Экзамен. Закон преломления (закон Снеллиуса) и закон

Экзамен. Закон преломления (закон Снеллиуса) и закон отражения.
Закон Снеллиуса можно доказать с помощью построений Гюйгенса. Мы
сделаем это при рассмотрении кристаллооптики, а сейчас докажем его иначе.
При преломлении света длина волны изменяется, а частота — нет. Если
бы частота света изменялась, то на границу раздела падали бы волны с одной
частотой, а уходили — с другой, что невозможно.
Рассмотрим плоскую световую волну, которая падает на плоскую
границу двух сред. Плоские условия задачи означают плоские решения. Тогда
отраженная и преломленная волны тоже будут плоскими.
Введем обозначения для волн:
i — падающая волна (input — падать),
r — отраженная волна (reflect — отражать),
t — преломленная волна (transpierce [trens'pies]— пронзать насквозь).
На границе раздела
двух сред должны
выполняться граничные условия
для электрического E и магнитного B полей. Чтобы граничные условия
выполнялись одновременно во всех точках границы необходимо, чтобы
пространственные частоты падающей, отраженной и преломленной волн были
бы равны.
Рассмотрим составляющую Ex электрического поля вдоль границы
раздела двух сред, составляющую, которая лежит в плоскости падения света.
Плоскость падения — это плоскость, в которой лежит нормаль к границе
раздела сред и волновой вектор падающей волны. Составляющая Ex для
каждой из трех волн на границе раздела сред — синусоида, а сумма трех
синусоид может дать ноль, только если их пространственные частоты
одинаковы.
Выберем направление оси z перпендикулярно границе раздела двух сред.
Тогда условие одинаковых пространственных частот трех волн на границе
раздела примет вид:
k ( i ) = k ( r ) = k ( t )
x
x
 x
, где i, r , t — индексы для падающей, отраженной и
 (i )
( r ) = k (t )
k
k
=
 y
y
y
преломленной волн.
Выберем направление оси y перпендикулярно плоскости падения света
i
r
t
так, чтобы для падающей волны k ( ) = 0 , тогда k ( ) = k ( ) = 0 . Следовательно,
y
y
y
все три луча и нормаль к границе раздела лежат в плоскости падения x, z .
i
Углом падения света называют угол α ( ) между нормалью к границе
i
r
раздела сред и направлением падающего луча k ( ) . Угол отражения α ( ) —
r
t
угол между нормалью и отраженным лучом k ( ) , угол преломления α ( ) —
t
угол между нормалью и преломленным лучом k ( ) .
Тогда для каждой из трех волн справедливо равенство k x = k ⋅ sin (α ) .
i
r
t
Подставим это в равенство пространственных частот k ( ) = k ( ) = k ( ) и
x
x
x
получим:
i
i
r
r
t
t
k ( ) sin α ( ) = k ( ) sin α ( ) = k ( ) sin α ( )
( )
( )
( )
Из двух выражений для фазовой скорости Vф =
k =n
ω
ω
k
=
c
получаем, что
n
. Подставим это выражение для волнового числа k в предыдущую
c
формулу с синусами
n 1ω
n 1ω
n 2ω
i
r
t
sin α ( ) =
sin α ( ) =
sin α ( ) , где n1 и n2 — показатели
c
c
c
преломления двух сред.
( )
( )
Сократим формулу на отношение
( )
( )
( )
ω
c
и получим
( )
i
r
t
n1 ⋅ sin α ( ) = n1 ⋅ sin α ( ) = n 2 ⋅ sin α ( ) .
π
r
≤ α ( ) ≤ , означающего, что отраженный свет
2
2
остается выше границы раздела сред, получим
α ( i ) = α ( r ) — угол падения равен углу отражения или закон отражения.
С учетом неравенства −
π
i
t
Обозначим α 1 ≡ α ( ) и α 2 ≡ α ( ) и получим закон преломления или закон
Снеллиуса:
n1 sin α 1 = n 2 sin α 2 .
( )
( )
Заметим, что если параллельных границ между разными средами много,
то
n ⋅ sin (α ) = const для всех границ.
Экзамен. Формулы Френеля. Амплитудные коэффициенты отражения и
пропускания.
Найдем амплитуды отраженной и преломленной волн из граничных
условий, с учетом поперечности световых волн и с учетом законов отражения и
преломления.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
 div ( D ) = 4πρ

 rot ( E ) = − 1 ⋅ ∂B

c ∂t

 div ( B ) = 0

4π 1 ∂D
j+ ⋅
 rot ( H ) =
c
c ∂t

для границы раздела принимают следующий вид
D2n − D1n = 4πσ
E − E = 0
1τ
 2τ
.
B2n − B1n = 0

