иммунной функции порядка n − m является линейным кодом. Тогда множество A пересекается c любыми гранями n-куба либо по пустому множеству, либо по
множеству мощности 2t , где t — целое. Причём непустое пересечение множества A c (m+1)мерной гранью имеет мощность не менее 4. Тогда компонента S является битрейдом порядка n − m − 1. Из утверждений 2 и 4 получаем требуемое. N
Замечание 2. Компонента корреляционно-иммунной функции f порядка n − m имеет
алгебраическую степень не более 2 deg f . Поэтому при m < n2 компонента имеет чётную
мощность.
Из утверждения 6 и следствий 1, 2 получаем
Следствие 3. Пусть f — совершенная раскраска с матрицей параметров
множество S ⊂ E n есть компонента f и 2
1}. Более того, компонента мощности 2
b+c
2
> |S|. Тогда |S| = 2
b+c
−1
2
b+c
2
n−b
b
c
n−c
,
−2p , где p ∈ {0, . . . , b+c
2 −
является линейным кодом.
Следствие 4. Пусть множество S ⊂ E n есть компонента совершенного кода C ⊂ E n и
n+1
n+1
2 2 > |S|. Тогда |S| = 2 2 − 2p , где p ∈ {1, . . . , n−1
2 }. Более того, компонента мощности
n−1
2
является линейным кодом.
2
§ 3. Компоненты совершенных раскрасок и корреляционно-иммунных функций
n−1
Минимальная мощность (2 2 ) компоненты совершенного кода длины n хорошо известна,
линейность минимальной компоненты была доказана С. В. Августиновичем. Компоненты
минимально возможной мощности имеются в любом линейном коде (коде Хэмминга). Для
совершенных раскрасок компоненты минимальной мощности были построены в [14], кроме
того там же доказано, что компонента минимальной мощности является линейным кодом
4
и указано семейство параметров совершенных раскрасок, которые содержат компоненты
b+c
минимальной мощности 2 2 −1 .
В [3] найдены все возможные мощности пересечений линейных совершенных кодов. В
частности, показано что линейные совершенные коды могут пересекаться по четверти своих вершин. Нетрудно вычислить, что мощность совершенного кода в E 7 равна 24 и вдвое
превосходит минимальную мощность компоненты. Таким образом, при n = 7 два линейных кода, пересекающиеся по четверти вершин, порождают компоненту мощности в 1.5
раза больше минимальной. При n > 7 неизвестны компоненты совершенных кодов (длины
n−1
n+1
n) мощности промежуточной между 2 2 и 2 2 . Более того, можно показать, что компоненты промежуточной мощности отсутствуют в совершенных кодах (при n > 7), имеющих
ранг (размерность аффинной оболочки) не более чем на два превосходящий ранг линейного
кода. Действительно, в [16] доказано, что все совершенные коды такого ранга могут быть
получены конструкцией К. Фелпса (см. [17]) из 4-значных МДР-кодов, в [18] доказано, что
в данной конструкции компоненты 4-значных МДР-кодов взаимно однозначно соответствуют компонентам совершенных кодов. В [19] показано, что 4-значные МДР-коды не имеют
компонент требуемой мощности. Ниже будут построены двукратные совершенные коды с
компонентами промежуточной между минимальной и удвоенной минимальной мощностью.
Пусть Qq — некоторое непустое множество конечной мощности q. МДР-кодом с расстоянием d + 1 называется подмножество M ⊂ Qnq , которое пересекается с каждой d-мерной
гранью q-значного n-куба Qnq ровно по одной вершине. Если в каждой d-мерной грани ровно
по t элементов множества M , то M называется t-кратным МДР-кодом. Таким образом, понятие кратного МДР-кода эквивалентно понятию булевозначной корреляционно-иммунной
функции, определённой на q-значном гиперкубе. Далее будем рассматривать только МДРкоды с расстоянием 2, которые иногда называют тривиальными, поскольку они существуют
при любой размерности пространства n и любой мощности алфавита q > 1.
