y1 m1, r1 m2, r2 W2 W1 X hd y1 m1, r1 m2, r2 W2 W1 X hd

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԱԶԳԱՅԻՆ ԱԿԱԴԵՄԻԱՅԻ ՏԵՂԵԿԱԳԻՐ
ИЗВЕСТИЯ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК АРМЕНИИ
66, №4, 2013
Մեխանիկա
Механика
УДК 539.3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СДВИГОВЫХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДЕ В
АНТИПЛОСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
Погосян Н. Д., Саноян Ю. Г. , Терзян С. А.
Ключевые слова: волна, однородный слой, неоднородный слой, свободная граница.
Key words: shear wave, homogeneous layer, nonhomogeneous layer, free boundary.
Պողոսյան Ն. Ձ., Սանոյան ՅՈՒ. Գ., Թերզյան Ս. Հ.
Սահքի ալիքների տարածումը երկշերտ միջավայրում
Դիտարկվում է հակահարթ ալիքների տարածումը երկշերտ միջավայրում երբ մի շերտն
համասեռ է, իսկ մյուս շերտն ունի էքսպոնենցիալ անհամասեռություն: Ուսումնասիրվել է ստացված
դիսպերսիոն հավասարումը արագությունը բնութագրող պարամետրի նկատմամբ:
Poghosyan N. D., Sanoyan Ju. G., Terzyan S. A.
Shear Waves Propagation in Two-Layer Media
The propagation of shear waves in a two-layer medium when one layer is homogeneous and other
heterogeneous with exponentially heterogeneity is considered. The obtined dispersion equation for velocity is
studied.
Рассматривается распространение сдвиговых волн в двухслойной среде, когда один слой однородный,
а другой неоднородный с экспоненциональной неоднородностью. Изучено полученное дисперсионное
уравнение относительно параметра, характеризующего скорость.
Задачe распространения упругих волн в двухслойной среде посвящены работы
Jones J.P. [1], Бреховского Л.М. [2] и др. В данной работе изучается двухслойная
среда (фиг.1), где первый слой {xœR, yœ[-h,0]} имеет экспоненциальную
неоднородность, а второй слой {xœR, yœ[0,d]} – однородный с постоянным модулем
сдвига  20 и плотностью  20 .
h
m1, r1 W1 m2, r2 W2 d y 1
X Фиг. 1.
Предполагается, что модуль сдвига и плотность слоя 1 меняются по толщине по
закону
1 ( x, y )  10 e 2 y , 2 ( x, y )  20 e 2 y , yœ[-h,0]
На границах y   h, y  d заданы условия свободной границы
12
(1)
W1
y
0,
y  h
W2
y
0 .
(2)
yd
На границе контакта слоёв 1 и 2 принимаются условия непрерывности перемещений
и касательных напряжений
W1 ( x, 0)  W2 ( x, 0) , 1,yz (x, 0)  2,yz (x, 0)
или с учётом закона Гука
W1
W1 ( x, 0)  W2 ( x, 0) , 10
y
  20
y 0
W2
y
.
(3)
y 0
Уравнение распространения чисто сдвиговых волн сдвига в слое 1 имеет вид


W   2W1
2
ct21  W1  2 1  
, где ct1  10 .
(4)
2
y   t
10

Уравнение распространения волн сдвига в слое 2 с постоянным модулем сдвига
и плотностью
 20
20 будет

 2W2
, где ct22  20 .
(5)
2
20
t
Рассматривается антиплоская задача, т.е. вектор перемещения представляется в виде
ct22 W2 

u  0, 0,W  x, y, t   .
(6)
Требуется найти решение уравнений (4) и (5), удовлетворяющие граничным
условиям (2) и (3). Решение уравнения (4) представим в виде гармонической волны,
распространяющейся в направлении оси Х


W1  A1еkp1 y  B1еkp2 y exp i(kx  t ) ,
(7)
где
p1,2  
ct22
2

2
2

2




,
,
.



1






1
k
k
ct21
k 2 k 2 ct21
k2
k 2 ct22
Решение уравнения (15) имеет вид


W2  A2 sink   1 y  B2 cosk   1 y exp i (kx  t ) .
(8)
Подставляя эти решения в граничные условия (2) и (3), получим систему уравнений
A1 p1e  kp1h  B1 p2 e kp2 h  0 ,
A2 cosk   1d  B2 sink   1d  0 ,
(9)
А1  B1  B2  0 ,
А1кp1  B1 кp2  А2 k    1  0 ,
где    20 / 10 .
Равенство нулю детерминанта системы приводит к уравнению, определяющему
фазовую скорость волны
p1e  kp1h
p2 e  kp2 h
0
0
1
0
1
cosk   1d
0
kp1
kp2
k    1
0
sink   1d
0
1
0
После преобразований получим
13
tgkh  
   1 tgkd   1
k    1     1 tgkd   1
,
(10)
где     1   2 / k 2 .
При a=0,     1 получим
  1tgkh   1     1 tgkd   1  0 ,
(11)
Случай   0 соответствует тому, когда оба слоя однородны. Формулу (10) после
введения обозначений d h  r , kh  , h   можно записать в виде
tg
   1 
  