 H − H = 4π i
1τ
 2τ
c
ε1E1n = ε 2E2 n
σ = 0
E = E
i = 0
 1τ

2τ
, тогда 
.
Для прозрачных сред 
B
B
=
D
ε
E
=
n
n
1
2


 H1τ = H 2τ
B = µ H
Те же соотношения должны выполняться и для комплексных величин,
тогда
ε1E1n = ε 2 E2 n
E = E
 1τ
2τ
— граничные условия в комплексном виде.

B
B
=
2n
 1n
 H1τ = H 2τ
Часть граничных условий удобно заменить учетом ортогональности
световых волн и учетом закона отражения и закона преломления.
Далее удобно рассмотреть раздельно вариант поляризации света в
плоскости падения || и вариант поляризации перпендикулярной плоскости
падения ⊥ .
I). Поляризация || параллельная плоскости падения света.
Выберем положительные направления для векторов E в падающей,
отраженной и преломленной волнах:
.
Положительные направления электрического поля трех волн выбраны
так, чтобы положительные направления магнитного поля этих волн совпадали
друг с другом.
Для поляризации в плоскости падения рассмотрим первое уравнение
граничных условий ε1E1n = ε 2 E2 n , в котором нормальная, она же вертикальная,
составляющая поля находится умножением на синус угла между лучом и
нормалью к границе:
ε E ( i ) sin α + ε E ( r ) sin α = ε E ( t ) sin α .
( 1)
1
( 1)
1
( 2)
2
Здесь над границей поле E состоит из поля падающей и поля отраженной
волн, а под границей поле E — это поле одной преломленной волны.
Разделим полученное уравнение на равенство n1 sin α 1 = n 2 sin α 2 и
( )
получим
ε 1 (i ) ε 1 ( r ) ε 2 (t )
E + E =
E , что
n1
n1
перепишем в виде
n2
с
учетом
соотношения
( )
ε
n
=
n
µ
n1 ( i ) n1 ( r ) n 2 (t )
E +
E =
E .
µ1
µ1
µ2
r
t
Для нахождения амплитуд отраженной E ( ) и преломленной E ( ) волн
нужно еще одно уравнение. Рассмотрим второе уравнение системы E1τ = E2τ ,
где проекция поля на горизонтальное направление получается умножением
напряженности поля на косинус угла:
i
r
t
E ( ) cos α − E ( ) cos α = E ( ) cos α .
( 1)
( 1)
( 2)
Решая два уравнения
 n1 ( i ) n 1 ( r ) n 2 ( t )
E =
E
 E +
µ1
µ1
µ2

 (i )
(r )
(t )
 E cos α 1 − E cos α 1 = E cos α 2
r
t
с двумя неизвестными E ( ) и E ( ) , находим
( )
( )
( )
n2
n1

cos
α
⋅
−
⋅ cos α 2
1

µ
µ
1
 E ( r ) = E (i ) ⋅ 2
||
||
n1
n2

⋅ cos α 2 +
⋅ cos α 1

µ
µ
1
2

— формулы Френеля для

n
1

2⋅
⋅ cos α 1
 t
µ
i
1
 E (|| ) = E (|| ) ⋅
n1
n2

⋅
+
⋅ cos α 1
α
cos
2

µ
µ
1
2

амплитуд прошедшей и преломленной волн.
Здесь значок || у поля E означает, что волна поляризована параллельно
плоскости падения света.
Обычно в этих выражениях пренебрегают отличием магнитной
проницаемости среды от единицы ( µ = 1 ). Тогда окончательно для
r
t
E( )
E( )
амплитудных коэффициентов отражения r ≡
и пропускания τ ≡
i
i
E( )
E( )
получаем следующие выражения

