Моделирование гидродинамических режимов
advertisement
Модели идеального смешения и идеального вытеснения Все многообразие взаимодействующих диффузионных и тепловых потоков пребывания учетом можно математических идеального с распределения формализовать моделей: в идеального вытеснения, по времени виде типовых перемешивания, диффузионной, ячеечной, циркуляционной и комбинированной. Перечисленные типовые модели отвечают следующим требованиям: 1) отражают основные физические закономерности реального потока в рассматриваемых условиях; 2) являются достаточно простыми; 3) позволяют экспериментально или теоретически определять параметры модели; 4) дают возможность их использования для расчета конкретных процессов. Рис. 1. Функции отклика для модели идеального смешения: 1 - метод вымывания (метод импульсного введения индикатора); 2 - метод ступенчатого введения индикатора Модель идеального смешения соответствует аппарату, в котором поступающее в него вещество мгновенно 1 распределяется по всему объему аппарата. Концентрация вещества в любой точке аппарата равна концентрации на выходе из него. Уравнение модели идеального смешения записывается в виде: (1) где Свх - концентрация вещества на входе; С – концентрация вещества в аппарате и на выходе из аппарата; V – объем аппарата; v - объемный расход потока через аппарат. Отклик модели идеального смешения на входное возмущение для метода вымывания соответствует убывающей экспоненциальной зависимости с начальной концентрацией Сн (кривая 1 на рис. 1): (2) При импульсном возмущении уравнение имеет аналогичный вид, так как введенный индикатор в количестве g мгновенно распределяется по всему объему и начинается его вымывание. Начальная концентрация при этом равна Сн = g/V. Соответственно изменение концентрации на выходе потока из аппарата описывается уравнением (2) (кривая 1 на рис. 1). При ступенчатом введении индикатора со скачкообразным изменением концентрации в момент времени t = 0 от С = 0 до С = Свх функция отклика принимает вид (3) (кривая 2 на рис. 1). Передаточная функция аппарата идеального смешения определяется с помощью преобразования по Лапласу исходного уравнения модели и имеет вид 2 3 4 Граничные материального условия баланса могут на быть концах заданы аппарата из условия (условия по Данквертсу). Рассмотрим левый конец аппарата, в который поступает поток с некоторой средней скоростью u (рис. 3.13). 5 Рис. 14. Схема потоков у правого конца аппарата Сумма потоков вещества, подходящих к границе х = 0, должна быть равна потоку вещества, отходящего от границы. Тогда получим (89) или (90) Для правого конца аппарата (рис. 14) имеем (91) На практике часто принимают С ≈ Свых. С учетом этого граничное условие (91) примет вид (92) Условия (90), (92) называются граничными условиями по Данквертсу. Двухпараметрическая модель. В этой модели учитывается перемешивание потока в продольном и радиальном направлениях, причем модель характеризуется коэффициентом продольного (DL) и радиального (DR) перемешивания. При этом принимается, что величины DL и DR не изменяются по длине и сечению аппарата, а скорость постоянна. 6 При условии движения потока в аппарате цилиндрической формы радиуса R с постоянной по длине и сечению скоростью уравнение двухпараметрической модели имеет вид: Для малых отклонений от потока идеального вытеснения, что часто наблюдается в трубчатых реакторах, С-кривые хорошо аппроксимируются нормальным гауссовским распределением, и связь между σ2 дисперсией и коэффициентом обратной диффузии дается уравнением: σ 2 =2 D L⋅L ω3 При более жестких условиях применяют формулу: 2 σ =2⋅ D L⋅L ω 3 − D 2L ω 4 ⋅ 1−exp − ω⋅L DL 3.5. Ячеечная модель Вывод основных уравнений модели. Рассматриваемая модель, впервые предложенная для каскада реакторов с мешалками, является одной из наиболее простых. В этом случае аппарат состоит из ряда последовательно соединенных ячеек, через которые проходит поток вещества (рис. 20). Сделаем следующие допущения: 1) в каждой ячейке осуществляется идеальное перемешивание; 2) между ячейками отсутствует обратное перемешивание. Параметром ячеечной модели, количественно характеризующим продольное перемешивание, служит число ячеек полного перемешивания N. С увеличением N структура потока приближается к модели полного вытеснения, а с уменьшением N – к модели идеального смешения. 7 Запишем уравнения сохранения массы для каждой из ячеек (для простоты предположим, что ячейки имеют одинаковый объем Vя): (270) Рис. 20. Схема ячеечной модели: v - расход вещества через аппарат; Свх - концентрация на входе 8 9 10 11 12
