10 класс Олимпиада по математике

Задачи 1 тура олимпиады «Ищем Ломоносовых» 2012 г.
Математика 10 класс
Задание №1 (10 баллов)
В треугольной пирамиде все высоты боковых граней, проведенные из
вершины, равны 13, периметр основания равен 75, объем равен 750. Найдите высоту пирамиды.
Задание №2 (15 баллов)
Каков наибольший радиус окружности, которую можно поместить
внутрь трапеции с основаниями 5 и 17 и боковыми сторонами 10? (Такая окружность может касаться
некоторых сторон трапеции.)
Задание №3 (5 баллов)
В классе мальчиков больше, чем девочек. Среди каждых 10 учеников
найдется по крайней мере одна девочка. Каково максимальное возможное число учеников в классе?
Задание №4 (5 баллов) Найти все решения уравнения |х2 – 4| + |х2 – 9| = 5.
Задание №5 (10 баллов) Баба Яга и Кащей Бессмертный собирали мухоморы. Общее
число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кащея. Когда Баба
Яга отдала Кащею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало
в 8 раз больше крапинок, чем у Кащея. Доказать, что сначала у Бабы Яги было не
более 23 мухоморов.
Задание №6 (10 баллов) Пусть AM — медиана прямоугольного треугольника ABC,
проведённая из вершины прямого угла А, а Р и Q — точки касания окружности, вписанной в
треугольник АВМ, с его сторонами АВ и ВМ соответственно. Известно, что PQ параллельно AM.
Найти углы треугольника ABC.
Задание №7 (15 баллов) Найти все решения уравнения х2 + у2 + z2 = х (у + z).
Задание №8 (5 баллов) На доске написано выражение: 4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22. Расставьте
знаки модуля так, чтобы получилось верное равенство.
Задание №9 (15 баллов) Вершины D, Е и F треугольника DEF лежат на
продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника ABC за вершины В, С и А
соответственно. Известно, что BD=AC, AF=CE=AB
и треугольник DEF равносторонний. Докажите, что треугольник ABC также равносторонний.
Задание №10 (10 баллов) Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске
написано число; ход состоит в том, чтобы вычесть из этого числа какую-либо его
ненулевую цифру и записать получившееся число на месте старого. Ходят по
очереди. Выигрывает тот, кто первым получает ноль. На доске исходно написано
число 1234, первым ходит Волк. Кто выиграет при правильной игре?
Решения всех задач должны быть представлены в письменном виде четко и подробно, со всеми
вычислениями, объяснениями, доказательствами, необходимыми рисунками, схемами и т. п.
Ответ без пояснений не принимается!