n 2 cos α 1 − n1 cos α 2
 r|| =

n 2 cos α 1 + n1 cos α 2
— это формулы Френеля для амплитудных

2n1 cos α 1

τ || =
n 2 cos α 1 + n1 cos α 2

коэффициентов отражения и пропускания для поляризации света в плоскости
падения.
--------Преобразуем r|| к другому виду. Для этого сначала умножим разные
слагаемые числителя и знаменателя на разные части равенства
n1 sin (α1 ) = n2 sin (α 2 ) так, чтобы каждое слагаемое содержало произведение
n1n2 и получим:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
r|| =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) = n1n 2 sin (α 1 ) cos (α 1 ) − n1n 2 sin (α 2 ) cos (α 2 ) =
n 2 cos (α 1 ) + n 1 cos (α 2 ) n 1n 2 sin (α 1 ) cos (α 1 ) + n1n 2 sin (α 2 ) cos (α 2 )
1
1
sin ( 2α 1 ) − sin ( 2α 2 ) sin (α 1 − α 2 ) ⋅ cos (α 1 + α 2 ) tg (α 1 − α 2 )
2
=2
=
=
1
1
+
⋅
−
sin
cos
α
α
α
α
( 1 2 ) ( 1 2 ) tg (α 1 + α 2 )
sin ( 2α 1 ) + sin ( 2α 2 )
2
2
n 2 cos α 1 − n 1 cos α 2
Окончательно:
r|| =
(
).
tg (α 1 + α 2 )
tg α 1 − α 2
Эта формула понадобиться нам в дальнейшем. Заметим, что она получена
в приближении µ = 1 .
--------II). Поляризация ⊥ плоскости падения света.
Выберем положительные направления для векторов
B
трех световых
волн так, чтобы положительные направления векторов E этих волн совпали.
Для
поляризации
.
плоскости
света
перпендикулярной
падения
 Eτ 1 = Eτ 2
воспользуемся граничными условиями 
. С учетом соотношения
H
H
=
τ2
 τ1
ε
εµ
n
ε E = µ H , получим H =
E=
E
=
E . Подставим это во второе
2
µ
µ
µ
уравнение системы и получим пару уравнений для амплитуд отраженной и
преломленной волн:
 E (i ) + E ( r ) = E (t )

.
n1 ( r )
n 2 (t )
 n1 ( i )
E
E
E
−
=
cos
α
cos
α
cos
α
1
1
2

µ1
µ2
 µ1
Решая уравнения, находим формулы Френеля для амплитуды отраженной
и преломленной световых волн для поляризации света, перпендикулярной
плоскости падения света:
( )
( )
( )
n1
n2

cos
α
⋅
−
⋅ cos α 2
1

µ
µ
2
 E ( r ) = E (i ) ⋅ 1
⊥
⊥
n1
n2

⋅ cos α 1 +
⋅ cos α 2

µ
µ
1
2


n1

2⋅
⋅ cos α 1
 t
µ
i
1
 E⊥( ) = E⊥( ) ⋅
n1
n2

⋅
+
⋅ cos α 2
α
cos
1

µ
µ
1
2

и, заменяя µ на единицу, как это обычно делают в учебниках по оптике,
r
E⊥( )
и пропускания
получаем для амплитудных коэффициентов отражения r⊥ ≡
i)
(
E⊥
t
E⊥( )
τ ⊥ ≡ i формулы Френеля для поляризации света перпендикулярной
E⊥( )
плоскости падения света:

n1 ⋅ cos α 1 − n 2 ⋅ cos α 2
 r⊥ =

n1 ⋅ cos α 1 + n 2 ⋅ cos α 2
.

α
2
cos
⋅
n

1
1
τ ⊥ =
n1 ⋅ cos α 1 + n 2 ⋅ cos α 2

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Экзамен. Угол Брюстера и брюстеровские окна лазерных трубок.
Рассмотрим условие α 1 + α 2 =
границу раздела двух сред, α 2
Если α 1 + α 2 =
π
π
, где α 1 — угол падения света на
2
— угол преломления.
(
)
, то tg α 1 + α 2 = ∞ . Подставим это значение в
2
tg α 1 − α 2
выражение r|| =
и получим
tg α 1 + α 2
(
(
)
)
r|| = 0 .
Сравнивая этот результат с другим выражением для коэффициента
n 2 cos α 1 − n 1 cos α 2
отражения r|| =
получаем n 2 cos α 1 − n1 cos α 2 = 0 .
n 2 cos α 1 + n 1 cos α 2
( )
( )
Откуда
( )
( )
( )
( )
n2
n1
=
( )
cos (α 1 )
cos α 2
π

