вариант 2015

Условия задач по математике
Фестиваля «Ломоносов-2015»
город Ташкент
1. [5] 30 % числа х равны 20 % суммы чисел х и у. 10 % числа у меньше 6 % числа х на 2.
Найдите значения чисел х и у.
Условия задач по математике
Фестиваля «Ломоносов-2015»
1.
город Ташкент
[5] 30 % числа х равны 20 % суммы чисел х и у. 10 % числа у меньше 6 % числа х на
2. Найдите значения чисел х и у.
2. [11] В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC = 1 см и AD = 2 см длина
одной из боковых сторон равна 1 см. Окружность, описанная около треугольника АВС
пересекает АD в точке E и BD в точке F. AF и CD пересекаются в точке K. Найти
длину EK.
2.
[11] В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC = 1 см и AD = 2 см длина
одной из боковых сторон равна 1 см. Окружность, описанная около треугольника
АВС пересекает АD в точке E и BD в точке F. AF и CD пересекаются в точке K.
Найти длину EK.
3. [11] a, b, c, x – действительные числа, которые удовлетворяют:
3.
[11] a, b, c, x – действительные числа, которые удовлетворяют:
(a + b)(b + c)(a + c) ≠ 0. Найдите значение х.
(a + b)(b + c)(a + c) ≠ 0. Найдите значение х.
4. [11] Дельфин двигается вдоль сторон правильного треугольника АВС периметра 54 км.
Его скорость на участке АВ равна 12 км/ч, на участке ВС 6 км/ч, а на участке СА его
скорость равна 12 км/ч. Морской котик начинает движение вдоль окружности,
вписанной в ∆АВС, со скоростью, равной средней скорости дельфина, из точки
касания окружности со стороной АВ, когда дельфин находился в точке А. Через
сколько времени от начала старта они окажутся в одной и той же точке?
4.
[11] Дельфин двигается вдоль сторон правильного треугольника АВС периметра 54
км. Его скорость на участке АВ равна 12 км/ч, на участке ВС 6 км/ч, а на участке СА
его скорость равна 12 км/ч. Морской котик начинает движение вдоль окружности,
вписанной в ∆АВС, со скоростью, равной средней скорости дельфина, из точки
касания окружности со стороной АВ, когда дельфин находился в точке А. Через
сколько времени от начала старта они окажутся в одной и той же точке?
5. [11] Числа от 1 до 8 записаны в кружках без повторений.
Обозначим сумму в левом большом круге через Х, в правом
большом круге через Y. Тогда через А обозначим
максимальное значение Х, при котором Х = Y, а через В
обозначим минимальное значение Х, при котором Х = Y.
Найдите значение А – В.
5.
[11] Числа от 1 до 8 записаны в кружках без повторений.
Обозначим сумму в левом большом круге через Х, в
правом большом круге через Y. Тогда через А обозначим
максимальное значение Х, при котором Х = Y, а через В
обозначим минимальное значение Х, при котором Х = Y.
Найдите значение А – В.
6. [11] Сколько существует целых а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно целое решение?
6.
[11] Сколько существует целых а, при которых
уравнение имеет хотя бы одно целое решение?
7. [20] Найдите наименьшее натуральное N > 1, которое удовлетворяет двум условиям:
1. N = a(2a – 1) для некоторого натурального числа а;
2. Сумма 1 + 2 + · · · + (N − 1) делится на каждое натуральное число 1 ≤ k ≤ 10.
7.
[20] Найдите наименьшее натуральное N > 1, которое удовлетворяет двум условиям:
1. N = a(2a – 1) для некоторого натурального числа а;
2. Сумма 1 + 2 + · · · + (N − 1) делится на каждое натуральное число 1 ≤ k ≤ 10.
8. [20] Дано множество S = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Подмножество Р называется
квадратным, если сумма его чисел равна квадрату натурального числа. Квадратное
подмножество называется сверхквадратным, если оно не является подмножеством ни
одного другого квадратного подмножества. Сколько существует сверхквадратных
подмножеств множества S?
Здесь, например, подмножествами множества {1, 2, 3} являются только множества
{1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}, то есть подмножество – это множество, состоящее
хотя бы из одного числа, но не всех чисел исходного множества.
8.
[20] Дано множество S = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Подмножество Р называется
квадратным, если сумма его чисел равна квадрату натурального числа. Квадратное
подмножество называется сверхквадратным, если оно не является подмножеством
ни одного
другого
квадратного
подмножества.
Сколько
существует
сверхквадратных подмножеств множества S?
Здесь, например, подмножествами множества {1, 2, 3} являются только множества
{1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}, то есть подмножество – это множество,
состоящее хотя бы из одного числа, но не всех чисел исходного множества.