теория вероятностей - Кыргызско

КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Ш.А. Эгембердиев
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Бишкек – 2011
КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
Ш.А. ЭГЕМБЕРДИЕВ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
УЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ
Издательство Кыргызско-Российского
Славянского университета
БИШКЕК – 2011
4
УДК
Эгембердиев Ш.А.
Теория вероятностей: Учебное пособие / Кыргызско-Российского
Славянского университета. – Бишкек, 2011, – 89 стр.
В учебном пособии кратко изложены теоретические основы по теории
вероятностей. Каждый параграф содержит теоретические сведения и подобные
решения типовых примеров и задач.
Для проверки знаний студентов рассмотрено типовые расчеты. Типовой
расчет содержит 10 задач и охватывает все наиболее важные разделы программы
курса «Теория вероятностей»
Задачи для каждого студента группы индивидуальные (каждая задача
составлена в 26 вариантах).
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей, а
также оно будет полезно для преподавателей, ведущих практические занятия.
Печатается по решению
Кафедры математики и РИСО КРСУ
© КРСУ, 2011г.
5
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………......3
Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.
§1.1. Понятие о случайном событии. Классификация событий.
Пространство элементарных событий…………………………………….5
§1.2. Вероятность. Классическое, статическое и геометрическое
определение вероятности. Свойства вероятности. ………………………7
§1.3. Основные формулы комбинаторики. ……………………………………. 10
§1.4. Действие над событиями. Основные теоремы теории вероятностей:
1. Теорема сложения для несовместных событий.
2. Зависимые, независимые события, условная вероятность.
3. Теоремы умножения для зависимых, независимых событий.
4. Формулы полной вероятности и Байеса………………………….14
Глава 2. Повторные независимые испытания.
§ 2.1. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события…..19
§ 2.2. Формула Пуассона. Локальная теорема Муавра – Лапласа……………20
§ 2.3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа………………………………..21
Глава 3. Случайные величины.
§3.1. Случайные величины (СВ): определение, виды.
Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
Математические операции над случайными величинами……………….25
§3.2. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины:
математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии………29
§ 3.3. Законы распределение дискретной случайной величины………………32
§3.4. Функция распределения случайной величины и ее свойства…………..36
§3.5. Непрерывное случайные величина (НСВ). Плотность распределения
вероятности. Числовые характеристики непрерывной
случайной величины……………………………………………………..37
§3.6. Законы распределение НСВ : равномерное, показательное и
нормальное распределение и их числовые характеристики……………40
§3.7. Моменты случайных величин: начальные и центральные моменты.
Асимметрия и Эксцесс…………………………………………………..43
§3.8. Закон больших чисел. Неравенства Чебышева………………………….44
Типовые расчеты……………………………………………………….48
Список литературы…………………………………………………….88
6
Введение
Вероятностный и статистический метод в науке позволяет более глубоко
анализировать то или иное явление с учетом присущих ему случайностей и
потому все чаще применяется в самых разнообразных отраслях науки, техники и
народного хозяйства. Хотя теория вероятностей, подобно другим наукам,
возникла
из потребностей практики
(проблемы
страхования, статистики
заболеваемости, учета запасов продовольствия и т.д.), исторически как научная
дисциплина она сформировалась на материале теории азартных игр. Азартные
игры так и создавались, чтобы исход игры был чисто случайным. Само слово
«азарт» французское и означает «случай». Схемы азартных игр представляют
собой исключительно простые и яркие модели, удобные для изучения
закономерностей случайных событий. Возможность неограниченного повторения
одной и той же игры обеспечивало экспериментальную проверку найденных
законов в условиях массовости событий.
Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании закономерностей,
которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности имеют не
только теоретическую ценность, они широко применяются на практике – в
планировании, управлении и прогнозировании.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности
случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с
неопределенным исходом, происходящим при неоднократном воспроизведении
определенного комплекса условий.
В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями,
исход которых нельзя предсказать, результат которых, зависит от случая.
Например, то, что застрахованный объект будет уничтожен в результате
стихийного бедствия – дело случайное. Чем же тогда страховые органы
руководствуются в своей работе и можно ли предсказывать что-либо о случайных
явлениях? Оказывается, что если о будущем определенного застрахованного
7
объекта сказать ничего нельзя, то о состоянии большого числа их можно почти
наверняка сказать многое.
Поэтому теория вероятностей не ставит пред собой задачу предсказать,
произойдет единичное событие или нет.
Если случайные явления, которые могут многократно
наблюдаться при
осуществлении одних и тех условиях, то можно установить закономерности этих
явлений.
Установлением
этих
закономерностей
и
занимается
теория
вероятностей.
Предметом
теории
вероятностей
является
изучение
вероятностных
закономерностей, массовых однородных случайных явлений.
Знание закономерностей, которым подчиняются
массовые случайные
явления, позволяют предвидеть, как эти явления будут протекать.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории
вероятностей, появились в XVI-XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано, Б.
Паскалью, П, Ферма, Х. Гюйгенсу, и др. и представляли попытки создания теории
азартных игр с целью дать рекомендации игрокам.
Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII-XIX вв. и
связана с именемами Я. Бернулли, который доказал теорему, теоретически
обосновавшую накопленные ранее факты и названную в дальнейшем «законом
больших чисел», работамми А.Муавра, П.Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др.
Следующий этап развития “математики случайного” связан с именнами
русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова (XIXXXвв.).
8
Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
§1.1. Понятие о случайном событии. Классификация событий. Пространство
элементарных событий.
Математическая теория вероятностей приобретает практическую ценность и
наглядный смысл в связи с такими действительными или мыслимыми опытами
как, например бросание игральной кости, бросание пяти монет одновременно,
и.т.д. Пока описание всех этих явлений довольно неопределенно и чтобы придать
теории точный смысл, мы должны условится о том, что мы понимаем под
возможными исходами рассматриваемого опыта или наблюдения.
При бросании монеты не обязательно выпадает «герб» или «надпись»,
монета может куда-нибудь укатится или встать на ребро. Тем не менее мы
условимся рассматривать «герб» и «надпись» как единственно возможные исходы
бросания монеты. Это соглашение упрощает теорию и не сказывается на
возможностях
ее
применения.
Идеализации
подобного
рода
приводятся
постоянно.
Любая теория обязательно предполагает некоторую идеализацию. Мы
начнем ее с возможных исходов «опыта» или «наблюдения». Если мы хотим
построить абстрактную модель опыта, то мы должны сначала установить, что
представляет собой возможные исходы идеализированного опыта.
Для единства терминологии результаты опытов или наблюдений будут
называться событиями.
Итак одним из основных понятий теории вероятностей является понятие
события.
Событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход,
результат испытания (опыта, эксперимента).
Под
испытанием
(опытом,
экспериментом)
понимается
выполнение
определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление,
фиксируется тот или иной результат.
9
События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, и.т.д. .
Например: событие
А – «Выигрыш автомобиля по билету денежно-вещевой
лотереи», В – «Появление четного числа очков при бросании кубика», и.т.д. .
Классификация событий
1) Достоверное. Событие называется достоверным, если в результате испытания
оно обязательно должно произойти. Например, А - “Извлечение черного шара
из урны» , если все шары черные.
2) Невозможное. Событие называется невозможным, если в результате
испытания оно вообще не может произойти. Например, А -
“Извлечение
черного шара из урны”, если все шары белые.
3) Случайное. Случайным событием называется любой факт, который в
результате испытания может произойти или не произойти. Например, А “победа чемпионата Европы по футболу, команды Х”.
4) Несовместное и совместное. События называются несовместными, если
наступление одного из них исключает наступление любого другого.
противном случае события называются совместными. Например,
В
получение
студентом по предмету теории вероятностей оценки: А - “отлично” и В “хорошо” несовместное, а получение таких оценок по двум предметом
совместное.
5) Равновозможное. События называются равновозможными, если в результате
испытания по условиям симметрии наступление одного из них не является
более возможными, чем другие. Напрмер, извлечение А - “короля” или В “дамы” из колоды карты.
6) Единственно возможное. Несколько событий называются единственно
возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти
хотя бы одно из них. Например, получение студентом по предмету теории
вероятностей оценки: А- “отлично” , В - “хорошо”, С - “удовлетворительно” и
D - “неудовлетворительно”.
7) Полная группа. Несколько события образуют полную группу, если они
являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.
Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти
10
одно и только одно из этих событий. Например, при подбрасывании кубика
выпало число очков: 1,2,3,4,5,6.
8) Противоположное. Два несовместных события, из которых одно должно
обязательно произойти, называются противоположными. Это означает, что
противоположное событие образует полную группу. Например, выпало А “герб” и В - “надпись” при бросании монеты.
9) Элементарное. Несколько событий называются элементарными, если они
образуют полную группу событий и равновозможны (т.е. единственно
возможны, несовместны и равновозможны).
Совокупность всех элементарных событий будем называть пространством
элементарных событий, а сами элементарные события – точками этого
пространства. Все события, связанные с данным ( идеализированным) опытом,
могут быт описаны как совокупности элементарных событий.
§1.2. Вероятность. Классическое, статическое и геометрическое определение
вероятности. Свойства вероятности.
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени
возможности их наступления. Например, внутри ящика находится 50 одинаковых
мячей, среди которых 35 красные а остальные белые. Берется наудачу один мяч.
Очевидно, что событие А – «мяч окажется белым» и событие В - «мяч окажется
красным» не равновозможные, событие В более возможно, чем А.
Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.
Определение. Число, являющееся выражением меры объективной возможности
наступления события, называется его вероятностью.
Пусть исходы некоторого испытания (опыта) являются элементарными
событиями. Исходы опыта называются благоприятствующим событию А, если
появление этого исхода влечет за собой появление события А.
Определение (классическое). Вероятность события А равно отношению числа
исходов опыта, благоприятствующих ему, к общему числу исходов опыта, т.е.
Р(А)=
m
,
n
где Р(А) – вероятность события А;
11
m – число исходов опыта, благоприятствующих событию А;
n – общее число исходов опыта.
Пример. Брошена игральная кость. Какова вероятность «появление четного числа
очков»?
Решение. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение
1,2,3,4,5,6 очков. Все n=6 исходов мы считаем
является элементарными
событиями. Событие А – «появление четного числа очков» благоприятствуют 3
исхода – 2,4,6 очков по формуле
Р(А)=3/6=1/2=0,5.
Свойства классического определение вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е
0≤Р(А) ≤1.
События, вероятности которых очень малы (близка к нулю) или очень велики
(близки к единице), называются соответственно практически невозможными или
практически достоверными событиями.
Недостатки классического определения вероятности:
1. Когда
невозможен
учет
того,
что
исходы
опыта
являются
равновозможными.
2. Когда исходы опыта бесконечны.
Чтобы устранит эти недостатки принимаются другое определение вероятности:
статистическое и геометрическое определение вероятности.
Определение. Относительной частотой события А называют отношение числа
опыта при котором появилось событие А к общему числу фактически
произвиденных опытов, т.е.
w( A) =
m
.
n
Определение (статистическое). Статистической вероятностью события А
называется относительная частота появления этого события в n произведенных
испытаниях, т.е.
12
m
~
P ( A) = w( A) = ,
n
~
где P ( A) - статистическая вероятность события А;
w(A) – относительная частота события А;
m – число испытаний, в которых появилось событие А;
n – общее число фактически произведенных испытаний.
Пример. Если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что
относительная частота равна 0.3, то это число можно принять за статистическую
~
вероятность т.е. P ( A) = w( A) = 0.3 .
Геометрическое определение вероятности находят вероятность попадания
точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости, и.т.д.).
Например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуры G
наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправы» в
отношении
попадания
туда
брошенной
случайной
точки.
Полагая,
что
вероятность события А – попадание брошенной точки на фигуру g –
пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения
относительно G , ни от формы g , найдем
P ( A) =
Sg
SG
,
где Sg и SG - соответственно площади областей g и G.
Фигуры g называют благоприятствующей событию А.
Область,
на
которую
распространяется
понятие
геометрической
вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной (плоскость,
часть плоскости) и трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру
(длину, площадь, объем) области через mes, приходим к следующему
определению.
Определение
(геометрическое). Геометрической
вероятностью события
А
называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А
, к мере всей области, т.е.
P( A) =
mesg
mesG
.
13
Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы
которых 3 и 7 сантиметров соответственно. Найти вероятность того, что точка,
брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное
построенными окружностями. Предпологается , что вероятность пападания точки
в плоскую фигуру пропорционально площади этой фигуры и не зависит от ее
расположения относительно большого круга.
Решение. Площадь большого круга (фигура G) SG= 72 р= 49р.
Площадь кольца ( фигуры g) Sg=р(72-32)=40 р.
Искомая вероятность P( A) =
§1.3.
mesg
mesG
=
40π 40
=
= 0.816 .
49π 49
Основные формулы комбинаторики.
Для
успешного
решения
задач
с
использованием
классического
определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы
комбинаторики.
Комбинаторика
изучает
количества
комбинаций,
подчиненных
определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично
какой природы, заданного конечного множества.
1. Комбинации элементов, выбираемых из различных групп.
Пусть имеется k личных групп, состоящих из каких-либо элементов. Первая
группа содержит n1 элементов т.е. I={а1,а2, …, аn1}, вторая группа содержит n2
элементов т.е. II={b1,b2, …, bn2}, и.т.д. последняя k-я группа содержит nk
элементов т.е. k={c1,c2, …, cnk}. Составляются всевозможные комбинации из k
элементов,
принадлежащих
различным
группам,
так
что
в
отдельную
комбинацию входит лишь по одному элементу из каждой группы. Они имеют вид
{a, b, …,c}. Комбинации считаются различными, если имеется хотя бы одна пара
различных между собой элементов. Число всех таких комбинаций есть
N=n1 Чn2 Ч… Чnk .
Пример. Номера машин состоит из четырех цифр и двумя буквами латинского
алфавита. Сколько различных номеров машин можно составит, если: 1) цифры и
буквы могут быт одинаковыми; 2) цифры и буквы различные.
14
Решение. 1) поскольку номера машины состоит из две буквы и четырех цифр, то
всего шесть групп. Из них две группы содержит по 26 элементов (всего латинских
букв 26) и четыре группы по 10 элементов (всего 10 арабских цифр). Поэтому N=
26Ч26Ч10Ч10Ч10Ч10=6760000 различных номеров машин можно составить.
2) Из две группы один содержит 26 элементов а вторая – 25, так как буквы не
должна повторятся. Из четырех групп один содержит 10 элементов, вторая – 9,
третья – 8, четвертая – 7 элементов, так как цифры не должна повторятся. Тогда
N= 26Ч25Ч10Ч9Ч8Ч7=3276000 номеров машин.
Пусть даны множества из n различных элементов. Из этого множества
могут быть образованы подмножества из m элементов (0≤m≤n). Например из 5
элементов a, b, c, d , e могут быть отобраны комбинации по 2 элемента – ab, dc,
be, de, и т.д. , по 3 элемента – abc, bcd, bdc, ecb, и т.д. .
1.
Размещение. Если комбинации из n элементов по m отличаются либо
составом элементов, либо порядком их расположения, то такие комбинации
называют размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов
по m равно
Аnm = n(n-1)(n-2)…(n-(m-1)) или Аnm =
n!
,
(n − m)!
где n! равно произведению n первых чисел натурального ряда, т.е.
n!=1· 2·…· n
и
принята
0!=1.
Пример. Расписание одного дня состоит из 4 уроков. Определить число вариантов
расписания при выборе из 8 дисциплин.
Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 4 дисциплин из 8,
отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их
следования, т.е. является размещением из 8 элементов по 4.
Число вариантов расписаний А84 =
2.
8!
=5·6·7·8=1680.
4!
Сочетание. Если комбинации из n элементов по m отличаются только
составом элементов,
то такие комбинации называют сочетаниями
элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m равно
Сnm =
n!
.
m!(n − m)!
15
из
n
Пример. В шахматном турнире участвуют 8 человек. Сколько партий должно
быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть
сыграна одна партия?
Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 8 и отличается от других
только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 8
элементов по 2. Их число по формуле равно С82 =
3.
Перестановка. Если комбинации из
порядком расположения этих элементов,
8!
8!
=
=28.
2!(8 − 2)! 2!6!
n элементов отличаются только
то такие комбинации называют
перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно.
Рn=n!.
Пример. Порядок выступления 5 участников конкурса определяется жребием.
Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников
конкурса, т.е. является перестановкой из 5 элементов. Их число равно
Р5=1·2·3·4·5=120.
Пусть Аi (i=1,2, …, n) – элементы конечного множества.
Сформулируем два важных правила, часто принимаемых при решении
комбинаторных задач.
