Урок по теме « Графики функций у=ах2+п и у=а(х-т)2»

Урок по теме «График квадратичной функции»
Пояснительная записка
Данный урок является первым из двух уроков, которые отводятся на изучение темы «Графики
функций у=ах2+п и у=а(х-т)2» Преподавание ведётся по учебнику « Алгебра, 9», Ю.Н.
Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б. Суворова. Данная тема включена в главу
«Квадратичная функция». Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции
у=ах2, её свойств и особенностей графика, а уже затем рассматриваются частные виды у=ах2+п
и у=а(х-т)2 .Эти сведения используются при изучении свойств квадратичной функции общего
вида. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции у=ах2+bx+c может быть получен
из графика функции у=х2 с помощью соответствующих преобразований относительно осей
координат.
Цель урока: выработать умение строить графики функции у=ах2+п и у=а(х-т)2с помощью
параллельных переносов вдоль осей координат.
Образовательные задачи урока:
 способствовать развитию у учащихся навыков чтения и построения графиков
функций;
 формировать навык простейших преобразований графиков функций;
Развивающие задачи урока:
 развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся,
 развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать
выводы;
 развивать коммуникативную компетенцию учащихся;
 создать условия для проявления познавательной активности учащихся;
Воспитательные задачи урока:
 воспитывать культуру умственного труда;
 воспитывать культуру коллективной работы;
 воспитывать информационную культуру.
На данном уроке используются следующие информационные методы – отсканированное
решение домашней задачи и демонстрация её в Microsoft Word; использование интерактивной
доски и программы Smart Notebook, устная работа с помощью программы Advanced Grapher.
Построение графиков функций с помощью различных преобразований- процесс трудоемкий,
занимающий много времени на уроке. Кроме того, на обычной классной доске графики
получаются нечеткие, громоздкие, даже с использованием цветного мела трудно добиться
желаемой четкости и наглядности. Интерактивная доска позволяет избежать этих неудобств. С
помощью программы Smart Notebook хорошо просматривается весь процесс преобразования
графика, его движение относительно осей координат, а не только начальный и конечный
результат. С помощью программы Advanced Grapher графики получаются четкие, разного цвета,
что способствует лучшему наглядному восприятию изучаемого материала и достижению
поставленной цели урока.
При подготовке к уроку использовались следующие источники:
 Асташкина И.С., Бубличенко О.А. «Дидактические материалы к урокам алгебры в 8-9
классах.-Ростов н/Д: Феникс, 2003.(Серия «Школа радости»)
 Шалкина С.В. «Здоровьесберегающие технологии на уроках математики»/
festival.1september.ru / Фестиваль педагогических идей«Открытый урок» 2006-2007
учебный год
 Соколовская Т.А. « Квадратичная функция и её график»/ festival.1september.ru
/Фестиваль «Открытый урок» 2004-2005 учебный год
Ход урока
Содержание урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1. Оргмомент
Цель: подготовка учащихся к работе на уроке
Приветствует учащихся, определяет
Приветствуют учителя, создают группы,
отсутствующих, делит класс на группы
организуют пространство.
по желанию учащихся
2. Проверка домашнего задания
Цель:
 выяснение того, кто из учащихся справился с заданием и готов к усвоению нового материала;
- проверка правильности выполнения задания;
№ 81. Найдите координаты точек
Называют причины затруднений при выполнении
2
пересечения графиков функций у= -х и
Выясняет:
задания.
у=2х-3. Выполните графическую
Возможные затруднения:
 кто не справился с заданием;
иллюстрацию.
при нахождении ординат точек пересечения;
 причины затруднений;
при построении графиков заданных функций
 кто выполнил задание .
Проверяют правильность решения задачи по
Проецирует на экран отсканированное
предложенному образцу.
решение, выполненное одним из
учащихся
( сканирование можно сделать перед
началом урока) ( приложение1)
3. Постановка цели урока.
4. Устная работа.
