1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1.Основные понятия Определение 1. Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида , где так называемая мнимая единица Если , то число , то число и действительные числа, а . называется чисто мнимым; если есть действительное число. А это означает, что множество действительных чисел R является подмножеством множества C всех комплексных чисел, т.е. Число C. называется действительной частью комплексного числа обозначается ,а мнимой частью и . Так, действительная часть комплексного числа равна , мнимая часть равна 2. Определение 2. Два комплексных числа называются равными ( и ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и . Определение 3. Комплексное число тогда, когда равно нулю только . Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Определение 4. Два комплексных числа и ̅ , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются комплексносопряженными. Определение 5. Модулем комплексного числа число | | √ называется . Замечание. Сопряженные комплексные числа имеют равные модули | | | ̅|. и ̅ 2 2.Геометрическое истолкование комплексных чисел в алгебраической форме Любое комплексное число плоскости можно изобразить точкой . Обратно, каждую точку координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, на ней лежат действительные числа . Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа Соединив точку . с началом координат, получим вектор ̅̅̅̅̅. В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа вектор ̅̅̅̅̅. 3. Действия и свойства действий над комплексными числами в алгебраической форме Определение 1.Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством (1) Из формулы (1) следует, что сложение комплексных чисел, изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов (Рис.1). 3 Рис.1 Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами: , . Докажем первое свойство. . Определение 2. Вычитание комплексных чисел. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число, которое, будучи сложенным с , дает число : . Пример. Найти сумму и разность комплексных чисел (2) и . , . Рис.2 Из равенства (2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (Рис.2). Непосредственно из рисунка видно, что | | | | | |. Отметим, что | | √ , т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа на комплексной плоскости. 4 Например, равенство | | определяет на комплексной плоскости множество точек , находящихся на расстоянии 2 от точки окружность с центром в , т.е. и радиусом 2. Определение 3. Умножение комплексных чисел. Произведением комплексных чисел в алгебраической форме и называется комплексное число, определяемое равенством . (3) Эта формула формально получается путем перемножения двучленов и : . Например, . и ̅ Замечание. Произведение сопряженных чисел в силу равенства (3) выражается так: ̅ или ̅ | | | ̅| . Т.е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них. Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным, распределительным (дистрибутивным) свойствами: , , . В этом легко убедиться, используя определение (3). Определение 4. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел и будучи умноженным на , называется комплексное число , которое, , дает число , т.е. , если . Если 5 { Решая систему, найдем значения и : Окончательно получаем Практически деление комплексных чисел выполняется следующим образом: чтобы разделить на , умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю (т.е. на ). Тогда делителем будет действительное число; разделив на него действительную и мнимую части делимого, получим частное ыполнить деление Замечание. Если в выражении, составленном из комплексных чисел посредством конечного числа арифметических действий, каждое комплексное число заменить на сопряженное, то и результат заменится на комплексно-сопряженный. Для доказательства достаточно проверить для каждого действия в отдельности: ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , ̅̅ ̅̅̅̅̅̅ , 6 ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅ Проверим, например, выполнение первого из действий: ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Комплексные числа в тригонометрической форме 1.Основные понятия Определение. Тригонометрической формой ненулевого комплексного числа называется выражение комплексного числа , где модуль ]. , а угол Покажем, как перейти от алгебраической формы задания комплексного числа к тригонометрической форме. Т. к. , то или , или , значит, ; и, значит, комплексное число можно записать в виде √ ( √ ) √ Нетрудно проверить, что: | | √ | √ | Значит, существует такой угол ( √ ) ( √ √ ) ,и √ | | есть модуль комплексного числа. √ Угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого , где любое целое число: . При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа , т.е. считать Отметим, что в качестве значения аргумента из промежутка ]. ]. можно брать величину 7 Модуль и аргумент комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты радиус-вектора ̅̅̅̅̅, изображающего комплексное число . Если точка лежит на действительной или мнимой оси, то можно найти непосредственно (см. Рис.3). Например, для ; для ; для ; для . Рис.3 Пример 1. Записать комплексное число в тригонометрической форме. Решение. Найдем модуль и аргумент данного комплексного числа: | | √ √ ;{ √ √ и, значит, . 8 √ ( Поэтому, ). ( Пример 2. Запись ) не является тригонометрической формой записи комплексного числа. Перепишем что ( в виде . Таким углом из промежутка , является угол ). Надо найти такой угол ( . Значит, ] ). 2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме Теорема 1 (произведение комплексных чисел в тригонометрической форме) Произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых чисел, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей. Доказательство Найдем произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме и : ( ) Теорема доказана. Правило умножения комплексных чисел распространяется на любое конечное число сомножителей. В частности, если , то целое положительное число, , 9 Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Формулу Муавра легко доказать методом математической индукции. Теорема 2 (деление комплексных чисел) Модуль частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Доказательство ( ) ( ) Теорема доказана. Пример 1.Найти произведение и частное , = ( ( . ( Решение. ) комплексных чисел ) ( ( )) ( ( Пример 2.Найти ( Решение. Запишем число ) ( ( ); ) ( )) ) √ ) . √ в тригонометрической форме: 10 √ | | ( √ ( ( √ ) √ ) ( ) [ ( ( √ ( ) ( ; т.е. , )). По формуле Муавра имеем ( ))] ) . 3.Извлечение корней из комплексных чисел Определение. Корнем комплексное число, √ , если ой степени из комплексного числа называется ая степень которого равна подкоренному числу, т.е. . Если ,а , то по определению корня и формуле Муавра, получаем . Отсюда имеем , т.е. , , где √ , любое целое число, √ арифметическое (действительное положительное) значение корня из положительного числа . Следовательно, √ ( √ Придавая значения корня. Для других значений число, кратное ) , получим (4) различных значений аргументы будут отличаться от полученных на , и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень, ой степени из комплексного числа имеет ровно различных значений. Пример. Найти все значения кубического корня из 1. Решение. Представим 1 в тригонометрической форме: По формуле (4) получаем: . 11 √ √ Полагая . равным 0, 1, 2, находим три различных значения корня: , √ , √ . Комплексные числа в показательной форме Используя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме , где | | модуль комплексного числа, а угол В силу формулы Эйлера, функция периодическая с периодом . Для записи комплексного числа в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать угол Задания для самостоятельной работы Задание 1. Следующие комплексные числа изобразить векторами и записать в тригонометрической и показательной формах: √ ; a) b) c) ; ( ). Задание 2. Представить в алгебраической форме числа: a) ( ); b) √ ( c) . ); . 12 Задание 3. Представить в тригонометрической и алгебраической формах числа: a) ; ( b) ). Задание 4. Найти и a) , если: ; b) . Задание 5. Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел: a) ; (√ b) √ ) ( ) . Задание 6. Найти расстояние между точками: a) и b) и ; . Задание 7. Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих следующим условиям: a) { ̅ | b) | c) { | d) √ √ |; | | ( ) . 13 Задание 8. Вычислить: a) ; b) ; c) . Задание 9. Найти: a) ( ) ; b) c) ; (√ )( . √ ) Задание 10. Вычислить: a) (√ ( b) ( )) ; √ √ c) ( √ ) ; ) ; d) . Задание 11. Выполнить действия: a) ( ) ( ( b) (√ ) ( , )) ) , результат представить в алгебраической форме. Задание 12. Найти все значения корней из комплексных чисел: a) √ b) √ ; √ ; 14 c) √ ; d) √ . Задание 13. Решить уравнения: a) ; b) c) ; d) ; ̅ ; e) | | f) ; . Задание 14. Найти: a) действительные решения; b) комплексные решения системы уравнений {