Математика (БкПл-100) Лекция

Математика
(БкПл-100)
М.П. Харламов
2011/2012 учебный год, 1-й семестр
Лекция 3. Элементы линейной алгебры
(матрицы, определители, системы линейных
уравнений и формулы Крамера)
1
Тема 1: Матрицы
1.1. Понятие матрицы
Опр. Матрицей размерности m  n (порядка
m  n) называется прямоугольная таблица
чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Числа, входящие в состав
называются ее элементами.
матрицы,
Пример. Матрица размерности 2  3:
 2 3 5
A

 7 4 1
2
Обозначения
Матрицы обозначаются, как правило, прописными
латинскими буквами:
A, B, C, …
Иногда вместо «размерность матрицы» («порядок
матрицы») говорят «размер матрицы».
Если в общем обозначении нужно подчеркнуть
конкретный порядок матрицы, то его указывают
справа внизу как индекс:
A34 , C pq
и т.п.
3
Запись матрицы в общем виде
Матрица порядка m  n:
 a11 a12 ... a1n 
a

a
...
a
21
22
2n 
A
 ...



 am1 am 2 ... amn 
или кратко:
A   aij 
m n
.
Внимание! Иногда вместо круглых скобок пишут
вертикальную двойную черту, но нельзя писать одну
вертикальную черту!
Можно
1 2 5
8 3 1
Нельзя
1 2 5
8 3 1
4
1.2. Виды матриц
Опр. Матрица-столбец (или вектор-столбец) –
матрица из одного столбца:
 a11 
a 
21 

A
 ... 


 a m 1  m 1
Опр. Матрица-строка (или вектор-строка) –
матрица из одной строки:
B   b11 b12 ... b1n 1n .
5
Опр. Матрица называется квадратной, если у нее
одинаковое количество строк и столбцов.
Опр. Квадратная матрица, у которой n строк и n
столбцов называется квадратной матрицей
порядка n, или квадратной матрицей n-го порядка.
Примеры квадратных матриц 2-го и 3-го порядков:
 2 3 
8 5 


1 1 2
0 3 5
9 2 8
6
Определение. Главная диагональ квадратной матрицы
- это элементы на диагонали, проведенной из левого
верхнего угла в правый нижний:
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Определение.
Матрица
называется
верхнетреугольной, если все ее элементы, лежащие
под главной диагональю, равны нулю.
 4 1 5 
 0 1 8  .


0 0 7 


7
Опр. Матрица называется диагональной, если все ее
элементы, не лежащие на главной диагонали, равны
нулю:
0
0 
 d11 0
 0

 0

 0
0
d 22
0
d33
0
0
0 
.
0 

d 44 
Опр. Нулевая матрица это матрица из одних нулей.
Опр. Единичная матрица порядка n (обозначается En)
– это диагональная квадратная матрица порядка n, у
которой все элементы главной диагонали равны 1:
 1 0 0
E3   0 1 0  .
0 0 1


8
1.3. Операции с матрицами
I. Произведение матрицы на число
Правило. Для того чтобы умножить матрицу Amn на
число c, нужно каждый ее элемент умножить на
данное число, то есть B=cA, если
bij  caij
i  1,..., m j  1,..., n
Пример.
 1 0 4 
 5 0 20 
A
 5A  
.


 2 3 1 
 10 15 5 
9
II. Сложение (вычитание) матриц
Опр. Сумма (разность) двух матриц одинаковой
размерности равна матрице той же размерности,
каждый элемент которой равен сумме (разности)
соответствующих (т.е. расположенных на том же
месте) элементов двух матриц: Cmn = Amn + Bmn
(Cmn = Amn - Bmn), если
cij  aij  bij (cij  aij  bij ).
Пример.
 0 4   1 3   1 7 
 2 1    3 1    1 0  .

 
 

10
IIIa. Правило «строка на столбец»
Правило. Пусть даны матрица-строка A из n элементов
A  (a1 , a2 ,..., an )
и матрица-столбец B тоже из n элементов
 b1 
b 
B 2

 
 bn 
.
Тогда умножить строку на столбец означает следующее:
каждый элемент строки умножить на соответствующий (по
номеру) элемент столбца и результаты сложить.
Важно: результат умножения строки на столбец – это число!
Обозначение:
n
A1n Bn1   a1ibi1
i 1
11
III. Умножение матриц
Опр. Произведением матрицы A размерности m  n
на матрицу B размерности n  p называется новая
матрица C размерности m  p, каждый элемент
которой с номерами (i,j) равен произведению i-й
строки матрицы A на j-й столбец матрицы B:
n
Пример:
cij   aik bkj .
k 1
 0 4   1   01  43   12 
 2 1  3    21  13    1  .

