Геометрические преобразования I: Дважды два

Листок 18
январь 2012
Геометрические преобразования I: Дважды два
◁ Выберем на плоскости некоторую точку 𝑂. Тогда каждая точка плоскости отождествляется с вектором (радиус-вектором из точки 𝑂) — соответственно, точки можно складывать
и умножать на числа.
Зафиксируем теперь еще систему координат с началом в точке 𝑂. Тогда(︂плоскость
)︂
𝑥
отождествляется с R2 . Точку с координатами 𝑥 и 𝑦 будем обозначать через
.
𝑦
◁ Определение 1. Линейным отображением плоскости в себя называется отображение
вида
(︂ )︂
(︂
)︂
𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
↦→
.
𝑦
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
(︂
)︂
𝑎 𝑏
Таблица вида
называется матрицей этого отображения (в данной системе
𝑐 𝑑
координат).
(︂
)︂
1 0
Задача 0. Тождественное отображение имеет матрицу 𝐸 :=
.
(︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂
0 1
1
0
1
,
,
, а также образ единичного квадрата
Задача 1. Найдите образы точек
0
1
1
при отображении c матрицей
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
0 1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 1
2 1
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
; ж)
.
1 0
−1 0
0 0
0 0
−1 1
0 1
1 0
Задача 2. Найдите матрицы линейных отображений, переводящих
(︂ )︂
(︂ )︂
(︂ )︂
(︂ )︂
(︂ )︂
(︂ )︂
1
1
1
0
1
1
↦→
↦→
↦→
1
0
1
1
0
1
(︂ )︂; б) (︂ )︂
(︂ )︂; в) (︂ )︂
(︂ )︂.
а) (︂ )︂
2
1
2
1
2
2
↦→
↦→
↦→
2
0
1
2
2
2
Задача 2 21 . Линейное отображение однозначно задается образами любых двух непропорциональных векторов.
Задача 3. Любое линейное отображение
а) оставляет начало координат на месте;
б) переводит прямые в прямые;
в) сохраняет параллельность прямых.
Задача 4*. Всякое ли а) биективное; б) произвольное преобразование плоскости, оставляющее на месте начало координат и переводящее прямые в прямые, является линейным?
Задача 5. Отображение 𝐴 : R2 → R2 является линейным тогда и только тогда, когда
оно обладает следующими тремя свойствами
∙ 𝐴(0) = 0;
∙ ∀𝑢, 𝑣 ∈ R2 𝐴(𝑢 + 𝑣) = 𝐴(𝑢) + 𝐴(𝑣);
∙ ∀𝑣 ∈ R2 ∀𝜆 ∈ R 𝐴(𝜆𝑣) = 𝜆𝐴(𝑣).
Задача 6. Линейное отображение сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной
прямой.
1
Геометрические преобразования I: Дважды два
Задача 7. Пусть три чевианы делят три стороны треугольника в отношениях 𝛼1 , 𝛼2
и 𝛼3 . Тогда то, пересекаются ли они в одной точке, зависит только от чисел 𝛼𝑖 (а от
формы треугольника не зависит).
Указание: любые два треугольника равны с точностью до линейного преобразования.
(︂
)︂
𝑎 𝑏
Задача 8*. Как при линейном отображении с матрицей
изменяется площадь
𝑐 𝑑
а) единичного квадрата; б) произвольного параллелограмма; в) произвольного много(︂
)︂
угольника?
𝑎 𝑏
г) Отображение с матрицей
биективно тогда и только тогда, когда 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ̸= 0.
𝑐 𝑑
◁ Определение 2. Полярными координатами точки плоскости называются ее расстояние
до начала координат и азимут (отсчитываемый против часовой стрелки угол1 радиусвектора с осью 𝑥).
(︂
)︂
𝑟 cos 𝜑
Задача 9. Точка с полярными координатами (𝑟, 𝜑) имеет декартовы координаты
.
𝑟 sin 𝜑
Задача 10. Найдите а) матрицу поворота на 90∘ ; б) матрицу 𝑅(𝜑) поворота на угол 𝜑.
Задача 11. а) Линейное преобразование
углы
(︂
)︂ сохраняет
(︂
)︂ тогда и только тогда, когда
𝑎 𝑏
𝑎
𝑏
его матрица имеет вид либо
, либо
. (Что это за преобразования
−𝑏 𝑎
𝑏 −𝑎
геометрически?)
б) Какие линейные преобразования сохраняют расстояния?
◁ Определение 3. Произведением матриц, соответствующих линейным отображениям
𝐴 и 𝐵, называется матрица их композиции, 𝐴𝐵 := 𝐴 ∘ 𝐵.
(︂
)︂ (︂
)︂
0 0
0 1
Задача 12. а) Вычислите произведение
.
(︂
)︂ (︂матриц)︂ 1 0
0 0
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
б) Вычислите произведение
(“строка на столбец”).
𝑎21 𝑎22
𝑏21 𝑏22
в) Коммутативно ли умножение матриц?
Задача 13*. Решите уравнения а) 𝐴2 = 𝐸; б) 𝐴2 = −𝐸.
Задача 14. Вычислите явно произведение 𝑅(𝜑)𝑅(𝜓). Какие тригонометрические тождества дает равенство 𝑅(𝜑)𝑅(𝜓) = 𝑅(𝜑 + 𝜓)?
1
Можно считать, что этот угол лежит в R mod 2𝜋 — т. е. является числом, определенным с точностью
до прибавления 2𝜋𝑘.
2