Логическая задача «Земля и апельсин»

Задачи по математике на олимпиаду 11 класс (пробный вариант)
1. Сравнить два числа:  e и e  .
Решение:
Сравним логарифмы указанных чисел: ln  e и ln e  .
По свойству логарифма: ln  e = e ln  , ln e  =  ln e
Разделим оба числа e ln  и  ln e на произведение   e
ln 
ln e
Получим:
и
e

ln x
Рассмотрим функцию у(х)=
.
x
ln 
ln e
Полученные числа
и
являются значениями этой функции при х=  и х= e .
e

Итак, сравниваем значения функции: у(  ) и у( e )
Исследуем функцию у(х) на монотонность.
Для этого вычислим производную:
1
 x  ln x
(ln x)  x  ln x  ( x) x
1  ln x
y ( x) 


2
2
x
x
x2
и, приравнивая производную к нулю, найдем стационарную точку:
1  ln x
0
x2

1  ln x  0

xe
Для значений аргумента х> e производная y (x) <0
Следовательно, функция у(х) убывает на промежутке ( e ;+∞).
По определению убывающей функции большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции.
Поскольку  > e , тогда
у(  )<у( e )
Отсюда,
ln 
ln e
.
e

ln  e < ln e 
e ln  <  ln e 
Таким образом, установлено:
Ответ:  e < e  .
<

 e < e .
2. У одной супружеской пары было трое детей: Джон, Бен и Мэри. Причем разница в возрасте у родителей была такой же, как между Джоном и Беном и между Беном и Мэри. Произведение возрастов Джона и Бена равнялось возрасту отца, а произведение возрастов Бена и
Мэри – возрасту матери. Общий возраст всех членов семьи равнялся 90 годам. Сколько лет
было каждому из них?
Решение:
Пусть х – возраст Джона;
у – возраст Бена;
z – возраст Мэри;
u – возраст отца;
v – возраст матери.
Тогда
u  v  x  y  y  z
u  x  y


v  y  z
u  v  x  y  z  90
Равенство х-у=у-z означает, что числа х, у, z составляют арифметическую прогрессию.
Пусть d – знаменатель этой прогрессии.
Тогда у=х+d, z=x+2d
Второе уравнение системы можно переписать в виде: u=x(x+d)
Третье уравнение системы можно переписать в виде: v=(x+d)(x+2d)
Четвертое уравнение системы можно переписать в виде:
x(x+d)+(x+d)(x+2d)+x+(x+d)+(x+2d)=90
Сгруппируем слагаемые этого уравнения:
[x(x+d)+(x+d)(x+2d)]+[x+(x+d)+(x+2d)]=90
Далее:
(х+d)[x+(x+2d)]+[x+x+d+x+2d]=90
или:
(х+d)[2x+2d]+[3x+3d]=90
2(x+d)2+3(x+d)=90
Поскольку у=х+d, получаем квадратное уравнение относительно у:
2y2+3y-90=0
Решая это квадратное уравнение, выберем положительное значение переменной: у=6
С учетом полученного результата:
Второе уравнение системы примет вид: u=6x (*)
Третье уравнение системы примет вид: v=6z или
v=6(x+2d)
или
v=6x+12d
(**)
Вычитая из уравнения (*) уравнение (**), получаем: u-v=-12d
В то же время из первого уравнения системы: u-v=x-y
следует, что
u-v=-d
Одновременное выполнение соотношений: u-v=-12d и u-v=-d возможно только, если d=0.
Значит, х=у=z, u=y2, v=y2.
Таким образом, х=у=z=6 лет, u=v=36 лет.
Ответ: Возраст детей совпадает, по 6 лет каждому. Возраст родителей совпадает, по 36 лет
каждому.
3. Джонс вышел из А в В и по дороге в 10 км от А встретил своего приятеля Кенворда, который вышел из В одновременно с ним. Дойдя до В, Джонс немедленно повернул обратно. То
же сделал и Кенворд, дойдя до А. Приятели снова встретились, но уже в 12 км от В. Каждый
шел с постоянной скоростью. Каково расстояние между А и В?
Решение:
Пусть х км – расстояние между А и В;
v d км/ч – скорость Джонса;
v k км/ч – скорость Кенворда.
До момента первой встречи Джонс прошел 10 км со скоростью v d км/ч, а Кенворд прошел
(х-10) км со скоростью v k км/ч.
Тогда
10 x  10
(*)