Цель:
-актуализация опыта учащихся по данной теме;
-подготовка учащихся к усвоению нового материала;
-организация целенаправленной познавательной деятельности учащихся.
В алгебре достаточно большой раздел
посвящается квадратичной функции. С
Ответы:
* Многие величины из окружающей нас жизни
одним из видов квадратичной функции
вы знакомы - это функция у = ах2. Сегодня мы снова возвращаемся к
рассмотрению квадратичной функции,
но заданной уже в виде у = ах2 + Ьх + с.
А как вы, ребята, думаете, почему
квадратичной функции нужно уделить
особое внимание? (Приложение 2)
связаны зависимостью у = х2, например, площадь
квадрата от его стороны.
* Отражающая поверхность фары в автомобиле
имеет параболическую форму.
* Некоторые законы физики описываются
квадратичной функцией
Вопрос:
Сколько вам необходимо знать точек,
чтобы построить график функции
у=ах2?
Ответы:
- составить таблицу значений из 5-7 точек,
симметричных относительно оси у;
- вершину О(0;0) и еще 2-3 точки на одной из
ветвей параболы.
Вопрос:Как с помощью графика у=х2
построить: а) у=3х2; б)у= ½ х2;
в) у= -3х2
Учитель с помощью программы
Advanced Grapher демонстрирует
соответствующие преобразования
(Приложение 3)
а)графика функции у=х2 в у=3х2
Ответы:
График функции у = af(x) можно получить из
графика функции у = f(х) с помощью растяжения от
оси х в а раз, если а > 1, и с помощью сжатия к оси
х в 1/а раз, если 0 < а < 1.
б)графика функции у=х2 в у=1/2х2
в)графика функции у=3х2 в у=-3х2
График функции у = -f(x) можно получить из
графика функции у=f(х) с помощью симметрии
относительно оси х.
Учитель.
Ранее было отмечено, что с параболой
можно встретиться во многих областях
знаний. Приведу еще примеры.
* Если выпустить из орудия снаряд под
углом к поверхности земли, то снаряд
опишет траекторию, близкую к параболе
(Приложение 4)
* В межпланетном пространстве многие
кометы движутся по параболам.
(Приложение 5)
Учащиеся приводят свои примеры, где можно
встретить параболу
5. Работа в группах
Цель:
-
выработка навыка анализа условия задачи на необходимость и достаточность данных для её решения;
развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
развитие творческой стороны мыслительной деятельности учащихся;
воспитание культуры коллективной работы.
Учитель. Смогли бы вы построить
график функции у=ах2+bx+c, если
коэффициенты а,b,с будут заданы
Ответ.
Да, если взять достаточно большое количество
точек.
Как вы думаете, какую из известных вам
кривых напомнит построенный график?
Параболу.
Проблемная ситуация: Заданы 5 точек
на координатной плоскости(задается
несколько пятерок).Можно ли по этим
точкам построить
параболы?(Приложение 6)
Учащиеся пытаются построить параболы по
указанным точкам.
Проблемная ситуация.
Учащиеся понимают, что ответ могут дать лишь
наугад, так как не хватает знаний
Учитель.
Сосредоточьте
свой
взгляд,
свое
внимание на форму, расположение
парабол. Запишите на листе все
проблемы, которые возникают при
исследовании
зависимости
между
формой, расположением параболы и
функцией, ее задающей.(Приложение 7)
Среди сформулированных вопросов могут быть и
такие, на которые ребята могут знать ответ.
Через 4-5мин слушаем ответы.
Некоторые проблемы, которые ставят учащиеся:
 От чего зависит расположение вершины
параболы?
 Что может влиять на «ширину» параболы?
 В каких случаях парабола пересекает ось
абсцисс, касается ее или не пересекает?
 Сколько достаточно знать точек, чтобы
построить график любой квадратичной
функции?
Учитель. Начнем исследование функции
у=ах2+bх+с с частных случаев.
Например, пусть b=0.Рассмотрим на
примере функции у=х2+3.