sin  − α 2  sin α
1
2
=
=
= tg α 1 .
cos α 1
cos α 1
( )
( )
( )
( )
Окончательно получаем, что для угла падения α 1
( )
tg α 1 =
n2
n1
такого, что
, в отраженном свете нет поляризации параллельной плоскости
падения света r|| = 0 . Такой угол падения света α1 называется углом Брюстера,
( )
а уравнение tg α 1 =
n2
n1
удобно для расчета угла Брюстера по известным
значениям показателя преломления двух сред n1 и n 2 .
Прохождение света без потерь на отражение используется в лазерах с
малым усилением активной среды. Так усиливающая свет лазерная среда в
газовых лазерах обычно помещается в разрядную трубку с брюстеровскими
окнами. Брюстеровские окна — прозрачные плоскопараллельные пластины,
расположенные так, что нормаль к пластине составляет угол Брюстера с
оптической осью лазера.
Экзамен. Коэффициенты отражения и пропускания по энергии.
Обычно под коэффициентами отражения и пропускания понимают не
r

E( )
r ≡ i

E( )
амплитудные коэффициенты 
,
t)
(

E
τ
≡

i
E( )

а энергетические коэффициенты:
r
I( )
R≡
— коэффициент отражения по энергии или отражательная
i)
(
I
способность,
t
I ( ) cos α 2
— коэффициент пропускания по энергии или
T≡
i)
(
I cos α 1
( )
( )
пропускательная способность.
R + T = 1 — вся падающая на границу раздела сред энергия или
отражается или проходит насквозь.
Обсудим, почему в определении энергетического коэффициента
пропускания присутствует отношение косинусов угла преломления и угла
падения света.
Оказывается, что при наклонном падении света на границу раздела сред
интенсивность падающей волны не равна сумме интенсивностей отраженной и
i
r
t
преломленной волн I ( ) ≠ I ( ) + I ( ) .
Рассмотрим пучок лучей конечной ширины.
Из рисунка видно, что ширина преломленного пучка BD отличается от
ширины AC падающего пучка лучей.
Интенсивность света — это энергия, падающая в единицу времени на
площадку единичной площади перпендикулярную лучу. Изменение площади
i
r
t
сечения пучка и приводит к неравенству I ( ) ≠ I ( ) + I ( ) .
Если же рассмотреть энергию, падающую на единицу площади границы
раздела сред, то для этой энергии падающая энергия равна сумме отраженной и
преломленной.
Площадь пучка на границе раздела сред отличается от площади
AC
BD
поперечного сечения пучка в косинус раз AB =
=
. Поэтому
cos α 1
cos α 2
( )
( )
энергия, проходящая в единицу времени через единицу площади границы
раздела сред (на AB надо делить), имеет сомножитель в виде косинуса:
I ⋅ cos (α ) .
Найдем связь амплитудных и энергетических коэффициентов отражения
и пропускания.
Интенсивность света I связана с вещественной E0 или комплексной E0
амплитудой света соотношением:
cn 2 cn
2
I=
E0 =
E0 .
8πµ
8πµ
Тогда для энергетического коэффициента отражение R получим
2
cn1
r)
(
 E (r )
E
r
I ( ) 8πµ1 0
 0
R≡
=
=
2 
i
(i )
cn1
i
I( )
 E0
E0( )