vd
vk
До момента второй встречи Джонс прошел (х+12) км со скоростью v d км/ч, а Кенворд прошел [x+(x-12)] км со скоростью v k км/ч.
Тогда
x  12 x  x  12
(**)

vd
vk
Из уравнения (*) следует:
А из уравнения (**) следует:
Тогда
v k x  10

vd
10
v k 2 x  12

vd
x  12
x  10 2 x  12

10
x  12
Решаем полученное уравнение:
(х-10)(х+12)=10(2х-12)
х2+2х-120=20х-120
х2-18х=0
х=0; 18
Следовательно, расстояние между А и В равно 18 км.
Ответ: 18 км.
4. Когда между пятью и шестью часами часовая и минутная стрелки будут находиться точно
под прямым углом?
Решение:
Минутная стрелка совершает 1 оборот в 360 за 60 минут. Тогда за 1 минуту стрелка сдвига360 0
ется на
=6 величины центрального угла окружности.
60
Часовая стрелка совершает 1 оборот в 360 за 12 часов, т.е. за 1260=720 минут. Тогда за 1
0
360 0  1 
=   величины центрального угла окружности.
720  2 
В начальный момент, когда часы показывают 5 часов 00 минут, угол между стрелками со5
ставляет
360=150.
12
За одну минуту угол между стрелками сокращается на 6 за счет движения минутной стрелки
минуту стрелка сдвигается на
0
1
и увеличивается на   за счет движения часовой стрелки.
2
Составим уравнение, когда угол между стрелками равен 90:
1

150   6  t  90
2

где t – время в минутах.
120
10
Отсюда, t 
мин. =10
мин.
11
11
Таким образом, первый раз угол между стрелками становится прямой в момент вре10
мени 5 часов 10
минут.
11
Составим уравнение, когда стрелки совпадут, т.е. угол между стрелками будет равен 0:
1

150   6  t  0
2

300
Отсюда, t 
мин.
11
300 120 180
минут прошло от положения прямого угла между стрелками до их


11
11
11
совпадения.
180
Так как стрелки движутся равномерно, то столько же времени,
минут, пройдет до
11
повторного положения прямого угла между стрелками:
300 180 480
7


мин. =43
мин.
11
11
11
11
Таким образом, второй раз угол между стрелками будет прямым в момент времени
7
5 часов 43
минут.
11
Ответ: 5 часов 10
10
7
минут и 5 часов 43
минут.
11
11
5. От пристани оторвалась баржа и поплыла вниз по течению, скорость которого равна v
км/ч. Когда баржа проплыла 3 км, от пристани вдогонку за ней отплыл катер, скорость которого в стоячей воде равна 9 км/ч. Катер догнал баржу и отбуксировал ее назад на пристань со
скоростью 4 км/ч. Через сколько времени баржа была возвращена на пристань?
Решение:
3
Время, прошедшее с момента отрыва баржи до того, как за ней отплыл катер, равно часов.
v
Пусть х км баржа проплыла от начала погони до того, как катер ее догнал.
x
Тогда время, в течение которого баржа продолжала плыть, пока катер ее не догнал, равно
v
часов.
За это время катер проплыл (3+х) км со скоростью (9+v) км/ч.
x 3 x
Таким образом,
=
v 9v
v
Из этого равенства следует:
х(9+v)=v(3+x)  9x+xv=3v+vx  9x=3v  x=
3
x3
Время буксировки баржи обратно на пристань равно
часов.
4
Суммарное время t, в течение которого баржа находилась в пути, равно
3 x x3
t= + +
часов
v v
4
v
С учетом полученного соотношения x= :
3
v
3
3 v
3 1 v  9 36  4v  v 2  9v v 2  13v  36
t= + + 3
= + +
=
=
часов
4
12v
12v
v 3v
v 3 12
Ответ:
v 2  13v  36
часов.
12v