Правило суммы. Если элемент А1 может быт выбран n1 способами, элемент А2 –
другими n2 способами, элемент А3 – отличными от первых двух n3 способами и
т.д., Аk –
nk способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из
элементов: или А1 , или А2 , …, или Аk может быть осуществлен n1+ n2+…+ nk
способами.
Пример. В ящике 16 шаров. Известно, что 4 из них – красного цвета, 8 – желтого,
и 4 – белого цвета. Сколько существует способов извлечения из ящика одного
шара красного или желтого?
Решение. Красный шар может быть извлечен n1=4 способами, желтый n2=8
способами. По правилу суммы существует n1+ n2=4+8=12 способов извлечения
одного шара красного или желтого цветов.
Правило произведения. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами,
после каждого такого выбора элемент А2 может быть выбран n2 способами и т.д.,
16
после каждого (k-1) выбора элемента Аk может быть выбран nk способами, то
выбор всех элементов: и А1 и А2 и … и Аk в указанном порядке может быть
осуществлен n1· n2·…· nk способами.
Пример. В организации 60 человек. Необходимо выбрать председателя профорга
и его заместителя. Сколько существует способов это сделать?
Решение. Председателем может быть выбран любой из 60 рабочих, его
заместителем любой из оставшихся 59 т.е. n1=60, n2=59. По правилу произведения
общее число способов выбора председателя профорга и его заместителя равно n1·
n2= 60·59=3540 способам.
Примеры вычисление вероятностей.
Пример 1. По условиям лотереи «спортлото 6 из 45» участник лотереи,
угадавший 4,5,6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов
из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: 1)
все 6 цифры; 2) 4 цифры.
Решение . 1) Пусть событие А – угадывание всех 6 видов спорта из 45. Общее
число всех случаев, т.е. всех вариантов заполнения карточек спортлото, есть
n= С456 , так как каждый вариант заполнения отличается только составом видов
спорта. Число случаев, благприятствующих событию А, есть m=1. Поэтому
Р(А)=
1
=0,0000001.
6
С45
2) Пусть событие В – угадывание 4 видов спорта из 6 выигравших из 45. Находим
какими можно выбрать 4 вида спорта из 6 выигравших, т.е. С64 , а оставшие 2-х
невыигравших видов из 45-9=39; таких кобинаций С392 . По правилу произведения
общее число случаев, благоприятствующих событию В, равно m= С64 · С392 . Итак
С64 ⋅ С392
Р(В)=
=0,00136.
6
С45
Пример 2. В партии 100 изделий, из котоых 4 – бракованные. Партия произвольно
раделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова
вероятность того, что все бракованные изделия достанутся: 1) одному
потребителю; 2) обоим потребителям поровну?
17
Решение . 1) Пусть событие А – все бракованные изделия достанутся одному
потребителю. Общее число способов, какими можно выбрать 50 изделий из 100,
50
равно n= С100
. Событию А благоприятствуют случаи, когда из 50 изделий,
отправленных одному потребителю, будет либо 46 стандартных из 96 (и все 4
бракованных) изделий, либо 50 стандартных из 96 (и 0 бракованных); их число
по правилу сложение m = С9646 · С44 + С9650 · С40 . Поэтому
Р(А)=
С9646 ⋅ С44 + С9650 ⋅ С40
=0,117.
50
С100
2) Пусть событие В – в каждой партии по 2 бракованных изделия. Теперь
событию В будут благоприятствовать случаи, когда из 50 изделий, отправленных
одному потребителю, будут 48 стандартных из 96 и 2 бракованных из 4, их число
m= С9648 · С42 . Поэтому
Р(В)=
С9648 ⋅ С42
=0,383.
50
С100
§1.4. Действие над событиями. Основные теоремы теории вероятностей1:
5. Теорема сложения для несовместных событий.
6. Зависимые, независимые события, условная вероятность.
7. Теоремы умножения для зависимых, независимых событий.
4. Формулы полной вероятности и Байеса.
Введем понятие суммы, произведения и разности событий.
Определение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из данных событий.
Если А и В – совместные события, то их сумма А+В обозначает наступление или
события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В –
несовместные события, то их сумма А+В означает наступление или события А,
или события В.
Определение.
Произведением
нескольких
событий
состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
1
Доказательствами теоремы можно ознакомится в учебнике [ 5 ].
18
называется
событие,
Если А,В,С – совместные события, то их произведение А·В·С означает
наступление и события А, и события В, и события С.
Определение. Разностью А-В двух событий А и В называется событие, которое
состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.
Геометрическое интерпретация этих определений такова:
Ω
B
Ω
B
A
A
А+В
А·В
Ω
B
A
А-В
Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий: Р(А+В+С+…+К)=Р(А)+Р(В)+Р(С)+…+Р(К).
Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна
единице:
Р(А)+Р(В)+Р(С)+…+Р(L)=1
Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А)+Р( А )=1.
Если обозначить через Р(А)=р и Р( А )=q, то p+q=1.
Определение. Вероятность события В, найденная в предположении, что событие А
наступило, называется условной вероятностью события В отностительно события
А. Обозначается РА(В).
Пример. В ящике 5 мячей. Из них 3 черных и 2 белых мячей. Поочередно из него
извлекается по одному мячу. Найти вероятность извлечения во второй раз белого
мяча.
19
Решение. Пусть событие А и В – извлечение белого мяча соответственно в 1-й и
2
5
2-й раз. Очевидно, что Р(А)= . Если вынутый мяч вновь возвращается в ящик, то
вероятность извлечения белого мяча во второй раз РА(В)=
2
. Если вынутый мяч в
5
ящик не возвращается, то вероятность извлечения белого мяча во второй раз Р(В)
зависит от того, какой мяч был извлечен в первый раз – белый (событие А) или
1
4
2
4
черный (событие А ) . В первом случае РА(В) = , во втором случае Р А (В) = .
Теорема 4. Вероятность произведения событий А и В равна произведению
вероятности одного из них на условную
вероятность другого относительно
взятого первым т.е. Р(АВ)=Р(А) ·РА(В) или Р(АВ)=Р(В) ·РВ(А).
Теорема 5. Вероятность произведения конечного числа событий равна
произведению их условных
вероятностей
относительно произведения
предшествующих каждому из них событий, т.е.
Р(АВС…КL)=Р(А) ·РА(В)·Р AВ(C) ·…·P ABC…K(L).
Определение . События А и В называются независимыми, если вероятность
одного из них не изменяется при наступлении другого. В противном случае
события А и В называются зависимыми.
Определение . События А,В,С,…,К называются попарно
независимыми, если
независимы между собой любые два из них.
События А,В,С,…,К называются
независимыми в совокупности, если
вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий
(одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе).
Теорема 6. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна
произведению их вероятностей, т.е. Р(АВ)=Р(А) ·Р(В) .
Теорема 7. Вероятность произведения конечного числа независимых в
совокупности событий равна произведению их вероятностей.
Р(АВС…КL)=Р(А) ·Р(В)·Р (C) ·…·P (L).
Пример. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора – автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый
20
сигнализатор, равна 0,85; второй – 0,95. Найти вероятность того, что при аварии
поступит сигнал только от одного сигнализатора.
Решение. Обозначим через р1=0,85 и р2=0,95 вероятности того, что сработает
первый и второй сигнализатор, а вероятность не сработает первый и второй
сигнализатор соответственно через q1=0,15 и q2=0,05.
Пусть событие А – при аварии сигнал поступил от первого сигнализатора, а
второго нет; В - при аварии сигнал поступил от второго сигнализатора, а первого
нет; С - при аварии сигнал поступил только от одного сигнализатора.
События С наступит, если наступит или А или В, а А и В несовместные события.
По теоремы сложению и умножению вероятностей
Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=p1q2+p2q1=0,85·0,05+0,95·0,15=0,185.
Теорема 8. Если событие А может произойти только при условии появления
одного из событий (гипотез) В1, В2,...,
Вn, образующих полную группу, то
вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих
событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события А:
Р(А)= Р(В1) РВ ( А) + Р( В2 ) РВ ( А) + ... + Р( Вn ) PB ( A) .
1
2
(1.4.1.)
n
Это формула называется формулой полной вероятности.
Следствием этой теоремы является формула Байеса.
Она применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из
гипотез В1, В2,...,
Вn, образующих полную группу событий, произошло и
необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей
этих гипотез Р(В1), Р(В2), Р(В3),…, Р(Вn), известных до испытания, т.е. надо
найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные
вероятности гипотез РА(В1), РА(В2), РА(В3),…, РА(Вn):
РА(Вi) =
где i=1,2,...,n
Р ( Bi ) PBi ( A)
Р ( Bi ) PBi ( A) + Р ( B2 ) PB2 ( A) + ... + Р ( Bn ) PBn ( A)
,
(1.4.2)
эта формула называется формулой Байеса.
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по
мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать
выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским,
дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки
21
неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом
анализе и т.п.
Пример. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый
контролер проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что
первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, авторой – 0,02.
Взятое
наудачу
изделие,
маркированное
как
стандартное,
оказалось
нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым
контролером.
Решение. Обозначим события:
А - наудачу взятое изделие, маркированное как стандартное, оказалось
нестандартным;
В1 – изделия проверялось первым контролером;
В2 – изделия проверялось вторым контролером.
По условию Р(В1)=0,55 ; Р В1 (A)=0,01;
Р(В2)=0,45; РВ2 (A)=0,02.
По формуле полной вероятности:
Р(А)=0,55 0,01+0,45 0,02=0,0145.
По формуле Байеса:
РА(В2)=
0,009
= 0,62 .
0,0145
22
Глава 2. Повторные независимые испытания.
§ 2.1. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события.
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно
представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном
комплексе условий, в которых представляет интерес вероятности числа m
наступлений некоторого события А в n испытаниях. Например, необходимо
определить вероятность определенного числа появления «герба» при нескольких
подбрасываниях монеты и т.д.
Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется
в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми
относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся
при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в
каждом испытании одна и та же.
Теорема (Бернулли). Если вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна, то вероятность Рn(m) того, что событие А наступит m раз в
n независимых испытаниях, равна
Рn(m)= Сnm pmqn-m ,
где q=1-p.
Пример. Пусть вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41го размера, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести покупателей двум
необходима обувь 41-го размера.
Решение. n=6, m=2, p=0,25, q=0,75.
Р6(2)= С62 0,252 0,754=0,2966.
Определение. Число m наступлений события А в n независимых испытаниях
называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления события это
число раз наибольшая.
Число m находят из неравенства np-q ≤ m ≤ np+p или np-q ≤ m ≤ (n+1)p
Если k=(n+1)p не целое число, то существует одно наивероятнейшее число
наступлений события А в n независимых испытаниях. Им является целая часть
числа k т.е m=k.
23
Если k=(n+1)p
целое число, то существуют два
наивероятнейших числа
наступлений события А. Ими являются число m1=k и предшествующее ему
целое число m2=k-1.
Пример1. Найти наивероятнейшее число нестандартных среди 200 деталей, если
вероятность для каждой быть стандартной равна 0,95.
Решение. n=200, p=0,05, q=0,95; k=(200+1)0,05=10,05 значит m=10.
Пример 2. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера
равна 0,4. Найти наивероятнейшее число покупателей потребующих обувь этого
размера среди 54 покупателей.
Решение. n=54, p=0,4, q=0,6; k=(54+1)0,4=22 значит m1=22 и m2=21 .
§ 2.2. Формула Пуассона (закон редких событий).
Локальная теорема
Муавра – Лапласа.
Теорема (Пуассона). Если вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний n достаточно
велико, но произведение np=λ остается небольшим, то вероятность Рn(m) того,
что в этих испытаниях событие А наступит m раз,
Рn(m) ≈
λm
m!
е-λ,
где е=2,71…
Пример. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004.
Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется пять нестандартных.
Решение. n=1000, m=5, p=0,004, λ=1000 ⋅0,004=4.
Р1000(5) ≈
45 -4
е =0,1563.
5!
Теорема (Муавра – Лапласа). Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний
достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях
событие А наступит m раз, приближенно равна:
Рn(m) ≈
f ( x)
, q=1-p
npq
(2.2.1)
24
х2
1 −2
где функция f(x) определяется равенством: f(x)=
A
(2.2.2)
2π
a x=
m − np
.
npq
(2.2.3)
Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы (2.2.1), составлена
таблица (приложение 2) значений функции (2.2.2). Пользуясь этой таблицей,
необходимо иметь в виду свойства функции (2.2.2), а именно:
1. Функция f(x) является четной, т.е. f(-x)=f(x).
2. Функция f(x) – монотонно убывающая при положительных значениях х.
Предел f(x) при x→∞ равен нулю.
3. Если х>5, то можно считать, что f(x) ≈0. Функция f(x) уже при х=5 очень
мала: f(5)= 0, 0000015 . Поэтому таблица значений функции f(x) не
продолжена для значений x>5.
Пример. Всхожесть семян данного растения составляет 85%. Найти вероятность
того, что из 500 посеянных семян взойдет 420.
Решение. n=500, m=420, p=0,85, q=0,15.
Находим значение х по формуле (2.2.3)
х=
420 − 500 ⋅ 0,85
≈-0,63.
500 ⋅ 0,85 ⋅ 0,15
По таблице находим значение функции f(-0,63)=0,3271.
Поэтому окончательно имеем:
Р500(420) ≈
0,3271
≈0,04.
500 ⋅ 0,85 ⋅ 0,15
§ 2.3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Теорема. Если вероятность
р наступления события А в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то
вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А состоится число
раз, заключенное в границах от а до b включительно (a<b), равна:
1
2
Рn(a≤m≤b)= [Φ( x2 ) − Φ( x1 )]
(2.3.1)
где функция Ф(х) определяется равенством
25
x
t2
−
2
Ф(х)=
A 2 dt ,
∫
2π 0
а х1=
(2.3.2)
a − np
b − np
; х2=
.
npq
npq
(2.3.3)
Функция (2.3.2) табулирована (приложение 1). Чтобы успешно пользоваться этой
таблицей, необходимо знать свойства функции Ф(х). Рассмотрим их.
1. Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х).
2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая, т.е. x1<x2, Ф(х1)<Ф(х2).
3. Предел функции Ф(х) при х→∞ равен единице.
4. Для всех значений х>5 можно считать, что Ф(х) ≈1. В самом деле,
Ф(5)=0,99999994≈1, а тем более Ф(х) ≈1, если x>5, так как при увеличении х
функция Ф(х) возрастает, но не может превосходить единицы. Поэтому
таблица не продолжена для значений х>5.
В частном случае, когда границы допустимых значений числа наступлений
события А симметричны относительно произведения np (одна меньше, а другая
больше его на одно и то же число), формула (2.3.1) упрощается. Этот случай
приводится к следующему предложению:
Следствие 1. Если вероятность
р наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний
достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях
абсолютная величина отклонения числа наступлений события А от произведения
np не превзойдет положительного числа ∆ , приближенно равна:
⎛
∆ ⎞⎟
.
⎟
⎝ npq ⎠
Рn(|m-np|≤∆)≈Ф ⎜⎜
Следствие 2.
(2.3.4)
Если вероятность
р наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний
достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях
абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности его р не
превзойдет данного положительного числа ε , приближенно равна:
Рn( |
⎛
m
- p| ≤ε )≈Ф ⎜⎜ ε
n
⎝
n ⎞
⎟.
pq ⎟⎠
(2.3.5)
26
С помощью формулы (2.3.5) можно также находить: а) число испытаний,
необходимых для того, чтобы с заданной вероятностью Р отклонение частоты
события А от постоянной вероятности р наступления его в каждом испытании
по абсолютной величине не превзошла данное положительное число ε ; в)
границы, в которых с заданной вероятностью Р находится частоты события, если
известно число испытаний n
и постоянная вероятность р наступления его в
каждом испытании.
Пример 1. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90%
годных. Найти вероятность того, что среди 1000 клемм будет от 870 до 920
годных.
Решение. n=1000, a=870, b= 920, p=0,9, q=0,1.
Применяя
х2=
равенства
(2.3.3)
находим
х1
и
х2:
х1=
870 − 1000 ⋅ 0,9
=-3,16;
1000 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1
920 − 1000 ⋅ 0,9
=2,1.
1000 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1
По таблице находим значения функции Ф(х): Ф(-3,16)= - 0,9984,
Ф(2,1)=0,9643.
А искомая вероятность в соответствии с формулой (2.3.1):
1
2
Р1000(455≤m≤545)= [0,9643 + 0,9984] =0,98135.
Пример 2 . Пусть вероятность того, что покупателю необходима женская обувь
36-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 2000 покупателей
таких будет от 570 до 630 включительно.
