Cкачать.

1
2
Во всех нижеследующих задачах задания звучат одинаково: найти потенциал электрического поля изображённой на рисунке системы зарядов на больших расстояниях
от неё с точностью до квадрупольных слагаемых включительно.
Другими словами, нужно вычислить полный заряд системы
момента
(точнее, его компоненты
момента системы
, вектор дипольного
) и все компоненты тензора квадрупольного
, а затем подставить их в формулу для мультипольного разло-
жения потенциала.
3
4
5
6
7
Во многих задачах система зарядов обладает аксиальной симметрией. Поэтому
рассмотрим этот случай в общем виде. Аксиальная симметрия означает, что у
системы зарядов есть ось вращательной симметрии, то есть вращения системы
зарядов вокруг этой оси переводят систему саму в себя. Поместим начало отсчёта в
любую точку на оси вращательной симметрии, ось z направим вдоль этой оси.
Заметим, если использовать цилиндрические координаты (
), то при таком
выборе системы координат из аксиальной симметрии следует, что объемная (или
поверхностная, или линейная) плотность распределения заряда не зависит от угла :
Покажем, что при наличии аксиальной симметрии и при указанном выборе
системы координат иммеют место следующие равенства:
Для определённости рассмотрим случай объёмного распределения заряда, для
поверхностного и линейного распределений рассуждения аналогичны.
Рассмотрим два одинаковых элемента объема
, расположенных на
одинаковых расстояних от оси вращательной симметрии как показано на рисунке:
8
То есть вся система состоит из аналогичных пар зарядов, причем вклад в вектор
от каждой пары параллелен оси симметрии. Значит, и сам вектор
симметрии, т.е.
параллелен оси
.
Рассмотрим два одинаковых элемента объема
, расположенных на
одинаковых расстояних от оси вращательной симметрии как показано на рисунке:
Рассмотрим два одинаковых элемента объема
, расположенных на
одинаковых расстояних от оси вращательной симметрии как показано на рисунке:
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19