Задачи для самостоятельной работы по алгебре

Задачи для самостоятельной работы по алгебре
1. Решить уравнение axb  c в группе:
1997
2002
 1234567 
 1234567 
а) S 7 , где a  
, c  (125)1999 ;
 ,b  

 5627134 
 7162534 
1999
108
 123456789 
123456789 
б) S 9 где a  
, b  (12789) 2006 , c  


 567891234 
 736548921
*
в) Z 23
, где a  71998 , b  5115 , c  2121 ;
;
*
г) Z 31
, где a  171998 , b  25115 , c  212121 .
2. Найти решение системы уравнений:
x  5y  z  1


а) 21x  19 y  22 z  21 в Z 23 ;

5 x  17 z  5

 11x  5 y  7 z  5

б)  x  y  z  7
в Z19 ;
17 x  3 y  6 z  12

 x  2 y  z  10

в)  2 x  y  3z  1 в Z11 .
5 x  y  6 z  2

3. Разрешима ли в кольце вычетов Z m система уравнений:
 9 x  7 y  z  25

а)  3x  5 y  3z  5 , m  27 ;
 x  26 y  26 z  26

 5x  y  6 z  6

б)  x  7 y  32 z  31 , m  33 ?
3x  y  19 z  1

4. Найти элемент, обратный к a по умножению, в поле Z p . Является ли циклическая
подгруппа, порожденная элементом a , всей группой Z p * ?
а) a  17, p  31 ;
б) a  19, p  37 ;
в) a  21, p  43 .
5. Существуют ли в булевом кольце, содержащем не менее трех элементов, обратимые
элементы?
6. Доказать, что если в кольце оба произведения ab и ba обратимы, то оба элемента a и b
обратимы. Что изменится в результате, если сохранить обратимость только одного
прозведения?
7. Найти какие-нибудь делители нуля в кольце квадратных матриц третьего порядка.