Решение .
n=2000, a=570,
Следовательно,
границы
b= 630,
числа
p=0,3,
покупателей,
произведения np: 630-600=600-570=30.
q=0,7,
одинакова
np=2000·0,3=600.
отличается
от
Поэтому для нахождения вероятности
искомого события применяем формулы (2.3.4) при ∆=30.
Р2000(|m-600|≤30)=Ф (
30
) =Ф(1,464)=0,8568.
2000 ⋅ 0,3 ⋅ 0,7
Пример 3. Вероятность того, что каждому из 800 покупателей необходима
женская обувь 36-го размера, равна 0,3. Найти границы, в которых с
27
вероятностью 0,9625 заключена доля покупателей нуждающихся в обуви 36-го
размера.
Решения. Подставляя значения n=800, p=0,3, q=0,7, и Р=0,9625 в формулы
(2.3.5) получим:
⎛
Ф ⎜⎜ ε
⎝
800 ⎞
⎟ =0,9625.
0,3 ⋅ 0,7 ⎟⎠
Но по таблице значений функции Ф(х) находим, что Ф(х)=0,9625 при х=2,08.
Следовательно, получаем уравнение: ε
Подставляя неравенству получим: |
800
=2,08, откуда ε=0,034.
0,3 ⋅ 0.7
m
− 0,3 |≤0,034 или |m-240|≤27,2 или
800
240-27,2≤m≤240+27,2 или 212,8≤m≤267,2 т.е. доля покупателей нуждающихся в
обуви 36-го размера заключена в границах от 212 до 267.
Пример 4. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их,
равно 0,75. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с
вероятностью 0,9912, что доля проданных среди них отклонится от 0,8 не более чем на
0,02 (по абсолютной величине).
Решения. Подставляя значения
(2.3.5) получим:
⎛
Ф ⎜⎜ 0,02
⎝
p=0,8, q=0,2,
Р=0,9912 , ε=0,02 в формулы
n ⎞
⎟ =0,9912.
0,8 ⋅ 0,2 ⎟⎠
Но по таблице значений функции Ф(х) находим, что Ф(х)=0,9912 при х=2,62.
Следовательно, получаем уравнение: 0,02
должно быть 2745 ценных бумаг.
28
n
=2,62, откуда
0,8 ⋅ 0,2
n=2745,76 т.е.
Глава III. Случайные величины
§3.1. Случайные величины (СВ): определение, виды. Дискретная случайная
величина и ее закон распределения. Математические операции над
случайными величинами.
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие
случайной величины.
При
изучении
предыдущих
параграфов
мы
часто
встречались
со
случайными величинами. Так, при бросании игральной кости число выпавших
очков является случайной величиной, так как какое из очков от 1 до 6 выпадут
заранее нам не известно, выпавшее число очков зависеть от множества случайных
причин, которых невозможно учесть заранее. Здесь число очков 1,2,3,4,5,6
рассматривается как единственно возможные значения случайной величины Они
характеризуют все возможные результаты опыта с количественной стороны.
Определение 1. Случайной называют величину, которая в результате испытания
примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее
от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Пример 1.Число произведенных выстрелов до первого попадания или количество
бракованных изделий в данной партии.
Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть
случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки
прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры
и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой
величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).
Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их
возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z.
Случайную величину подразделяют на два вида: 1) дискретная (прерывная);
2) непрерывное.
Определение 2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные
значения с определенными вероятностями, называется дискретной случайной
величиной. Число возможных значений дискретной случайной величины может
быть конечным или бесконечным.
29
Определение 3. Непрерывной называется случайная величина, которая может
принимать все значения из некоторого промежутка.
Так в примере 1 имеем дискретные случайные величины; в примере 2 непрерывные случайные величины.
Дискретные случайные величины (ДСВ).
Дискретная
случайная
величина
Х
может
быть
задана
законом
распределения.
Определение.
Законом
распределения
дискретной
случайной
величины
называется соответствие между отдельными возможными значенями и их
вероятностями.
Закон распределения может быть задан в виде таблицы, графически или
формулой.
Простейшей формой задания закона распределения ДСВ Х
является
таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения
случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.
Х
х1
х2
...
хn
Р
p1
p2
...
pn
События Х= х1 , Х= х2 , ..., Х= хn , состоящие в том, что в результате
испытания случайная величина Х примет соответственно значения х1 , х2 , ..., хn ,
являются несовместными и единственно возможными т.е образуют полную
группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице. Таким образом,
для любой ДСВ
n
n
i =1
i =1
∑ P( X = xi ) = ∑ pi = 1 .
Пример 3. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается 10 вещей
стоимостью по 5 долларов, 5 вещей стоимостью по 10 долларов и одна
стоимостью в 30 долларов. Составить закон распределения суммы чистого
выигрыша для студента, который приобрел один билет за 3 доллара, если всего
продано 50 билетов.
Решение. Обозначим случайную величину Х – сумму чистого выигрыша. Х может
принимать следующие значение: -3, 2, 7 и 27 долларов (выигрыш уменьшается на
30
3 доллара – на стоимость билета). Первому результату
благоприятствует 34
случая из 50, второму – 10, третьему – 5, четвертому - 1.
Поэтому
вероятности
их
равны:
Р(Х=-3)=34/50;
Р(Х=2)=10/50;
Р(Х=7)=5/50; Р(Х=27)=1/50.
Таким образом, закон распределения имеет вид:
Х
Р
-3
2
7
27
34/50
10/50
5/50
1/50
n
∑ P( X = x ) =34/50+10/50+5/50+1/50=1
i =1
i
Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон
распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения
приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются
зависимыми.
Если в примере 3 приобретено два лотерейных билета, то закон
распределение сумма выигрыша для каждого билета является зависимой, так как
закон распределение по второму билету зависит от первого.
Математические операции над случайными величинами.
Пусть даны законы распределения двух случайных величин Х и У :
Х
х1
х2
...
хn
или
Х
хi
где
Р
p1
p2
...
pn
кратко
Р
pi
i=1,2,…,n
У
у1
у2
...
уm
или
У
yj
где
Р
p1
p2
...
pm кратко
Р
pj
j=1,2,…,m
1) Произведением случайной величины Х на постоянную величину k
называется случайная величина kX, которая принимает значения kxi c теми
же вероятностями pi.
2) m-й степенью случайной величины Х, называется случайная величина Хm,
которая принимает значения xim с теми же вероятностями pi.
3) Суммой и разностью случайных величин Х и У называется случайная
величина Х±У, которая принимает все возможные значения вида хi±yj с
31
вероятностями pij того, что случайная величина Х примет значение хi, а У –
значение yj. pij =Р[(Х= хi)(У= yj)].
Если случайные величины Х и У независимы, т.е. независимы любые
события Х= хi, У= yj, то по теореме умножения вероятностей для
независимых событий pij =Р(Х= хi) •Р(У= yj)= pi• pj.
4) Произведением случайных величин Х и У называется случайная величина
Х•У, которая принимает все возможные значения вида хi•yj с вероятностями
pij того, что случайная величина Х примет значение хi, а У – значение yj.
pij =Р[(Х= хi)(У= yj)] или pij =Р(Х= хi) •Р(У= yj)= pi• pj.
Пример. Даны законы распределение случайных величин Х и У:
Х
-1
0
1
Р
0,2
0,5
0,3
и
У
-2
3
Р
0,6
0,4
Найти: 1) (-2)Х ; 2) Х2 ; 3) Х+У; 4) Х•У.
Решение.
1)
(-2)Х 2
0
-2
(-2)Х
-2
0
2
Р
0,2
0,5
0,3
Р
0,3
0,5
0,2
Х2
1
0
1
Х2
0
1
Р
0,2
0,5
0,3
Р
0,5
0,5
2)
3)
Х+У
-1-2
-1+3
Рij
0,2•0,6
Х+У
0-2
0+3
1-2
1+3
0,2•0,4 0,5•0,6
0,5•0,4
0,3•0,6
0,3•0,4
-3
2
-2
3
-1
4
Рij
0,12
0,08
0,3
0,2
0,18
0,12
Х+У
-3
-2
-1
2
3
4
Рij
0,12
0,3
0,18
0,08
0,2
0,12
Х•У
(-1)•(-2)
(-1)•3
0•(-2)
0•3
1•(-2)
1•3
4)
32
Рij
0,2•0,6
0,2•0,4 0,5•0,6
0,5•0,4
0,3•0,6
Х•У
2
-3
0
0
-2
Рij
0,12
0,08
0,3
0,2
0,18 0,12
Х•У
-3
-2
0
2
3
Рij
0,08
0,18
0,5
0,12
0,12
0,3•0,4
3
Можно получить закон распределения суммы (произведения) любого конечного
числа случайных величин. Для этого сначала находят сумму (произведение) двух
случайных величин, рассматривая ее как одну новую случайную величину, затем
складывает (умножает) ее с третьей и т.д.
§3.2.
Основные
числовые
характеристики
дискретной
случайной
величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины
дает
исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности
любых событий, связанных со случайной величиной. Однако часто используются
числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторые
осредненное
описание случайной величины, получаемое на основе закона ее
распределения.
1) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ.
Пусть случайная величина Х имеет закон распределения
Х
х1
х2
...
хn
Р
p1
p2
...
pn
Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины
Х называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:
n
М(Х)= x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = ∑ xk pk .
k =1
Математическое ожидание называется также средним значением случайной
величины Х .
33
Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание.
Например, если известно, что математическое ожидание число выбиваемых очков
у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает
больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго.
Свойства математического ожидания.
10.
Математическое
ожидание
постоянной
величины
равно
самой
постоянной, т.е.
М(С)=С.
20. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания, т.е.
М(СХ)=СМ(Х).
30. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин
равно сумме их математических ожиданий, т.е.
М(Х+Y+…+Z)=M(X)+M(Y)+…+M(Z)
40.
Математическое
ожидание
произведения
нескольких
взаимно
независимых случайных величин равно произведению их математических
ожиданий, т.е.
М(ХЧYЧ…ЧZ)=M(X)ЧM(Y) Ч…ЧM(Z)
Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и её
математическим ожиданиям.
Теорема 2. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е.
M [ X − M ( X )] = 0 .
2) ДИСПЕРСИЯ.
Дисперсия оценивает как рассейен возможные значение случайной
величины вокруг математического ожидания.
Определение.
Дисперсией
дискретной
случайной
величины
называют
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её
математического ожидания, т.е.
D(X)=M[X-M(X)]2 (*)
или D(X)=M[X-M(X)]2 =(x1-M(X))2 •p1+(x2-M(X))2 •p2+…+(xn-M(X))2 •pn .
34
При вычислении дисперсии удобно воспользоваться со следующей
формулой, которая непосредственно выводится из формулы (*).
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата
случайной величины
Х
и квадратом её математического ожидания, т.е.
D(X)=М(Х2) - [M(X)]2 .
(**)
Свойства дисперсии
10. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е.
D(C ) = 0 .
20. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его
в квадрат, т.е.
D(CX ) = C 2 D( X ) .
30. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин
равна сумме дисперсий этих величин, т.е.
D(Х+Y+…+Z)=D(X)+D(Y)+…+D(Z)
Следствие. Дисперсия суммы постоянной и случайной величины равна
дисперсии случайной величины:
D(С + Х ) = D( X ) .
40. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме
их дисперсий, т.е.
D( X − Y ) = D( X ) + D(Y ) .
3) СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ
ОТКЛОНЕНИЕ.
Среднее квадратическое отклонение также определяет как рассейен возможные
значения случайной величины вокруг математического ожидания.
Определение. Средним квадратическим отклонением
случайной величины Х
называют квадратный корень из дисперсии, т.е.
σ ( X ) = D( X ) .
Пример. В парке отдыха организована беспроигрышная лотерея. Имеется 100
выигрышей, из них 40 – по 5 $, 30 – по 10 $ , 20 – по 15$ , 10 – по 20$. Каков
средний размер выигрыша для посетителя парка, купившего один билет?
Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение выигрыша.
35
Решение.
Составим закон распределения
случайной величины Х - сумму
выигрыша.
Х
5
10
15
20
Р
0,4
0,3
0,2
0,1
Средний размер выигрыша т.е. М(Х) =5•0,4+10•0,3+15•0,2+20•0,1=10$.
Находим дисперсию D( X ) = M (Х 2 ) − [M ( X )]2 и σ ( X ) = D( X ) .
М(Х2)= 52 •0,4+102 •0,3+152 •0,2+202 •0,1= 10+30+45+40=125,
D(X)=125-102 =25.
σ ( X ) = D( X ) = 25 =5$.
§ 3.3. Законы распределение дискретной случайной величины
1. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых
событие A может появиться либо не появиться. Вероятность наступления
события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно вероятность не
появления q = 1 − p ). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X
число появлений события A в этих испытаниях.
Находим закон распределения величины X . Для её решения требуется
определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие A в n
испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо
n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x1 = 0, x 2 = 1, ..., x n +1 = n .
Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно
воспользоваться формулой Бернулли:
Pn (k ) = C nk p k q n −k
где k = 0,1,2,..., n .
Определение.
Биномиальным
называют
распределение
определяемое формулой Бернулли.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы:
X 0
P qn
1 ... k
...
n
npq n −1 ... Cnk p k q n − k ... p n
36
вероятностей,
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по
биномиальному закону,
М(Х)=np,
а ее дисперсия D(X)=npq.
Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения
случайной величины Х - числа выпадений «герба». Найти математическое
ожидание и дисперсии.
1
2
Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p = ,
1
2
1
2
следовательно, вероятность не появления «герба» q = 1 − p = 1 − = .
При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1
раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы:
х1=0, х2=1, х3=2. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле
2
1
1
Бернулли: P2 (0) = C q = ⎛⎜ ⎞⎟ = = 0,25 ,
4
⎝2⎠
0
2
2
1 1 1
P2 (1) = C 21 p ⋅ q = 2 ⋅ ⋅ = = 0,5 ,
2 2 2
2
1
⎛1⎞
P2 (2) = C p = ⎜ ⎟ = = 0,25 .
4
⎝2⎠
2
2
2
Напишем искомый закон распределения:
X 0
1
P 0,25 0,5
2
0,25
Проверка: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1 .
1
2
1
2
1
2
1
2
М(Х)=2Ч =1; D(X)=2Ч Ч = .
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Рассмотрим повторные независимые испытание, до первого появления
события А, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же
вероятностью р.
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое
распределение, если она принимает значения 1,2, …, m, …с вероятностями
P(X=m)=pЧqm-1,
37
где 0<p<1, q=1-p, m=1,2,3,…
Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:
Х
1
2
3
…
m
…
Р
р
pq
pq2
…
pqm-1
…
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей
геометрическое распределение с параметром р,
М(Х)=
а ее дисперсия
D(X)=
1
,
р
q
.
р2
Пример. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать
не более четырех выстрелов. Составит закон распределения числа выстрелов,
если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Случайное величина Х – числа выстрелов. По условии р=0,7 и q=0,3.
Х
1
2
3
4
Р
p1
p2
p3
p4
Р1=Р(Х=1)=0,7Ч0,30=0,7.
Р2=Р(Х=2)=0,7Ч0,3=0,21.
Р3=Р(Х=3)=0,7Ч0,32=0,063.
Р4=Р(Х=4)=0,7Ч0,33+0,34=0,33(0,7+0,3)= 0,33=0,027. Так как в последнем выстреле
либо попадает либо не попадает.
Итак закон распределения:
Х
1
2
3
4
Р
0,7
0,21
0,063
0,027
М(Х)=1Ч0,7+2Ч0,21+3Ч0,063+4Ч0,027 =1,417;
М(X2)= 12Ч0,7+22Ч0,21+32Ч0,063+42Ч0,027 =2,539.
D(X)=2,539-(1,417)2=0,531
3.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть имеется партия из N изделий из них M стандартное изделие. Из этой
партии изделий случайным образом отобрано n изделие. ДСВ Х – числа
стандартных изделий среди отобранных.
38
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое
распределение, если она принимает значения 0,1,2,3,…, min(n,M) с вероятностями
Р(Х=m)=
СМm C Nn −−mM
,
C Nn
где m=0,1,2,3,…, min(n,M), m≤N, n≤N; n,M,N – натуральные числа.
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей
гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N, есть
М(Х)=n
а ее дисперсия D(X)= n
M
,
N
M
M
n
(1- )(1- ).
N −1
N
N
Пример. Из семи гвоздик три белые. Составит закон распределения выражающего
число белых гвоздей среди пяти одновременно взятых. Найти математическое
ожидание и дисперсии.
Решение. N=7, M=3, n=5. Случайная величина Х – числа белых гвоздей среди
пяти одновременно взятых.
