годограф отраженных волн для среды с криволинейной

УДК 550.834.5
Е. К. КОРОЛЕВ, А. Е. ШУТКИН
ГОДОГРАФ ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕДЫ
С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА
ПРИ ПОСТОЯННОМ ГРАДИЕНТЕ СКОРОСТИ
В ПОКРЫВАЮЩЕЙ ТОЛЩЕ И ЕГО ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
В связи с необходимостью усложнения эффективной модели
среды, положенной в основу интерпретации,- особенно для
районов со сложным строением покрывающей толщи, пред­
ставляет интерес изучение годографов отраженных волн для
моделей сред, позволяющих учитывать как вертикальные, так
и горизонтальные изменения скорости. При этом особое место
занимает класс моделей сред, для которых решение соответ­
ствующих уравнений Эйлера известно в замкнутом виде и,
следовательно, уравнения лучей и полей времен волн, рас­
пространяющихся в таких средах, выражаются в виде эле­
ментарных функций. Расчет годографов волн в этом случае
не требует численного интегрирования системы дифференци­
альных уравнений, достаточно прост и удобен для анализа
влияния горизонтальных и вертикальных изменений скорости
распространения сейсмических волн на времена их прихода.
Рассмотрим строгое решение задачи о расчете годографа
отраженных волн для одной из таких моделей-—среды с по­
стоянным по величине и по направлению градиентом скаляр­
ного поля скоростей упругих волн в покрывающей толще и
криволинейной отражающей границей.
Для простоты будем рассматривать плоскую задачу. Тогда
в декартовой системе координат xOz, начало которой совме­
щено с источником колебаний, а оси Ох и Oz направлены
соответственно вдоль линии наблюдения на дневной поверх­
ности и внутрь среды, скоростной закон можно записать в
виде
v(x, z) = tf0(l +ax + $z).
(1)
Здесь v0 — значение скорости в О(0, 0); а и р — постоянные
коэффициенты, характеризующие изменение скорости по осям
координат. Градиент скорости при этом будет составлять угол
t|) с осью Ох:
sin ib = —
,
cos ib == —,
,
Переходя к новой системе координат, ось Ох' которой направ­
лена вдоль градиента скорости (рис. 1), приходим к модели
53
одномерно-неоднородной среды с линейным изменением скоро­
сти только по оси Ох'. При этом координаты х', г' связаны
с х, z соотношением
х' = х cos \|> + z sin \|з,
(2)
г' = — #sini|) + zcosty,
а скоростной закон4 (1) принимает вид
v(x') =
vQ(l+yx'),
где
7=
У^ТТ\
Рис. 1. Лучевая схема для среды с постоянным градиентом скорости
Для такой модели среды в работе [4] было получено урав­
нение для / — полного времени пробега волны, выходящей из:
источника колебаний, который расположен в точке О(0, 0),
отраженной от границы в точке N(xn, zn)=N(x'n, z') и заре­
гистрированной в точке L(l, 0)=L(x'[,
z't):
t=
{arch
+ arch 1 + V 2
1 + V2 —-.
rx— +
fe-^)2+(2;-2;)2
Поскольку из соотношений (2) следует
х' = х' (х, z), z' = z' (х, г), х\ = / cos if,
54
(3)
2(1+7^)0 + 7^)
z^ = — / sin^,
(4>
то нетрудно заметить, что для каждого фиксированного рас­
стояния взрыв — прибор I (3) представляет собой уравнение
вида t = t(x, z, I), т.е. определяет изохрону отражения для
рассматриваемой модели среды.
Перепишем (3) в виде, более удобном для дальнейших вы­
числений:
t = A (arch r"+2zUrl
v„ \
+ arch Ц * ± * ) ,
2rnr0
^
2rnrt
(5)
w
/>
где
'o = - p ra = ± + x'a,
ri
= -j + x\, s„ = 2 ;- z ;.
(6)
Для расчета годографа отраженной волны кроме уравне­
ния (3) необходимо иметь связь между координатами точек
отражения и приема: 1=1(хп), или хп = хп(о), 1=1(а), (а — па­
раметр), или хп=хп(1),
причем в первых двух случаях годо­
граф задается в параметрическом виде, в последнем — в яв­
ном виде.
Лучевой способ, позволяющий найти связь между хп и /
в виде xn = xn(i'b), l — l(i'b)t
где параметр i'b—угол между
положительным направлением оси Ох' и лучом, выходящим
из начала координат (см. рис. 1), рассмотрен в работе [4]
для плоской наклонной границы раздела. Здесь будем пред­
полагать, что граница представляет собой гладкую непрерыв­
ную кривую, уравнение ее задано в явном виде — z=z(x), и
рассмотрим возможность исключения параметра i'b. Так как в
соответствии с принципом Ферма время пробега волны, в
данном случае отраженной, должно быть стационарным, а для
фиксированного положения источника и приемника и задан­
ном уравнении отражающей границы в (3) имеется только
одна независимая переменная — абсцисса точки отражения
хп, то условие стационарности сводится к равенству нулю
производной
— /
=0.
