V/l 197 6 2 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ЭНТРОПИЙНЫМ СЛОЕМ

УЧЕНЫЕ
т о ом
удк
ЗАПИСКИ
V/l
ЦАГИ
.м
197 6
2
533.6.011
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ЭНТРОПИЙНЫМ СЛОЕМ
А. Н. iИuнайлос
Методом сквозного счета
[1] исследовано
взаимодействие удар:
ной волны с плоскими ВЫСОК09НТРОПИЙНЫМИ струями как в свободном
сверхзвуковом потоке , так и в потоке у поверхности тела. Рассмот­
рен случай
правильного отражения волн.
1.
вов
Аналитическое исследование задач о взаимодействии и отражении разры­
в
плоском
трудностей,
дена в
[2]).
сверхзвуковом
потоке
сталкивается
с
рядом
математических
вызванных нелинейностью решения (обширная библиография приве­
Трудности значительно возрастают, если параметры поля течения не
являются кусочно-постоянными функциями координат.
Численное решение задачи методами сквозного счета позволяет обойти
9ТИ трудности. Однако возникают другие трудности, связанные с точностью и
интерпретацией полученных результатов. Под влиянием
присутствующих в
расчетной схеме, ударные волны
диссипа'l'!t-IВНЫХ членов,
и контактные разрывы
размываются. Слабые волны могут совсем нивелироваться схемой. В [1] показано,
например, что схема С. к . Годунова [3] полностью размывает слабый скачок
уплотн!'ния
после
второго
отражения
разрывов. Метод, рассмотренный в
его
от
поверхностей
тангенциальных
[1], не содержит в направлении У искусствен­
ной вязкости. ДиссипаТИВНblе
члены присутствуют там только начиная с чет­
вертых производных решения. Это позволяет описывать более слабые ударные
волны, чем допускает схема [3] .
В связи с наличием в поле течения различных видов разрывов определение
существования
скачка
уплотнения,
тангенциального
разрыва
или
волны
разре­
жения проводится по нескольким параметрам течения (например, плотности,
9НТРОПИЙНОЙ функции, давлению). В случае ударных волн иногда целесообразно
проверять значения нормального к определяемой волне компонента числа М до
и после ударной волны.
После того как существование волны установлено, ее положение можно
указать с точностью до размеров размытого фронта. Будем считать для опреде­
ленности,
наты
что
точки,
положение
в
которой
дискретного
плотность
разрыва
равна
соответствует
полусумме
значению
плотностей
до
коорди­
и
после
разрыва .
Таким образом, необходимо помнить, что схемы сквозного счета не описы ­
вают слабые разрывы.
С другой стороны, возможно и появление в результатах
ложного, не существующего на самом деле .схемного· 9НТРОПИЙНОГО слоя,
наиболее ярко выраженного в области за течением Прандтля - Майера.
Исследованные
линиями
показаны
типы
течений
ударные
волны,
изображены
штриховыми
на
-
фиг.
1 и
2.
Сплошными
тангенциальные разрывы
и
пунктиром - границы течения Прандтля - Майера. Цифрами указаны отдельные
области течения между разрывами. В дальнейшем нижние индексы в обозначе-
149
~~-~:~==~-----------пм-----
--- - -- -- - ---
Фиг.
- -- ---
I
2-
-.:-------!-_ - __ C~
----
----
________ __~J-8or
ПМ
о
----------п
с§
r
"5' . . . .
-r
2
/
с
в
о
б
2
параметры.
областях. Число
Стрелками
показаны
10
8
ниях параметров указывают номера областей на фиг.
риваются
-_-_----8s
~/
1125
Фиг.
-::.
