10. Как студент думал Землю остановить В статье

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Êàê Ñòóäåíò
äóìàë Çåìëþ
îñòàíîâèòü
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
Áûâàåò, ÷òî óñåðäèå
ïðåâîçìîãàåò è ðàññóäîê.
Êîçüìà Ïðóòêîâ
Î
ÄÍÀÆÄÛ ÏÎÄ ÓÒÐÎ ÏÎÄÓÌÀËÎÑÜ ÑÒÓÄÅÍÒÓ: ÅÑÒÜ
æå íà Çåìëå òàêèå ñ÷àñòëèâûå ìåñòà, ãäå íî÷ü äëèòñÿ
ïîëãîäà! È òóò ïðèøëà åìó â ãîëîâó Èäåÿ: îñòàíîâèòü
âðàùåíèå Çåìëè – ÷òîáû óòðî âîîáùå íå íàñòóïèëî. Âåäü
ïîâåðíóòà æå Ëóíà ê íàì òîëüêî îäíèì ñâîèì ïîëóøàðèåì.
Ïîíÿòíî, ÷òî çàòîðìîçèòü âðàùåíèå ìîæíî, íàïðèìåð,
ïðè ïîìîùè ðåàêòèâíîé ñèëû âûáðàñûâàåìîé ìàññû. Íî
êàêóþ ìàññó äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ âûáðîñèòü â êîñìîñ? Ñ
êàêîé ñêîðîñòüþ? È âîò, ÷òîáû íå óòðóæäàòü ñåáÿ äåòàëÿìè, â «òîíêîì ïîëóñíå» Ñòóäåíò ñäåëàë ïðîñòûå ÷èñëåííûå îöåíêè.
ßñíî, ÷òî èñêîìóþ ìàññó Δm íóæíî âûáðàñûâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ – ÷òîáû íå èçìåíèòü
äâèæåíèå öåíòðà ìàññ
Çåìëè. È, êîíå÷íî, ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ åå îêðóæíîé (ëèíåéíîé) ñêîðîñòè V0 .
Íàïðèìåð, òàê, êàê
èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå
1, ãäå N – ñåâåðíûé ïîëþñ, à u – èñêîìàÿ ñêîðîñòü âûáðîñà îòíîñèòåëüíî Çåìëè.  ñèñòåìå íåïîäâèæíûõ çâåçä
ñêîðîñòü âûáðîñà áóäåò
ðàâíà u - V0 .
Ðèñ. 1
Äëÿ òîãî ÷òîáû âûáðîøåííàÿ ìàññà íå âîçâðàòèëàñü, åå ñêîðîñòü íà áåñêîíå÷íîì óäàëåíèè îò Çåìëè
äîëæíà ïî êðàéíåé ìåðå îáðàòèòüñÿ â íîëü. Çíà÷èò, òàì
ðàâíà íóëþ åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Íî è ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ Ï òàì òîæå ðàâíà íóëþ – ñì. ðèñóíîê 2, ãäå - g0 R0
ýòî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû íà ïîâåðõíîñòè
Çåìëè. Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè åäèíèöû ìàññû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
(u - V0 )2 + - g R = 0 + 0.
( 0 0)
2
Îòñþäà íàõîäèì
u = 2g0 R0 + V0 .
«Êîíå÷íî, ýòî òîëüêî
îöåíêà, – óñïîêîèë ñåáÿ
Ñòóäåíò, – âåäü â ïðîöåññå
âûáðîñà áóäåò èçìåíÿòüñÿ è ìàññà Çåìëè, è åå ðàäèóñ, è,
ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå òÿãîòåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè». (Ïîýòîìó âåëè÷èíû V, g, R è îòìå÷åíû èíäåêñîì «0» – ÷òîáû
ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äëÿ îöåíêè áåðóòñÿ èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ.) Íî åñëè â ðåçóëüòàòå îêàæåòñÿ, ÷òî èñêîìàÿ ìàññà Δm
ìíîãî ìåíüøå íà÷àëüíîé ìàññû Çåìëè M0 ( Δm = M0 ), òî
ýòà îöåíêà âïîëíå ðàçóìíà è ìîæåò áûòü ïðèíÿòà â êà÷åñòâå
«ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ» – êàê ëþáÿò ãîâàðèâàòü ôèçèêè.