Учащиеся заполняют таблицы (два ученика
работают у доски),сравнивают полученные
значения и делают вывод, что для любого значения
х значение второй функции на 3 единицы больше
соответствующего значения первой. Значит, график
второй функции есть также парабола, полученная
переносом графика первой функции вверх
параллельно оси ординат на 3 единицы.
Таблица 1
х
-3 -2
у
9
4
Таблица 2
х
у
-3
12
-2
7
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
-1
4
0
3
1
4
2
7
3
12
Сравним таблицы значений для функций
у=х2 и у=х2+3.
Учитель с помощью интерактивной
доски демонстрирует параллельный
перенос.(Приложение 8(стр.1))
Учитель предлагает учащимся построить
график функции у=х2-5





- Какова область определения
функции?
- Какова область значений функции?
Указать промежутки возрастания и
убывания функции.
Какая прямая является осью
симметрии функции?
Чему равно наименьшее значение
функции?
Таблица 1.
х
у
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
2
4
3
1
4
0
5
1
6
4
7
9
Таблица 3.
х
у
1
9
Учитель предлагает учащимся ответить
на вопросы, записанные на классной
доске.
Учащиеся выполняют построение в тетрадях с
помощью шаблонов.
Учащиеся выполняют построение в тетрадях с
помощью шаблонов, в той же координатной
плоскости.
Учащиеся отвечают на вопросы, сравнивают
свойства функций.
Делают вывод: график функции у = ах2 + n является
параболой, которую можно получить из графика
функции у = ах2 с помощью параллельного
переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0,
или на n единиц вниз, если n < 0.
Учитель. Теперь рассмотрим функцию
у=(х-4)2.Для этого в одной системе
координат построим графики функций
у= х2 и у=(х-4)2.Таблица значений для
первой функции заполнена, составим
таблицу значений второй функции. При
этом в качестве значений аргумента
выберем те, которые на 4 больше
соответствующих значений аргумента в
таблице 1.
Учащиеся заполняют таблицу(один ученик у доски)
и замечают, что значения аргумента изменились, а
соответствующие значения функции те же, что и
записанные во второй строке таблицы 1.
Учитель с помощью интерактивной
доски демонстрирует параллельный
перенос или предлагает это сделать
учащимся.(Приложение 8(стр. 1))
Далее учащиеся строят график, отметив точки,
координаты которых указанные в таблице 3.Один
ученик выполняет построение на интерактивной
доске.
Замечают, что если переместить каждую точка
графика функции у=х2 на 4 единицы вправо, то
получим график функции у=(х-4)2.
Учащиеся отвечают на вопросы, сравнивают
свойства функций.
Учитель предлагает учащимся построить
график функции у=(х+6)2
Учащиеся делают вывод: график функции
у =а(х-т)2 является параболой, которую можно
получить из графика функции у = ах2 с помощью
параллельного переноса вдоль оси х на т единиц
вправо, если т > о, или на т единиц влево, если
т < о.
6.Закрепление полученных знаний.
№ 87(а,г)
Учитель координирует действия
Учащиеся выполняют преобразования в тетрадях с
учащихся, помогает проговаривать и
помощью шаблонов, розданных учителем. По
обосновывать выполняемые
очереди выполняют преобразования на
преобразования.(Приложение 8(стр.2,3)) интерактивной доске.
7. Самостоятельная работа
Цель:
-формировать умения по заданной формуле строить графики функций у = ах2 + n и у =а(х-т)2
Учитель консультирует тех учащихся,
Учащиеся выполняют работу в тетрадях.
которые затрудняются при выполнении
Помощники - консультанты помогают
задания, выбирает помощников –
затрудняющимся
консультантов из числа справившихся с
заданием.
Демонстрирует правильное решение(к
каждому графику подвигаем
соответствующую формулу)
(Приложение 9)
8. Подведение итогов.
Домашнее задание:п.6, №89, 94, 96.
Учитель обращается к учащимися с
просьбой проговорить изученные
правила построения графиков. Задает
домашнее задание
Учащиеся проговаривают основные правила
преобразований графиков и записывают домашнее
задание.