Справедливо следующее
Утверждение 7. (см. [19]) Для любого p ∈ {0, . . . , t − 1}, t ≥ 3, существует двукратный
МДР-код Btp ⊂ Qt4 , имеющий компоненту мощности 2t − 2p .
Построенная в работе [17] конструкция связывает МДР-коды и совершенные коды. В [14]
предложено обобщение этой конструкции, позволяющее строить совершенные раскраски с
матрицей параметров
0 k(2s − 1)
.
(2)
k k(2s − 2)
Кратко повторим это построение. Пусть m = 2s−2 , n = (2s − 1)k, s ≥ 2. Зафиксируем
e ⊂ E m−1 — линейный совершенный код (код Хэмминга). Пусть r ∈ E k(m−1) , определим
R
!
k(m−1)
k
L
L
e Для каждого r ∈ R зададим
ri и R = {r ∈ E k(m−1) : re ∈ R}.
ri , . . . ,
re =
i=1
i=k(m−2)+1
МДР-код Mr ⊂ Qkm
(с расстоянием 2). Обозначим
4
C00 = {0000, 1111}, C10 = {1001, 0110}, C20 = {0101, 1010}, C30 = {0011, 1100};
C01 = {0001, 1110}, C11 = {1000, 0111}, C21 = {0100, 1011}, C31 = {0010, 1101};
C0 = {000 , 111 }, C1 = {100 , 011 }, C2 = {010 , 101 }, C3 = {001 , 110 }.
Определим множество P ⊂ E n , где n = (2s − 1)k, равенством
[ [
r
P =
Qα,r ,
Qα,r = Cαr11 × Cαr22 × · · · × Cαk(m−1)
× Cαk(m−1)+1 × · · · × Cαkm .
k(m−1)
r∈R α∈Mr
5
(3)
Утверждение 8. (см. [14]) Пусть множество P ⊂ E n определено равенством (3), тогда χP
— совершенная раскраска с матрицей параметров (2).
В [20] предложено обобщение конструкции из [17], позволяющее строить кратные совершенные коды, используя кратные МДР-коды. Аналогичным образом применим в конструкции из [14] двукратные МДР-коды вместо однократных. Рассмотрим множество
Sp,m,k =
[
[
Qα,r ,
r
Qα,r = Cαr11 × Cαr22 × · · · × Cαk(m−1)
× Cαk(m−1)+1 × · · · × Cαkm , (4)
k(m−1)
p
r∈R α∈Bkm
p
где Bkm
— двукратный МДР-код, определённый в утверждении 7.
Теорема 1. Пусть p ∈ {0, . . . , km − 1} и множество Sp,m,k ⊂ E n определено равенством (4),
тогда
(a) χSp,m,k — совершенная раскраска с матрицей параметров
k k(2s − 2)
,
(5)
2k k(2s − 3)
где n = (2s − 1)k, m = 2s−2 , s ≥ 2, k ≥ 1, km ≥ 3;
(b) совершенная раскраска χSp,m,k имеет компоненту мощности (2km − 2p )2km .
Доказательство пункта (a) теоремы 1 вполне аналогично доказательству утверждения
8 (теорема 2 в [14]). Пункт (b) следует из утверждения 7.
Как было указано выше для совершенных раскрасок имеется оценка их корреляционной
иммунности, зависящая только от параметров раскраски. В частности, функция χSp,m,k
является корреляционно-иммунной порядка 2km − 1. Пусть f : E n → E — корреляционно′
иммунная функция порядка i. Тогда функция g : E n+n → E, определённая равенством
g(x, y) = f (x) ⊕ y1 ⊕ · · · ⊕ yn′ является корреляционно-иммунной порядка i + n′ . Таким
образом из теоремы 1, подставляя m = 1, получаем
Следствие 5. Пусть n = 3k + n′ , r = 2k + n′ − 1, k ≥ 3. Для любого p ∈ {0, . . . , k − 1} най′
дётся корреляционно-иммунная функция g : E n+n → E порядка r, имеющая компоненту
′
мощности (2k − 2p )2k+n .