Äàëåå, ÷òîáû íå óòðóæäàòü ñåáÿ òàêèìè ïîíÿòèÿìè, êàê
ìîìåíò ñèëû è ìîìåíò èíåðöèè, Ñòóäåíò ñìåëî ïðèíÿë
óïðîùåííóþ ìîäåëü Çåìëè. Îí ïðåäñòàâèë åå â âèäå îáðó÷à,
âäîëü êîòîðîãî ðàñïðåäåëåíà âñÿ åå ìàññà. Òîãäà íà÷àëüíûé
«âðàùàòåëüíûé» èìïóëüñ Çåìëè ðàâåí M0V0 º ( M0 -
- Δm) V0 + ΔmV0 (â ýòîì âûðàæåíèè óæå âûäåëåíà îòáðàñûâàåìàÿ ìàññà Δm ). Ñðàçó ïîñëå âûáðîñà âðàùåíèå îñòàâøåéñÿ ìàññû M0 - Δm , ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ïðåêðàòèëîñü, à
îòáðîøåííàÿ ìàññà ïðèîáðåëà ñêîðîñòü u - V0 . Òîãäà çàêîí
ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà áóäåò âûãëÿäåòü òàê:
( M0 - Δm) V0 + ΔmV0
= ( M0 - Δm) × 0 + Δm (u - V0 ) ,
îòêóäà ïîëó÷àåì
Δm
V0
V0
=
=
.
M0 u - V0
2 g0 R0
Îñòàëîñü íàéòè ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Òóò âðåìÿ âñïîìíèòü, ÷òî ðàäèóñ Çåìëè R0 = 6, 4 × 106 ì , åå ìàññà
M0 = 6 × 1024 êã , à ïåðèîä îáðàùåíèÿ âîêðóã ñâîåé îñè
T0 = 24 ÷ . Òîãäà îêðóæíàÿ ñêîðîñòü íà ýêâàòîðå Çåìëè
ðàâíà
2πR0 2 × 3,14 × 6, 4 × 106 ì
=
» 465 ì ñ
ñ
T0
3600 × 24 ÷
÷
(áîëüøå ñêîðîñòè çâóêà â âîçäóõå!). Ñòîÿùåå â çíàìåíàòåëå
V0 =
ïðåäûäóùåé ôîðìóëû âûðàæåíèå
êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü vII , ðàâíàÿ
vII = 2g0 R0 =
2g0 R0
– ýòî âòîðàÿ
2 × 10 ì ñ2 × 6, 4 × 106 ì » 11 êì ñ .
 èòîãå ïîëó÷àåì
Δm 0, 46
=
» 4% .
11
M0
«À åñëè ó÷åñòü, ÷òî Çåìëÿ – ýòî íå îáðó÷, à øàð, – ïîäóìàë
Ñòóäåíò, – òî åå çàòîðìîçèòü ëåã÷å, ïîñêîëüêó íå âñÿ åå ìàññà
íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè R0 îò îñè âðàùåíèÿ». Äåéñòâèòåëüíî, íåñëó÷àéíî åñòü òàêîå ïîíÿòèå, êàê ìîìåíò èíåðöèè:
2
äëÿ øàðà îí ðàâåí M0 R02 , à äëÿ îáðó÷à M0 R02 . (Èíûìè
5
ñëîâàìè, Çåìëþ ìîæíî áûëî áû ïðåäñòàâèòü îáðó÷åì ðàäè2
óñîì R =
R0 .) Çíà÷èò, ïîòðåáóåòñÿ âûáðîñèòü ìàññó åùå
5
2
ðàç ìåíüøóþ, ò.å.
ïðèáëèçèòåëüíî â
5
Δm
< 2% .
M0
Èìåííî ñ òàêîé òî÷íîñòüþ âåðíî ïðèíÿòîå íàìè ïðåäïîëîæåíèå Δm = M0 .