дх I х=хп
Из соотношений (4) и (6) следует, что
dS
dx
dz
dx
dz„
dx
,
. .,
(7)
'
у
.
n
——
= — - = ——cosi|) — sinij; = kx;
±S. = ^ L = -^L S ini|> + COST|> = *,.
dx
dx
dx
(8)
Дифференцируя (5) по х, приравнивая полученное выра55
жение к нулю и учитывая соотношения (6), (8), после пре­
образований получим
2'»*; К + \т\ - (г'пу - г2] К
Zr^A + ^ - S ^ - ^ f t ,
=
Q
Нетрудно показать, что в точках границы раздела условие
(9) эквивалентно закону отражения, который в случае изо­
тропной неоднородной среды можно записать в виде [5]
cos (ф — i) — — cos (ф — /),
(10)
где ф — угол между касательной к границе и осью Ox; i и / —
углы, образованные соответственно лучами падающей и отра­
женной волн с осью Ох в точке отражения N (см. рис. 1).
Действительно, воспользовавшись уравнением луча из ра­
боты [4], выходящего из N(x'n, г'п) под некоторым углом i'n с
осью Ох',
\
(*' + hf + (г' —г'п — гя ctg Q2 = r\ esc2 in
(1 1>
(Л:' И Z'— текущие координаты), для падающего луча, прохо­
дящего через О(0, 0), получим {i'n = i')
2
cigi'^-^-^
т
•(О'-'З«,
2г
(12)
>
пгп
для отраженного
L{x'v z\),
г 2—
луча
(«4=/'). проходящего
через
точку
Ч2 — г
ctg/- " / ;
°.
аз)
Полагая в (8) dz„/dx=tg(f, из (8), (9), (12), (13) легко по­
лучить
cos (ф — $ — i') -f cos (ф — $ — I') = 0,
(14)
откуда и следует (10), так как i = i'+i(), / = /'+г|) (см. рис. 1).
Условие (14) позволяет найти следующее соотношение для
углов i' и /':
ctg/'=ctg[2(<p-i|))-i'J.
(15)
Подставив (15) в (13) и обозначив 0 = ф='ф, получим
А + Si - rl + 2Snrn ctg (29 - O = 0.
(16)
Так как гп и z'n выражаются через хп формулами (2), (6),
a t' определяется из (12), то (16) является трансцендентным
уравнением относительно хп. Решая (16) численно для задан­
ных / и подставляя полученные значения хп в (3), можно полу­
чить значения t(l). Другой путь — разрешить (16) относительно
56
2. Преобразуя (16) с учетом соотношений (4), (6), получим
квадратное уравнение относительно /, аналогичное соответству­
ющему уравнению из работы [4]:
l* + 2pl + q = 0,
(17)
где
р = г0 cos ij> + [z'n + r„ ctg (20 — i')] sin ij>;
<7 = ^ + « ) 2 - ^ + 2^;r„ctg(28- t -').
л
Однако параметром в данном случае будет хп, так как из (8)
и (12) следует, что
dgpe-o-
(*г-*?)(^-^-^)+^^
t
(I8)
2fejfe2 (r« - г ; - rg) - 2 (fcf - fe^) гпг'п
а из выражений (4), (6), (8) видно, что правая часть (18) за­
висит от хп.
Выбор корня уравнения (17) определяется положением от­
раженного луча относительно оси Ох' (или градиента скорос­
ти); при этом смена корней происходит при j'—n. Из (18) вид­
но, что это условие эквивалентно следующему:
а (хп) = 2 £ А {г* —г% — z'n) - 2 {k\ - k\) rnz'n - 0.
(19)
Для гладкой отражающей границы в интервале между кор­
нями выражение в левой части (19) сохраняет знак. Исходя из
этого можно показать, что нужное решение уравнения (17)
представляется в виде
I = - р - s i g n (a) Vp*-q.
(20)
Таким образом, уравнения (3) и (20) (с учетом обозначений
(6)] определяют годограф отраженной волны для среды с посто­
янным градиентом скорости и произвольной гладкой отражаю­
щей границей в параметрическом виде (параметр хп).
Уравнение (17) при углах наклона градиента скорости -ф==0
и г|) = л/2 допускает некоторые упрощения. Второй случай со­
ответствует модели среды с линейным изменением скорости с
глубиной и достаточно подробно исследован в работе [1], поэ­
тому ограничимся рассмотрением модели среды с линейным из­
менением скорости только по горизонтали.
