Лекция 6. Автоморфизмы диска

Лекция 6. Автоморфизмы диска
Области U и W называются изоморфными (биголоморфно изоморфными),
если существуют такие голоморфные отображения f : U → W и g : W → U ,
что f ◦ g = g ◦ f = Id. Трудная и удивительная теорема Римана утверждает,
что любая односвязная область плоскости C, отличная от самой плоскости,
изоморфна единичному диску △(0, 1) = △ = {|z| < 1}. В связи с этой
теоремой появилась развитая теория и практика конформных отображений
— молодецкая забава, отвечающая на вопросы типа следующего: как явно
построить изоморфизм плоскости с четырьмя бесконечными разрезами на
единичный диск (см. рис. 1)?
В этой науке важную роль играют дробно-линейные отображения z →
b
d 6= 0. Дробно-линейные отображения C ∪ ∞ → C ∪ ∞ образуют
группу P GL(2, C). Нам будет важна е подгруппа, состоящая из автоморфизмов единичного диска, т.е. таких голоморфных отображений f : △ → △, у
которых имеется обратное голоморфное отображение f −1 : △ → △. Главная цель этой лекции — объяснить, что любой автоморфизм диска является
дробно-линейным преобразованием. Эти дробно-линейные преобразования
имеют специальный вид, а именно:
az+b a
cz+d , c
z → eiφ
uz + v
, |u|2 − |v|2 = 1 (см. Задачу из Л. "До свидания 1").
vz + u
(1)
Ключевая Теорема 1 Пусть f — автоморфизм диска и f (0) = 0. Тогда
f есть поворот z → eiφ z.
Доказательство. Рассмотрим голоморфную в диске функцию f (z)
z (почему эта функция голоморфна?). Покажем, что для любого z ∈ △ : | f (z)
z | 6 1.
f (z)
f (z)
1
Согласно принципу максимума, | z | 6 max|z|=ρ | z | < ρ . Это верно для
всех ρ, достаточно близких к 1 (см. рис 2). Переходя к пределу при ρ → 1,
получаем желаемое неравенство |f (z)| 6 |z|. Но это же неравенство справедливо и для функции f −1 . Таким образом, для любого z из диска △
выполняются два неравенства: |f (z)| 6 |z| и |f −1 (z)| 6 |z|. Следовательно,
|f (z)| = |z|, т.е. | f (z)
z | = 1.
1
Остатся заметить, что голоморфная функция с постоянным модулем —
это постоянная функция, по модулю равная 1. Поэтому f (z) = eiφ z, ч.т.д.
Докажем теперь, что все автоморфизмы диска исчерпываются дробнолинейными преобразованиями (1), которые образуют группу P U (1, 1). В самом деле, если ϕ — такой автоморфизм, то, подправив его с помощью подхоuz+v
(u, v ∈ C, |u|2 −
дящего дробно-линейного автоморфизма Ψ вида z → vz+u
|v|2 = 1), можно считать, что автоморфизм Ψ ◦ ϕ оставляет центр диска на
месте (проверьте, что так действительно можно сделать). Тогда по доказанной теореме Ψ ◦ ϕ(z) = eiφ z, т.е. ϕ(z) = eiφ Ψ−1 (z). Остатся заметить, что
−1
Ψ−1 (z) — это дробно-линейная функция с матрицей uv uv
.
Полученное нами полное описание группы автоморфизмов диска позволяет понять, например, как устроена группа автоморфизмов верхней полуплоскости H+ = {z ∈ C, ℑz > 0}. В самом деле, дробно-линейная функция
τ : z → z−i
z+i осуществляет изоморфизм верхней полуплоскости и единичного диска (проверьте это!). Следовательно, группа автоморфизмов верхней
полуплоскости AutH+ сопряжена группе автоморфизмов диска Aut△ с помощью дробно-линейного преобразования τ , т.е. AutH+ = τ −1 (Aut△)τ .
Задача 1 Построить изоморфизм плоскости с удаленным отрезком [−1, 1]
и диска.
Решение. Дробно-линейное преобразование φ(z) =
C − {[0, 1]} в область C − {0, ∞} (см. рис. 3).
1−z
z+1
переводит область
Плоскость C, из которой удалн луч [0, ∞], преобразованием w →
переводится в верхнюю полуплоскость H+ (см. рис. 4).
2
√
w
Последний шаг нам уже известен. Задача решена. Ответ датся суперпозицией трх функций:
q
1−z
z+z − i
q
z→
1−z
1+z + i
Задача 2 Конформно отобразить на единичный диск круговую луночку
|z| < 1, |z − i| < 1 (рис. 5).
√
√
Легко проверить, что A = 2i − 23 , B = 2i + 23 . Рассмотрим дробнолинейное преобразование τ (z) = z−B
z−A , которое точку B отправляет в 0, а
точку A — в точку ∞. При этом дуги BiA и BoA переходят в лучи, угол
между которыми составляет 120o = 2π
3 (почему?). Эти лучи показаны на
рис. 6.
Итак, нам удалось отобразить внутренность луночки на внутренность
угла в 120o , показанного на рисунке 6. Наш успех зафиксирован на картинке 7.
3
Далее, функция W 2 (какая ветвь?) развернт нам этот угол в нижнюю
полуплоскость. Переведем её в верхнюю полуплоскость с помощью линейного преобразования u → (−u). После чего уже можно расслабиться.
Вот так-то. Тренируйтесь и не забудьте когда-нибудь решить задачу,
поставленную в начале лекции.
3