1. Определение линейного (векторного) пространства. Примеры

1. Определение линейного (векторного) пространства. Примеры линейных пространств (ЛП).
Простейшие свойства ЛП.
Пусть дано поле
( - поле вещественных чисел, - поле комплексных чисел).
если на этом множестве определены две операции:
I. операция сложения:
, взятым в определенном порядке
элемент этого множества)
, называемый суммой
II. операция умножения на число
произведением числа
из поля
(ставится в соответствие
и
;
:
, называемый
на ;
III. операции сложения и умножения на число обладают следующими свойствами:
1.
(аксиома коммутативности);
2.
(аксиома ассоциативности);
3.
(существование нулевого элемента);
4.
(существование противоположного элемента);
5.
;
6.
(ассоциативность умножения на число);
7.
(дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел);
8.
(дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов).
Линейное пространство над полем
полем
вещественных чисел называется вещественным ЛП, над
– комплексным ЛП. ЛП – абстрактное векторное пространство. Элементы ЛП называются
векторами. Вектор
называется нулевым вектором пространства,
. Разностью векторов
и
называется такой вектор
Обозначения:
,
:
- противоположным к вектору
. Обозначение:
.
.
Примеры:
1. Геометрические ЛП
2.
.
– пространство вещественных матриц размера
матриц размера
,
- пространство комплексных
.
3. Рассмотрим множество
всевозможных упорядоченных наборов
вещественных чисел
. Введем равенство двух элементов: два элемента
и
введены
называются равными, если:
операции сложения:
. На этом множестве
и умножения на число
:
. Такое множество с введенными операциями сложения и умножения на вещественное
1
число называется вещественным арифметическим пространством
называются арифметическими векторами (или
Аналогично
, элементы пространства
– мерными векторами).
– комплексное арифметическое пространство.
Если обобщить, то
.
4. Рассмотрим
– многочлен степени :
.
– по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется
нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена не определена. Многочлены
и
называются равными, если
и
.
Определим операции
.
- ЛП пространство многочленов, степени не выше
(пополненный нулевым многочленом);
-
пространство многочленов любой степени.
5.
– функциональные пространства.
Простейшие свойства линейных пространств.
1. В ЛП существует единственный нулевой элемент.
█
█
2. Для
противоположный элемент.
█ Пусть
и
, тогда
.
█
3. В ЛП справедливы равенства:
и
.
█
█
4. В ЛП из
или
█ если
.
█
, если
5. В ЛП
█
█
6. В ЛП
█
█
Пусть:
Определение 1.2 Непустое подмножество
Теорема 1.1 Линейное подпространство
называется линейным подпространством ЛП , если:
ЛП
само является ЛП.
2
█
выполняются аксиомы 1 - 8 ЛП.█
2. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
Непустое упорядоченное множество элементов ЛП называется системой векторов (системой
элементов), любой упорядоченное подмножество системы называется подсистемой.
Пусть
- ЛП над ℙ,
Определение 2.1 Вектор
называется линейной комбинацией векторов
с коэффициентами
говорят, что
. Если
является линейной комбинацией
линейно выражается через
. Представление
называется разложением вектора по векторам
Очевидно, что
выражается через любой
Обратно неверно: через
, то
.
, т.к.
.
не может выражаться ненулевой вектор, т.к.
.
Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и
нетривиальной, если среди ее коэффициентов хотя бы один отличен от нуля:
.
Определение 2.2 Система векторов
называется линейно зависимой
(нетривиальная комбинация):
и система
линейно независимой, если
называется
выполняется, когда
.
Теорема 2.1 Система из одного вектора линейно зависима ⟺ этот вектор нулевой.
Теорема 2.2 (критерий линейной зависимости) Система
⟺
- линейно зависима
хотя бы один из этих векторов линейно выражается через другие.
Теорема 2.3 Если подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно
зависима.
Теорема 2.4 Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.
Теорема 2.5 Система
- линейно независима ⟺ любой вектор, являющийся линейной
комбинацией векторов
, имеет единственное разложение по этим векторам.
Теорема 2.6 Если система векторов
зависима, то
█
линейно независима, а
- линейно выражается через
- линейно
.
- линейно зависима, ⟹
Если
⟹
- линейно зависима ⟹
.█
3
противоречие ⟹
Примеры.
1.
- линейно независимы:
2. Пространство многочленов.
- линейно независимы:
3.
-
линейно
независимы:
3. Линейная зависимость столбцов (строк) матрицы.
Понятие линейной зависимости системы векторов тесно связано с понятием матрицы
. Строки и столбцы
и
можно рассматривать, как векторы арифметических пространств
:
.
Оказывается, что одна из важнейших характеристик матрицы определяется свойствами
линейной зависимости ее строк (столбцов)
Определение 3.1 Столбцы
называются линейно зависимыми, если существует такая
нетривиальная комбинация
, что
,
где
(3.1)
,
и линейно независимыми, если (3.1) выполняется только для тривиальной комбинации:
.
Теорема 3.1 (критерий линейной зависимости столбцов (строк)) Столбцы
- линейно
зависимы ⟺ один из столбцов есть линейная комбинация остальных столбцов.