8πµ1
2


2
 =r


=>
2
R= r
— связь энергетического и амплитудного коэффициентов
отражения.
Исключая случай полного внутреннего отражения, который мы
рассмотрим позднее, амплитудный коэффициент отражения для прозрачных
сред всегда вещественен. Тогда
R = r2 .
В случае полного внутреннего отражения света энергетический
коэффициент отражения равен единице R = 1 . Отраженная световая волна при
этом сдвинута по фазе относительно падающей волны. По этой причине
амплитудный коэффициент отражения r — комплексная величина с
единичным модулем r = 1 .
Для энергетического коэффициента пропускания
cn 2
( t ) 2 ⋅ cos α
2
⋅
E
t
2
I ( ) ⋅ cos α 2
n 2 µ 1 ⋅ cos α 2 E ( t )
8πµ 2 0
=
=
⋅ 0
=
T≡
2
i
cn1
n 1µ 2 ⋅ cos α 1 E ( i )
i)
(
I ( ) ⋅ cos α 1
0
⋅E
⋅ cos α 1
8πµ 1 0
( )
( )
( )
=
( )
( )
( )
µ 1 n 2 ⋅ cos (α 2 ) 2 n 2 ⋅ cos (α 2 ) 2
⋅
⋅τ ≈
⋅τ .
µ 2 n 1 ⋅ cos (α 1 )
n 1 ⋅ cos (α 1 )
Окончательно получаем:
n 2 ⋅ cos α 2
T=
⋅τ 2
n1 ⋅ cos α 1
( )
( )
R = r2
T + R = 1.
Экзамен. Потеря полуволны при отражении от оптически более плотной
среды.
Рассмотрим нормальное падение света на границу раздела двух сред
n1 − n 2
α 1 = α 2 = 0 , тогда cos α 1 = cos α 2 = 1 , откуда r ⊥ = − r|| =
< 0 при
n1 + n 2
( )
( )
условии отражения от оптически более плотной среды n 2 > n 1 . Соотношение
r⊥ = −r|| связано с не очень удачным выбором положительного направления
вектора E отраженной волны для поляризации параллельной плоскости
падения света.
Неравенство r⊥ = −r|| < 0 означает, что для любой поляризации при
E
направлен навстречу
нормальном
падении
света
в
отраженной
волне
вектор
вектору E падающей волны.
Пусть отраженная волна имеет отрицательную амплитуду. Эту минус
единицу в качестве сомножителя можно представить, как −1 = eiπ .
Следовательно, можно сказать, что отраженная волна сдвинута по фазе на π .
Сдвиг фазы π эквивалентен разности хода
λ
, поэтому и говорят, что при
2
отражении от оптически более плотной среды происходит потеря полуволны.
Рассмотрим графики зависимостей амплитудных коэффициентов
отражения от угла падения для двух поляризаций.
Из рисунка можно сделать вывод, что при отражении света от оптически
более плотной среды векторы E отраженной и падающей волн направлены
навстречу друг другу или почти навстречу при любом угле падения и любой
поляризации света. Для поляризации перпендикулярной плоскости падения
результат более или менее очевиден, так как амплитудный коэффициент
отражения r⊥ всегда отрицателен.
Для поляризации в плоскости падения света знак коэффициента
отражения меняется при изменении угла падения, но векторы E остаются
примерно противоположно направленными в падающей и отраженной волнах
при любых углах падения света. Это видно
из ниже следующих рисунков, на
которых показаны направления вектора E в двух предельных случаях при
α1 ≈
π
2
и при α1 ≈ 0 .
Факультатив. Потеря полуволны при отражении от оптически более
плотной среды (часть 2).
Рассмотрим отражение света от прозрачной плоскопараллельной
пластинки при нормальном падении света. Будем считать, что свет линейно
поляризован. Показатель преломления, как и обычно, будем считать больше
единицы.
Оказывается, отраженный назад свет можно рассматривать, как результат
излучения диполей среды во всем объеме пластины, а не как отражение от
передней и задней граней пластинки.
И действительно.
Мысленно разделим весь объем с диполями плоскостями параллельными
граням пластины. Каждый плоский слой диполей одинаково излучает свет
вперед по ходу луча и назад в направлении отраженной волны.
Рассмотрим сначала излучение диполей вперед по ходу луча.
Излучение диполей вперед интерферирует с проходящей мимо световой
волной и изменяет ее фазу без изменения амплитуды, так как пластина
изготовлена из прозрачного материала.
Изобразим комплексные амплитуды волн на комплексной плоскости.
При интерференции амплитуды волн складываются. В результате
сложения модуль амплитуды не изменяется, следовательно, к амплитуде E0
проходящей волны добавляется малая амплитуда ∆E0 излучения тонкого слоя
диполей так, что складываемые векторы перпендикулярны друг другу на
комплексной плоскости.
Комплексная напряженность поля световой волны имеет вид E0e−iω ⋅t , то
есть вращается на комплексной плоскости по часовой стрелке с частотой ω . В
результате интерференции проходящей волны и волны излученной тонким