  
 

Для этих двух матриц произведение ВА не
существует!
12
Правило размерностей (для умножения
матриц)
Произведение матрицы A (размерности m  n) на
матрицу B (размерности k  p) существует тогда и
только тогда, когда количество столбцов первой матрицы
равно количеству строк второй матрицы, то есть
n = k.
13
IV. Транспонирование матрицы
Определение. Матрицей, транспонированной к
данной, называется матрица, у которой строки и
столбцы поменялись местами:
A  (aij ) B  A  (bij ) bij  a ji .
T
Пример.
 1 4
 1 2 3


T
 A   2 5 .
A

 4 5 6
 3 6


14
V. Обратная матрица
Опр. Пусть дана квадратная матрица A. Матрицей,
обратной к А, называется такая матрица B, которая
обладает следующим свойством:
AB  BA  E.
Внимание! Обратная матрица существует не всегда! Если
обратная матрица к матрице A существует, то она
обозначается через A-1
1
1
AA  A A  E.
15
Контрольные вопросы к теме 1
1. Определение матрицы заданной размерности (порядка).
2. Что называется элементами матрицы?
3. Обозначения матриц и запись матрицы в общем виде.
4. Определения: матрица-столбец и матрица-строка.
Обозначения.
5. Определение квадратной матрицы. Порядок квадратной
матрицы.
6. Главная диагональ матрицы, понятие верхнетреугольной
матрицы.
7. Определение диагональной матрицы.
8. Определения нулевой и единичной матрицы.
16
Контрольные вопросы (продолжение)
9. Произведение матрицы на число.
10. Сумма (разность) двух матриц.
11. Правило «строка на столбец».
12. Произведение двух матриц. Правило размерностей.
13. Определение транспонированной матрицы. Пример.
14. Определение и обозначение обратной матрицы.
17
Тема 2: Определители
2.1. Понятие определителя
Определитель
–
это
некоторая
числовая
характеристика квадратной матрицы, обладающая
особыми
свойствами.
Далее
все
матрицы
предполагаются квадратными.
Определитель матрицы А обозначается через |A|
или через det A (англ. «determinant» - определитель).
Опр. Определителем матрицы 2-го порядка (или,
коротко, определителем 2-го порядка) называют
следующее число:
a11 a12
det A 
 a11a22  a21a12 .
a21 a22
18
Примеры:
1)
1 2
 5  ( 8)  3.
4 5
2)
sin   cos 
 sin 2   ( cos 2  )  sin 2   cos 2   1.
cos  sin 
3)
1 2
 0.
3 6
19
Опр. Определителем матрицы 3-го порядка (или,
коротко, определителем 3-го порядка) называют
следующее число:
a11 a12
det A  a21 a22
a31
a32
a13
a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
a33
 a31a22 a13  a32 a23a11  a33a21a12 .
20
Правило Сарруса
Вычисление определителя 3-го порядка:
Запишем справа от определителя два первых
столбца матрицы. Вдоль стрелок вычислим
произведения элементов. Если стрелка идет вниз –
берем произведение со знаком плюс, если вверх – со
знаком минус. Все такие произведения складываем.
21
2.2. Свойства определителей
1. Если у матрицы две строки (два столбца)
пропорциональны или равны, то ее определитель
равен нулю.
2. Если у матрицы есть нулевой столбец (нулевая
строка), то ее определитель равен нулю.
3. Определитель произведения квадратных матриц
равен произведению их определителей
det( AB)  det A  det B.
4. Определители матрицы
матрицы совпадают:
и транспонированной
A A .
T
22
2.4. Невырожденность и существование
обратной матрицы
Опр. Если определитель матрицы равен нулю, то
матрица называется вырожденной. Если определитель
матрицы не равен нулю, то матрица называется
невырожденной.
Теорема (о существовании обратной матрицы). Для
всякой невырожденной матрицы обратная матрица
существует и единственна.
23
Контрольные вопросы к теме 2
1. Общее понятие об определителе матрицы и его
обозначения.
2. Определитель 2-го порядка. Формула.
3. Определитель 3-го порядка. Формула.
4. Правило Сарруса для определителя 3-го порядка.
5. Четыре свойства определителей.
6. Понятия: вырожденная матрица, невырожденная матрица.
Теорема о существовании обратной матрицы.
24
Тема 3: Системы линейных уравнений
3.1. Основные понятия
Опр. Системой линейных уравнений (сокращенно,
СЛУ) называется система уравнений относительно
нескольких неизвестных, в каждом из которых
неизвестные входят в первой степени:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

