МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСТИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСТИТЕТ
Институт прикладной математики и механики
Кафедра теоретической механики
ОТЧЕТ ПО КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ
Многопоточный алгоритм решения уравнения теплопроводности
Выполнил:
студент группы № 63604/1 А. В. Яшин
Проверил:
____________ А. А. Ле-Захаров
Санкт-Петербург
2015
Постановка задачи
T
 aT  f (x, t) , где  t
оператор Лапласа, в двухмерной постановке сеточным методом в многопоточном режиме.
Реализовать численное решение уравнения теплопроводности
Требуется найти непрерывное в D решение T = T(x,t) задачи
T
 aT  f (x, t)
t
С целью построения разностной схемы в области D введем сетку
ωhτ = {(xi,tj): xi=ih, 0≤i≤n, h=1/n, tj=jτ, 0≤j≤m, τ=T/m}.
с шагами h по x и τ по t. Используя приближенные формулы вычисления производных
𝑗+1
𝜕𝑇
𝑇
( ) ≈ 𝑖
𝜕𝑡 𝑖𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
− 𝑇𝑖 𝜕 2 𝑇
𝑇 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖+1
, ( 2 ) ≈ 𝑖+1
,
𝜏
𝜕𝑥 𝑖𝑗
ℎ2
можно записать разностную схему вида
(1)
𝑗
где ν𝑖 - сеточная
функция, являющаяся точным решением разностной схемы и
аппроксимирующая точное решение дифференциального уравнения в узлах сетки; σ - параметр,
𝑗
𝑗
𝑗
называемый весом, а φ𝑖 , некоторая правая часть, например, φ𝑖 = 𝑓𝑖 . В общем случае схема
определена на шеститочечном шаблоне, изображенном на рисунке 1.
Рис. 1. Шаблон схемы с весом.
Для решения уравнения теплопроводности использовался неявная разностная схема. В
случае σ = 1 схема (1) приобретает вид:
Данная схема определена на четырехточетном шаблоне (см. рис. 3) и является неявной.
Рис. 2. Шаблон неявной схемы
𝑗+1
В данном случае для определения ν𝑖
получаем систему уравнений вида
Система уравнений является трехдиагональной, и может быть решена методом прогонки.
Известно, что неявная разностная схема будет вычислительно устойчива при любом
соотношении шагов τ и h (абсолютная устойчивость). Погрешность аппроксимации составит
также O(τ+h2).
Исходные данные
Образец имеет квадратную форму с физическим размером 10 x 10 см. Коэффициент
5
теплопроводности a  10 м с , что близко к реальным значениям для различных сталей.
2
Начальная температура поверхности T0  300 K . Задаются фиксированные граничные условия
– две стороны имеют фиксированную температуру 200о К, а две другие 300о К.
Область разбивается сеткой с количеством ячеек 500  500 . Таким образом, шаг по
4
координате h  2 10 м , по времени τ = 5·10-2 с, согласующийся с условием устойчивости.
Общее физическое время расчёта t = 50 c, т.е. количество итераций по времени nt = 500.
300о К
200о К
200о К
300о К
Рис. 3. Карта начального распределения температуры
Результаты
1
100
200
300
400
500
1
1
100
100
200
200
300
300
400
400
500
500
1
100
200
300
400
500
Рис. 4. Карта распределения температуры
300
280
260
240
220
200
100
200
300
400
Рис. 5. Распределения температуры в нормальном сечении
500
Число потоков
Время, с
Число итераций
1
78,39
104
2
32,59
104
4
20,58
104
8
33,39
104
16
43,96
104
Таблица 1. Зависимость времени расчёта от числа потоков