Деление многочленов с остатком. Теорема Безу (лекция)

Центр дополнительного образования «Дистантное обучение»
МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА)
10«Б»
Деление многочленов с остатком. Теорема Безу
(лекция)
1. Разделить многочлен P (x) на многочлен Q(x) c остатком означает предъявить многочлены S(x) — (неполное) частное — и R(x) — остаток, такие что
P (x) = Q(x) · S(x) + R(x)
и
deg R < deg Q.
2. Найдите остаток от деления многочлена x243 + x81 + x27 + x9 + x3 + x на x − 1.
РЕШЕНИЕ.
Воспользуемся формулой xk − 1 = (x − 1)(xk−1 + xk−2 + . . . + x + 1). Ответ: 6.
3. Теорема Безу. Остаток от деления P (x) на Q(x) = x − γ равен R = P (γ) ∈ R
(т.е. просто число — многочлен нулевой степени).
4. Следствие из теоремы Безу. Многочлен P (x) делится на многочлен Q(x) =
x − γ тогда и только тогда, когда P (γ) = 0.
5. При каком a многочлен x1000 + ax2 + 9 делится на x + 1?
РЕШЕНИЕ.
x + 1 = x − γ при γ = −1. Подставим x = −1 в x1000 + ax2 + 9, получим
a + 10 = 0, откуда a = −10.
6. Докажите, что при n ∈ N справедливо nxn+1 − (n + 1)xn + 1 ... (x − 1)2 .
РЕШЕНИЕ.
Разделим P (x) = nxn+1 − (n + 1)xn + 1 на x − 1:
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
xn − 1
n
= nx −
= nxn − (xn−1 + xn−2 + . . . + x + 1) = Q(x).
x−1
x−1
В последний многочлен подставим x = 1: Q(1) = n·1n −(1n−1 +1n−2 +...+11 +1) = 0,
отсюда Q(x) ... (x − 1), т.е. P (x) ... (x − 1)2 .
7. При каких a и b многочлен P (x) = (a + b)x5 + abx2 + 1 делится на x2 − 3x + 2?
РЕШЕНИЕ.
Разложим x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) и в P (x) подставим x = 1 и x = 2:
P (1) = a + b + ab + 1 = 0,
P (2) = 32(a + b) + 4ab + 1 = 0.
31
31
Решая систему, получаем ответ (a, b) ∈
−1,
,
, −1 .
28
28
Центр дополнительного образования «Дистантное обучение»
МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА)
10«Б»
Деление многочленов с остатком. Теорема Безу
(семинар)
1. Разделите c остатком многочлен P (x) = x5 − 17x + 1 на многочлен
(б) x2 + 3x + 2;
(а) x + 2;
(в) x5 − 3x2 ;
(г) x7 − 2x + 3.
2. Докажите, что (x + 1)6 − x6 − 2x − 1 делится на x(x + 1)(2x + 1).
3. При каких a многочлен
P (x) = a3 x5 + (1 − a)x4 + (1 + a3 )x2 + (1 − 3a)x − a3
делится на многочлен Q(x) = x − 1?
4. При каких m, v многочлен x2013 − mx1995 − vx1982 + 1 делится на x2 − 1?
5. Пусть многочлен P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 имеет различные
корни γ1 , γ2 , . . . , γn .
(а) (!!) Докажите, что P (x) = an (x − γ1 )(x − γ2 ) . . . (x − γn ).
(б) Рассмотрим многочлен Q(x) = P (x)P (−x). Докажите, что функция
√
Q( x) является многочленом с корнями γ12 , γ22 , . . . , γn2 .
6. Докажите, что если многочлен P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 имеет
хотя бы n + 1 корень, то P (x) ≡ 0.
7. Найдите все многочлены P (x), для которых справедливо тождество
x · P (x − 1) ≡ (x − 5) · P (x).
Определение. Кратные корни.
Мы видели, что γ — корень многочлена P (x), если P (x) ... (x − γ).
Если P (x) ... (x − γ)2 , то говорят, что γ — кратный корень.
.
Если P (x) ... (x − γ)k , но P (x) 6 .. (x − γ)k+1 то γ — корень кратности k.
8. Докажите, что корень γ многочлена P (x) имеет кратность больше 1 тогда и
только тогда, когда P (γ) = 0 и P 0 (γ) = 0.
9. Докажите, что при n ∈ N многочлен
n2 xn+2 − (2n2 + 2n − 1)xn+1 + (n + 1)2 xn − x − 1
делится на (x − 1)3 .