F
с
-=--:.-:. - - - -----п7.г - - ----
]
и
направления
2,
в
которых
х
рассмат­
течения в отдельных
Ml основного потока равно б, отношение удельных теплоемко­
стей "1.. = 1,4 во всем поле течения. С учетом приложений к внешним задачам
аэродинамики был исследован узкий класс задач, в котором энтальпия торможе­
ния считается постоянной. Угол падения ударной волны е (см. фиг. 1) и отноше­
ние плотности
в
энтропийном
слое
к
плоТ/юсти
основного
потока
задаются.
N=
RзlR t
Течение А (см. фиг. 1) описывает взаимодействие ударной волны со сво­
бодной сверхзвуковой высокоэнтропийной струей, имеющей в начальном сече­
нии
постоянные
параметры:
и=
150
2"1..
Рз
1---"1..-]
Rз '
V
VЗ
=0;
здесь
R - плотность, отнесенная к R1 ; р - давление, отнесенное
.
'
к R} V2
• и,
шах,
компоненты скорости в декартовой системе координат (отнесены к Vmax).
Течение В (см. фиг. 2) отличается от А тем, что энтропийный слой движется
ВДОJlЬ прямолинейной поверхности. Параметры у поверхности тела рассчитыва­
V -
ются с помощью .принципа отражения": введения вспомогательного фиктивного
с лоя J
= 1 (1- нумерация
(F)/=l
узлов сетки в направлении оси у)' на котором
(Р,
= (F)I=2' (F =
R, И}),
(V)I=l
С тенка расположена посредине между узлами
В данном
случае .принцип
отражения'
J = I и 2.
эквивалентен расчету
н а стенке с помощью распада разрыва; см., например,
Течение
С
отличается
от
В
линейным
= -(V)I=2'
параметров
[4].
законом
изменения
плотности в
энтропийном слое и моделирует энтропийный слой около боковой поверхности
тупого тела, летящего со сверхзвуковой скоростью. Профиль плотности на
внешней границе энтропийного слоя имеет разрыв первой производной, а на
R =
поверхности тела
N. В случае С параметры течения являются переменными
T
не только в областях влияния течения Прандтля - Майера, как в случаях А и
В, а во всем поле течения . Линии разрывов искривляются.
Расчеты проводились до места, где в энтропийном слое остаются только
с лабые ударные волны, плохо описываемые разностной схемой.
2. На фиг. 1 и 2 изображены картины течения, полученные при 6 250 и
N = 0,5. Взаимодействуя с энтропийным слоем, ударная волна про изво д ит работу
=
.
по сжатию слоя и ослабевает.
В случае А
энтропийный
.
слой
изменяет
направление
движения
в ту же
сторону, что и поток за ударной волной (1-2). В задаче встречаются два типа
взаимодействия волны с контактным разрывом: с образованием течениия раз­
режения и ударной волны (в точке В на фиг. 1) и с образованием двух ударных
волн (точки С,
D, Е на фиг. 1). Известно [5], что эти типы теljений отличаются
отношением скоростей звука на контактном разрыве со стороны волны и с про­
тивоположной стороны.
Падающая основная ударная волна (1-2) проходит через энтропийный слой
(3-5) и выходит из слоя ослабленной (1-7). Система остальных волн, распрост­
раняющихся в слое и выходящих из него, значительно слабее основной . Напри­
мер, первая отраженная волна (5- б) по перепаду плотностей в восемь раз
слабее волны (1-2) (см. фиг. 3, на которой изображены значения плотности R,
энтропийной функции
На
фиг.
3
S
= P/R
щтриховыми
X
и чис л а М в сечении А -А, фиг . .1).
линиями
чальном сечении, сплошными линиями
соответствующие области ф·иг. 1.
обозначены
-
значения
параметров
в сечении А -А, цифрами
в
на­
обозначены
Отметим, что в энтропийном слое растут плотность и энтропия, а число М
уменьшается от значения М = 3,7 до величины М = 2,5 (в области 5) и М
2,31)
(в области б). Немонотонность поведения функций R и М (фиг. 3) в области
тангенциального разрыва (4 - 5) вызвана неуда чной формой введения изоэнтро­
пичности в расчетную схему. Вводя условие изоэнтропичности в виде конечно­
разностного уравнения, а не алгебраического соотношения, можно устранить
эту немонотонность [1].