слоем диполей должна получаться волна, отстающая по фазе от проходящей
волны, так как суммарная волна имеет меньшую фазовую скорость. По этой
причине вектор ∆E0 повернут относительно вектора E0 на угол
π
2
против
часовой скорости, как это показано на рисунке.
Амплитуда излучения каждого следующего слоя диполей должна быть
ортогональна текущей суммарной амплитуде проходящей волны. В таком
случае картина сложения амплитуд на комплексной плоскости должна
представлять собой дугу. Сумма излучений слоев диполей — хорда.
Рассмотрим теперь излучение плоскостей диполей назад в направлении
отраженной волны.
Эту же хорду для излучения диполей назад можно представить, как
сумму двух векторов E1 и E2 — комплексных амплитуд отражения от
передней и задней граней плоскопараллельной пластины:
Если пластинка тонкая, то дуга короткая.
Из рисунка видно, что E1 противофазно амплитуде падающей волны E0 ,
которая, чтобы не загромождать рисунок, на последнем рисунке не отмечена.
Противофазность E1 и E0 означает потерю полуволны при отражении от
передней грани пластинки, то есть при отражении от более плотной среды.
Амплитуда E2 синфазна падающей волне E0 , следовательно, при отражении от
задней грани прозрачной пластины не происходит потери полуволны.
На представленных рисунках не учтено, что на самом деле картина
сложения амплитуд излучения диполей назад несколько отличается от картины
сложения амплитуд излучения вперед.
Причина отличия состоит в том, что при сложении излучений назад свет
от каждого следующего слоя проходит больший путь.
По этой причине сдвиги фаз будут гораздо больше при сложении волн
назад, чем при сложении вперед. То есть та же длина дуги будет сворачиваться
с гораздо меньшим радиусом. В результате хорда или амплитуда отраженной
волны будет гораздо меньше, чем амплитуда волны падающей на
плоскопараллельную пластину.
Экзамен. Отражение радиоволн от поверхности проводника.
Рассмотрим радиоволну, излученную электрическим диполем. Если
радиоволны падают на поверхность проводника, то отраженную от
поверхности проводника радиоволну, можно найти, как излучение диполя
изображения.
Электрический диполь p в простейшем случае представляет собой пару
зарядов разных знаков. Каждый из пары зарядов изображается в поверхности
проводника зарядом противоположного знака. Если реальный диполь p
осциллирует, то осциллирует и диполь изображения p ' .
Таким образом, можно анализировать направление и фазу излучения
радиоволн, отраженного от поверхности моря или озера, которые для
радиоволн играют роль хорошего зеркала.
Факультатив. Отражение радиоволн от поверхности проводника (часть 2).
На приемнике радиоволн или в точке, расположенной сразу после
отражения, мы можем сравнить фазу излучения диполя изображения с фазой,
которая получается при отражении света с учетом потери полуволны при
отражении от оптически более плотной среды.
Фазы почти всегда совпадают.
Исключением является случай скользящего падения излучения на
зеркальную поверхность, когда плоскость поляризации совпадает с плоскостью
падения радиоволны. Направление вектора E отраженной волны в этом случае
не противоположно направлению вектора E падающей волны для радиоволн, а
для световых волн — противоположно.
Причина различия связана с тем, что угол Брюстера, при котором
изменяет знак амплитудный коэффициент отражения, стремится к
(
отражении радиоволн от проводника. Так как tg α Бр
)
π
при
2
= n , а показатель
преломления для металлов n ≈ ε стремится к бесконечности. Проводник
можно рассматривать, как диэлектрик с бесконечной проницаемостью ε = ∞ .
Экзамен. Отражение света при скользящем падении луча.
Скользящее падение луча на границу двух сред — это угол падения α1
близкий к
π
2
α1 →
.
π
2
=>
( )
cos α 1 → 0 .
Тогда
n 2 cos α 1 − n 1 cos α 2
−n 1 cos α 2
r|| =
=
= −1 ,
n 2 cos α 1 + n 1 cos α 2
+ n 1 cos α 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
так
как
cos (α 2 ) ≠ 0 ,
потому что α 2 ≠ α1 .
Аналогично для второй поляризации
n1 cos α 1 − n 2 cos α 2
−n 2 cos α 2
r⊥ =
=
= −1 .
n1 cos α 1 + n 2 cos α 2
+ n 2 cos α 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=>
Для обеих поляризаций при скользящем падении света r = −1
2
R = r = 1.
Следовательно, при скользящем падении света на границу раздела двух
сред коэффициент отражения стремится к единице независимо от
характеристик этих сред.