§ 4. Компоненты бент-функций и подвижные множества
Множество функций a : E n → Q можно рассматривать как 2n -мерное векторное пространство V над Q. Известно, что функции вида f v (u) = (−1)hu,vi , v ∈ E n , составляют ортогональный базис пространства V. Преобразованием Фурье функции a называется функция b
a,
значения которой
X
a(u)(−1)hu,vi
b
a(v) =
u∈E n
являются скалярными произведениями векторов a и f v в V. Введём обозначение σf для
функции σf (x) = (−1)f (x) , числа σ
cf (v), v ∈ E n , называются коэффициентами Уолша —
Адамара булевой функции f .
Корреляционно-иммунные функции и совершенные раскраски можно описать в терминах коэффициентов Уолша — Адамара.
Утверждение 9. (см. [2, 12]) Булева функция f = χS является корреляционно-иммунной
порядка m тогда и только тогда, когда σ
cf (v) = 0 при любых v ∈ E n таких, что 0 < wt(v) ≤
m.
6
Утверждение 10. (см. [21])
(a) Пусть f — совершенная раскраска с матрицей параметров
n−b
b
c
n−c
, тогда
σ
cf (v) = 0 при любых v ∈ E n , таких что wt(v) 6= 0, b+c
2 .
(b) Пусть булева функция f такова, что σ
cf (v) = 0 при любых v ∈ E n , wt(v) 6= 0, k, тогда
f является совершенной раскраской.
Пусть f : E n → E — булева функция и w ∈ E n . Через wt(fw ) = |{x ∈ E n | f (x) =
1, [x, 1 ⊕ w] = x}| будем обозначать число единиц подфункции, полученный подставлением
0 во все такие аргументы xi функции f , что wi = 1.
Утверждение 11. ([22], см. также [2]) Для любой булевой функции f : E n → E справедливо равенство
P
σ
cf (v) = 2n − 2wt(w)+1 wt(fw ) (тождество Саркара).
v∈E n ,[v,w]=v
Из тождества Саркара нетрудно вывести следующее
Утверждение 12. Пусть f булева функция и σ
cf (v) ≡ 0( mod 2k ) для любого v ∈ E n ,
тогда deg(f ) ≤ n − k + 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть deg(f ) > n − k + 1. Рассмотрим ненулевое слагаемое
максимальной степени в многочлене Жегалкина функции f . Пусть G[f ](y) = 1 и wt(y) =
deg(f ). Тогда wt(fy⊕1 ) ≡ 1( mod 2). Из тождества Саркара имеем
X
σ
cf (v) = 2n − 2n−wt(y)+1 wt(fy⊕1 ) ≡ 1( mod 2n−wt(y)+2 ) 6≡ 0( mod 2k ).
v∈E n ,[v,y⊕1]=v
N
Из тождества Саркара и утверждения 9 следует
Утверждение 13. (см., например, [2]) Пусть f : E n → E — корреляционно-иммунная
функция порядка m, m ≤ n − 1. Тогда σ
cf (v) ≡ 0( mod 2m+1 ) для любого v ∈ E n .
Отметим, что доказательство утверждения 3 (a) независимым образом получается из
утверждений 12 и 13.
В работе [7] используется понятие подвижного множества в E n как объединения двух
кодов C1 и C2 с расстоянием 3, имеющих одинаковую окрестность. Определим функцию
h : E n → Q равенством h = χC1 − χC2 . Из определения видно сумма значений функции h по
любому шару радиуса 1 равняется 0, т. е. функция h является 0-центрированной. Известно
Утверждение 14. (см. [23]) Пусть h : E n → Q — 0-центрированная функция. Тогда b
h(v) =
0 при wt(v) 6=
n+1
2 .
В частности, из этого утверждения следует, что подвижные множества имеются в булевых кубах только нечётной размерности.
