Метод неопределенных коэффициентов. Уравне

Центр дополнительного образования «Дистантное обучение»
МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА)
10«Б»
Метод неопределенных коэффициентов. Уравнения 3й степени
1. Найдите остаток от деления многочлена x2013 на
(а) многочлен x2 − 3x + 2;
(б) многочлен x2 − 1.
2. Представьте в виде суммы простейших рациональную дробь
1
x
2x + 1
(а) 2
;
(б) 2
;
(в) 3
.
x −1
x − 3x + 1
x −1
РЕШЕНИЕ.
1
1
−
1
x
−1
2
2
2
(а) 2
=
+
; (б) 2
=
+
;
x −1 x−1 x+1
x − 3x + 2 x − 1 x − 2
1
−x
2x + 1
(в) 3
=
+ 2
x −1
x−1 x +x+1
3. Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x4 + x3 + 2x2 + ax + b
был полным квадратом?
РЕШЕНИЕ.
Многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь квадратного трёхчлена. Поскольку старший коэффициент равен 1, то и квадратный трёхчлен, возведением в квадрат которого получен данный многочлен, тоже должен иметь старший коэффициент, равный 1. Итак, x4 + x3 + 2x2 + ax + b = (x2 + px + q)2 ,
или x4 + x3 + 2x2 + ax + b = x4 + 2px3 + (p2 + 2q)x2 + 2Bpqx + q 2 . Приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества,
получим необходимые уравнения для определения неизвестных коэффициентов
a, b, p, q: 2p = 1, p2 + 2q = 2, 2pq = a, q2 = b.
Решив эту систему уравнений, найдём B=1/2, C=7/8, a=7/8, b=49/64 .
p
p
√
√
3
3
4. Упростить выражение 2 + 5 + 2 − 5.
p
p
√
√
3
3
РЕШЕНИЕ. Оно равно 1. Действительно, обозначим 2 + 5 + 2 − 5 = x и
заметим, что x3 + 3x − 4 = 0. У этого уравнения есть только один действительный
корень, и тот равен 1.
5. (а) Уравнение x3 + ax2 + bx + c = 0 упрощается заменой t = x + a/3.
(б) Формула Кардано для корней уравнения t2 + pt + q = 0:
v
v
q
q
u
u
3
3
u
u
2
3 −q +
3 −q −
q + 4p 27 t
q 2 + 4p 27
t
t=
+
.
2
2
Центр дополнительного образования «Дистантное обучение»
МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА)
10«Б»
Контрольная работа по теме
«Нечто рациональное»
x2 + 3x + 4
x
−
.
x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 3 x2 + 1
(б) Решить F (x) > 0.
1. Дано рациональное выражение F (x) =
(а) Решить F (x) = 0.
(в) Построить эскиз графика y = F (x).
(г) Представить F (x) в виде суммы простейших дробей.
2. Дан многочлен P (x) = x2013 −5x1991 +4x1989 −20. Найдите остаток от деления
P (x) на (а) Q1 (x) = x − 3; (б) Q2 (x) = x2 − 6x; (в) Q3 (x) = (x − 3)2 .
3. Даны попарно различные действительные числа a, b, c, d. Рассмотрим уравнение
(x−a)(x−b)(x−c) (x−b)(x−c)(x−d) (x−c)(x−d)(x−a) (x−d)(x−a)(x−b)
+
+
+
= 1.
(d−a)(d−b)(d−c) (a−b)(a−c)(a−d) (b−c)(b−d)(b−a) (c−d)(c−a)(c−b)
(а) Докажите, что x = a является корнем этого уравнения.
(б) Найдите все корни этого уравнения и докажите, что других нет.
4. Докажите, что ни при каких натуральных x, y число
x8 − x7 y + x6 y 2 − x5 y 3 + x4 y 4 − x3 y 5 + x2 y 6 − xy 7 + y 8
не является простым.
Письменное д/з
5. Найдите все пары натуральных k и простых p, такие что 5p + 1 = k 2 .
6. Разложите на множители
(а) (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc;
(б) a3 + b3 + c3 − 3abc.
7. x, y, z — попарно неравные целые числа. Докажите, что
(x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5
делится на 5(x − y)(y − z)(z − x).
8. Известно, что z + 1 z = 1. Чему равно z 2013 + 1 z 2013 ?