На фиг. 4 для различных вариантов течения А, отличающихся углом паде­
=
ния
волны
6
и
отношением
плотностей
N,
представлены
степень
уплотнения
энтропийного слоя R IО /R з , у гол поворота струи о и уменьшение угла наклона
основной ударной волны после прохождения ее через энтропийный слой М=6-6 2 •
На фиг. 4 (так же как и на фиг . 6) кружками обозначены результаты при 6=250
и квадратами-при 6=300. Разброс значений д6 вызван неточностью опредедения
угла 62 по размытому фронту волны. Характерны почти линейная зависимость
функции R 10 / R з (определяет уменьшение площади поперечного сечения струи)
от параметра N и сильная нелинейность функции Д6. Значения о слабо зависят
от
N,
зависимость о
= о (6)
близка к линейной .
В предельном случае (N -+ 1) в течении А контактные разрывы вырождаются,
энтропийный слой исчезает, получается простое решение для косой ударной
волны . На фиг. 4 в этом случае А6 = О, о определяет угол поворота потока
в ударной волне (1.- 2) и R1о/R з
R2 /Rl' Результаты расчетов в этом случае
=
совпадают
с
точным решением.
В случаях В и С (фиг. 2) основная волна (3 - 5) сжимает энтропийный слой
И отражается от повер)шости тела (5 - б), проходя вторично по слою. Затем,
в случае В, ударные волны многократно отражаются, ослабевая, от контактного
разрыва (4·- 5, 7 - 8, 10 -l1, ... ) и поверхности тела, в случае С контактный
разрыв "слабый', на нем рвутся первые производные плотности и скорости газа ,
а не сами функции, поэтому в точке Dволна выходит из слоя не отражаясь.
151
В случае С,
как
уже
отмечалось,
градиентов параметров
лежит ниже по потоку,
линии
разрывов
искривлены
из-за наличия
в 9НТРОПИЙНОЙ струе. Точка отражения основной
чем в случае В.
волны
Распределение давления по поверхности тела Рт (см. фиг. 2) иллюстрирует
в случае В отражение ударных волн от стенки при Х
3,5; 5,1; 6, а в случае
С-отражение одной волны при X=4,1 . и затем плавное сжатие в области .удара"
=
I
f1
--1
г
L
__ -.1
-1
пм
tI
If
J
I
I
I
L __
J
I
о
Фиг.
3
=
о тело слоя /5 (до Х
6). Рост плотности в
9НТРОПИЙНОМ слое значительно (в два-три раза)
больше, чем в случае А (фиг. 5 и 6). Это объ ­
ясняется наличием сильной отраженной волны
(5 - б). На фиг. 5 для случаев В и С пред­
ставлены в сечении F - F те же зависимости,
что и на фиг. 3 для случая А. Обозначения те
же, что и на фиг. 3. Число М в случае В в
области 7 (фиг. 2) падает до 2,8, в области
10 - до 2,6 и в 9НТРОПИЙНОМ слое - до 1,3.
На фиг. 6 представлены сжатие струи
R l1 /R з , давление в 9НТРОПИЙНОМ слое
II и
угол отражения основной волны б з для раз­
личных вариантов случаев В и е. Варианты
отличаются, как и на фиг. 4, значениями б и
N. Белые значки относятся к случаю В, чер­
ные - к С, форма значков, как и на фиг. 4,
P
3
~
соответствует
..--' ~
J
2
1
0.75
0.50
Фиг.
152
4
разным
углам
падения
волны.
Как и отношения плотностей углы б з в
случаях В и С близки между собой. При N-I
получаем в пределе течение без 9НТРОПИЙ­
ного слоя С отражением ударной волны от
стенки. Случаи В и С при 9ТОМ тождественны
9.2з
N
и обозначены на
фиг. 6
белыми значками.
