Аналитическая геометрия - Факультет математики и

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
ОПД.Ф.04 Аналитическая геометрия
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 010100 Математика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Верёвкин Андрей Борисович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
к.ф.−м.н., доцент
Заведующий кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 6
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
Оглавление.............................................................................................................. 2
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 2
1.1. Цели ........................................................................................................... 2
1.2. Задачи ........................................................................................................ 2
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 3
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 4
5. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................................................... 4
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 5
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 6
7.1. Рекомендуемая литература: .................................................................... 6
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Аналитическая геометрия» является одной из
фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами начальных курсов,
обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной
математической общепрофессиональной дисциплиной. Её цель − научить студента
решать линейные и квадратичные уравнения, владеть методами аффинной и проективной
геометрии для решения алгебраических уравнений и геометрических задач.
Дисциплина «Аналитическая геометрия» базируется на знаниях и умениях в
области алгебры и геометрии, полученных студентами на предыдущих курсах.
1.1.
Цели
Целями учебной дисциплины являются:
1. овладение начальными знаниями по алгебре и геометрии, необходимыми для
изучения других дисциплин специальности
2. развитие навыков решения задач по алгебре и геометрии
1.2.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков всесторонних знаний об основных
алгебраических структурах и основах аналитической геометрии.
 приобретение студентами навыков и умений по решению алгебраических и
геометрических задач.
Форма А
Страница 2 из 6
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Аналитическая геометрия» в 4−м семестре
студенты должны
знать:

Однородные координаты в проективном пространстве

Описание проективных преобразований

Способы задания аффинных карт проективных пространств

Квадрики проективного пространства
уметь:




Выполнять проектирование с плоскости на плоскость
Строить проективное пополнение алгебраических множеств
Вычислять и пользоваться двойным отношением
Классифицировать квадрики проективного пространства
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Форма А
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
4
2
3
36
36
18
18
18
18
12
12
48
48
1
1
зачет
зачет
Страница 3 из 6
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
1
Всего
2
Виды учебных занятий
Аудиторные
занятия
Самосто
практиче
ятельная
ские
работа
лекции
занятия,
семинар
3
4
5
1. Проективная плоскость
2. Проективные пространства
3. Проективные преобразования
18
14
16
7
5
6
7
5
6
4
4
4
Итого
48
18
18
12
4. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Проективная плоскость
Определение проективной плоскости, связки прямых. Геометрические свойства
аффинной плоскости. Геометрические свойства проективной плоскости. Однородные
координаты проективной плоскости. Пополнения прямых и квадрик. Проективная
классификация кривых II порядка на плоскости. Теорема Дезарга и её доказательства.
Принцип проективной двойственности. Теоремы Паскаля и Брианшона.
Тема 2: Проективные пространства
Проективное пространство произвольной размерности, различные модели проективного
пространства. Ограниченные модели аффинной и проективной плоскости. Пример:
наименьшая аффинная плоскость. Пример: наименьшая проективная плоскость.
Однородные координаты проективного пространства.
Тема 3: Проективные преобразования
Центральное проектирование с плоскости на плоскость и его свойства. Проективные
преобразования в однородных координатах.
Классификация гиперплоскостей в
проективном пространстве. Проективная классификация поверхностей II порядка в
пространстве. Двойное отношение, как инвариант проективного преобразования − его
свойства и применения в геометрических задачах.
5. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Проектирование с плоскости на плоскость.
Однородные координаты и аффинные карты проективных пространств.
Пополнение подпространств и квадрик.
Определение проективного типа квадрики.
Вычисление двойных отношений.
Решение задач проективной геометрии на плоскости.
Форма А
Страница 4 из 6
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ
К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требование к зачету
Необходимо знать следующие алгоритмы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Задание проекции плоскости геометрически и в однородных координатах.
Построение проективного пополнения.
Нахождение удалённых точек пополненных алгебраических множеств.
Задание алгебраических множеств в однородных координатах.
Нахождение двойных отношений.
Нахождение проективного типа квадрики.
Построение моделей проективных пространств.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Центральное проектирование с плоскости на плоскость и его свойства.
2. Определение проективной плоскости.
3. Геометрические свойства аффинной плоскости.
4. Геометрические свойства проективной плоскости.
5. Ограниченные модели аффинной и проективной плоскости.
6. Пример: наименьшая аффинная плоскость.
7. Пример: наименьшая проективная плоскость.
8. Связки прямых на аффинной плоскости и их описание.
9. Однородные координаты на проективной плоскости.
10. Пополнение аффинных кривых на проективной плоскости.
11. Пополнения прямых и квадрик.
12. Проективные пространства - их определение и свойства.
13. Проективные преобразования в однородных координатах.
14. Классификация гиперплоскостей в проективном пространстве.
15. Проективная классификация кривых II порядка на плоскости.
16. Проективная классификация поверхностей II порядка в пространстве.
17. Теорема Дезарга и её доказательства.
18. Принцип проективной двойственности.
19. Двойное отношение, как инвариант проективного преобразования.
20. Теоремы Паскаля и Брианшона.
Форма А
Страница 5 из 6
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.




Рекомендуемая литература:
Александров П.С. «Лекции по аналитической геометрии, гл. XXI–XXIII»,− М.:
Наука, 1968
Курант Р., Роббинс Г. «Что такое математика? Гл. IV»,– Москва-Ижевск: РХД,
2001, 592 с.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия»,− М.: Изд-во
Московского университета, 1980, 320 с.
Винберг Э.Б. «Курс алгебры»,− М.: Факториал, 1999, 528 с.
Форма А
Страница 6 из 6