Итак, пусть ij) = 0, тогда
г ——
а
г
Ь
п — го + хп'
dZn
ах
—b
b — 1
S„ = z'n— Zn,
x\ — I.
Из (12) имеем ( п > 0 )
57
(1— K)lrl — zl — rl)+Akrnzn
/
Тогда годограф отраженной волны определяется уравнениями
(3) и (21).
Наиболее просто выглядит уравнение годографа отражен­
ных волн для рассматриваемой модели среды, когда градиент
скорости направлен вдоль плоской отражающей границы z—
= h + xigy. Действительно, полагая в (17) <р = \|з, после преобра­
зований получим
\/t
cos ф-М sin г|>) (ft2 cos2 ф+^о) + Л cos ф ((ft cos <р-\-1 sin ф ) 2 + ^ )
2ft cos ф + / sin ф
Подставив полученное выражение в (3) и преобразовав (3),
можно получить
Y2
t = — arch
•Fo
1 +—
р + 4/г2 cos2 Ф И + — tg Ф ) 1
! (1 + у I cos ф)
(22)
Для среды с горизонтальным постоянным градиентом ско­
рости и горизонтальной отражающей границей (<р = г|з = 0) из
(22) следует известное выражение
*
L-arehTl + ^ ± i ^ - l .
(23)
ею,
I Г 2(1+a/) J
'
Определенный интерес представляет вычисление /о — време­
ни прихода волны на пункте взрыва. В общем виде эта задача
решается только численно, поэтому ограничимся рассмотрени­
ем случая плоской отражающей границы. Полагая в (17) / =
= 0 и решая полученное уравнение относительно х'пй —абсцис­
сы той точки границы, отразившись от которой волна приходит
в точку взрыва, имеем
Хпо = — г0 + У (Л cos ф — /•„ sin 9)2 + r0 cos2 0 .
Подставив полученное выражение для х'п0 и / = 0 в уравне­
ние (3), получим
* = inarch X
"о
(ft cos ф — г0 sin 6) sin 6 + у (Л cos ф — гй sin б)2 + r\ cos2 6
r0 cos2 6
На рис. 2 показаны годографы волн, отраженных от анти­
клинальной структуры, рассчитанные по формулам (3) и (20).
Теперь обратимся к решению обратной задачи — построе­
нию отражающей границы по годографу отраженной волны.
58
Рис. 2. Годографы волн, отраженных от границы z= 1,5+0,2*—0,4ехр (—2х2)
при изменении скорости
в покрывающей толще по закону о =
=2,5 (1 + 0,25xcos ф+0,25zsin г|э).
Сплошной линией показан участок границы, соответствующий построенным годографам;
стрелки указывают направление градиента скорости; / — соответствует ф=0; 2 — ф=30°;
3 — ^-&У; 4 — ф=90°
Это может быть сделано путем расчета огибающей семейства
изохрон отражения с параметром / — расстояние взрыв — при­
бор, однако этот путь связан с громоздкими выкладками, и
здесь целесообразнее, по-видимому, воспользоваться очевидны­
ми геометрическими соотношениями. Действительно, поскольку
отражающая граница может рассматриваться как геометричес­
кое место точек пересечения семейств изохрон отражения и от­
раженных лучей, то уравнение отражающей границы можно
получить, решая совместно систему соответствующих уравнений
изохроны отражения и луча с параметром I. Для этой цели
потребуется уравнение изохроны отражения в форме, отличной
59
от (3). Воспользовавшись уравнением поля времен волн для
рассматриваемой модели среды [4] и формулами гиперболичес­
кой тригонометрии, получим уравнение изохроны отражения в
виде
П (г20 + г' + (г')2) = г0 (г] + г2 + s2) ch (v0yt) - r0 Y (r* + r + s)2-4r*r*
где r=l/\+x';
Уравнение
людения L(x',
заменив i'n на
sh (v0yt),
(24)
s = z't ; x' и z' — текущие координаты.
отраженного луча, проходящего через точку наб­
z\) под углом ё (см. рис. 1), получим из (11),
ё, а х'п , z'n на х\, z\ ,
r* + s2 — r2l = 2rlsctge'.
(25)
Подставляя (25) в (24), учитывая, что sign s = sign (я + ё) и
разрешая полученное уравнение относительно s, имеем
4 + z]' + r2[-2rBrlch(vt)yt)
=
2 [r0 ch (v0yt) — rt] ctg <Г+ 2л0 sh (U0YO esc i~— 2z, "
Окончательно, с учетом соотношений (2), (6), (25), уравне­
ние отражающей границы запишется в параметрическом виде
*„(/) = [у А + 2rlsctge — s2 —r0)cosi|>— (s —/ sin i|>) sin if,
(27)
z
n (0 — [V
r
o + 2r i sctge—s 2 — r0) sin if + (s — I sin if) cos if.