Х
1
2
3
Р
p1
p2
p3
Р1= Р(Х=1)=
С31C44
3
=
5
C7
21
Р2= Р(Х=2)=
С32C43 12
=
C75
21
Р3= Р(Х=3)=
С33C42
6
=
5
C7
21
Х
1
2
3
Р
3
21
12
21
6
21
3
7
М(Х)=5 =
3
6
3
7
15
=2,142.
7
5
7
D(X)= 5 (1- )(1- )=0,408.
39
§3.4. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Случайную величину можно задать в виде так называемой функцией
распределения. Этот способ задания случайных величин носит более общий
характер. Он приведет к рассмотрению непрерывных случайных величин.
Рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет
какое-нибудь значение, меньшее произвольного числа х, т.е. Х<х. Оно имеет
определенную вероятность. Обозначим ее
F(x)=P(X<x). (3.4.1)
При изменении х будут, меняться вероятности P(X<x)=F(x). Поэтому можно
рассматривать как функцию переменной величины х. Случайная величина будет
полностью охарактеризована, если для каждого х Є (-∞ <x< ∞), будет известно
значение функции (3.4.1).
Определение.
Функцией распределения случайной величины Х называется
функция F(x) , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная
величина Х примет какое-нибудь значение, меньшее х.
Свойство функции распределении.
1. Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь
значение, удовлетворяющее неравенством х1 ≤Х≤х2 , равна приращению ее
функции распределения F(x) на этом интервале т.е.
P(x1≤Х<х2 )=F(x2)-F(x1).
2. Функция
распределения
любой
случайной
величины
является
не
убывающей функцией, а изменяется от 0 до 1 при изменении х от -∞ до +∞
т.е. 0≤F(x)≤1.
Пример. Найти функцию распределения числа попаданий в цель, если стрелком
произведено пять выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна
0,6. Пользуясь
этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет
поражена не мене одного, но меньше трех раз.
Решение. СВ Х – число попаданий.
Х
0
1
2
3
4
5
Р
Р0
Р1
Р2
Р3
Р4
Р5
Р0= р5(0)=С 50 ·0,60·0,45=0,01024.
40
Р1= р5(1)=С 15 ·0,6·0,44=0,0768.
Р2= р5(2)=С 52 ·0,62·0,43=0,2304.
Р3= р5(3)=С 35 ·0,63·0,42=0,3456.
Р4= р5(4)=С 54 ·0,64·0,4=0,2592.
Р5= р5(5)=С 55 ·0,65·0,40=0,07776.
Х
0
1
2
3
4
5
Р
0,01024
0,0768
0,2304
0,3456
0,2592 0,07776
Составим функцию распределению:
1) х=0, Х<x
F(x)=0,31744 , при 2<х≤3;
F(x)=0 , при х≤0;
5) х=4, Х<x
2) х=1, Х<x
F(x)=0,66304 , при 3<х≤4;
F(x)=0,01024 , при 0<х≤1;
6) х=5, Х<x
3) х=2, Х<x
F(x)=0,92224 , при 4<х≤5;
F(x)=0,08704 , при 1<х≤2;
7) х>5, Х<x
4) х=3, Х<x
F(x)=1 , при x>5.
⎧0, при х ≤ 0,
⎪0,01024, при 0 < x ≤ 1,
⎪
⎪0,08704, при 1 < x ≤ 2,
⎪
или F ( x) = ⎨0,31744, при 2 < x ≤ 3,
⎪0,66304, при 3 < x ≤ 4,
⎪
⎪0,92224, при 4 < x ≤ 5,
⎪1, при x > 5.
⎩
Находим вероятность того, что цель будет поражена не мене одного, но меньше
трех раз: P(1≤X<3)=F(3)-F(1)=0,3072.
§3.5. Непрерывная случайная величина (НСВ). Плотность распределения
вероятности. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Определение. Случайная
величина называется непрерывной, если функция
распределения ее всюду непрерывна, а производная функция распределения
41
непрерывна во всех точках, за исключением, быть может, конечного числа точек
на любом конечном интервале.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали,
которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета
снаряда и др.
Определение. Плотностью вероятности ц(х) непрерывной случайной величины Х
называется производная ее функции распределения F(x), т.е.
ц(х)= F ′( x) .
Плотность вероятности ц(х), как и функция распределения F(x), является одной
из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она
существует только для непрерывных случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или
дифференциальным законом распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. ц(х)≥0.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a,b]
равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от
b
а до b, т.е. P(a≤X≤b)= ∫a ϕ ( x)dx .
3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть
выражена через плотность вероятности по формуле: F(x)=
∫
х
−∞
ϕ ( x)dx .
4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности
∫
непрерывной случайной величины равен единице:
+∞
−∞
ϕ ( x)dx =1.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НСВ:МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ.
Определение.
Математическим
ожиданием
М(Х)
непрерывной
случайной
величины Х, плотностью вероятности которой является функция ц(х) , называется
величина интеграла
М(Х)=
∫
+∞
−∞
хϕ ( x)dx , если он сходится абсолютно, а
дисперсией называется величина интеграла D(Х)=
сходится.
42
∫
+∞
−∞
( х − М ( Х )) 2 ϕ ( x)dx , если он
Все свойства математического ожидания и дисперсии рассмотренные для
дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных величин.
В частности, свойства дисперсии имеют вид:
D(X)=M(X2)-(M(X))2 или D(Х)=
∫
+∞
−∞
2
х 2ϕ ( x)dx -(M(X)) .
⎧0 при х ≤ 1,
ц(х) = ⎪⎨ А
⎪⎩ х 3 при х > 1.
Пример. Функция ц(х) задана в виде:
Найти: 1) значение постоянной А, при которой функция будет плотностью
вероятности некоторой случайной величины Х; 2) выражение функции
распределения F(x); 3) вычислить вероятность того, что случайная величина Х
примет значение на отрезке [2;4].
Решение. 1) Для того чтобы ц(х)
была плотностью вероятности некоторой
случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. ц(х) ≥ 0 или
А
≥ 0,
х3
откуда А≥ 0 и она должна удовлетворять свойство 4. Поэтому в соответствии с
формулой
∫
+∞
−∞
ϕ ( x)dx =1.
Следовательно,
+∞
1
+∞
−∞
−∞
1
∫
ϕ ( x)dx = ∫ 0dx + ∫
b А
А
А
dx =0+ lim ∫ 3 dx =
3
1 х
х
2
b → +∞
А
=1,
2
Откуда А=2.
2) по 3- ему свойству найдем F(x).
Если х≤1, то F(x)=
∫
х
−∞
х
ϕ ( x)dx = ∫ 0dx =0.
−∞
х
Если x>1 , то F(x)=0+ ∫1
2
1
⎛ 1 ⎞
dx = ⎜ − 2 |1х ⎟ =1- 2 .
3
х
х
⎝ x ⎠
⎧0 при х ≤ 1,
Таким образом, F(x)= ⎪⎨ 1
⎪⎩1 − х 2 при х > 1.
4
3) по 2-му свойству P(2≤X≤4)= ∫2
1
3
2
dx =- 2 |42 = .
3
х
х
16
43
⎛
1
lim ⎜⎝ − x
b → +∞
⎞ А
| ⎟= ;
⎠ 2
b
2 1
§3.6.
Законы
распределение
НСВ:
равномерное,
показательное
и
нормальное распределение и их числовые характеристики.
1.
РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон
распределения на отрезке [a, b] , если ее плотность вероятности ц(х)
постоянна
на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
⎧ 1
при a ≤ x ≤ b,
ц(х) = ⎪⎨ b − a
⎪⎩0
при x < a, x > b.
Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
равномерному закону, есть
⎧о при х ≤ a,
⎪
x−a
F(x)= ⎪⎨
при a < x ≤ b,
2
(
−
)
b
a
⎪
⎪⎩1 при
x > b.
ее математическое ожидания М(Х)=
a+b
,
2
а дисперсия D(X)=
(b − a) 2
.
12
Пример. Маршрутные автобусы идут регулярно с интервалом 10 минут.
Пассажир выходит на остановку в случайный момент времени. Какова
вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше 6 минут. Найти
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной
величины Х – время ожидания автобуса.
Решение. Случайная величина Х – время ожидания автобуса на временном
отрезке [0, 10] имеет равномерный закон распределения ц(х)=
1
.
10
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более 6 минут, равна
1
dx = 6 =0,6.
10
10
6
P(X≤6)= ∫0
По формулам М(Х)=
2.
0 + 10
(10 − 0) 2
=5 мин, D(X)=
=8,3 , у (Х)= 8,3 =2,88 мин.
2
12
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный закон
распределения с параметром л, если ее плотность вероятности имеет вид:
44
⎧λe − λx
ц(х) = ⎨
⎩0
при
при
x ≥ 0,
x < 0.
Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
показательному закону, есть
⎧о при
F(x)= ⎨
⎩1 − e
− λx
х < 0,
при
x ≥ 0.
1
1
λ
λ2
ее математическое ожидание М(Х)= , а дисперсия D(X)=
.
Пример. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина
Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что
на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта
телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию
распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
1
Решение. По условию математическое ожидание М(Х)= =15, откуда параметр
λ
л=1/15 и по формулам плотность вероятности и функция распределения имеют
1
вид: ц(х) =
1
− х
1 − 15 х
е
; F(x)= 1- е 15 (х≥0).
15
Искомую вероятность Р(Х≥20) находим используя функцию распределения:
Р(Х≥20)=1-Р(X<20)=1-F(20)=1-(1- е
−
20
15
)=0,264.
Осталось найти среднее квадратическое отклонение у (Х)=М(Х)=15 дней.
3.
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.
Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что
он является предельным законом, к которому приближаются другие законы
распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон
распределения с параметрами а и у2, если ее плотность вероятности имеет вид:
−
1
е
ц(х) =
σ 2π
( х −а)2
2σ 2
.
Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:
45
1
х−а⎞
⎟,
2 ⎝ σ ⎠
F(x)= + Ф⎛⎜
1
2
ее математическое ожидание равно параметру а этого закона, т.е. М(Х)=а,
а дисперсия – параметру у2, т.е. D(X)= у2.
Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
1.
Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по
нормальному закону, в интервал [x1, x2] , равна
Р(х1≤Х≤х2)=
2.
1 ⎡ ⎛ х2 − а ⎞
⎛ х − а ⎞⎤
Ф⎜
⎟ − Ф⎜ 1
⎟⎥ .
⎢
2⎣ ⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠⎦
(3.6.1.)
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной
по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит
величину ∆>0 (по абсолютной величине), равна
P(|X-a| ≤ ∆)=Ф(
3.
∆
σ
).
(3.6.2)
Правило трех сигм: Если случайная величина Х имеет нормальный закон
распределения с параметрами а и у2, то практически достоверно, что ее
значения заключены в интервале (а- 3у, а+3у).
Пример1. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами:
а=375г, у=25г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет от
300 до 425 г.
Решение. По формуле (3.6.1) при х1=300, х2=425, а=375 , у=25:
Р(300≤Х≤425)=
1 ⎡ ⎛ 425 − 375 ⎞
⎛ 300 − 375 ⎞⎤ 1
Ф⎜
⎟ − Ф⎜
⎟⎥ = [Ф(2) − Ф(− 3)] =
⎢
2⎣ ⎝
25
25
⎠
⎝
⎠⎦ 2
1
2
= [Ф(2) + Ф(3)] =0,9759. Значение функции Ф(х) находим из таблицы (приложение
1).
Пример2.
Пусть диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а=4,5 см,
у=0,05см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наудачу детали
отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.
Решение. Применяя формулу (3.6.2) при ∆=0,1 см, получим, что искомая
вероятность P(|X-4,5| ≤0,1)=Ф(
0,1
)=Ф(2)=0,9545.
0,05
46
Пример3.
Среднее
квадратическое
отклонение
случайной
величины,
распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание
равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать
значение случайной величины.
∆
2
Решение. В соответствии с формулой (3.6.2) при у=2 имеем: Ф( )=0,95. По
таблице значений функции Ф(х) находим, что она равна 0,95 при х=1,96.
следовательно ,
∆
=1,96, откуда ∆=3,92.
2
|X-16|≤3,92 , 16-3,92≤X≤16+3,92, 12,08≤X≤19,92 .
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что отклонение случайной
величины от математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине
3,92 см , т.е. она будет заключена в границах 12,08 см и 19, 92 см.
§ 3.7. Моменты случайных величин. Начальные и центральные моменты.
Асимметрия и Эксцесс.
Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей
применяется другие числовые характеристики, отражающие те или иные
особенности распределения.
Определение. Начальным моментом нk порядка k
случайной величины Х
называется математическое ожидание k – ой степени ее.
Итак, начальный момент порядка k для дискретной случайной величины равна
нk =
n
∑x
i =1
k
i
pi
а для непрерывной
нk =
∫
+∞
−∞
x kϕ ( x)dx .
Начальный момент первого порядка равна математическому ожиданию.
Определение. Центральным моментом µk порядка k случайной величины Х
называется математическое ожидание k- ой степени отклонения Х от ее
математического ожидания.
Итак, центральный момент порядка k для дискретной случайной величины равна
µk = М(Х-М(Х))k,
47
а для непрерывной
µk =
∫
+∞
−∞
( x − M ( X )) k ϕ ( x)dx .
Центральный момент второго порядка равна дисперсию.
Определение.
Асимметрия
As
случайной
величины
равна
отношению
центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического
отклонения: As=
µk
.
σ3
Определение. Эксцессом Ek случайной величины называется число равное
Ek=
µ4
-3.
σ4
Для нормального закона распределения асимметрия и эксцесс равны нулю.
§ 3.8. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Если
в
определенных
условиях
вероятность
события
очень
мала
(достаточно большое), то при однократном их выполнении можно быть
уверенным в том, что это событие не произойдет (происходит), и в практической
деятельности
поступать
так,
как
будто
оно
является
невозможными
(достоверными).
Под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в
которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице (или
нулю), произойдет событие, зависящее от очень большого, неограниченно
увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на
него лишь незначительное влияние.
Формулировка
закона
больших
чисел,
развитие
идей
и
методов
доказательства теорем, относящихся к этому закону, принадлежит русским
ученым П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову и А.М. Ляпунову.
Теорема 1. Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то
вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее
положительное число А, не больше дроби, числитель которой – математическое
ожидание случайной величины, а знаменатель – число А т.е.
Р(Х>А)≤
М (Х )
.
А
(3.8.1.1)
Из этого неравенство следует следующая неравенства
48
Р(Х≤А)≥1-
М (Х )
А
(3.8.1.2)
так как событие Х>А и Х≤А противоположные.
Пример. Сумма всех вкладов банка составляет 5 млн. доллара, а вероятность того,
что случайно взятый вклад не перевысит 20 тыс. доллара, равна 0,7. Оценить
число вкладчиков банка.
Решение. Пусть Х – размер случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков.
Тогда из условия задачи следует, что Х≤20000 а средний размер вклада М(Х)=
5000000
доллара. По второму неравенству
n
Р(Х≤20000) ≥1-
5000000
.
20000n
Учитывая, что Р(Х≤20000)=0,7, получим 0,7 ≥1-
5000000
, откуда n≤833,3, т.е.
20000n
число выкладчиков не более 833 (верхний гран вкладчиков).
Теорема 2. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее
математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное
число е не больше дроби, числитель которой – дисперсия случайной величины, а
знаменатель – квадрат е т.е.
Р(| X-M(X)|> е) ≤
D( Х )
ε2
.
(3.8.2.1)
Из этого неравенство следует следующая неравенства
Р(| X-M(X)| ≤е) ≥ 1-
D( Х )
ε2
(3.8.2.2)
так как событие | X-M(X)|> е и | X-M(X)| ≤ е противоположные.
Замечание.
Если
случайное
величина
Х
имеет
биномиальный
закон
распределение то М(Х)= np , D(X)=npq.
А для частоты
m
события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно
n
может произойти с одной и той же вероятности p, М(Х)= p, а D(Х)=
pq
.
n
Пример. По статистическим данным в среднем 65% новорожденных доживают
до 50 лет. Оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших
49
до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не менее, чем на 0,02
(по абсолютной величине).
Решение. Пологая n=1000, p=0,65, q=0,35, по формуле
Р(|
m
pq
pq
- p|> е) ≤ 2 , так как М(Х)= p, D(Х)= . Подставля получим
n
nε
n
Р(|
m
0,65 ⋅ 0,35
- 0,65|> 0,02) ≤
=0,56875 т.е. не более, чем 0,56875 (нашли
1000
1000 ⋅ 0,022
верхнюю границу вероятности события).