2
2
   1 2  2 tg r   1
.
    1     1tg r    1
  1
(12)
При kd   получим   1  0 и тогда
 1  
tg kh 
  1   1   / k
,
(13)
которое представляет дисперсионное уравнение задачи Лява [4] с неоднородным
слоем, внешняя граница которой свободна от нагрузок. При   1 из (12) получим
tg   1 
2
h  0 ,
2
n
 1
2
  n
2
, nZ .
  1  2 / 2
Уравнение (11) имеет бесконечно много решений, помимо этого, надо учесть
решения системы уравнений
или   
 tg kd   1  0,

 tgkh   1  0,
kd   1  n.

kh   1  m.
m, n  N .
(14)
Отсюда получается зависимость между d и h
d
 nh 
(1  )k 2 h 2  2 m 2
В частности, при
d
.
(15)
n  1, m  1 получим
h 
(1  )k 2 h 2  2
.
Аналогично для неоднородной среды получим:
 tg   1   2 / k 2  k h  0,

 tgk h   1  0,
2
2
 k h   1   / k  n,

 k d   1  m.
отсюда получим
d
nh 
k 2 h 2 (1  )  2 m 2   2 n 2
В частности, при n  1, m  1 получим зависимость
14
m, n  N
h 
d
.
k 2 h 2 (1  )  2   2
При   1 и   1 из уравнения (11) получим
  1(tgkd   1    1 tgkh   1)  0
sink (h  d )   1  0 , что представляет собой решение задачи об однородном
слое толщиной h  d . В уравнении (11) при kd   величина  должна
удовлетворять условию   1
или
  1tgkh   1  i   1 tgikd   1  0 .
Учитывая, что
lim th kd 1    1 ,
kd 
получим
tgkh   1 
 1 
  1
.
Ниже приведены результаты численных расчётов.
q=1.568, g=.78221,e =0
8
8
6
6
r =2
r =1
r =0.1
4
2
0
0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
moda 2
4
2
0.0
q=1.568, g=.78221 ,r =1,e =0
10
h x 
h x 
10
moda 1
0
1
2
3
4
5
6
x
Фиг.2. Зависимость     для одно-
Фиг. 3. Моды     для однородных
родных слоёв при разных значениях
отношений толщин r.
q=1.568, g=.78221,r =1
слоёв
10
e=2
6
8
h x 
h x 
8
e=0
4
2
0
1.568,.78221,r1,2
10
0.5
1.0
1.5
4
moda 2
2
e=-2
0.0
6
2.0
2.5
x
3.0
Фиг.4. Зависимости     , когда один
слой неоднородный для разных  .
0
moda 1
0
1
2
3
4
5
6
x
Фиг.5. Моды зависимостей      
в неоднородном случае
15
Значения     на фиг. 2 при увеличении
 уменьшаются и становятся меньше
единицы.
Таким образом, распространение волн в двухслойных средах, когда первый слой
неоднородный, а второй однородный, имеет следующие особенности:
1) число волн бесконечно, если скорость распространения сдвиговой волны
, и
больше скорости объёмной волны первого слоя, умноженной на 1   / k
больше скорости объёмной волны второго слоя;
2) существует конечное число волн, если скорость распространения сдвиговой
2
2
волны больше скорости объёмной волны первого слоя, умноженной на 1   / k ,
и меньше скорости распространения объёмной волны второго слоя;
3) не существует сдвиговых волн, распространяющихся со скоростью меньшей
2
2
минимума скорости объёмной волны первого слоя, умноженной на 1   / k , и
меньше скорости объёмной волны второго слоя.
2
2
ЛИТЕРАТУРА
1. Jones J.P. Wave Propagationin a Two-Layered Medium.//Journal of Applied Mechanics. 1964. June. Pp.213-222.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 342с.
3. Даноян З.Н., Даноян Н.З., Манукян Г.А. Поверхностные электроупругие волны
Лява для двух слоёв на пьезоэлектрической подложке.// Изв. НАН Армении.
Механика. 2001. Т.54. № 4. С.22-25.
4. Мхитарян А.М., Погосян Н.Д., Терзян С.А. Поверхностная волна типа Лява для
слоя с эспоненциальной неоднородностью по толщине.// Изв. НАН Армении.
Механика. 2006. Т.59. № 4. С.39-43.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир,1975. 872с.
Сведения об авторах:
Погосян Норик Джанибекович – науч. сотр. Института механики НАН Армении.
Адрес: 0019, Ереван, пр. Маршала Баграмяна 24б.
Тел.: (37410) 233598. Е-mail: [email protected]
Саноян Юрий Геворкович – ст. науч. сотр. Института механики НАН Армении.
Адрес: 0019, Ереван, пр. Маршала Баграмяна 24б.
Тел.: (37410) 541319. Е-mail: [email protected]
Терзян Саркис Арутюнович –науч. сотр. Института механики НАН Армении.
Адрес: 0019, Ереван, пр. Маршала Баграмяна 24б.
Тел.: 340432. Е-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 27.08. 2013
16