Здесь угол ё выражается через е — угол выхода отраженного
луча, определяемый из формулы закона Бенндорфа (см. рис. 1)
следующим образом:
i"= — (е + if) = — arc cos Г— v0 (l + al)\ — if.
(28)
В качестве вспомогательной величины для каждой точки с
координатами xn(l), zn(l) можно рассчитать угол ф, воспользо­
вавшись условием касания в этой точке отражающей границы
и изохроны отражения.
Дифференцируя уравнение изохроны отражения (11) по х и
учитывая (8), после преобразований получаем
, и sin ab — w cos \t>
/n(V.
Ф = arc tg
*
^,
(29)
и cos г|з + w sin ty
где
и = z' — s -^- ch (y0v0 — (s cos e + rl sin e) - ^ sh (v0yt);
60
w = r л [1
^-ch (v0yt) - - ^ sh (v0yt) cos e ] .
Можно показать, что в частном случае г|э = я/2 полученные
соотношения (27) и (29) приводятся к известным формулам
Н. Н. Пузырева [3].
По теоретическому годографу, рассчитанному для указанной
выше границы раздела при угле наклона градиента скорости:
г|) = 60°, по формулам (27) и (29) были получены величины хп,
z„, ф, схематически изображенные на рис. 3 в виде ряда отра-
2,км
Рис. 3. Элементы залегания,
= 1,5+0,2л: — 0,4ехр(—2л:2)
рассчитанные
для
границы
раздела
г=
жающих площадок. Для вычисления производной dt/dl (вели­
чины, обратной кажущейся скорости) использовались формулы:
численного дифференцирования [2]. При этом для изучения ус­
тойчивости алгоритма вычисления элементов залегания грани­
цы раздела по отношению к ошибкам определения времени
брались не точно рассчитанные значения времен прихода вол­
ны, а времена, снятые с годографа с точностью А = 0,001 с.
Из рис. 3 видно, что максимальная абсолютная погрешность
определения элементов залегания соответствует концам интер­
вала наблюдения, где с наибольшей погрешностью вычисляетсяпроизводная. При этом относительная погрешность вычисления
координат меньше 1 % и, несмотря на некоторую погрешностьопределения угла, отражающая граница прослеживается доста­
точно уверенно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин А. Н. Годограф отраженных волн для криволинейной границы:
раздела и неоднородной покрывающей среды с линейным законом увеличе­
ния скорости с глубиной.— Прикладная геофизика, вып. 74. М., Недра,
1974, с. 35—40.
6Г
2. Маловичко А. К-, Тарунина О. Л. Высшие производные гравитацион­
ного потенциала и их применение при геологической интерпретации анома­
лий. М., Недра, 1972.
3. Пузырев Н. Н. Определение элементов залегания отражающих границ
при переменной скорости по вертикали.— Прикладная геофизика, вып. 6.
М., Гостоптехиздат, 1950, с. 18—35.
4. Шуткин А. Е., Еремеев М. И., Королев Е. К. Годограф отраженных
волн для среды с линейным изменением скорости по горизонтали и верти­
кали и наклонной границей раздела.— Прикладная геофизика, вып. 76. М.,
Недра, 1974, с. 92—96.
5. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис­
числение. М., Наука, 1969.
УДК 550.834.5
А. Г. АВЕРБУХ, Г. Н. ГОГОНЕНКОВ,
А. В. ГРИНШПУН, В. Г. ЛЕЙТИН
АНОМАЛИИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛН, ОТРАЖЕННЫХ
ОТ НЕФТЕГАЗОНОСНЫХ ЗАЛЕЖЕЙ
Прямое обнаружение месторождений нефти и газа — одна из
актуальнейших проблем разведочной геофизики. В конце 50-х
годов И. Я. Баллах и др. выдвинули гипотезы об изменении ин­
тенсивности отражений при переходе от водонасыщенной части
коллектора к нефтегазонасыщенной и о возможности регистра­
ции отражений от водонефтяных и газожидкостных контактов.
В последующие годы предпринималось много попыток экспери­
ментального подтверждения этих положений [2, 4], однако пер­
вые надежные данные были получены в 70-х годах после пере­
хода к многократным системам наблюдений и обработки сей­
смических данных [9]. Отечественные работы последних лет ба­
зировались главным образом на гипотезе повышенного затуха­
ния сейсмической энергии в залежах и газовых ореолах вокруг
них [5 и др.]. В основу данной работы положены сейсмические
эффекты, связанные с понижением скорости распространения
продольных волн в случае нефтегазонасыщенности породы.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЙ КИНЕМАТИЧЕСКИХ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН
Замещение воды в порах породы нефтью или газом приводит к
уменьшению скорости распространения упругих волн до 15—
20% и объемной плотности пород до 5—10% '[3]. На рис. 1,
построенном по данным работы [6], показано влияние нефтега62