Утверждение 15. Любое подвижное множество C ⊂ E n является битрейдом порядка
n−1
2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению подвижное множество C является объединением кодов C1 и C2 с расстоянием 3 и h = χC1 − χC2 есть 0-центрированная функция.
Подпространство пространства V, порождённое всеми функциями f v , где wt(v) ≤ m, содержит характеристические функций всех граней размерности не менее n − m. Тогда из
утверждения 14 следует, что скалярное произведение (h, χF ) равно нулю для любой грани
G размерности n+1
2 . Следовательно |C1 ∩ G| = |C2 ∩ G| и число |C ∩ G| чётное.N
Из утверждений 2, 4, 5 и 15 имеем
7
n+3
Следствие 6. Пусть S ⊂ E n — подвижное есть множество и 2 2 > |S|. Тогда |S| =
n+3
n+1
2
является
2 2 − 2p , где p ∈ {1, . . . , n+1
2 }. Более того, подвижное множество мощности 2
линейным кодом.
Отметим, что построенные в § 3 пары альтернативных компонент
совершен двукратных
1 (2s − 2)
являются
ных кодов, т. е. совершенных раскрасок с матрицей параметров
2 (2s − 3)
подвижными множествами.
Булева функция f является бент-функцией тогда и только тогда, когда σ
cf (v) = ±2n/2
n
для любого v ∈ E и n — чётное (см., например, [24]).
n
Теорема 2. (a) Пусть множество S ⊂ E n есть компонента бент-функции f и 2 2 > |S|.
n
n
Тогда |S| = 2 2 − 2p , где p ∈ {0, . . . , n2 − 1}. Более того, компонента мощности 2 2 −1 является
линейным кодом.
(b) Для любого p ∈ {0, . . . , n2 − 1} существует бент-функция f : E n → E, имеющая
n
компоненту мощности 2 2 − 2p .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подобно доказательству утверждения 12 из тождества Саркара нетрудно получить, что deg(f ) ≤ n/2 для любой бент-функции f в E n (см. также [12]).
Тогда пункт (a) следует из утверждений 4 и 5. Построим бент-функции с компонентами требуемой мощности. Пусть x, y ∈ E n/2 и λ — произвольная булева функция в E n/2 . Известно
(см., например, [12],[24]), что булева функция f (x, y) = hx, yi⊕λ(y) является бент-функцией.
Тогда функции f 1 (x, y) = hx, yi⊕y1 · · · yn/2 и fp2 (x, y) = hx, yi⊕y1 · · · yp xp+1 · · · xn/2 являются
n
бент-функциями, причём wt(f 1 ⊕ fp2 ) = 2p (2 2 −p+1 − 2). Следовательно, бент-функция f 1
n
имеет компоненту мощности 2 2 − 2p .N
Свойства минимальных по мощности компонент бент-функций рассматривались в [10],
n
[25], [26]. В частности в [10] доказано, что компонента бент-функции мощности 2 2 −1 является линейным кодом, а в [25] доказано, что если бент-функция аффинна на аффинном
множестве размерности n/2, то это множество является двойной компонентой.
Список литературы
1. Fon-Der-Flaass D.G. A bound of correlation immunity // Siberian Electronic Mathematical
Reports. 2007. V. 4. P. 133–135.
2. Таранников Ю.В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Выпуск 11. М.: Физматлит. 2002. С. 91–148.
3. Etzion Т., Vardy A. Perfect binary codes and tilings: problems and solutions // SIAM J.
Discrete Math. 1998. V. 11. №2. P. 205–223.
4. Avgustinovich S. V., Heden О., Solov’eva F. I. On intersections of perfect binary codes //
Bayreuth. Math. Schr. 2005. №74. P. 1–6.
5. Avgustinovich S. V., Heden O., Solov’eva F. I. On intersection problem for perfect binary
codes // Des. Codes Cryptogr. 2006. V. 39. №3. P. 317–322.