...
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
25
Матричная запись СЛУ
Определение. Основной матрицей СЛУ называется
матрица коэффициентов
 a11  a1n 
.
A   ...

a

a

mn 
 m1
Вектор неизвестных X и вектор правых частей
(свободных членов) B:
 x1 
 b1 




X   ...  , B   ...  .
x 
b 
 n
 m
Тогда
система
линейных
уравнений
запишется в краткой форме: AX=B.
26
Решения СЛУ
Опр. Упорядоченный набор чисел (d1, d2, …, dn)
называется решением СЛУ, если при подстановке их
вместо неизвестных каждое из уравнений системы
обращается в верное равенство.
Опр. Решить СЛУ означает найти все решения этой
системы или показать, что система не имеет решений.
27
Виды систем линейный уравнений
• Опр. Система называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение.
• Опр. Система называется несовместной, если
она не имеет решений.
• Опр. Система называется определенной, если
она имеет единственное решение.
• Опр. Система называется неопределенной, если
она имеет больше одного решения.
28
3.2. Существование решения СЛУ
Опр. Если определитель матрицы равен нулю, то
матрица называется вырожденной. Если определитель
матрицы не равен нулю, то матрица называется
невырожденной.
Теорема (о существовании обратной матрицы). Для
всякой невырожденной матрицы обратная матрица
существует и единственна.
29
Теорема (о решении СЛУ с
невырожденной матрицей)
Пример. Линейное уравнение 5x=6 решается так: x=5-16=6/5.
А как записать и решать систему линейных уравнений?
Теорема.
Пусть СЛУ в матричной форме имеет вид AX  B.
Если основная матрица системы А невырождена, то
система является совместной и определенной (то
есть имеет единственное решение):
1
XA B
30
3.3. Формулы Крамера
Пусть дана система линейных уравнений с n
неизвестными с невырожденной основной матрицей A.
Теорема Крамера. Обозначим через

определитель матрицы A, а через i – определитель
матрицы, которая получается, если в матрице A вместо
i-го столбца подставить столбец B. Тогда единственное
решение системы таково:
1
2
n
x1  , x2  , ..., xn  ,   0.



31
Решить по формулам Крамера СЛУ:
Решение:
2 x1  x2  x3  0

 3x2  4 x3  6
 x  x  1
3
 1
2 1 1
0 1 1
  0 3 4  6  4  0  (3)  0  0  13, 1  6 3 4  1,
1 0 1
1 0 1
2 0 1
2 1 0
 2  0 6 4  12  0  0  6  0  (8)  10, 3  0 3 6  12.
1 1 1
1 0 1
1
x1   ,
13
10
12
x2   , x3   .
13
13
1 10 12
Ответ : ( ,  ,  ).
13 13 13
32
3.4. Геометрический способ решения
СЛУ с двумя неизвестными
Случай 1. Единственное решение.
 x  2 y  1
, (  0).

2 x  y  3
5
y=(x+1)/2
4
y=3-2x
3
2
1
Точка пересечения (1;1)
прямых – решение системы.
0
-1 -1 0
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
-5
-6
33
Случай 2. Бесконечное множество решений.
2 x  y  2
, (  0).

4 x  2 y  4
7
6
5
4
Прямые совпадают и
решений множество
3
(точки прямой).
1
Общее решение – (x; 2x-2);
частное – (1; 0).
2
0
-1
-1 0
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
y=(4x-4)/2
y=2x-2
34
Случай 3. Нет решений.
x  y  2
, (  0).

 x  y  3
5
4
3
Прямые параллельны,
пересечений нет и решений
нет (пустое множество).
2
y=x-2
1
y=x+3
0
-1
-1 0
1
2
-2
-3
35
Задание.
Найти решение СЛУ (по формулам Крамера и
геометрически):
 2 x1  x2  1



3
x
4
x
1
 1
2
36
Контрольные вопросы к теме 3
1. Общий вид системы линейных уравнений (СЛУ).
2. Основная матрица СЛУ, векторы неизвестных и свободных
членов. Запись СЛУ в матричной форме.
3. Определение решения системы линейных уравнений. Что
означает «решить систему»?
4. Понятия: совместная система, несовместная система,
определенная система, неопределенная система.
5. Теорема о решении СЛУ с невырожденной матрицей.
6. Формулы Крамера для решения системы линейных
уравнений.
7. В чем состоит геометрический способ решения СЛУ с
двумя неизвестными? Какие три случая возможны?
37