В 9ТОМ предельном случае полученное реше­
ние
проверено
по
точным
соотношениям
в
ударных волнах. Результаты совпадают с точ­
ностью до 1 %.
В заключение необхо д имо отметить , что в расчетах не учитывались влияние
вязкости,
наличие
пограничного
слоя
и
слоя
смешения,
которые
могут
сущест­
венным образом изменить картину.
На примерах плоского и осесимметричного течений со ск ачками Джино
Моретrи [6] убедительно показал преимущества схемы расчета, ОПИСblвающей
у дарные
волны
как дискретные
нению с некоторой схемой
схема сквозного счета для
выбрана неудачно, так
разрывы,
по
срав-
сквозного счета. Эта
иллюстрации была им
как
в
окрестности
разрыва
она дает не имеющие физического смысла осцил­
ляции решения. Осцилляции искажают решение в
областях взаимодействия разрывов и отражения их
от твердых поверхностей . Неудачный выбор схемы
д искредитирует
методы
сквозного
1,5
счета.
у
h-I-r-\---'7"+-t-_+--чf -)-- -
~O~:~
s
fi.
~5Г----Г----Г---~
r-r--
i
i
~qг-----~----г---~
I
I
~2~----~--~L---~
I I
li,/liJ
CIJ
В
1,0 11
\:
_
I!
с \.... n\ I
/J.,5Н1-I1 --f--I~C~/~~--\;-j~---t-;1J
о
J
f{.
Фиг.
9
I
1 1
ir7C1-;1
u!~~~~~~~~~~C~
2
о R ~oг 1l.-0'I.5 1
I
I
1
г------±;....t=-:F----j
7г---~----_+--
__~
I
S М
Фиг.
5
6
Однако при правильном выборе схемы сквозного счета, bo-пеРВblХ, удов­
летворяющей условию монотонности и, во-вторых, имеющей второй (или .почти"
второй) порядок аппроксимации, такой метод может вполне конкурировать
с методом, использующим алгоритм [6], до таких слабых амплитуд разрывов,
интенсивность KOTOPblX сравнима с ошибкой аппроксимации разностной схемы.
Требование повышенного порядка аппроксимации схемы необходимо, чтобы
разрывы
размывались
интенсивности
в
самих
пределах
двух-трех
счетных
интервалов
независимо
от
разрывов.
В областях формирования ударных волн и тангенциальных разрывов метод
сквозного счета имеет преимущества, так как не требует специального алго­
ритма, который следил бы за образованием разрывов.
Автор благодарит И. В. Иерусалимскую, принимавшую участие в програм­
мировании,
расчетах
и
анализе
результатов.
ЛИТЕРАТУРА
К о с ы х А. П., М и н а й л о с А. Н. Исследование методов
сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики. .УчеНblе
записки ЦАГИ", т. Vll, N~ 1, 1976.
2. Арутюнян Г. М., Карчевский Л. В. Отраженны е удар­
ные волны. М., .Машиностроение", 1973.
3. Г о д у н О в С . К. Разностный метод численного расчета ра з ­
1.
рывных решений уравнений
ги д родинамики .
1959.
Матем. сб ., т.
3.
М
47 ,
'
4.
И в а н о в М. Я.,
сквозного
счета
для
К рай к о А. Н. ,
двумерных
и
М и хай л о в Н . В. Метод
пространственных
сверхзвуковых
т е чений. Ж. вычислит. матем . и матем. физ., 12, N~ 2, 1972.
5. К У р а н т Г., Фри Д р и х с К. Сверхзвуковое течение и удар­
ные волны. М., Изд. иностр . лит ., 1950.
б. М о r е t t I О. Тhrее-dimепsiопаl, supersonic, steady flows With апу
пumЬеr of imbedded shocks . AIAA Paper N 74-10.
Рукопись поступила 2бjV/l
1974
г.