Достаточные условия линейной зависимости, независимости.
1. Если среди
есть нулевой столбец, то система линейно столбцов зависима.
2. Если среди
есть линейно зависимая подсистема, то вся система линейно зависима.
3. Если
линейно независима, то любая подсистема линейно независима.
4
4. Ранг матрицы.
.
Определение 4.1 Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля
минора этой матрицы. Ранг нулевой матрицы
Обозначение:
по определению считается равным нулю.
.
Из определения следует, что 1)
(не превосходит ее размеров); 2)
существует ненулевой минор
– порядка матрицы
, любой минор более
высокого порядка равен нулю.
Определение 4.2 Пусть
. Любой ненулевой минор
- то порядка называется
базисным минором, а строки и столбцы, в которых расположен минор, называются базисными
строками и столбцами.
Замечание. У матрицы может быть не один базисный минор, но все они имеют один и тот же
порядок, равный рангу этой матрицы.
Теорема 4.1 (о базисном миноре) Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка
(столбец) является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
█ Докажем для столбцов.
Т.к. при произвольных переменах
строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, ограничимся случаем, когда
базисный минор расположен в правом верхнем углу матрицы .
1) Пусть
- базисный минор
расположен в первых
линейную независимость от противного. Пусть
столбцах:
. Докажем
линейно зависимы. Тогда по критерию
линейной зависимости один из столбцов есть линейная комбинация других столбцов, ⟹
, ⟹
противоречие.
2) Пусть
Если
- произвольный столбец матрицы .
⟹
⟹
- линейная комбинация
.
Если
, то найдем такие
Рассмотрим матрицу
строкой и
, что
или по элементам:
, полученную окаймлением минора
– тым столбцом .
5
- той
, т.к. а) если
(содержит две одинаковые строки), б) если
матрицы
Разложим
, то
– минор порядка
.
по последней строке:
, где
алгебраические дополнения к элементу
не зависят от
выбора . Т.к.
⟹
.
Следовательно, - столбец является линейной комбинацией базисных столбцов.█
⟺ какая – либо строка (столбец)
Следствие. (критерий равенства нулю определителя)
является линейной комбинацией других ее строк (столбцов).
█
«⟸» (достаточность) – из свойства определителей.
«⟹» (необходимость)
⟹ в матрице
есть хотя бы одна небазисная строка
(столбец), которая является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). В эту линейную
комбинацию можно включить все остальные строки, поставив перед ними нули.█
Пусть в ЛП даны две системы векторов. Если каждый вектор одной системы линейно
выражается через векторы другой системы, то говорят, что первая система линейно выражается
через вторую.
«Линейная выражаемость» обладает свойствами транзитивности, т.е. если
линейно выражаются через
,а
- линейно выражаются через
- линейно выражаются через
, то
.
Теорема 4.2 Если в ЛП большая система выражается через меньшую, то большая система линейно
зависима.
█ Пусть
и
две системы векторов в ЛП,
Рассмотрим
в
.
(число строк больше числа столбцов)
существует хотя бы одна небазисная строка (например,
- тая), которая линейно
выражается через базисные строки (а если дополнить линейную комбинацию остальными строками,
умноженными на ноль) и через остальные строки:
есть линейная комбинация векторов
линейно выражаются через
линейно зависимы.█
Теорема 4..3 (теорема о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно
независимых строк (столбцов).
6
█ Пусть
. Случай
- очевиден. Следовательно, в
существуют
линейно независимых строк (столбцов) – это ее базисные строки (столбцы). При этом любая
система из большего числа строк (столбцов) линейно зависима.█
Следствие.
Теорема 4.4 Если все строки (столбцы) матрицы
матрицы , то
линейно выражаются через строки (столбцы)
.
█ Пусть
базисные столбцы. Пусть
по условию теоремы линейно выражаются через столбцы матрицы , которые (в силу
теоремы о базисном миноре 4.1) линейно выражаются через базисные столбцы
⟹ по теореме 4.2
- линейно выражаются через
линейно
зависимы ⟹ противоречие.█
Теорема 4.5
(Ранг произведения не превосходит
рангов сомножителей).
█
строка
линейно выражается через строки матрицы , столбец
силу теоремы 4.4:
линейно выражается через столбцы
⟹ в
.█
5. Ранг матрицы и элементарные преобразования.
Определение 5.1 Элементарными преобразованиями матриц называются преобразования
следующих типов:
1. перестановка двух строк (столбцов);
2. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3. прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.
Определение 5.2 Матрицами элементарных преобразований называются квадратные матрицы
вида:
,
;
7
,
;
,
-
элементарные
.
преобразования
столбцов,
-
элементарные
преобразования строк.
Теорема 5.1 Ранг матрицы не изменится при умножении ее на невырожденную матрицу.
█
.█
Аналогично для случая
Теорема 5.2 Элементарные преобразования матрицы
█
не меняют ее ранга.
█
Теорема 5.3 Ранг матрицы не изменится, если из системы ее строк (столбцов) вычеркнуть или
приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов).
█ С помощью элементарных преобразований, не изменяя ранга матрицы (Т. 5.2), например, строк
обнулили рассматриваемую строку. Затем вычеркнем нулевую строку. Ранг матрицы останется
прежним. Аналогично для столбцов. █
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы.