Теорема 3. Если дисперсия независимых величин Х1, Х2, Х3, …, Хn ограничены
одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико, то как угодно близка
к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих
случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не
превзойдет по абсолютной величине данного положительного числа е, как бы
мало ни было т.е.
⎛ X + X 2 + X 3 + ... + X n M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) + ... + M ( X n )
⎞
−
≤ ε ⎟⎟ ≈1
P⎜⎜ 1
n
n
⎝
⎠
(3.8.3.1)
При доказательстве этой теоремы получим
⎛ X + X 2 + X 3 + ... + X n M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) + ... + M ( X n )
⎞
C
−
≤ ε ⎟⎟ ≥ 1- 2 (3.8.3.2)
P⎜⎜ 1
n
n
nε
⎝
⎠
с помощью этого неравенства решается задачи, отсюда переходя к пределу при n
→ ∞ получим (3.8.3.1).
Пример. Для определения средней продолжительности горения электроламп в
партии из 500 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из
каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность
горения отобранных 500 электроламп отличается от средней продолжительности
горения ламп во всей партии не более чем на 6 часов (по абсолютной величине),
если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности
горения ламп в каждой ящике меньше 10 часов.
Решение. Пусть Хi – продолжительность горения электролампы, взятой из i – го
ящика, по условию у(Хi) < 10ч. тогда D(Хi) < 100ч. где i=1,2,3,…,500.
Тогда вероятность искомого события по формуле (3.8.3.2):
50
⎛ X + X 2 + X 3 + ... + X 500 M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) + ... + M ( X 500 )
⎞
100
−
≤ 6 ⎟⎟ ≥1P⎜⎜ 1
500
500
500 ⋅ 62
⎝
⎠
⎛ X + X 2 + X 3 + ... + X 500 M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) + ... + M ( X 500 )
⎞
−
≤ 6 ⎟⎟ ≥0,9944
P⎜⎜ 1
500
500
⎝
⎠
т.е. не менее, чем 0,9944 (нижная граница вероятности).
51
или
Вариант 1
1. Десять юношей, в том числе двое братьев, садятся наугад с двух
противоположных сторон прямоугольного стола – по пять человек с каждой
стороны. Какова вероятность того, что братья окажутся сидящими: 1) по
одну сторону стола; 2) в разных сторон стола..
2. На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и
верхи ботинок. Дефективными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок
и 4% верхов. Произведенные каблуки, подметки и верхи случайно
комбинируются в цехе, где шьются ботинки. Найти вероятность того, что
изготовленная пара ботинок будет содержать дефекты? Не будет
содержать дефекты? Будет хотя бы один дефект?
3. Всхожесть семян некоторого растения в среднем составляет 70%.
Посеяно 10 семян. Какова вероятность того, что взойдут: а) ровно 8 семян;
б) по крайней мере 8 семян? Найти вероятность наивероятнейшего числа
взошедших семян.
4. ОТК проверяет 475 изделий на брак. В среднем годные изделия
составляют 95%. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет
заключено число бракованных изделий среди проверенных.
5. Партия, насчитывающая 50 изделий содержит, 6 бракованных. Из всей
партии
случайным
образом
выбрано
5
изделий.
Составить
закон
распределения случайной величины X - числа бракованных изделий в
выборке. Составить функцию распределения X и вычертить её график.
Рассчитать МО(Х) и D(X).
6. Плотность вероятности случайной величины X задана следующим
образом
x <1
⎧⎪0,
f ( x ) = ⎨C
.
⎪⎩ x 7 , x ≥ 1
Найти: 1) параметр C . 2) Вычислить M (x) , D(x) , σ (x) .
3) Вероятность события P(0,5 < x < 3) .
7. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя
дальность полета снаряда 10 000м. Предполагая, что дальность полета d
распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м. Найдите, какой
52
процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200м.
8. Оценить вероятность того, что число лиц, имеющих высшее образование, в
группе из 800 человек отличается от своего математического ожидания
меньше, чем на 30.
9. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на
одном веретене в течение 1 мин равна 0,002. Найти вероятность того, что
в течение 1 мин обрыв произойдет более, чем на трех веретенах.
10. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что все
цифры различны.
Вариант 2
1. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают
очередь за учебниками в библиотеку. Какова вероятность, того что между
ними в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?
2. Вычислительный
центр,
который
должен
производить
непрерывную
обработку поступающей информации, располагает тремя вычислительными
устройствами. Известно, что первое устройство имеет вероятность отказа,
равную 0,2, за некоторое время; второе - 0,15; третье — 0,1. Требуется
определить вероятность: а) того, что откажут
все устройства в данный
момент; б) откажет только третье устройство; в) откажет только одно
устройство; г) хотя бы два устройства неоткажут; д) в данный момент будет
произведена обработка информации.
3. В среднем 30% студентов сдают экзамен по данной дисциплине на оценки
«хорошо» и «отлично». Какова вероятность, что из 10 студентов такие
оценки получат: а) ровно 7 человек; б) по крайней мере 7 человек. Найти
наивероятнейшее число студентов из 10, получивших такие оценки.
4. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,515.
Какова вероятность того, что среди 10 тысяч новорожденных мальчиков
будет не больше, чем девочек?
5. Среди поступивших в ремонт 10 часов 6 штук нуждаются в обшей чистке
механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти
часы,
нуждающиеся
в общей чистке механизма. рассматривает их
53
поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить
закон распределения случайной величины X - количества просмотренных
часов. Построить график закона. Найти функцию распределения X и
вычертить её график. Рассчитать М0(Х) и D(X).
⎧0,
6. Выбрать параметр C таким образом, что бы функция f ( x) = ⎪⎨C
⎪⎩ x
x <1
стала
9, x ≥1
плотностью вероятности случайной величины X . Вычислить M (x) , D(x) ,
σ (x ) и вероятность события
7. Исследованиями установлено, что 20% школьников не знают правил уличного
движения. В случайной выборке 1600 учеников. Сколько учеников знают
правила
уличного
движения
с
гарантией
95%? Учесть, что доля
учащихся выборки, знающих правила уличного движения, есть нормально
распределенная случайная величина.
8. Сумма всех вкладов в некотором Сбербанке составляет 2 млр.ден.ед., а
вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10 000 ден.ед.,
равна 0,8. Оценить число вкладчиков этого банка.
9. На заводе произведено 10 000 однотипных деталей. Детали высшего качества
составляют в среднем 75%. Какова вероятность того, что фактическое число
деталей высшего качества отклонится от своего среднего значения не более,
чем на 100 деталей. Оцените эту же вероятность. Сравните полученные
результаты.
10. Абонент ждет телефонного вызова в течение одного часа. Какова
вероятность, что вызов произойдет в последние 20 минут этого часа?
Вариант 3
1. Из ящика, содержащего 7 пар обуви, из которых четыре пары мужской, а три
пары женской обуви, перекладывают наудачу три пары обуви в другой ящик,
содержащий одинаковые количество пар женской и мужской обуви. Какова
вероятность того, что во втором ящике после этого окажется количества пар
мужской обуви больше чем женский.
2. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые
54
не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов.
Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого
достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из
первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
3. В среднем 90% поездов прибывают без опоздания. Считая опоздания
различных поездов независимыми событиями, найти: а) вероятность того,
что из пяти опаздывает не более одного; б) наивероятнейшее число
поездов из
10, прибывающих без опоздания,
и вероятность этого
наивероятнейшего числа.
4. В
научно-исследовательском
институте
земледелия
проверяется
всхожесть кукурузы. Сколько семян необходимо посеять с вероятностью
всхожести 0,99, чтобы частота всхожести отличалась бы от вероятности
всхожести 0,95 меньше, чем на 0,01?
5. Составить закон распределения случайной величины X - числа очков,
выбитых стрелком при 4 выстрелах, если вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,3 и за каждое попадание стрелок получает 5 очков, а за
каждый промах у него вычитывается 2 очка. Изобразить закон графически.
Составить функцию распределения X и вычертить её график. Найти М0(Х) и
D(X).
6. Случайная величина X равномерно распределена. Плотность вероятности ее
f(x) =а при 2≤х≤8 и f(x)=0 при x<2 и x>8. Найти: коэффициент а; функцию
распределения; построить графики обеих функций; найти М0(Х), D(X),
у(X) .
7. Размер
диаметра
втулок,
изготовленных
заводом,
можно
считать
случайной величиной X, распределенной по нормальному закону, с
параметрами а=2,5; у=0,001. Составьте функцию плотности вероятности и
функцию
распределения.
гарантировать
размер
В
каких
диаметра
границах
втулки,
можно
если
за
практически
вероятность
практической достоверности принимается 0,9973?
8. В среднем 97% всех выпущенных часов составляют стандартные. Оценить
вероятность того, что среди 1000 часов доля часов, относящихся к
55
стандартным, отклонится по абсолютной величине от вероятности не более,
чем
на 0,02.
Вычислить
эту же
вероятность, используя следствие из
интегральной теоремы Муавра - Лапласа. Сравнить результаты.
9. Независимые случайные величины X и У заданы следующими законами
распределения:
X: х
р
0
3
0,15 ?
5
Y:
0,5
у}
gj
1
0,1
2
4
0,35 ?
6
0,4
С какой вероятностью случайная величина X принимает значение, равное 3, а
случайная величина Y - значение, равное 4? Составить закон распределения
суммы этих случайных величин и на этом примере проверить свойство о
математическом ожидании суммы случайных величин.
10. Из чисел 1, 2, 3, …, 30 наудачу выбирают 10 чисел. Найти вероятность того,
что все числа нечетные.
Вариант 4
1. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер
телефона. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все
комбинации
цифр
равновероятны,
найти
вероятности следующих
событий: А={четыре последние цифры телефонного номера одинаковы},
В={все цифры различны}, С={номер начинается с цифры 5}, Д={номер
содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}.
2. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут
три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от
неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в
коробке не останется неигранных мячей?
3. Три охотника одновременно выстрелили по волку. Вероятность попадания
каждым из охотников одинакова и равна 0,4. Определить вероятность того,
что волк будет убит, если известно, что при одном попадании охотники
убивают волка с вероятностью 0,2, при двух – с вероятностью 0,5 и при
трех - с вероятностью 0,8.
4. По данным телевизионного ателье в течение гарантийного срока выходит из
строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 46 наугад
56
выбранных кинескопов: 1) 36 проработают гарантийный срок; 2) не менее 20
кинескопов проработают гарантийный срок?
5. В ящике лежат 10 изделий, одно из них бракованное. Из ящика извлекают
изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто наугад
бракованное. Составить закон распределения случайной величины X - числа
вынутых изделий. Найти функцию распределения X и изобразить её
графически. Рассчитать М0(Х) и у(Х).
6. Плотность вероятности случайной величины X задана следующим
π
⎧
2
⎪a * cos x, x ≤ 2
Образом f ( x) = ⎨
π
⎪ 0, x >
2
⎩
Найти: 1) параметр a . 2) Вычислить вероятность того, что в результате
испытании случайная величина примет значение больше чем π 4 .
7. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения,
превосходящие ± 0,5 см, встречаются в среднем
4 раза на 100 деталей.
Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите её
стандартное отклонение.
8. Оценить вероятность того, что в партии из 5000 деталей отклонение частоты
бракованных деталей от вероятности быть бракованной деталью, равной 0,02,
превысит 0,01.
9. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:
X:
хi
2
pi
0,05
3
?
4
5
0,4
0,4
Y: уj
gj
2
3
4
5
0,1
0,1
?
0,3
Найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает значение 3,
случайная величина Y - значение 4, а затем составить закон распределения
разности случайных величин. На этом примере проверить свойство дисперсии
разности независимых случайных величин.
10.
Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки,
наудачу последовательно
извлекаются 3
буквы и складываются в ряд.
Какова вероятность того, что получится слово «тор»?
Вариант 5
57
1. Пять шариков случайно разбрасываются по пяти лункам, каждый шарик
попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от
других (в одну лунку может попадать любое число шариков). Найти: 1)
вероятность того, что в каждой лунке окажется по одному шарику; 2) в одной
из лунок окажется три шарика, в другой - два, а в трех остальных шариков не
будет.
2. Завод изготовляет определенного типа изделия; каждое изделие имеет дефект с
вероятностью р=0,01. Изделия осматривается одним контролером;
он
обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью p1=0,85, а если дефект не
обнаружен, пропускает изделие в готовую продукцию. Кроме того, контролер
может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта; вероятность этого
равна р2=0,05. Найти вероятности следующих событий: А=~{изделие будет
забраковано}; В={изделие будет забраковано, но ошибочно}; С={изделие
будет пропущено в готовую продукцию с дефектом}.
3. В мастерской имеется 10 моторов. При существующем режиме работы
вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой,
равна 0.8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее восьми
моторов работают с полной нагрузкой.
4. Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против
туберкулеза, приобретают иммунитет против этого заболевания. Какова
вероятность того, что среди 100 000 граждан, получивших прививки, 5 800 не
защищены от заболеваний туберкулезом?
5. Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле из первого, второго и третьего орудия батареи равна соответственно
0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по некоторой цели один раз. Найти закон
распределения случайной величины X -общее число попаданий. Составить
функцию распределения X и вычертить её график. Найти М0(Х) и D(X).
6. Случайная величина задана законом распределения
0, x ≤ 0
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨a 3 x − x 2 , 0 < x ≤ 3
⎪
0, x > 3
⎩
(
)
58
Найти: а) параметр a ; б) вычислить M (x) , D(x) , σ (x)
7. Для замера напряжений используются специальные тензодатчики. Определите
среднюю стандартную ошибку тензодатчика, если он систематических ошибок не
имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не
выходят за пределы ± 0,2 мк.
8. Известно, что в среднем 86% составляют стандартные детали. Оценить
вероятность того, что в результате проверки 1000 деталей частота
нестандартных деталей отклонится от вероятности изготовления нестандартной
детали по абсолютной величине меньше чем на 0,04.
9. Даны независимые случайные величины X и Y своими законами распределения.
X;
хi 1
2
3
Рi 0,1
?
0,6
Y: yj
-2
gj
?
-1
0
0,3
0,1
Найти: Р(Х=2), P(Y=-2), M0(X), M0(Y), M0(5X2+4Y), D(4X-5Y). Составить
закон
распределения
X·Y
и
проверить
на
этом
примере
свойство
математического ожидания произведения двух независимых случайных
величин.
10.
В пачке 10 тетрадей, причем половина из них в клетку, а остальные в
линейку. Найти вероятность того, что среди одновременно наудачу вынутых
из пачки трех тетрадей окажется не более двух тетрадей в клетку.
Вариант 6
1. Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 10
секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть открыт только в том случае,
если все диски занимают определенные положения относительно корпуса
замка, их цифры образуют определенное число, составляющее «секрет»
замка. Какова вероятность открыть замок?
2. В урне 2 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по
шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый
шар. Какова вероятность, что выиграет первый игрок?
3. По самолету производится 4 независимых выстрела. Вероятность попадания
в самолет при одном выстреле равна 0,1. Чтобы вывести самолет из строя,
59
достаточно трех попаданий. При одном попадании вероятность вывода
самолета из строя равна 0,6, при двух - 0,8. Найти вероятность того, что в
результате четырех выстрелов самолет будет выведен из строя.
4. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся
32 женщины, если предположить, что количество мужчин в городе равно
количеству женщин?
5. Вероятность изготовления стандартной детали 0,9. Из партии контролер
берет деталь и проверяет её качество. Если она оказывается нестандартной,
дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если деталь
окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д. Но всего он
проверяет не более 5 деталей. Составить закон распределения случайной
величины X - числа проверяемых деталей. Изобразить закон геометрически.
Найти функцию распределения случайной величины X и вычертить её график.
Найти М0(Х) и D(X).
6. Непрерывная случайная величина задана законом распределения
⎧
0, x ≤ 0
⎪⎪
F ( x ) = ⎨2 sin x, 0 < x ≤ π .
6
⎪
π
⎪⎩ 1, x > 6
Вычислить M (x) , D(x) , σ (x) и P(0 < x < π 12) .
7. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному
закону с параметрами: а=3 см; у2=0,16. Найти вероятность того, что диаметр
наудачу взятой детали: 1) составит от 2 до 5 см; 2) отличается от
математического ожидания не более чем на 0,8 см.
8. Сколько раз нужно измерять данную величину, истинное значение которой
равно а, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,95, можно было утверждать,
что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от а по
абсолютной величине меньше, чем на 2, если
среднее
квадратическое
отклонение каждого из измерений меньше 10?
9. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Определить,
сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью 0,997 можно было
утверждать, что частота изделий первого сорта отличается от вероятности по
модулю не более, чем на 0,01.
60
10.
