№1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а) (A B)\(B C) = (A\B)(B\C) б) (A B) (C D)=(A C) (B C) (A D). а) A B \ B C A \ B B \ C . Решение. Преобразуем левую часть. A B \ B C по свойству разности A B B C по закону де Моргана A B B С по свойству дополнения A B A С B С по свойству нуля A B A С B С по свойству универсального множества A B A С U B С по свойству дополнения A B A С B B B С по свойству дистрибутивности A B A С B A С B B С по свойству дистрибутивности A B B B A С B С по свойствам коммутативности и ассоциативности A B A B C A B С B С по закону поглощения A B B С по свойству разности A \ B B \ C . Получили правую часть. Равенство доказано. №4Доказать утверждение методом математической индукции: (62n–1 + 1) кратно 7 для всех целых n 1. Решение. 1 1. База индукции n 1 . 6 21 1 7 кратно 7. Утверждение справедливо при n 1 . 2. Предположим, что утверждение справедливо при n k : 6 2 k 1 1 7m, m Z . 3. n k 1 . 6 2 n 1 1 6 2 k 1 1 1 6 2 k 12 1 36 6 2 k 1 1 36 6 2 k 1 35 36 7m 7 5 7 36m 5 - кратно 7. Утверждение справедливо при n k 1 . По методу математической индукции, утверждение справедливо при любом целом n 1. №7Найти коэффициенты при a=x4·y2·z3, b=x2·y2·z2, c=y4·z4 в разложении (3x2+5·y2+2·z)6. Решение. 1) a x 4 y 2 z 3 x 2 y 2 z 3 . 2 1 Коэффициент при a равен R 6; 2,1,3 32 51 23 6! 9 5 8 21600. 2! 1! 3! 2) b x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 , 1 1 2 4 6 . 1 1 В разложении нет такого члена, так как сумма степеней не равна 6. Коэффициент при b равен 0. 3) c y 4 z 4 x 2 y 2 z 4 . 0 2 Коэффициент при c равен R 6; 2, 4 52 24 6! 6 5 16 625 25 16 6000. 2! 4! 1 2 №9 Орграф задан матрицей смежности. Необходимо: а) нарисовать граф; б) выделить компоненты сильной связности; в) заменить все дуги ребрами и в полученном неориентированном графе найти эйлерову цепь (или цикл). 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 Решение. а) б) Пары вершин 3 и 6, 6 и 4, 4 и 2 связаны парами противоположно направленных дуг, значит, вершины 3, 6, 4, 2 взаимодостижимы. Пар вершин 5 и 1 также связаны парой противоположно направленных дуг. Из вершины 1 есть дуга в вершину 4, а из вершины 3 есть дуга в вершину 1. Все вершины графа взаимодостижимы. Граф имеет одну компоненту сильной связности – это сам граф, множество вершин: 1, 2,3, 4,5,6 . в) Степени вершин графа: deg v1 4, deg v2 4, deg v3 4, deg v4 5, deg v5 2, deg v6 5 2 7. В графе существует эйлерова цепь, так как степени ровно двух вершин нечетны. Начиная с вершины v6 с нечетной степенью, получим следующую эйлерову цепь: v6,e13,v6,e5,v3,e6,v6,e8,v2,e9,v4,e10,v2,e7,v3,e4,v1,e1,v5,e2,v1,e3,v4,e11,v6,e12,v4. 3