Íî ìíîãî ýòî èëè ìàëî? Ñðàâíèì, íàïðèìåð, ñ ìàññîé
çåìíîé êîðû, ïëàâàþùåé íà áîëåå òÿæåëîé ìàãìå (òîé
ñàìîé, êîòîðàÿ èíîãäà âûòåêàåò èç âóëêàíîâ). Çåìíàÿ êîðà
ñëîæåíà, â îñíîâíîì, èç áàçàëüòîâ è ãðàíèòîâ, ïîêðûòûõ
ìåíåå ïëîòíûì ñëîåì îñàäî÷íûõ ïîðîä. Ïîëîæèì äëÿ
îöåíîê ñðåäíþþ òîëùèíó êîðû ðàâíîé h = 20 êì, à ïëîò-
ØÊÎËÀ
3
3
íîñòü – ïîðÿäêà ρ = 3 × 10 êã ì . Òîãäà ìàññà ýòîãî øàðîâîãî ñëîÿ áóäåò ïîðÿäêà
mê = ρh × 4πR02 =
= 3 × 103 × 20 × 103 × 4π 6, 4 × 106
2
êã » 3 × 1022 êã .
À ìàññà îêåàíà åùå ìåíüøå:
mîê » 1, 4 × 1021 êã .
(Áîëåå òî÷íûå äàííûå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå
À.Â.Áÿëêî «Íàøà ïëàíåòà – Çåìëÿ» – Ì.: Íàóêà, Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò», âûï.29.)  ñóììå ýòè ìàññû ñîñòàâëÿþò
ïðèáëèçèòåëüíî
3 × 1022
= 5 × 10 -3 = 0,5%
6 × 1024
îò ìàññû Çåìëè. Òàêèì îáðàçîì, äàæå åñëè âûáðîñèòü â
êîñìîñ âñå îêåàíû è âñþ çåìíóþ êîðó (âïëîòü äî áîëåå
ïëîòíûõ ïîðîä, êóäà åùå íèêòî íå äîáèðàëñÿ), òî è ýòîãî íå
õâàòèò, ÷òîáû îñòàíîâèòü âðàùåíèå Çåìëè.
Ýëåêòðè÷åñêèå
ìàøèíû è
âûáîð ðåæèìà
Ã.ÁÀÊÓÍÈÍ
À
Â
'
«ÊÂÀÍÒÅ»
Íî ïóñòü äàæå õâàòèëî áû ìàññû. À êàêóþ íàèìåíüøóþ
ýíåðãèþ íàäî áûëî áû çàòðàòèòü, ÷òîáû ñîîáùèòü âûáðàñûâàåìîé ìàññå âòîðóþ êîñìè÷åñêóþ ñêîðîñòü? Êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ýòîé ìàññû ðàâíà
2
» 1031 Äæ .
Ñêîëüêî æå ïîòðåáîâàëîñü áû, íàïðèìåð, êåðîñèíà, ÷òîáû
îáåñïå÷èòü òàêóþ ïîòðåáíîñòü â ýíåðãèè? Ïðè ñãîðàíèè
îäíîãî êèëîãðàììà êåðîñèíà âûäåëÿåòñÿ ïðèìåðíî 4 × 107 Äæ
òåïëà. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå îíî èäåò â «äåëî» áåç
ïîòåðü, òî íåîáõîäèìàÿ ìèíèìàëüíàÿ ìàññà ñãîðåâøåãî êåðîñèíà äîëæíà ñîñòàâèòü
mêåð »
1031 Äæ
» 2 × 1023 êã .
4 × 107 Äæ êã
Î, äà ýòî âåäü ñîòíÿ îêåàíîâ èç ÷èñòîãî êåðîñèíà!
È Ñòóäåíòó ñòàëî æàëü è ìàññû, è ýíåðãèè Çåìëè. «Íåò
óæ, – ïîäóìàë îí, – ëó÷øå âñòàòü è ïîéòè íà ëåêöèþ».
ñòâà â çàâèñèìîñòè îò âíåøíåé íàãðóçêè R1 èëè R2 .
Áîëüøåìó çíà÷åíèþ R ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåå
çíà÷åíèå òîêà â öåïè.