Теоретическую основу этого метода для данной задачи составляют следующие факты:
1. ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству ненулевых сток (столбцов);
2. элементарные преобразования не изменяют ее ранг;
3. любая матрица с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) может быть
приведена к трапециевидной матрице.
Метод Гаусса состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней
(нижней) трапециевидной матрице и подсчете ее ненулевых сток (столбцов).
Метод окаймляющих миноров.
Определение 5.3 Минор
получается из
- того порядка называется окаймляющим
вычеркиванием одной строки и одного столбца.
8
, если
Если в матрице
, а все окаймляющие миноры
Определение 5.4 Две матрицы
невырожденные матрицы
и
, то
называются эквивалентными, если существуют
такие, что
Обозначение:
Теорема 5.4 Любая ненулевая матрица
ранга эквивалентна матрице вида
.
█ Покажем, что
элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к :
- строчный вариант основного процесса приводит матрицу к верхней ступенчатой форме;
- применим столбцовый вариант к получившейся матрице, то получим диагональную матрицу.
Т.к. элементарные преобразование не меняют ранга матрицы, то ровно
первых диагональных
элементов отлично от нуля.
- поделим каждую из первых строк на диагональный элемент, получим .
Т.
е.
существуют
матрицы
элементарных
преобразований
и
:
. Положим
⟹
█
эквивалентны ⟺ когда их ранги совпадают.
Теорема 5.5 Две матрицы
█ «⟹»
«⟸»
⟹
,
⟹
(транзитивность эквивалентности).█
6. Базис и размерность ЛП.
Определение 6.1 Базисом ЛП называется упорядоченная система линейно независимых векторов,
такая, что через нее выражается любой вектор пространства, т.е.
образуют базис ⟺
- линейно независимы,
Теорема 6.1 Система
векторов ЛП является его базисом ⟺ когда она образует
максимально линейно независимую систему векторов ЛП.
9
∎ «⟹»
- базис ⟹
. ⟹ Любая большая
система выражается через меньшую ⟹ линейно зависима ⟹
- максимально линейно
независимая система векторов.
«⟸»
- максимально линейно независимая система векторов ⟹
линейно зависима, ⟹, один выражается через все остальные, ⟹
,⟹
-
- линейная комбинация
- образуют базис. ∎
Теорема 6.2 Любые два базиса ЛП состоят из одинакового числа векторов. (⟸ равного
максимальному числу линейно независимых векторов)
Это означает, что число векторов базиса является характеристикой не сколько базиса, сколько
самого пространства.
Определение 6.2 Число векторов базиса называется размерностью ЛП. Размерность нулевого
пространства по определению считается равным нулю.
Обозначение:
⟹
.
называется
- мерным пространством
.
. Любое
– мерное ЛП
называется конечномерным ЛП.
Определение 6.3 ЛП называется бесконечномерным, если
независимая система из
в нем найдется линейно
векторов.
Следствия из Т.6.1
1. В
– мерном пространстве любые
2. В
– мерном ЛП любая система из
линейно независимых векторов образуют базис.
векторов линейно зависима.
Примеры.
1. Геометрические пространства:
2. Арифметическое пространство:
3. Пространство матриц
:
- линейно независимы, т.к. а)
; б)
- есть линейная комбинация;
⟹
4. Пространство многочленов
(степени
- базис ⟹
):
.
5. Пространство многочленов
(всех степеней): -
Теорема 6.3 Разложение вектора по базису единственно.
10
линейно независимы.
- базис в
в этом базисе.
,
- называются координатами вектора
– вектор – столбец (координатный столбец) из координат
- матрица – строка ⟹
;
в базисе
.
Теорема 6.4 При сложении векторов их координаты в одном базисе складывается, а при умножении
вектора на число его координаты умножаются на это число.
∎
,
∎
ЛП были линейно зависимы (независимы) ⟺
Теорема 6.5 Для того, чтобы элементы
столбцы их координат
в каком-нибудь базисе были линейно зависимы
(независимы).
∎
- базис в
«⟹»
;
- линейно зависимы ⟺
(нетривиальная комбинация):
в силу единственности разложения
⟹
по базису
-
линейно зависимы.
«⟸» Пусть столбцы
– линейно зависимы ⟺
комбинация):
(нетривиальная
. Рассмотрим линейную комбинацию
(
- столбец координат
)
Аналогично для линейной независимости. ∎
Пусть
и
- два базиса. Разложим векторы базиса
,
по базису :
(6.1)
.
называется матрицей перехода от базиса к базису
.
(6.2)
Теорема 6.6 Матрица перехода от одного базиса к другому не вырождена.
∎ Пусть
⟹ один из столбцов матрицы
есть линейная комбинация других столбцов, ⟹, в
силу линейности координат, один из векторов
⟹,
(6.1) линейно выражается через другие,
- линейно зависимы, ⟹, противоречие.∎
Теорема 6.7 Если
, то
.
11
∎
∎
Теорема 6.8
, то
∎
⟹ (Т. 6.3 – единственность разложения) ⟹
∎
7. Определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), матричная форма записи.
