1 Программа экзамена по уравнениям математической физики 2012/2013 учебный год

1
Программа экзамена
по уравнениям математической физики
2012/2013 учебный год
III курс 3, 4 группы
1. Основные уравнения математической физики: уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнение Лапласа.
2. Вывод уравнения теплопроводности для стержня.
3. Постановка начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
Теорема единственности классического решения.
4. Метод Фурье для уравнения теплопроводности на окружности.
5. Обоснование метода Фурье для уравнения теплопроводности на окружности в случае бесконечно дифференцируемой начальной функции.
6. Общая схема метода Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке. Однородное
и неоднородное уравнения. Ядра Пуассона.
7. Метод периодического продолжения для уравнения теплопроводности на
отрезке.
8. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Вспомогательные
утверждения.
9. Сильный и слабый принцип максимума для уравнения теплопроводности.
Доказательство слабого принципа максимума.
10. Следствия из принципа максимума для уравнения теплопроводности.
11. Выполнение начального условия в задаче о кольце для непрерывной начальной функции (уравнение теплопроводности).
12. Теорема единственности классического решения для уравнения теплопроводности на прямой.
13. Решение однородного уравнения теплопроводности на прямой методом
Фурье. Формула Пуассона.
14. Решение неоднородного уравнения теплопроводности на прямой.
15. Обоснование формулы Пуассона для непрерывной и ограниченной начальной функции.
16. Ядро Пуассона уравнения теплопроводности как функция влияния мгновенного точечного источника тепла.
17. Задачи для полубесконечного стержня (уравнение теплопроводности). Однородное
и неоднородное уравнение.
18. Построение ядер Пуассона для кольца и отрезка методом Фурье и методом отражения.
19. Уравнение колебаний струны. Общее решение.
20. Задача Коши для волнового уравнения на прямой. Формула Даламбера.
21. Постановка начально-краевых задач для волнового уравнения на отрезке. Энергетический метод доказательства единственности.
22. Метод Фурье для однородного волнового уравнения (первая краевая задача). Обоснование метода Фурье.
23. Многомерное интегрирование по частям.
24. Симметрическое дифференциальное выражение. Оператор Лапласа. Первая и вторая формулы Грина для оператора Лапласа.
25. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Ла-
2
пласа.
26. Многомерное уравнение теплопроводности. Постановка начально-краевых
задач в ограниченной области. Теорема единственности решения.
27. Решение задач из конспекта лекций В.И.Юдовича (1 семестр).
28. Метод Фурье для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Однородное и неоднородное уравнения. Ядро Пуассона и функция Грина.
29. Решение задач из конспекта лекций В.И.Юдовича (2 семестр).
30. Ограниченные и периодические по времени решения уравнения теплопроводности. Первая краевая задача.
31. Ограниченные и периодические по времени решения уравнения теплопроводности. Вторая краевая задача.
32. Постановка краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона.
33. Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Теорема единственности решения. Нахождение функции Грина методом Фурье.
34. Задача Неймана для уравнения Пуассона. Условие разрешимости. Теорема единственности решения. Нахождение решения методом Фурье.
35. Обобщенная функция Грина задачи Неймана для уравнения Пуассона.
36. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Физическая интерпретация.
37. Нахождение фундаментального решения уравнения Лапласа в Rm для
различных значений m.
38. Основная формула Грина для оператора Лапласа. Вывод формулы для
x ∈ D.
39. Основная формула Грина для оператора Лапласа в трехмерном и двумерном случаях, при x ∈ D, x ∈
/ D, x ∈ ∂D. Связь с интегралом Гаусса.
40. Функция Грина для уравнения Пуассона. Первая, вторая, третья краевая
задача.
41. Построение функции Грина методом отражения.
42. Основная формула Грина для уравнения теплопроводности. Применение
для решения первой начально-краевой задачи.
43. Принцип максимума для гармонических функций. Доказательство слабого принципа максимума.
44. Следствия принципа максимума для гармонических функций.
45. Теорема о среднем для гармонических функций.
46. Сильный принцип максимума для гармонических функций. Случай ограниченной области.
47. Сильный принцип максимума для гармонических функций. Случай неограниченной области.
48. Вывод формулы Пуассона для круга.
49. Обоснование формулы Пуассона для круга.
50. Следствия из формулы Пуассона для круга: теорема Лиувилля, теорема
об устранимой особенности.
51. Определение обобщенной функции. Основные и вспомогательные пространства, их свойства, билинейная форма.
52. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Примеры обобщенных
функций.
3
53. Определение производной обобщенной функции. Примеры дифференцирования обобщенных функций.
Список задач из конспекта лекций В.И.Юдовича
I семестр:§1 : 2, 4, 6, 7, 12; §2 : 6, 8, 9, 10; §3 : 1, 2∗ , 3, 4∗ , 5, 6, 12, 13; §4 : 18; §6 : 1∗ ;
§7 : 2, 6, 7∗ , 8;.
II семестр: §8 : 1, 4, 6, 12∗ , 15; §9 : 1∗ ; §10 : 9; §11 : 2, 4; §12 : 4, 5, 6, 7, 8, 9; §13 : 18, 19, 20, 23;
§15 : 11, 12, 13, 14; §16 : 1, 2, 3, 4, 11, 17∗ , 18∗ .
CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. - 512 с.
[2] Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 444 с.
[3] Тихонов А. Н.,Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1977. - 736 с.
[4] Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2003.
- 304 с.
[5] Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть 1. Ростов-наДону: Экспертное бюро, 1998. - 240 с.
[6] Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть 2. Ростов-наДону: Экспертное бюро, 1999. - 256 с.
[7] Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. Сборник задач по математической
физике. М.: ГИТТЛ, 1965. - 683 с.
[8] С. В. Ревина, Л. И. Сазонов, О. А. Цывенкова,. Уравнения математической физики. Задачи и решения. ЮФУ: каф. вычислит. матем., 2008. - 169 с.