Òàêèì îáðàçîì, äàæå â ïðîñòåéøåé ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíå – ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíîì ïðèáîðå – ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü âûáîðà ðåæèìà ðàáîòû.
Áîëåå ñëîæíîé îêàçûâàåòñÿ ñèòóàöèÿ â ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîãî ìîòîðà ïîñòîÿííîãî òîêà. Çäåñü â öåïè ÿêîðÿ ãåíåðèðóåòñÿ èíäóêöèîííàÿ ÝÄÑ - i , è çàêîí Îìà çàïèñûâàåòñÿ â
âèäå
U - - i = IR ,
ãäå U – âíåøíåå íàïðÿæåíèå, à R – ñîïðîòèâëåíèå ÿêîðÿ.
Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èíäóöèðîâàííàÿ ÝÄÑ ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå âðàùåíèÿ ω ÿêîðÿ:
- i = Φ 0ω ,
ÍÀËÎÃÈß – ÎÄÈÍ ÈÇ ÂÀÆÍÅÉØÈÕ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÎÂ
èññëåäîâàíèÿ. Ýòî íåîäíîêðàòíî ïîä÷åðêèâàëîñü êàê
èçâåñòíûìè ó÷åíûìè, òàê è èñòîðèêàìè íàóêè. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì èíñòðóìåíòîì è îáñóäèì ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå «ìîùíîñòíûõ» õàðàêòåðèñòèê õîðîøî èçâåñòíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ
óñòðîéñòâ.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü – ìîäåëü
ýëåêòðîíàãðåâàòåëÿ, ñîñòîÿùóþ èç èñòî÷íèêà, èìåþùåãî
ÝÄÑ - è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r, è íàãðóçêè — ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R (ðèñ.1). Âû÷èñëèì ïîëåçíóþ ìîùíîñòü òàêîãî óñòðîéñòâà, îïè-
2
0,02 × 6 × 1024 êã × 11 × 103 ì ñ
ΔmvII
»
2
2
ãäå Φ 0 – ðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé ìàêñèìàëüíîìó
ïîòîêó ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ðàìêó ÿêîðÿ. Àíàëèç
âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëíîé ìîùíîñòè:
UI = - i I + I2 R
ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü ñâÿçàíà ñ ÷ëåíîì - i I ,
ãäå òîê ÿêîðÿ I çàâèñèò ëèíåéíî îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ω :
I = I ω =
U - - i ω U - Φ 0ω
=
.
R
R
Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü ïîëåçíîé ìîùíîñòè ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíû ïîñòîÿííîãî òîêà îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ÿêîðÿ
èìååò âèä
Φ
P ω = - i ω I ω = 0 ω U - Φ 0 ω .
R
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
ðàÿñü íà çàêîí Îìà:
-2
I=
R.
, P = I2 R =
R+r
R + r 2
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè P R ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 2. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ãðàôèê îáëàäàåò ìàêñèìóìîì, ò.å. èìåþòñÿ
äâå âîçìîæíîñòè îáåñïå÷èòü ïîëåçíóþ ìîùíîñòü P0 óñòðîé-
Çäåñü, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, âèäåí ìàêñèìóì ìîùíîñòè, îäíàêî òåïåðü âûáîð ðåæèìà çàâèñèò îò ÷àñòîòû (ðèñ.3).
Çàìåòèì, ÷òî íàãðóçêà â äàííîé çàäà÷å ñâÿçàíà ñ âðàùàòåëüíûì ìîìåíòîì, êîòîðûé ñïîñîáåí ñîçäàòü ýëåêòðîìîòîð:
P ω Φ 0
=
M ω =
U - Φ 0 ω .
ω
R
Ñòàáèëüíàÿ ðàáîòà ìîòîðà îáåñïå÷èâàåòñÿ áàëàíñîì ýòîãî
ìîìåíòà è ìîìåíòà M0 , ñîçäàâàåìîãî âíåøíåé íàãðóçêîé.
Íàïðèìåð, åñëè ìîòîð ðàâíîìåðíî ïîäíèìàåò íà âåðåâêå