Квадратные СЛАУ, правило Крамера.
Определение 7.1 Системой
ЛАУ с
неизвестными называется совокупность соотношений вида:
(7.1)
- неизвестные,
- коэффициенты системы,
- свободные
члены.
Упорядоченная совокупность чисел
называется решением системы (7.1), если при
подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных
соответственно каждое уравнение
обращается в тождество.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,
если не имеет ни одного решения.
Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если
имеет более одного решения.
Исследовать и решить систему – это значит:
- установить, совместна она или нет;
- если совместна, установить, является ли она определенной или неопределенной, при этом: в
случае определенности найти единственное решение, в случае неопределенности описать
множество всех решений.
- основная матрица.
- столбец свободных членов.
- столбец неизвестных.
(7.1) ⟺
(7.2)
⟹
12
(7.3)
столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы
которой служат компоненты
, коэффициентами
решения.
Определение 7.2 Две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если
множества решений этих систем совпадают.
Теорема 7.1 Умножение обеих частей
слева на невырожденную матрицу приводит к ее
эквивалентной системе.
∎ Пусть
(1)
, если
⟹
(2)
⟹
⟹ умножим на
⟹
– решение (2). Наоборот, если
- решение (2), т.е.
∎
Системы с квадратной невырожденной матрицей.
Теорема 7.2 СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное
решение.
∎
Пусть
- решение системы, т.к.
∎
- другое решение, то
Запишем
.
покомпонентно:
⟹
- разложение определителя по – тому
столбцу
,
(7.4)
где
.
(7.4) называется правилом Крамера.
8. Исследование совместности СЛАУ. Критерий совместности.
(8.1)
,
,
.
Рассмотрим вопрос о совместности системы (8.1).
13
- расширенная матрица системы (8.1),
Теорема 8.1 (теорема Кронекера – Капелли) СЛАУ совместна ⟺
∎ «⟹» Пусть (8.1) совместна ⟹
⟹
⟹
:
- линейная комбинация
(ранг не изменится, если вычеркнуть или приписать столбец, который
является линейной комбинацией других столбцов).
«⟸»
. Возьмем в
какой-нибудь базисный минор. Т.к.
, то он же
будет базисным минором и для . По теореме о базисном миноре последний столбец матрицы
есть линейная комбинация базисных столбцов, т.е. столбцов матрицы
, следовательно,
есть
линейная комбинация столбцов , следовательно, система совместна. ∎
Схема исследования совместности системы.
Пусть (8.1) совместна и
минор матрицы
. Не нарушая общности, будем считать, что базисный
находится в левом верхнем углу:
.
Рассмотрим укороченную систему:
(8.2)
Теорема 8.2 Укороченная система эквивалентна исходной: (8.1) ~ (8.2).
∎ 1) обе системы содержат одинаковое число неизвестных; 2) любое решение (8.1) – решение (8.2);
3) докажем, что любое решение (8.2) – есть решение (8.1).
В расширенной матрице
системы (8.1) первые
строк базисные, следовательно, все остальные
строки – линейная комбинация базисных строк. Следовательно, любое уравнение (8.1), начиная с
- линейная комбинация первых
уравнений, следовательно, любое решение первых
уравнений есть решение (8.1). ∎
Поэтому будем исследовать укороченную систему (8.2).
Если
, следовательно, (8.2) имеет единственное решение, как система с квадратной
невырожденной матрицей.
Пусть
. Неизвестные
, коэффициенты при которых входят в базисный минор,
называются главными, а остальные неизвестные
- свободными. Запишем (8.2) в виде:
.
14
(8.3)
Придав свободным неизвестным
произвольные значения
уравнений относительно неизвестных
, получим систему
:
.
Система (8.4) имеет единственное решение
(8.4)
, следовательно, совокупность
- решение системы (8.1).
Теорема 8.3 Придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя значения
главных неизвестных из системы (8.4), можно получить все решения (8.1).
∎ Пусть
– произвольное решение. Возьмем
дальше из (8.4) найдем
(8.2) ⟹
только
в качестве
- значения главных неизвестных. Т.к.
;
- решение
- решение (8.4). Но (8.4) имеет единственное решение, следовательно, получим
.
Итак, мы нашли правило, которое позволяет получить любое решение (8.2), следовательно, (8.1).∎
Теорема 8.4 СЛАУ с
неизвестными имеет единственное решение ⟺
∎ «⟸»
.
, следовательно, существует единственное решение.
«⟹» существует единственное решение и
. Следовательно, существует хотя бы одно
свободное неизвестное, следовательно, существует множество решений. ∎
Однородная СЛАУ:
(8.5)
⟹
(8.5) всегда совместна, т.к. всегда существует тривиальное решение:
Теорема 8.5 Однородная СЛАУ с
.
неизвестными имеет нетривиальное решение ⟺
Теорема 8.6 Однородная СЛАУ с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение ⟺
.
.
Вернемся к (8.4). Разрешим систему относительно главных неизвестных:
.
Соотношения (8.6) при различных
(8.6)
описывают множество всех решений системы и
называются общим решением системы. В отличие от общего, конкретное решение
где
- известные числа, называется частным решением.