6. Avgustinovich S.V., Lobstein A.C., Soloveva F.I. Intersection matrices for partitions by
binary perfect codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2001. V. 47. №4. P. 1621–1624.
7. Васильев Ю.Л., Августинович С.В., Кротов Д.С. О подвижных множествах в двоичном гиперкубе // Дискретн. анализ и исслед. операций. 2008. Т. 15. №3. P. 11–21.
8
8. Heden O., Soloveva F.I., Mogilnykh I.Yu. Intersections of perfect binary codes // Proc. of
IEEE Int. Conf. on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering
(Irkutsk, Russia. July 11–15, 2010). Piscataway: IEEE, 2010. P. 50–51.
9. Соловьёва Ф.И., Лось А.В. О пересечениях q-значных совершенных кодов // Сиб. мат.
журн. 2008. Т. 49. №2. С. 464–474.
10. Коломеец Н.А., Павлов А.В. Свойства бент-функций, находящихся на минимальном
расстоянии друг от друга // Прикладная дискретная математика. 2009. №4. С. 5–20.
11. Kasami T., Tokura N. On the weight structure of Reed—Muller codes // IEEE Trans. Inform.
Theory. 1970 V. IT-16. P. 752–759.
12. Логачёв О.А., Сальников А.А., Ященко В.В. Булевы функции в теории кодирования и
криптологии, М.: Изд-во МЦНМО. 2004.
13. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки, М.: Связь.
1979.
14. Потапов В.Н. О совершенных раскрасках булева n-куба и корреляционно-иммунных
функциях малой плотности // Сибирские электронные математические известия. 2010.
Т. 7. С. 372–382.
15. Kasami T., Tokura N., Azumi S. On the weight enumeration of weights less than 2.5d of
Reed—Muller codes // Inform. and Control. V. 30. P. 380–395.
16. Avgustinovich S.V., Heden O., Solov’eva F.I. The classification of some perfect codes // Des.
Codes Cryptogr. 2004. V. 31. №3. P. 313–318.
17. Phelps K.T. A general product construction for error correcting codes // SIAM J. Algebraic
Discrete Methods. 1984. V. 5. №2. P. 224–228.
18. Кротов Д.С., Потапов В.Н. О свитчинговой эквивалентности n-арных квазигрупп порядка 4 и совершенных двоичных кодов // Пробл. передачи информ. 2010. Т. 46. №3.
C. 22–28.
19. Potapov V.N. Latin bitrade // arXiv:1104.1295v1 [math.CO]
20. Кротов Д.С., Потапов В.Н. О кратных МДР- и совершенных кодах, не расщепляемых
на однократные // Пробл. передачи информ. 2004. Т. 40. №1. С. 6–14.
21. Фон-Дер-Флаасс Д.Г. Совершенные 2-раскраски гиперкуба // Сиб. мат. журн. 2007.
Т. 48. №4. С. 923–930.
22. Sarkar P. Spectral domain analysis of correlation immune and resilient Boolean fuctions //
Cryptology ePrint archive (http://eprint.iacr.org/), Report 2000/049, September 2000, 14 p.
23. Августинович С.В., Васильева А.Ю. Вычисление центрированной функции по ее значениям на средних слоях булева куба // Дискретн. анализ и исслед. опер., Cер. 1. 2003.
Т. 10. №2. C. 3–16.
24. Токарева Н.Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ // Прикладная
дискретная математика. 2009. №1. С. 15–37.
9
25. Carlet C. Boolean Functions for Cryptography and Error Correcting Codes, Chapter of
the monography "Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and
Engineering" published by Cambridge University Press, Yves Crama and Peter L. Hammer
(eds.), 2010. P. 257-397.
26. Carlet C. Two new classes of bent functions // Advances in Cryptology - EUROCRYPT’93,
no. 765 in Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, 1994. P. 77–101.
Потапов Владимир Николаевич
Новосибирский государственный университет,
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
тел. 383-3634549
[email protected]
10