Скалярное произведение векторов ( ) ( )

Скалярное произведение векторов
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин
двух векторов на косинус угла между ними.
a  b  a  b  cos 
Пример:
a  6, b  7,   60
a  b  6  7  cos 60  21
Признак перпендикулярности векторов:
два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю, т.е.
a  b  a b  0
Пример. Если угол между векторами равен 900 (векторы - перпендикулярны), а, как
известно, cos90  0 , то скалярное произведение равно нулю.
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.
Если a   X 1 ; Y1  и b   X 2 ; Y2  , то a  b  X 1 X 2  Y1Y2
Пример: дано: a  (5; 7), b  (3;1)
a  b  5  (3)  (7)(1)  15  7  8
Чтобы найти угол между векторами используют следующие формулы:
cos  
a b
ab
или
cos  
X 1 X 2  Y1Y2
X  Y12  X 22  Y22
2
1
Пример: Найдем угол φ между векторами a  (5; 7), b  (3;1)
Скалярное произведение векторов (сам. работа)
Вариант 1
Вычислите скалярное произведение векторов a и b , если a  2 , b  3 , а угол между
ними равен 120о .
2. Скалярное произведение ненулевых векторов c и e равно 0 . Определите угол
между векторами c и e .
3. Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m  (3; 2), n  (2;3) .
4. Найдите угол между ненулевыми векторам a =( х ; у) и b =(-у ; х).
5. Вычислите косинус угла между векторами m и n , если m  (3; 4), n  (15;8) .
6.Даны векторы: a  (2; 3) и b  ( x; 4) . При каком значении х эти векторы
перпендикулярны?
cos  
5  (3)  (7)(1)
5  (7)  (3)  (1)
2
2
2
2

8
 0, 2941
74  10