15
9. Метод Гаусса исследования и решения систем.
1. Системы с трапециевидной матрицей.
.
(9.1)
- верхняя трапециевидная матрица. Расширенная матрица имеет вид:
,
где
(9.2)
.
Теорема 9.1 Система (9.2) с верхней трапециевидной матрицей совместна ⟺
∎
.
.∎
Пусть система (9.1) совместна.
* В качестве базисного минора выберем
* Укороченная система состоит из
* Если
, расположенный в верхнем углу.
уравнений.
, то система (9.1) станет системой с треугольной матрицей:
,
(9.3)
которая имеет единственное решение. Систему решаем последовательно снизу вверх.
* Если
, то
будут свободными неизвестными, и система относительно главных
неизвестных будет иметь вид:
.
(9.4)
Общее и частное решения исходной системы находятся из (9.4) с треугольной матрицей.
2. Элементарные преобразования системы уравнений.
Определение 9.1 Элементарными преобразованиями уравнений называются преобразования
следующих типов: 1) перестановка местами двух уравнений системы; 2) умножение какого-либо
уравнения системы на число отличное от нуля
другого уравнения, умноженного на число
; 3) прибавление к одному уравнению системы
.
Теорема 9.2 Элементарные преобразования СЛАУ приводят ее к эквивалентной системе.
█ Элементарные преобразования системы означают элементарные преобразования строк
расширенной матрицы
, что равносильно умножению слева на матрицы элементарных
16
преобразований
, или умножение слева на невырожденные матрицы, что приводит к
эквивалентной системе (теорема 7.1).█
3. Приведение матрицы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей.
Рассмотрим
матрицы
. С помощью элементарных преобразований строк и перестановки столбцов
можно привести к верхней трапециевидной форме. Решение полученной системы
отличается от исходной только нумерацией неизвестных.
Метод Гаусса исследования и решения СЛАУ состоит в приведении ее к системе с верхней
трапециевидной матрицей с последующим исследованием и решением полученной системы. При
этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы ,
то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных.
Процесс приведения системы к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом
метода Гаусса, а процесс решения системы с треугольной матрицей – обратным ходом.
10. Линейное пространство решений однородной СЛАУ.
Теорема 10.1 Множество всех решений однородной СЛАУ
линейным подпространством линейного пространства
█
с
неизвестными является
.
- линейное подпространство
█
Определение 10.1 Произвольный базис пространства решений однородной СЛАУ называется
фундаментальной системой решений (ФСР).
ФСР существует лишь в том случае, когда однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение. При
этом СУ может обладать многими ФСР. Однако все эти системы состоят из одинакового числа
векторов, равного максимальному числу линейно независимых решений однородных СЛАУ.
Теорема 10.2 Размерность пространства решений однородной СЛАУ
равна
, где
с
неизвестными
.
█ Построим ФСР. Пусть
следующие
- главные неизвестные. Придадим свободным неизвестным
наборов решений:
. Для любого из наборов найдем:
17
- таких
.
(10.1)
Решения (10.1) обладают следующими свойствами.
1.
– линейно независимы, т.к. матрица
имеет
:
.
2. Покажем, любое решение
(10.2)
является линейной комбинацией
:
. Действительно, обозначим
. Пусть
.
- решение
(т.к.
решения). Найдем его. Придадим свободным неизвестным значения
(10.1) видно, что
и
. Из соотношений
, следовательно, укороченная система будет однородной,
имеющей единственное тривиальное решение
- ФСР. █
Построенная ФСР (10.1) называется нормальной ФСР. Матрица
(10.2) называется фундаментальной
матрицей. Общий принцип построения ФСР: так как размерность пространства решений однородной
СЛАУ равна
, то для построения ФСР достаточно найти любые
линейно независимых
решений. Для этого достаточно свободным неизвестным придать
линейно независимых
наборов значений, т.е. наборов вида
для которых
,
.
Если для любого из наборов найти соответствующие значения главных неизвестных, то получим
линейно независимых решений. Общее решение может быть записано в виде
, или с помощью матрицы
(10.2):
18
.
11. Неоднородные СЛАУ.
Пусть
(11.1)
- неоднородная СЛАУ.
(11.2)
называется приведенной однородной системой для системы (11.1). Легко проверить: 1) сумма
решений неоднородной и приведенной однородной систем является решением неоднородной
системы; 2) разность двух решений неоднородной системы является решением приведенной
однородной системы.
Теорема 11.1 Общее решение (11.1) представляется в виде
,
где
(11.3)
- общее решение приведенной однородной системы,
- частное решение неоднородной
системы.
█ (11.3) – решение (11.1), т.к.
Пусть
.
- какое-нибудь решение (11.1), рассмотрим
- решение приведенной однородной
█
системы:
Выражение
называется представлением общего решения
неоднородной СЛАУ через ФСР.
12. Изоморфизм линейных пространств.
Предварительные замечания.
Дано
- два множества.
Определение. Отображением
которого
Запись:
во множество
называется закон, посредством
ставится в соответствие некоторый однозначно определенный элемент
или
- образ элемента
Если
множества
.
.
при отображении
;
- прообраз элемента
.
, то говорят об отображении в себя.