На корточках написаны числа от 1 до 10 включительно. Наудачу вынимают
сначала одну, а потом вторую карточку (без возвращения) . Найти вероятность
того, что на второй карточке будет нечетное число.
Вариант 7
1. На сборку поступило 5000 деталей с первого станка со второго станка 4500 и
третьего станка 5300 деталей. Известно, что первый станок дает 0,02%,
второй – 0,05% а третий – 0, 1% брака. Найти вероятность того, что взятая
наудачу деталь из нерассортированной продукции
станков окажется: 1)
бракованной; 2) небракованной.
2. Разрыв электрической цепи может произойти только вследствие выхода из
строя элемента К1 или одновременно двух элементов К2 и К3, которые выходят
из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,3; 0,2; 0,2.
Найти вероятность разрыва цепи.
3. Если в среднем левши составляют 1%, то каковы шансы на то, что среди 200
человек: а) окажется ровно четверо левшей; б) найдется четверо левшей?
4. В течение года за индивидуальной консультацией по теории вероятностей
обращаются в среднем 80% студентов. Найти: 1) вероятность того, что в этом
учебном году из 120 человек за консультацией обратятся
100 студентов; 2)
вероятность того, что из 120 студентов за консультацией обратятся не менее
95 человек; 3) вероятность наивероятнейшего числа студентов среди 120
человек, которые обратятся за консультацией.
5. Среди 20 приборов имеется 6 неточных. Наудачу берется 4 прибора.
Составить закон распределения числа точных приборов среди отобранных;
изобразить его графически; найти функцию распределения числа точных
приборов среди 4 выбранных; вычислить математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение числа точных приборов.
6. Даны две независимые случайные величины X, Y. Величина X распределена
по
−
1
A
нормальному закону f(x)=
2 2π
равномерно
на
отрезке
[0;2].
( x −1) 2
8
; величина Y
распределена
Определить: a) М0(У); б) М0(Х); в) M0(X+Y);
г) M0(X-Y); д) D(X+Y).
61
7. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним
квадратическим отклонением, равным 20 мм и средним значением, равным 0.
Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибки хотя бы
одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
8. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Оценить вероятность того,
что из 200 студентов, сидящих в аудитории, окажется не менее 10%, носящих
очки.
9. В семье 10 детей. Считая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки,
найти вероятность того, что в семье: 1) поровну мальчиков и девочек; 2) число
мальчиков больше, чем девочек; 3) число мальчиков от 3 до 8 включительно.
10.9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти вероятность того,
что а) в каждый вагон сядет по 3 пассажира; б) в один вагон сядут 4, в другой 3 и в третий - 2 пассажира.
Вариант 8
1. Куб с окрашенными гранями распилен на 125 одинаковых кубиков. Найти
вероятность того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена: 1) одна
грань; 2) две грани; 3) три грани; 4) четыре грани.
2. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью
0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный
стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп, вероятнее
всего, принадлежал этот стрелок?
3. Радиоаппаратура состоит из
1000 электроэлементов.
Вероятность отказа
одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от
состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух
элементов за год?
4. Среди изделий из пластмассы в среднем 20% бывают с браком. Какова
вероятность того, что в партии из 250 изделий будет: а) 190 годных: б) не менее
190 годных; в) наивероятнейшее число годных среди 250 штук?
5. Дискретная случайная величина X принимает только два возможных значения
х1 и х2, причем xl<x2. Вероятность того, что X примет значение х1, равна 0,2.
Составить закон распределения X, зная, что математическое
62
ожидание
случайной величины составляет 2,6, а среднее квадратическое отклонение
- 0,8. Найти функцию распределения X и изобразить ее графически.
6. Функция f(x)=0 при -∞<x<3 и f(x)=A/x5 при 3≤x<+∞.
Найти: 1) параметр А; 2) функцию распределению этой случайной величины; 3)
вероятность того, что случайная величина Х примет какое–нибудь значение из
интервала (0; 5); 4) M0(X) и D(X).
7. Станок-автомат изготавливает валики, причем контролируется их диаметр
X,
который
значением
имеет
нормальный
закон
распределения
со средним
10 мм и средним квадратическим отклонением 0,1 мм. Найти
интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры
изготовленных валиков.
8. Среднее количество выпадающих в данной местности осадков составляет 55
см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет: более
175 см; менее 120 см.
9. Существует три способа контроля партии изделий. При использовании
каждого из способов число ошибочно признанных годными не кондиционных
изделий,
является
случайной
величиной.
Законы распределения этих
случайных величин представлены в следующих таблицах:
xi 0
1
3
Рi 0,5 0,4 0,05
4
0,05
yj
0
qj 0,7
1 2
3
0,1 0,1 0,1
zk 0
1
2
3
4
r k 0,8 0,05 0,05 0,05 0,05
Требуется выбрать способ контроля, обеспечивающий минимум среднего
числа некондиционных изделий в партии.
10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков
равна 8 , а разница – 4
Вариант 9
1. В записанном телефонном номере 22- 4... три последние цифры стерлись.
В
предположении,
что
все
комбинации трех стершихся цифр
равновероятны, найти вероятности событий: А={стерлись различные цифры,
отличные от 1, 3, 5}; В={стерлись одинаковые цифры}; С={две из стершихся
цифр совпадают}.
2. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит
63
одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь убит первым, вторым
или третьим охотником, если вероятности попадания для них соответственно
равны 0,2; 0,4 и 0,6.
3. среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со
второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвертого – 0,35%. Производительность
их относятся как 5:4:3:1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась
стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена: 1) на первом; 2) на
втором; 3) на третьем; 4) на четвертом станке.
4. В среднем 30% студентов сдают экзамен по одной дисциплине на оценки
«хорошо» и «отлично». Какова вероятность того, что из 100 человек такие
оценки получат; а) 40 человек; б) от 20 до 40 человек. Найти наивероятнейшее
число студентов из 100, успешно сдавших экзамен.
5. На данном опытном участке урожайность
некоторого сорта пшеницы
составила 17 ц на каждом из 50 га; 18ц на каждом 90 га; 19 ц- на 150 га; 20 цна 350 га; 21 ц- на 200 га; 22 ц-на 100 га; 23 ц-на 6О га. Составить закон
распределения урожайности на этом участке; изобразить закон графически;
составить функцию
распределения урожайности и вычертить её график;
определить среднюю урожайность и дисперсию урожайности.
6. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:
⎧0, если x < 0,
f ( x) = ⎨
− 0 , 04 x
, если
⎩0,04A
x ≥ 0.
Требуется: а) составить функцию распределения X; б) вычертить графики
обеих функций; в) найти М0(Х), а(Х); г) вычислить вероятность того, что
отклонение величины X от М0(Х) не превосходят 3у(Х).
7. Для нормального распределения с параметрами а=5 и у =2 требуется
определить:
1) значение плотности распределения вероятностей в точке
х=4; 2) вероятность попадания X в интервал (7;8); 3) вероятность того, что X
не отклонится от а=5 за пределы 3у.
8. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт
после месяца эксплуатации на городских линях, равно 5. Оценить
вероятность того, что по истечении месяца в одном автопарке будет
64
отправлено в ремонт меньше 15 автобусов; больше 10 автобусов.
9. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. В среднем за время Т выходят
из строя 4 станка. Чему равна вероятность того, что: 1) 8 станков за время Т
не потребуют к себе внимания рабочего; 2) число станков, потребовавших к
себе внимания рабочего, заключено в промежутке от 3 до 8 включительно9
10. Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет
нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые
цифры?
Вариант 10
1. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого
автомобиля в большом городе: а) имеет все цифры разные; б) имеет только две
одинаковые цифры; в) имеет две пары одинаковых цифр; г) имеет только три
одинаковые цифры; д) имеет все цифры одинаковые.
2. Среди 23 студентов группы, из которых четырнадцать девушек, разыгрывается
девять билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова
вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся не менее пяти
девушек.
3. Некачественные
сверла
составляют 2%
всей
продукции
фабрики.
Изготовленные сверла упаковывают в ящики по 100 штук. Какова
вероятность того, что: а) в ящике не окажется некачественных сверл; б) в
ящике окажется не больше 3 некачественных сверл? Сколько сверл
необходимо упаковать в ящик, чтобы с вероятностью не меньше 0,9 в ящике
было 100 доброкачественных сверл?
4. Известно, что в среднем 80% саженцев, если приживается, то успешно растет.
Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастут не
меньше 250 саженцев. Найти вероятность наивероятнейшего числа успешно
прижившихся саженцев среди 400 экземпляров.
5. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых либо
разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомашины с одинаковой
вероятностью 0,5. Составить закон распределения случайной величины X числа пройденных автомашиной светофоров до первой остановки; построить
65
график этого закона; составить функцию распределения X и изобразить её
графически; вычислить математическое ожидание и дисперсию X.
6. Случайная
величина
X
задана
функцией
распределения:
⎧0, если x ≤ 1
⎪ x −1
, если 1 < x ≤ 3,
F(x)= ⎪⎨
⎪ 2
если x > 3.
⎪⎩1,
Требуется: 1) найти функцию плотности распределения вероятности; 2)
вычертить графики обеих функций: 3) вычислить вероятности попадания
случайной величины X в интервалы (1.5: 2,5) и (2,5; 3,5); 4) найти М0(Х) и
D(x).
7. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её
контролируемого размера от проектного не превышает
10 мм. Случайные
отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному
закону со средним значением, равным 0,
и средним квадратическим
отклонением, равным 5 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает
автомат?
8. При
штамповке
70%
изделий
оказываются
первосортными.
Оценить
количество изделий, которое надо взять, чтобы с вероятностью, превышающей
0,9973, можно было утверждать, что доля первосортных среди них будет
отличаться по абсолютной величине от вероятности не более, чем на 0,05.
Сравнить с результатом, который можно получить, используя следствие из
интегральной теоремы Лапласа.
9. Бросают две игральные шестигранные кости. При выпадении разного числа
очков выигрыш равен разности числа очков, а при выпадении одинакового
числа очков проигрыш равен сумме числа очков. Определить среднее значение
выигрыша.
10.Имеются два ящика с красными и синими шарами: в первом 3 синих и 5
красных, во втором 7 синих и 11 красных. Наудачу выбирается шар. Шар
извлекали из наудачу взятого ящика. Известно, что извлеченный шар оказался
синим. Найти вероятность того, что извлекали из первого ящика.
66
Вариант 11
1. Из чисел 1,2,3, ... 30 случайно отбирается 10 различных. Найти вероятности
событий: А={все числа нечетные}; В={ровно 5 чисел делится на 3}; С={ 5
чисел четных и 5 нечетных}.
2. Из колоды в 52 карты берется 6 карт. Определить вероятность того, что среди
этих карт будут представлены все четыре масти.
3. Один игрок бросает шесть игральных костей и выигрывает, если выпадает
хотя бы одна единица. Другой игрок бросает двенадцать игральных костей и
выигрывает, если выпадут хотя бы две единицы. У кого больше шансов
выиграть?
4. В библиотеке института из всех выдаваемых книг 60% составляют книги по
спецдисциплинам.
Найти
вероятность
того,
что
процент
книг
по
спецдисциплинам, выданных студентам в текущем учебном году, отклонится
от 60% не более чем на 2% по абсолютной величине, если всего студентам
выдано 2400 книг.
5. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не
потребует внимание рабочего, равна для первого станка 0,9; для второго 0.8: для третьего - 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
6. Случайная величина X задана функцией распределения:
⎧0, если x ≤ 2
⎪
F(x)= ⎨( x − 2)3 , если 2 < x ≤ 3,
⎪1,
если x > 3.
⎩
Требуется: I) найти плотность распределения вероятностей X; 2) вероятности
попадания X в интервалы (1; 2,5) и (2,5; 3,5); 3) найти M0(X), D(X); 4)
вычертить графики F(x) и функции плотности распределения вероятностей X.
7. Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр
шариков d0=5мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический
его диаметр есть случайная величина, распределенная по нормальному закону
со средним значением d0 и средним квадратическим отклонением 0,05. При
контроле шарики бракуются, если их диаметр отличается от номинального
67
больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков будет
отбраковываться.
8. Среднее число солнечных дней в году для данной местности составляет 100.
Оценить вероятность того, что число солнечных дней в выбранном наудачу
году не превзойдет 150; превзойдет 180.
9. На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных
линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их
производства, на второй — 30%, на третьей - 50%. Каждая линия
характеризуется следующим процентом годности изделий: 95, 98, 97. 1)
Определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное
предприятием, окажется бракованным. 2) Известно, что первое взятое наугад
изделие, оказалось годным. На какой линии, вероятнее всего, оно сделано?
10.
Группа из семи человек занимает место за круглым столом. Какова
вероятность того, что два определенных человека окажутся сидящими рядом.
Вариант 12
1. Десять человек разбились на две команды по 5 человек для игры в волейбол.
Какова вероятность того, что два брата попадут в одну команду?
2. Определить вероятность того, что наудачу выбранное изделие будет
первосортным, если известно, что 4% всех изделий является браком, а 75%
небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
3. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность
того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных; хотя
бы 3 бракованных.
4. Известно, что при контроле бракуется 10% шестерен. Для контроля отобрано
500 шестерен. Найти вероятность того, что число годных шестерен окажется
в пределах от 460 до 475 включительно. Найти вероятность наивероятнейшего
числа шестерен среди 500 штук.
5. В цехе имеется 2 станка типа «А» и 3 станка типа «В». Вероятность работы в
данный момент для станка «А» равна 0,6, а для «В» - 0,8. Составить закон
68
распределения случайной величины X – количество работающих в данный
момент
станков;
изобразить
закон
графически;
составить
функцию
распределения X и вычертить её график. Найти М0(Х) и D(X).
6. Функция
распределения
непрерывной
случайной
величины
X
задана
выражением
⎧0, если x ≤ 0
⎪
F(x)= ⎨ax 3 , если 0 < x ≤ 2,
⎪1,
если x > 2.
⎩
Найти: 1) коэффициент а; 2) плотность распределения вероятностей случайной
величины X; 3) вероятность неравенства 0<Х<1; 4) D(X).
7. Средняя дальность полета снаряда равна 2000 м. Стрельба ведется из точки 0
вдоль прямой Ох. Предполагая, что дальность полета X распределена по
нормальному закону со стандартным отклонением 80 м, найти, какой
процент выпускаемых снарядов дает перелет от 1200 м до 1600 м.
8. В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75% изделий
принадлежат к допуску ± 5%. Оценить вероятность того, что среди 2000
изделий к допуску ± 5% будет принадлежать от 1450 до 1550 изделий
включительно.
9. Задано распределение случайной величины X:
х,
1
3
5
7
9
11
13
15
р,
0,05
0,1
0,05
0,15
0,2
0,3
0,1
0,05
Оценить вероятность того, что X примет значение, меньше 10 (использовать
неравенство
Маркова).
Полученный
результат
проверить
по таблице
распределения.
10.Из букв слова УДАЧА наугад выбирают три букв. Какова вероятность того,
что из них можно составить слово ЧАУ?
Вариант 13
1. На книжной полке 15 книг. Из них четыре словаря. Студент наудачу взял две
книги. Найти вероятность того, что обе книги словари?
2. Пассажир может купить билет в одной из трех касс. Вероятность того, что он
направится к первой кассе 0,5, ко второй -0,3, к третьей- 0,2 . Вероятность того,
69
что билетов уже нет в первой кассе 0,2 , во второй – 0,35
, в третьей -0,15. О н
обратился в одну из касс и получил билет. В какую кассу он, вероятнее всего,
обратился?
3. Книга издана тиражом в 50 000 экземпляров. Вероятность того, что в книге
имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж
содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.
4. На склад магазина поступают изделия, 80% которых высшего сорта. Сколько
изделий надо взять наудачу со склада, чтобы с вероятностью 0,997 можно
было утверждать, что частота изделий высшего сорта находится между 0,75 и
0,85?
5. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый
станок не потребует регулировки - 0,9; второй - 0,98; третий- 0,75; четвертый 0,7. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
числа станков, которые в течение часа не потребуют регулировки.
6. Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью
распределения вероятностей :
f(x)=
a
1+ x
Найти: 1) коэффициент а: 2) функцию распределения F(x): 3) вероятность
неравенства Х> 3 ; 4) M0(X), D(X).
7. Какова вероятность того, что нормально распределенная случайная величина
со средним значением, равным 1, и дисперсией, равной 4, примет значение,
меньшее 0, но больше 5. Составить функцию плотности распределения
вероятностей этой случайной величины.
8. Средний расход воды в населенном пункте составляет 50 000л в день.
Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте в данный день
расход воды не превысит 150 000л.