Определение. Образом отображения
называется множество
Определение. Отображение
называется:
* инъективным, если из того, что
, или
решения;
19
имеет не более одного
* сюръективным (отображение «на»), если
, т.е.
(существует хотя
бы одно решение);
* биективным (или взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно, т.е.
.
Определение 12.1
- ЛП над общим полем ℙ.
и
существует биективное отображение
и
и
называются изоморфными, если
, которое сохраняет законы композиции, т.е.
: 1)
, 2)
.
Обозначение:
Отображение
называется изоморфизмом ЛП.
Примеры: геометрические пространства
(изоморфны набору
координат).
Простейшие свойства изоморфных отображений.
1. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой вектор.
∎ Пусть
∎
2. Линейно независимые векторы переходят в линейно независимые.
∎ Пусть линейно независимые векторы:
Пусть
- линейно зависимы
(нетривиальная комбинация):
. Рассмотрим
⟹ противоречие ⟹
-
линейно независимы. ∎
Теорема 12.1 (критерий изоморфности ЛП конечной размерности)
Два ЛП
над общим полем ℙ изоморфны ⟺ когда их размерности совпадают.
и
∎ «⟹»
Пусть
- базис в
независимы (свойство 2). Возьмем
разложим
- линейно
и рассмотрим соответствующий ему
;
⟹
по базису
- разложение
:
по линейно независимой системе векторов
.
«⟸»
20
- это базис в
Пусть
.
Выберем базисы в
отображение
таким образом, что
и
в
. Построим
(т.е. вектор
имеет
те же координаты, что и вектор ).
Т.к. разложение по базису единственно, следовательно, отображение биективно (взаимно
однозначно). Координаты векторов обладают свойством линейности, следовательно, линейность
отображения
выполняется, следовательно,
Следствие. Любое
пространству
пространству
- изоморфизм. ∎
- мерное вещественное пространство изоморфно арифметическому
; любое
- мерное комплексное пространство изоморфно арифметическому
.
13. Линейные подпространства. Линейная оболочка.
Теорема 13.1 (о монотонности размерности) Пусть
1. Размерность подпространства не превосходит размерности пространства:
2. Если
не совпадает с , то
.
∎ 1. ⟸ Любая линейно независимая система из
2. Если
не совпадает с
.
, но
- линейно независима в .
, следовательно, если
является базисом и в , следовательно,
- базис в , то он
есть линейная комбинация векторов
и
противоречие. ∎
Следствие. Если
, то
совпадает с
.
Пример задания ЛПП:
- ЛПП
Определение 13.1 Пусть
- система векторов ЛП
системы
множество
векторов
называется
всех
Теорема 13.2
над полем
линейных
Говорят, что линейная оболочка натянута на векторы
.
. Линейной оболочкой
комбинаций
.
- ЛПП .
Теорема 13.3
равна максимальному числу линейно независимых векторов в
системе
.
∎ Пусть
- максимальное число линейно независимых векторов в системе
. Следовательно,
- линейная комбинация
линейная комбинация
,⟹,
этих векторов:
;
. Следовательно,
.∎
- базис в
21
- линейная комбинация
Теорема 13.4 (о неполном базисе)
Пусть система
независима. Тогда существуют
(пространства
- мерного ЛП
) такие, что
линейно
образуют
базис .
∎ Если
, ⟹, очевидно. Если
не совпадает с
(
) ⟹
не является линейной комбинацией
- линейно независимы. Если
, то за
, то процесс завершен. Если
- линейно независимы, ⟹,
шагов отберем все элементы
образуют базис. ∎
14. Сумма и пересечение подпространств.
Определение 14.1 Пусть
и
- линейные подпространства ЛП . Суммой подпространств
называется совокупность элементов, представимых в виде:
Пересечением подпространств
и
одновременно в
и
Замечание:
всегда не пусто, т.к.
и
.
называется совокупность элементов, входящих
:
.
Теорема 14.1 Пересечение
.
и сумма
ЛП
являются линейными подпространствами
ЛП .
Теорема 14.2 (о размерности суммы двух подпространств)
.
∎Пусть
и
. Построим
- базис в
.
Т.к.
, следовательно, по теореме о неполном базисе,
дополним до базиса
Т.к.
, следовательно, по теореме о неполном базисе,
дополним до базиса
Покажем, что
- базис в
.
А) Упорядоченная система векторов.
Б) Линейно независима. Докажем от противного.
Пусть линейно зависима, ⟹,
(нетривиальная комбинация):
.
Рассмотрим некоторый элемент
можно разложить по базису
пересечения
:
. С другой стороны
22
. В силу единственности разложения по базису имеем:
, ⟹,
,⟹, противоречие, т.к.
– базис в
- линейно независимы.
В)
линейная
- линейная комбинация
комбинация
следовательно,
-
- базис в
,
выражается
-
через
.
⟹
∎
15. Прямая сумма подпространств. (ЛП V)
Определение 15.1 Сумма подпространств
если
называется прямой суммой этих подпространств,
может быть единственным образом представлен в виде:
, где
.
Обозначение:
Теорема 15.1 Для того, чтобы сумма двух подпространств ЛП была прямой ⟺ чтобы пересечение
этих подпространств было нулевым, т.е.
█ «⟹»
.
. Пусть
Запишем
имеем еще одно представление нулевого вектора
суммы двух элементов из
«⟸»
и
и
, кроме
, ⟹, противоречие , ⟹,
, в виде
.
- не прямая. Разложим
пересечение содержит ненулевой вектор, ⟹, противоречие. █
Теорема 15.2
.
Теорема 15.3 Если
, то сумма - прямая:
Определение 15.2 Пусть
(ЛПП ЛП
подпространством к , если
Пусть
существует дополнительное подпространство
, если
и
- базис в
, т.к.
называется дополнительным
.
Теорема 15.4 Для любого подпространства
█ Если
). Подпространство
.
.
.
. Дополним его до базиса в
.█
23
:
.Рассмотрим
16. Линейные операторы. Определение и простейшие свойства. Задание линейного оператора.
Пусть
- ЛП над общим полем ℙ.
Определение 16.1 Отображение
пространство
называется линейным отображением пространства
, если
Обозначение:
:
( - матрица),
.
- образ вектора .
Линейное отображение так же называют линейным оператором, действующим из пространства
пространство
Если
в
в
.
, то линейное отображение называют линейным преобразованием пространства в себя,
линейным оператором, действующим в
Если
.
, то линейное отображение называют линейной формой или линейным функционалом в
пространстве
. Обозначение – строчной буквой:
.
Множество всех линейных операторов, действующих из
Определение 16.2 Операторы
и
в
обозначаем
.
называются равными, если
.
Примеры.
1.
(многочлены степени не выше
).
- оператор дифференцирования.
.
2. Пусть
.
параллельно
на
.
3.
.
4.
5.
- оператор проектирования пространства
.
- называется нулевым оператором.
- называется тождественным оператором.
– изоморфизм линейных пространств
– линейный оператор.
Простейшие свойства.
1.
– линейный оператор переводит нулевой элемент
в нулевой элемент
:
.
2. Линейный оператор сохраняет линейные комбинации, т.е. переводит линейную комбинацию
векторов пространства
в линейную комбинацию пространства
, где
с теми же коэффициентами:
.
3. Линейный оператор сохраняет линейную зависимость, т.е. линейно зависимые векторы переходят
в линейно зависимые.
█
- линейно зависимы, следовательно,
(нетривиальная комбинация):
.█
24
Задание линейного оператора.
Из свойства 2 следует, что для задания линейного оператора
его только на векторах
достаточно определить
некоторого базиса пространства
. Зная векторы
можно однозначно найти образ любого вектора
Теорема 16.1 Пусть
.
- базис ЛП ,
- произвольные векторы пространства
существует и притом единственный линейный оператор
векторы
,
. Тогда
, который переводит векторы
в
соответственно.
∎ Построим оператор
1. Т.к. разложение по базису единственно, ⟹, образ вектора
определяется однозначно и
2. Линейность оператора вытекает из линейности координат.
3. Докажем единственность. Пусть
∎
Следствие. Линейные операторы
равны ⟺ они совпадают на векторах базиса
и
.
17. Матрица линейного оператора.
Пусть
- базис
,
- базис
.
- однозначно определен заданием
. В свою очередь
однозначно определяются своими координатами в базисе
-
:
.
Определение 17.1 Матрица
базисов
называется матрицей оператора
в паре
и .
Обозначение:
или
.
Из единственности разложения по базису следует, что
Теорема 17.1 Пусть
между линейными операторами из
определяется однозначно.
. Тогда существует взаимооднозначное соответствие
и матрицами
∎ Построим это соответствие. Зафиксируем базисы
.
и
пространств
- определена однозначно. Докажем биективность.
25
.
1.
– матрица линейного оператора:
(в силу теоремы
16.1 такой оператор существует) ⟹ отображение сюръективно.
не совпадают на базисных векторах, ⟹, имеют разные матрицы, ⟹,
2. если операторы из
отображение инъективно. ∎
Доказанная теорема играет важную роль в теории линейных операторов. Она позволяет описывать
свойства операторов через аппарат теории матриц.
Пусть
- базисы в
и
.
Теорема 17.2 (координаты вектора и его образа) Если
∎
, то
.
;
(единственность
разложения
по
⟹
базису)
∎
Теорема 17.3 (матрицы оператора в различных базисах) Пусть
где
.
и
– два базиса ЛП
, где
Матрицы линейного оператора
– два базиса ЛП
,
.
и
соотношением:
и
в различных парах базисов связаны
.
∎
;
.
Рассмотрим
. Т.к. равенство имеет место
для
.∎
Следствие 1. Матрицы линейного оператора в различных базисах эквивалентны.
Следствие 2. Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.
Имеет место более общее утверждение.
эквивалентны ⟺ они являются матрицами одного и того
Теорема 17.4 Две матрицы
же линейного оператора
, где
ЛП над полем
.
∎ «⟸» (теорема 17.3)
«⟹» Пусть
,т.е.
Рассмотрим любые ЛП над полем
.
:
. Выберем в
силу взаимооднозначного соответствия между
- матрица оператора
оператора в паре
и
и
в паре базисов
.∎
26
и
базис
,в
базис
.В
(теорема 17.1)
. Тогда
- будет матрицей
18. Линейное пространство операторов.