9. Найти средние значения случайной величины X, распределенной по: 1)
нормальному закону; 2) по закону равномерного распределения; 3) по
показательному закону.
10.Из колоды в 32 карты берутся наугад 10 карт. Найти вероятность того, что
среди них будут 8 одномастных.
70
Вариант 14
1. В партии, состоящей из 20 изделий,
имеется 5 дефектных. Из партии
выбирается для контроля 7 изделий. Если среди контрольных окажется более 3х дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет
забракована.
2. В одном ящике 3 белых и 8 черных шаров. В другом ящике 4 белых и 5 черных
шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того,
что: а) оба шара одного цвета; б) оба шара разного цвета.
3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,96.
Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.
4. Всхожесть хранящегося на складе зерна составляет 80%. Отбираются первые
попавшиеся 100 зерен. Определить вероятность того, что среди них: а) число
всхожих зерен окажется от 68 до 90 штук включительно; б) доля всхожих
зерен будет отличаться от 0.8 по абсолютной величине не более, чем на 0,1.
5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задает ему 5
вопросов. Пятерка ставится за 5 правильных ответов из 5, четверка - за 4 из 5 и
т.д. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
оценки студента.
⎧0,
6. Выбрать параметр C таким образом, что бы функция f ( x) = ⎪⎨C
⎪⎩ x
x <1
стала
5, x ≥1
плотностью вероятности случайной величины X . Вычислить M ( x) , D( x) , σ ( x) и
вероятность события 0,5 ≤ x < 2
7. Случайная величина X распределена по нормальному закону со средним
значением, равным 40 и дисперсией, равной 200. Вычислить вероятность
попадания случайной величины X в интервал (30; 80). Найти плотность
распределения вероятностей X.
8. В некоторой местности одинаковое количество мужчин и женщин. Известно
также, что 4% мужчин и 2 % женщин – дальтоники. Наугад выбранный житель
данной местности страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это: 1)
мужчина; 2) женщина.
9. В вузе обучаются 730 студентов. Найти вероятность наиболее вероятное число
71
студентов, родившихся 1 января.
10.Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найти вероятность того, что при
случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет
мужчина.
Вариант 15
1.
В урне 10 белых и 5 черных шаров. Шары извлекают до тех пор пока не
появится черный шар. Найти вероятность того, что будет сделано ровно 3
извлечения.
2. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность промаха при одном
выстреле из первого орудия 0,2; из второго - 0,9; из третьего 0,1. Найти
вероятность того, что: 1) все орудия промахнутся; 2) все орудия попадут; 3)
попадет только второе орудие; 4) попадет только одно орудие; 5) попадут
только два орудия; 6) цель будет поражена.
3. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того,
что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех; в) хотя бы
одно.
4. На каждые 100 штампованных изделий из пластмассы приходится в среднем
15 дефектных. Определить вероятность того, что из 50 взятых наудачу изделий
42 будут без дефекта. Найти вероятность наивероятнейшего числа годных
изделий из 50 отобранных изделий.
5. При установившемся технологическом процессе 95% всей продукции завод
выпускает первым сортом. Составить закон распределения числа изделий
первого сорта среди 5 штук, отобранных наудачу; изобразить закон графически;
составить функцию распределения числа первосортных изделий из числа
отобранных;
математическое
вычертить
ожидание
график
и
функции
среднее
распределения;
квадратическое
первосортных изделий из пяти отобранных.
6.
Случайная величина задана законом распределения
72
рассчитать
отклонение
числа
0, x ≤ 1
⎧
⎪ 2
F ( x ) = ⎨ a x − x ,1 < x ≤ 2
⎪
1, x > 2
⎩
(
)
.
Найти параметр a . Вычислить вероятность того, что в
1 1
двух опытах величина примет значение из интервала ⎛⎜ ; ⎞⎟ .
⎝3 2⎠
7. Рост
взрослых
людей
(мужчин)
является
случайной
величиной,
распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание роста
составляет 175 см, а стандартное отклонение - 6 см. Составить функцию
плотности распределения вероятности роста и функцию распределения роста.
Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу отобранных пяти
мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.
8. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95,
можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты
годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,9, не превысит
0,01.
9. Из посаженых семян кукурузы в среднем прорастают 90%. Посажено 600
семян. Найти границу абсолютной величины отклонения частоты взошедших
семян от вероятности, если эта граница должна быть гарантирована с
вероятностью 0, 995.
10.Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все
цифры различны.
Вариант 16
1. Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, случайно для проверки
отбираются три приемника. Партия содержит 5 неисправных приемников.
Какова вероятность того, что в число отобранных войдут: а) только
исправные; б) только неисправные; в) один неисправный и два исправных
приемника?
2. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно 4 карты.
Рассматриваются события: А={среди вынутых
карт будет хотя бы
одна бубновая}; В={среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная}. Найти
вероятность события С=А+В.
73
3. Вероятность того, что отобранная для проверки одна деталь будет
стандартна, равна 0.9. Делается контрольная выборка, состоящая в том, что
берут наудачу 5 деталей. Если из этих пяти две и более будут нестандартными,
то вся партия бракуется. Какова вероятность того, что партия деталей будет
задержана?
4. Проверкой качества изготовляемых на заводе часов установлено, что 2%
нуждается в дополнительной регулировке. Приемщик проверяет качества 300
изготовленных часов. Если среди них при этом обнаружится 11 или более
часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, вся партия возвращается
заводу для переработки. Определить вероятность того, что партия будет
принята.
5. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от
друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка 0,7, для второго - 0,6. Рассматриваются две случайные величины: X число попаданий первого стрелка; Y – число попаданий второго стрелка.
Составить закон распределения случайной величины Z=X-Y, изобразить его
графически. Найти функцию распределения Z и вычертить её график.
Рассчитать M0(Z) и D(Z).
6. Случайная величина имеет плотность вероятности
π
π
⎧
⎪⎪c cos x, если − 2 ≤ х ≤ 2 ,
f(x)= ⎨
π
⎪0,
если | x |>
⎪⎩
2
Найти: 1) постоянную c; 2) функцию распределения F(x); 3) вычертить
графики функций f(x) и F(x); 4) рассчитать М0(Х) и D(X).
7. Среднее врем безотказной работы прибора равно 90 часов. Пологая, что
время
безотказной
работы
прибора
имеет
показательный
закон
распределения, найти: 1) выражение его плотность вероятности и функции
распределения; 2) вероятность того, что в течение 100 часов прибор выйдет
из строя.
8. Три стрелка поочередно ведут стрельбу по одной и той же мишени.
Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого стрелка
74
соответственно равны 0,4; 0,6; 0,8. Оценить вероятность того, что число
попаданий при 450 выстрелах будет заключено в пределах от 239 до 301.
9. Выбиваемые двумя стрелками числа очков при одних и тех же условиях
стрельбы характеризуются следующими законами распределения:
а) для первого стрелка X
Число
2
б) для второго стрелка У
3
4
5
0,15
0,4 0,4
2
3
4
5
0,1
0,1
0,5
0,3
очков
Вероят- 0,05
ность
Составить закон распределения суммы очков, выбиваемых обоими стрелками.
На этом примере проверить свойство дисперсии суммы двух независимых
случайных величин.
10. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями
р1=0,6 и р2= 0,4. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов
равны соответственно 0,7 и 0,8. найти вероятность того, что лампа проработает
заданное число часов.
Вариант 17
1. У сборщика 12 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них 5 первого
вида, 4 - второго и 3 - третьего. Какова вероятность того, что среди 6 взятых
одновременно деталей 3 окажутся первого вида, 2 второго и 1 - третьего?
2. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично,
4 - хорошо, 2 - удовлетворительно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах
имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на
все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, удовлетворительно - на 10,
плохо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных
вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б)
плохо.
3. В партии деталей двух сходных форматов число крупных деталей вдвое
больше мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность
наивероятнейшего числа мелких деталей среди 10 случайно выбранных?
75
4. Найти вероятность одновременной остановки 30 машин из работающих 100,
если в среднем 80% машин работает без остановок. Какова наивероятнейшее
число машин, работающих с остановкой, среди 100 машин?
5. Известно, что на некоторой фирме 10 сотрудников получают за одну неделю по
45 долларов, 25 - по 55, 40 - по 65, 50 - по 75, 50 - по 85 и 25 - по 100 долларов.
Рассматривая зарплату как случайную величину X, требуется: 1) составить
закон распределения X; 2) составить функцию распределения X и построить
её график: 3) вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение X.
6. . Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону
⎧ 0, x < 0
. Вычислить вероятность события P (0,4 < x < 1) ;
−5 x
⎩5e , x ≥ 0
распределения f ( x) = ⎨
Найти: М0(Х) и у(Х).
7. Средний расход воды в населенном пункте составляет 90000 литров в день.
Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте реальный дневной
расход воды не превышает утроенного среднего расхода.
8. Среднее суточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно
20000 квт-ч, а среднее квадратическое отклонение - 200 квт-ч. Какого
потребления электроэнергии в данном населенном пункте можно ожидать в
ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96?
9. Вероятность того, что случайно выбранный из партии прибор нуждается в
дополнительной регулировке, равна 0,05. Если при выборочной проверке
партии приборов обнаруживается, что 6% отобранных приборов нуждаются в
дополнительной регулировке, то вся партия возвращается для доработки.
Определить вероятность того, что партия из 500 приборов, не будет возвращена
для доработки.
10. В партии саженцев имеется в одинаковых количествах липы, тополя и березы.
Вероятность того, что посаженное дерево приживется, равна для липы 0,8, для
тополя 0.9, для березы 0.7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
саженец приживется.
Вариант 18
76
1. В одном ящике 6 белых и 4 черных шара. Во втором – 7 белых и 3 черных
шара. Из каждого ящика наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятности
того, что: а) оба шара черные, б) только один черный, в) хотя бы один черный.
2. В коробке 6 зеленных, 5 красных, 7 синих и 8 желтых карандашей. Наудачу
вынимают 4 карандаша. Какова вероятность того, что они все: 1) разных
цветов; 2) одного цвета.
3. При
установившемся
технологическом
процессе
станок-автомат
производит 80% числа изделий первого сорта. Требуется: 1) построить в одной
системе
координат
два
полигона
распределения
вероятностей
числа
первосортных изделий: один - для случая 5 отбираемых изделий; второй - для
случая 10 отбираемых изделий. Сравнить полученные графики, отметить их
особенности; 2) установить, что является более вероятным - получить 2
первосортных изделия среди 5 наудачу отобранных или 5 первосортных среди 10
наудачу отобранных.
4. Из 10 винтовок 4 не проверены в прицельной стрельбе. Вероятность
попадания в мишень из проверенной винтовки приближенно 0,9, из
непроверенной 0,3. Из наугад выбранной винтовки выпущено по мишени
200 выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий будет
заключено между 120 и 150?
5. Торговый агент имеет 7 телефонных номеров потенциальных покупателей и
звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность
того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,45. Составить
закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит
провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной
величины.
6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим
ожиданием а= 20. Вероятность попадания Х в интервал (8; 16) равна 0,251.
Чему равна вероятность попадания Х в интервал (15;25).
7. При массовом производстве обуви брак составляет 4% выпускаемой
продукции. Сколько изделий надо отобрать для проверки качества
продукции, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы утверждать, что в
77
случайном наборе обуви для брака по абсолютной величине отличается от 4%
не более чем на 1%. Учесть, что случайная величина X доля брака в случайной
партии изделий распределена по нормальному закону.
8. Выборочным
путем
требуется
определить
средний
рост
мужчин
двадцатилетнего возраста. У скольких мужчин, отобранных случайным
образом, нужно измерить рост чтобы с вероятностью, превышающей 0,98.
можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет
отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной
величине не более чем на 1 см? Известно, что среднее квадратическое
отклонение роста для каждого мужчины у отобранной группы не превышает 5
см.
9. Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного
содержания металла в каждой пробе равна 0,2. Найти математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение числа проб с промышленным
содержанием металла.
10.Из колоды в 52 карты вынимают одновременно три карты. Найти
вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта
красной масти.
Вариант 19
1. В одной партии изделий 12 штук, в другой – 10 штук. В каждой партии одно
изделие бракованное. Изделие взятое наудачу из первой партии переложено во
вторую. После этого выбирается изделие из второй партии. Какова вероятность
того, что выбранное изделие будет бракованное.
2. Студент разыскивает нужную ему формулу в четырех справочниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем и
четвертом справочника, равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7 и 0,75. Найти
вероятность того, что эта формула содержится: 1) только во одном
справочнике; 2) хотя бы в одном справочнике; 3) не менее, чем в двух
справочниках.
3. На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные
двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом. Известно, что
78
из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 штук годные,
а из 100 штук, произведенных вторым заводом, годных 80 штук. Определить
вероятность наивероятнейшего числа лампочек, взятых наугад, среди 8 штук.
4. В каждом из 1000 ящиков 5000 белых
и столько же черных пуговиц. Из
каждого ящика наугад вынимаются по 3 пуговицы. Какова вероятность того,
что число ящиков, из которых вынуты 3 пуговицы одного цвета, не меньше
чем 220 и не больше чем 260?
5. В урне находятся шары трех весов 3 кг, 4кг и 5кг с соответствующими долями
0,2; 0,3 и 0,5. Извлекаются два шара с возвращением обратно.
закон
распределения
случайной
величины
Составить
X - суммарного веса двух
извлеченных шаров. Построить график распределения X. Составить функцию
распределения X и изобразить её графически. Найти D(x).
6. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0;2]. Требуется:
1) составить функцию плотности распределения вероятности; 2) найти
функцию распределения; 3) построить графики обеих функций; 4)
найти
вероятность события 0<Х<0,5; 5) рассчитать М0(Х) и D(x).
7. 15% продукции фабрики представляют изделия второго сорта. Магазин
получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии
продукция второго сорта составит 15% ±2%? Учесть, что ожидаемая доля
продукции второго сорта есть нормально распределенная случайная величина.
8. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить вероятность того, что данный
мотор не прослужит более 20 лет.
9. В группе 20 лыжников, 6 конькобежцев и 4 горнолыжника. Вероятность
выполнить норму мастера спорта для лыжника равна 0,9; для конькобежца 0,8; для горнолыжника - 0,75.
1) Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит
норму мастера спорта.
2) Известно, что выбранный наудачу спортсмен не выполнил норму мастера
спорта. Какова вероятность того, что это лыжник?
10.
Имеется 10 карточек, на которых написаны числа 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6.
Две из этих карточек вынимаются одна за другой. Число, написанное на
79
первой карточке, берется за числитель, на второй - за знаменатель дроби.
Найти вероятность того, что полученная дробь будет правильной.
Вариант 20
1. В первом ящике шары с номерами 5, 6, 8, 7, а во втором с номерами 1, 2, 3, 4.
Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что
сумма номеров вынутых шаров равна 10.
2. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,05%
брака, второй – 0,08% брака; продукция, поступающая с третьего автомата, не
содержит бракованных изделий. На сборку поступило 1500 деталей с первого
автомата, 2500 деталей со второго автомата и 1000 деталей с третьего
автомата. 1) Найти вероятность того, что деталь, выбранная наугад из всех
этих деталей, будет бракованной. 2) Какова вероятность того, что деталь,
выбранная наугад из данных деталей, поступила; а) с первого автомата; в) со
второго автомата; с) с третьего автомата.
3. Автоматический станок изготовляет 75% деталей первого сорта. Определить
наивероятнейшее число деталей первого сорта и наивероятнейшее число деталей
второго сорта среди четырех деталей, отобранных случайным образом, и
соответствующие им вероятности.
4. 80% изделий, поступающих в магазин со склада, высшего сорта. Сколько
изделий придется наугад взять со склада для контрольной проверки, чтобы с
вероятностью 0,99 можно было бы утверждать: в магазине изделий высшего
сорта от 75% до 85%?
5. Стрелок ведет стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле 0,2, при этом стрелок получает 5 очков. Составить закон
распределения случайной величины X - числа очков, полученных стрелком за
три
выстрела.
Изобразить
закон
графически.
Составить
функцию
распределения X. Найти М0(Х) и D(x).
6. Автобусы идут с интервалом 5 мин. Предполагая, что время X ожидания
автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найдите:
функцию
распределения;
2)
плотность
1)
распределения вероятностей; 3)
вероятность того, что время ожидания не превзойдет 2 мин; 4) постройте
80
графики обеих функций; 5) найдите М0(Х) и D(X).
7. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X
имеет вид f(x) = с A
−
( x − 2) 2
18
. Найдите коэффициент с и параметр а; напишите
функцию распределения F(x); найдите вероятность попадания X в промежуток
[2;5].
8. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что
за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Оценить вероятность того, что
число включенных в данный момент ламп будет отличаться от среднего
числа включенных по абсолютной величине: а) не больше, чем на три; б) не
меньше, чем на три.
9. Приводятся распределения урожайности на двух опытных участках.
I
II
Урож-ть в ц с 18
20
22
18
19
21
0,25
0,125 0,625
1га
вероятность
0,2
0,4 0,4
Какой участок имеет более устойчивую урожайность? Составить закон
распределения урожайности на обоих участках вместе.
10. Для выполнения лабораторной работы группа студентов из 12 девушек и 8
юношей случайным образом разбивается на 4 подгруппы по 5 студента в
каждой. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе будет по два юноша.
Вариант 21
1. Колода из 52 игральных карт делится наугад на две равные части. Найти
вероятности следующих событий: А={в каждой части окажется по 2 туза};
В={в одной из частей не будет ни одного туза}; С= {в одной из частей будет
ровно один туз}.
2. Два стрелка независимо один от другого делают по два выстрела каждый по
своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для
первого стрелка 0,8, для второго 0,85. Выигравшим соревнование считается
тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Какова вероятность
того, что выиграет первый стрелок?
81
3. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника в шахматы: 1)три
партии из четырех или пять из восьми; 2) не менее трех партий из четырех
или не менее пяти партий из восьми?
4. Электростанция пригородного хозяйства дает ток 2000 электролампочкам.
Вероятность включения каждой из них вечером 0,8. Какова вероятность того,
что в ближайший вечер будет включено от 1600 до 1900 включительно
электролампочек?
5. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить закон
распределения случайной величины X - числа бракованных изделий из 6
взятых наудачу. Построить график этого закона. Найти функцию распределения
X и изобразить её графически. Вычислить у(Х).
6. Дана
функция
распределения
0, x < 0,
⎧
⎪1
F ( x ) = ⎨ (1 − cos x ), 0 ≤ x ≤ π
⎪2
1, x > π
⎩
.
случайной
величины
X:
Требуется: 1) найти плотность распределения
вероятностей Х; 2) МО(Х), Д(Х) .
7. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами
подчинены нормальному распределению со средним значением, равным 16 км,
и дисперсией, равной 10 000 м. Найти вероятность того, что расстояние
между этими пунктами: 1) не менее 15,8 км: 2) не более 16,25 км; 3) не менее
15.75 км, но не более 16,3 км.
8. При контрольной проверке изготовляемых приборов было установлено, что в
среднем 15 шт. из 100 изготовленных оказывается с теми или иными
дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди
400
изготовленных
будет
по
абсолютной
величине
отличаться
от
математического ожидания этой доли не более, чем на: а) 0,02; б) 0,05.
9. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения х1 и
х2, причем х1< х2. Известно, что P(X=x1)=0,1, M0(X)=3,9, D(X)=0,09. Составить
закон распределения X.
10.В партии саженцев имеются в одинаковых количествах липы, тополя и березы.
Вероятность того, что посаженное дерево приживается, равна для липы 0,8,
82
для тополя 0,9, для березы 0,7. Найти вероятность того, что: 1) наудачу
выбранный саженец приживается; 2) наудачу взятое прижившееся дерево
окажется березой.
Вариант 22
1. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в
гостинице в два трехместных и один четырехместный номер.
Какова
вероятность того, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?
2. В партии, состоящей из 20 изделий, имеется 5 дефектных. Из партии
выбирается для контроля 7 изделий. Если среди контрольных окажется более
трех дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия
будет забракована.
3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер.
Производительность первого автомата втрое больше производительности
второго.
Вероятность
изготовления
годной
детали первым автоматом
равна 0,9, а вторым - 0,7. С конвейера взяты наудачу 5 деталей. Найти
вероятность того, что 4 из них годные.
4. Среди выпускаемых приборов имеется в среднем 25% недостаточно точных.
Определить вероятность наиболее вероятного числа точных приборов в партии
из 150 штук,
5. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны четыре
детали. Составить закон распределения случайной величины X
стандартных
среди
отобранных.
Составить
-
числа
функцию распределения X и
вычертить её график. Рассчитать D(X).
⎧0, если x < 0,
⎪
6. Дана функция f(x)= ⎨λ (4 x − x 2 ), если 0 ≤ х ≤ 2
⎪0,
если х > 2
⎩
При каком значении λ функция
f(x) может быть принята за плотность
вероятностей случайной величины X? Определить это значение λ . Найти
функцию распределения F(x), М0(Х), у(Х).
7. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону с математическим ожиданием - 164 см и средним
83
квадратическим отклонением - 5,5 см. Найти плотность вероятности и
функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность
того, что ни одна из пяти наудачу выбранных женщин не будет имеет рост
более 160 см.
8. Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине, равна 0,6.
Оценить вероятность того, что из 10 000 покупателей число сделавших
покупки будет заключено в пределах от 5900 до 6100 включительно.
Рассчитать эту же вероятность по интегральной формуле Муавра-Лапласа.
9. Случайная величина X задана законом распределения
х,
2
р,
0,1
3
?
?
11
0,3
0,2
Известно, что математическое ожидание X равно 5,7. Найти: а) Р(Х=3);
б) значение X, которое она принимает с вероятностью 0.3; в) дисперсию X; г)
Р(Х<7); д) функцию распределения X.
10.
Экзаменационный билет состоит из пяти вопросов. На каждый вопрос
даны три возможных ответа, среди которых необходимо выбрать один
правильный. Какова вероятность, что методом простого угадывания удастся
ответить по крайней мере на четыре вопроса?
Вариант 23
1. На тренировке детской спортивной школы по футболу роли игроков
распределяются случайным образом среди одиннадцати участников. Нужно
отобрать одного вратаря, четырех защитников, трех полузащитников и трех
нападающих. Какова вероятность того, что два друга - участника А и В: а)
будут играть в нападении; б) получат разные роли, причем один из друзей
будет играть в нападении, а другой – в защите9
2. На склад поступили электрические лампы трех партий. Известно, что в первой
партии, состоящей из 400 шт., содержится 1% нестандартных, во второй,
состоящей из 500 шт., - 2%, и в третьей, состоящей из 100,шт., - 4%. Со склада
лампы поступили в магазин и здесь оказались разложенными случайным
образом. Какова вероятность купить годную лампу?
84
3. Автомат изготовляет 2/3 числа деталей первого сорта и 1/3- второго сорта.
Определить наивероятнейшее число деталей первого сорта и наивероятнейшее
число деталей второго сорта среди четырех деталей, отобранных случайным
образом, и соответствующие им вероятности.
4. Вероятность того, что выписанный у продавца чек оплачивается в кассе,
составляет 0,9. Найти вероятность того, что из 100 покупателей число
оплаченных чеков превзойдет наивероятнейшее число неоплаченных чеков?
5. В коробке лежат 10 темных и 5 светлых галстуков. Продавец наудачу выбрал 3
галстука. Составить закон распределения случайной величины X - число
светлых галстуков среди выбранных. Построить график этого закона.
Рассчитать М0(Х) и D(x).
6. Случайная величина X имеет плотность f(x) =
a
. Найти постоянную
e − ex
−x
величину а и вероятность того, что в двух независимых наблюдениях X примет
значения, меньшие единицы.
7. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта
является случайной величиной, распределенной по нормальному закону.
Если стандартная длина равна 40см,
а стандартное отклонение 0,4см, то
какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
Составить функцию плотности распределения вероятности длины и функцию
распределения.
8. Для определения средней продолжительности горения электролампочек в
партии из 100 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампочке
из каждого ящика. Оценить вероятность того, что отклонение
продолжительности горения лампочки
в
средней
выбранной совокупности от
средней продолжительности горения лампочки во всей партии не превзойдет
8ч, если среднее квадратическое отклонение продолжительности горения
лампочки в партии не превышает 10 ч.
9. Потребление электроэнергии предприятиями №1
и №2 в течение суток
характеризуется следующими законами распределения:
№1
х,
840 860 880 900
№2: у, 950 980
85
1000
р,
0,1 0,3
0,5
0,1
g,
0,3
0,5
0,2
Какое предприятия имеет более устойчивое распределение потребления
электроэнергии. Составить закон распределения потребления электроэнергии в
течение суток обоими предприятиями.
10.Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение
выпавших очков четное.
Вариант 24
1. Среди кандидатов в студенческий совет 3 первокурсника, 5 второкурсников и
7 третьекурсников. Из этого состава выбирают 5 человек на конференцию.
Найти
вероятности
следующих
событий: А={будут выбраны одни
третьекурсники}; В={все второкурсники}; С={один первокурсник, два
второкурсника и два третьекурсника}; Д={все первокурсники}.
2. На вступительном экзамене по математике писали работу 50 абитуриентов,
среди
которых
подали заявления
на специальности:
а) строительство и
архитектура - 32; б) МВТ - 18 человек. Найти вероятность того, что наудачу
взятые две работы написаны абитуриентами, подавшими заявления на: а)
один и тот же факультет; б) на разные факультеты.
3. Вероятность для данного баскетболиста забросить мяч в корзину при броске
равна 0,3. Произведено 12 бросков. Какова вероятность наивероятнейшего
числа попаданий?
4. Известно, что в среднем 30% жителей данного района нуждаются в обуви 37го размера. Какова вероятность того, что из 270 человек обувь 37-го размера
понадобится 75 жителям?
5. На базе хранятся 10 холодильников, среди которых 2 с браком. Из этого
числа холодильников в магазин привезли 5. Составить закон распределения
числа годных холодильников из числа привезенных в магазин. Найти функцию
распределения этого числа и вычертить её график. Рассчитать математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение числа годных из пяти
привезенных в магазин холодильников.
6. Автобусы идут с интервалом 5 мин. Считая, что случайная величина X - время
ожидания автобуса на остановке - распределена равномерно на указанном
86
интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания.
Найти функцию распределения
X. Вычислить вероятность того, что время
ожидания превысит 3 мин.
7. На автомате изготовляются заклепки. Диаметр их головок представляет собой
случайную величину, распределенную по нормальному закону и имеющую
среднее значение 2 мм и дисперсию 0,01 мм2. Какие размеры диаметра головок
заклепки можно гарантировать с вероятностью
0,95?
Составить
функцию
плотности распределения вероятностей этой случайной величины.
8. В среднем из 100 деталей не удовлетворяют стандарту 20 деталей. Оценить
вероятность того, что среди 2500 деталей будет от 1950 до 2060 стандартных.
Вычислить эту же вероятность, используя интегральную теорему Лапласа, и
сравнить результаты.
9. Длительность жизненного цикла (в днях) для некоторого растения является
случайной
величиной
X
с
функцией
плотности
вероятности
⎧ x
, если 0 ≤ х ≤ 200
f(x)= ⎪⎨ 20000
⎪⎩0,
если | х | > 200 и − 200 < x < 0.
Каковы средняя длительность и дисперсия длительности жизненного цикла у
растений?
10. В группе из 20 стрелков имеются: четыре отличных, десять хороших и шесть
посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле
для отличника равна 0,9, для хорошего - 0,7, для посредственного - 0,5. На
линию огня вызываются наугад два стрелка. Они производят по одному
выстрелу. Найти вероятность того, что стрелки попадут в цель.
Вариант 25
1. Батарея, состоящая из 5 орудий, ведет огонь по группе, состоящей из 8
самолетов. Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от
других. Найти вероятность того, что: 1) все 5 орудий будут стрелять по одной
и той же цели; 2) все будут стрелять по разным целям.
2. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода
содержит 20 % телевизоров со скрытым дефектом, второго —10%. третьего —
87
5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин
поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% с
третьего?
3. По
цели
производится
пять
независимых
выстрелов.
Вероятность
попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Для получения зачета по
стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения
зачета.
4. Вероятность того, что покрышка на колесе велосипеда в течение сезона
потребует ремонта, равна 0,3- Найти вероятность того, что число годных
покрышек среди 72 превзойдет наивероятнейшее число годных покрышек.
5. В цехе имеется 6 однотипных станков. Вероятность того, что каждый станок
будет работать в течение смены без остановок равна 0,8. Составить закон
распределения случайной величины X - число станков, работающих в течение
смены с остановками. Найти функцию распределения X и изобразить её
графически. Рассчитать М0(Х) и у(Х).
6. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана в виде
⎧0, если x ≤ 0,
⎪ 2
x
F(x)= ⎪⎨ , если 0 < х ≤ 2
⎪4
если х > 2
⎪⎩1,
Требуется:
1)
вычислить
Р(Х>1);
2)
составить
функцию
плотности
распределения вероятностей X; 3) вычертить графики обеих функций; 4)
вычислить М0(Х) и у(Х).
7. Из пункта О ведется стрельба из орудия вдоль прямой ОХ. Предполагается,
что дальность полета снаряда распределена нормально со средним значением
1000м и средним квадратическим отклонением 50м. Найти, сколько
процентов снарядов: 1) даст перелет от 40 до 60 м; 2) пролетят расстояние
меньшее средней дальности; 3) пролетят расстояние большее средней
дальности.
8. Вероятность того, что покупателю магазина женской обуви необходимы
туфли размера 37, равна 0,2. Оценить вероятность того, что доля
покупателей,
которым
необходимы
88
туфли
37-го
размера, отклонится
по абсолютной величине от вероятности не более чем на 0,04, если всего в
магазине ожидается 8000 покупателей.
9. Законы
распределения
независимых
случайных
величин
X
и
Y
характеризуются следующими таблицами:
X: х,
р,
2
4
6
Y: у,
2
4
0,2
0,3
?
gj
?
0,6
Найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает значение 6, а
случайная величина Y - значение 2. Составить закон распределения разности
заданных случайных величин и на этом примере проверить свойство о
математическом ожидании разности случайных величин.
10. Из 50 членов клуба велосипедистов никто не хочет, чтобы его
регистрационный номер (от 1 до 50 включительно) содержал восьмерку – цифру
напоминающую погнутое колесо велосипеда. Поэтому все они условились
выбирать номера по жребию. Какова вероятность того, что последний участник
жеребьевки будет обрадован доставшемуся ему номеру?
Вариант 26
1. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. В билете три вопроса. Найти
вероятность того, что студент ответит на билет.
2. Журналист разыскивает нужную ему книгу в трех библиотеках. Вероятность
наличия книги в первой библиотеке 0,9, во второй - 0,8, в третьей - 0,7. Найти
вероятность того, что: 1) книга есть во всех библиотеках: 2) книга есть только
в первой библиотеке; 3) книга есть только в одной библиотеке; 4) книга есть
только в двух библиотеках; 5) журналист найдет книгу.
3. Рабочий обслуживает 10 однотипных станков. Вероятность того, что станок
потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность
того, что в течение часа этих требований будет от трех до пяти включительно.
4. На заводе вырабатывается в среднем 80% холодильников отличного качества.
Какова вероятность того, что в партии из 1000 холодильников окажется
наивероятнейшее число холодильников отличного качества?
5. Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного
срока, равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа
89
телевизоров,
которые
потребуют
гарантийного ремонта из 6 проданных
телевизоров. Найти функцию распределения X и изобразить её графически.
Рассчитать М0(Х) и D(X).
6. Пригородные поезда данного маршрута идут с интервалом 5 мин. Пассажир
подходит к платформе в некоторый момент времени. Какова вероятность
появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего
поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?
Каково среднее время ожидания поезда Какова дисперсия времени ожидания
поезда?
7. Химический
завод
изготавливает
серную
кислоту
номинальной
плотности 1,84 г/см3 . В результате статистических испытаний обнаружено,
что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в
интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет
стандарту, если для этого достаточно, чтобы её плотность не отклонялась от
номинала более чем на 0.01 г/см3. Предполагается, что плотность распределена
нормально.
8. Оценить количество замеров поперечного сечения деревьев на большом
участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а
не более чем на 2 см с вероятностью, не меньшей 0,95. Известно, что среднее
квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см
и измерения производятся без погрешности.
9. На выборах мэра города каждый из 800000 избирателей, независимо от
остальных избирателей, с вероятностью 0,6 отдает свой голос за кандидата А
и с вероятностью 0,4 – за кандидата В. С какой вероятностью на выборах
победит кандидат А?
10.
Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами,
выбираются 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их
номеров показывает возрастание. Какова вероятность того, что номера всех
трех жетонов четные.
90
91
92
Список литературы
1.
Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и методом оптимизации. – М.: Форум, 2008 г.
2.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высшая школа, 1998 г.
3.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979 г.
4.
Зарубин В.С. Теория вероятностей. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004
г..
5.
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2002 г.
6.
Красс М.С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. – СПб.:
Питер, 2009 г..
7.
Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и
упражнениях. – Москва: Форум, 2008 г.
93