На множестве
введем операции сложения операторов и умножения на число
Определение 18.1 Суммой линейных операторов
, такое, что
Обозначение:
.
называется отображение
.
.
Итак,
.
Определение 18.2 Произведением линейного оператора
отображение
, такое, что
Обозначение:
на число
называется
.
.
Итак,
.
Теорема 18.1 Для
и
:
.
∎
Аналогично,
∎
Определение 18.3
оператору
, и обозначается:
Теорема 18.2 Множество
называется оператором, противоположным
.
- линейное пространство над полем
относительно введенных
операций 18.1 – 18.3.
∎ Достаточно проверить аксиомы линейного пространства. Все аксиомы
соответствующих аксиом линейного пространства, примененных к
и
схеме.
1.
2.
(коммутативность)
(ассоциативность)
.
27
вытекают из
, и проверяются по единой
3.
(нулевое отображение)
4.
5.
6.
7.
∎
8.
Теорема 18.3 (об изоморфизме
и пространства матриц ) Если
изоморфно пространству
∎ Зафиксируем
, то ЛП
.
- базис в
,
- базис в
. Построим отображение
- взаимооднозначно (см. теорема 17.1):
. Покажем, что
сохраняются законы композиции, т.е.:
.
Пусть
∎
Следствие.
.
19. Произведение линейных операторов.
Пусть
- ЛП над .
Определение 19.1 Произведением линейных операторов
отображение
Обозначение:
называется
, выполняемое по правилу
.
.
Итак,
.
Теорема 19.1 Если
, то
.
∎ Линейность проверяется непосредственно:
∎
Замечание. Произведение линейных операторов определено не для любой пары операторов.
Однако, если произведение определено, то
1.
(ассоциативность)
2.
3.
(дистрибутивность)
∎ 1.
∎
28
Произведение операторов некоммутативно:
.
А) об этом можно было бы говорить, только для
Б)
Рассмотрим
- проектирование на
.
,
- поворот на
:
.
Теорема 19.2 При умножении линейных операторов их матрицы умножаются, т.е.
(
- базисы соответственно в
), то
∎
(в силу единственности разложения по базису) ∎
20. Обратный оператор.
Определение 20.1 Пусть
. Отображение
оператору
. Если
, если
Теорема 20.1 Если
, то
обратим, то 1)
называется обратным оператором к
называется обратимым.
, 2)
- единственен.
∎1)
.
2)
Пусть
и
∎
- обратим ⟺
Теорема 20.2 (Критерий обратимости линейного оператора.)
- базис
∎ «⟹»
.
- обратим ⟹
.
. Пусть
- базис в
.
«⟸» Пусть
=
Следствие 1.
Следствие 3.
∎
.
Следствие 2. Если
любого базиса
⟹
в
- базис
, в котором
- невырожденная.
– обратим ⟺
- биективен.
29
- невырожденная
, то для
∎
- биективен ⟺
⟺
⟺ в базисе
решение СЛАУ ⟺
- обратим.
Теорема 20.3 Произведение обратимых операторов обратимо, при этом
.
Примеры.
1. Оператор проектирования
,
2.
, параллельно
- необратим.
- оператор дифференцирования.
,
3.
.
,
.
- необратим.
- тождественный оператор.
- обратим.
4. Оператор поворота на угол .
,
,
- обратим.
21. Образ и ядро линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте.
Определение 21.1 Образом линейного оператора
; ядром оператора
называется множество
– множество
.
Примеры.
1.
2.
- оператор дифференцирования.
.
Пусть
.
оператор проектирования пространства
на
параллельно
.
.
3. Оператор поворота на угол .
Теорема 21.1 Если
, то
- ЛПП ЛП ,
- ЛПП ЛП
.
Определение 21.2 Рангом линейного оператора называется размерность его образа:
; дефектом линейного оператора – размерность его ядра:
Теорема 21.2 Если
- базис
, то
.
30
.
-
█«⟹»
«⟸»
, где
.█
, т.е.
Теорема 21.3 Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.
█
максимальному числу линейно независимых
векторов
, которое совпадает с рангом системы арифметических векторов, составленных
из координат этих векторов в базисе
пространства
, т.е. с
:
█
Теорема 21.4 (теорема о ранге и дефекте) Если
█
Пусть
, то
,
- базис
. Дополним его до базиса
.
Докажем,
- линейно независимы. От противного. Пусть
:
что
(нетривиальная
комбинация) такая, что:
линейно выражаются через базис
– базис
-
противоречие, т.к.
.
.
⟹
Если
аналогично. █
- базис
Теорема 21.5 Пусть
пространств
Тогда существуют базисы
и
,
в
которых
матрица
оператора
имеет
и
вид
.
█ Пусть
и
- произвольные базисы в
.
– матрица оператора в паре базисов
- является матрицей оператора в некоторой паре базисов (теорема
17.4). █
Определение 21.3 Базисы
и
, в которых оператор
имеет матрицу
, называются канонической
парой базисов.
Определение 21.4 Оператор
вырожденным, если
называется невырожденным, если
.
31
и