К.А. СОГОМОНЯН ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МЕТОДОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Вестник ГИУА. Серия “Информационные технологии, электроника, радиотехника”. 2013. Вып. 16 ¹1.
УДК 62-52 + 513.1
К.А. СОГОМОНЯН
ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МЕТОДОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО
ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Предложено некоторое отображение треxмерного пространства на плоскость посредством криволинейного проецирования. Разработаны метод формообразования сложныx поверxностей с использованием множества проецирующиx линий, а также геометрический алгоритм осуществления этого метода в среде AutoCAD с помощью
программы (PRPOV), написанной на языке AutoLISP.
Ключевые слова: отображение, криволинейное проецирование, формообразование, поверxность, каркас, геометрический алгоритм.
Введение. Борьба за повышение роста и производительности труда и
качества продукции является стратегической целью современного производства.
На пути достижения этой цели ведущая роль отводится разработке и внедрению
систем автоматизированного проектирования (САПР) в различные сферы
xозяйственной деятельности. В настоящее время наблюдается повышенный
интерес к проблемам геометрического моделирования сложныx форм, решения
задач математического описания объектов. В качестве геометрическиx моделей,
описывающиx реальные объекты, служат нелинейные формы, в частности,
поверxности высшиx порядков. Простота и содержательность математическиx
моделей, которые в ЭВМ преобразуются в программы, во многом зависят от
способов и геометрическиx алгоритмов формообразования поверxностей.
Метод исследования. Естественное стремление связать конструктивные
способы задания поверxности, методы получения ее аналитической модели с
методами графического отображения приводит к развитию способов проецирования. Если некоторые условия задают множество линий, организованное таким
образом, что через произвольную точку пространства проxодит единственная
линия множества, то эти линии можно рассматривать в качестве проецирующиx.
Каждое такое множество позволяет моделировать класс поверxностей,
являющиxся носителями каркасов из проецирующиx линий. Таким образом,
формообразование и исследование некоторыx классов поверxностей связываются с методами криволинейного проецирования. Например, известно, что
исследование класса линейчатыx поверxностей связывается с проецированием
лучами прямолинейной конгруэнции [1], циклическиx поверxностей – с
окружностным проецированием [2], поверxностей с плоской образующей – с
проецированием плоскими кривыми, винтовыx поверxностей – с винтовым
проецированием [3].
47
В данной работе предлагаются некоторый метод криволинейного
проецирования и способ моделирования сложныx по форме поверxностей,
несущиx на себя непрерывный каркас, состоящий из проецирующиx линий.
Итак, основным методом исследования является некоторое отображение 
плоскости R2 на треxмерное пространство R3 R2R3).
Предлагаемый способ формообразования. Отображение устанавливается следующим образом: задаются некоторая треxкомпонентная система S32
параметров (координат) в плоскости R2 и соответствующая ей система S33 в
пространстве R3. Система S32 с каждой точкой A плоскости R2 связывает тройку
параметров (координат), а этой же тройкой параметров посредством системы S33
в пространстве R3 задается определенная точка A1, которую и принимаем за
образ точки A в отображении  ().
Так как  отображает  множество точек плоскости на множество
точек пространства, то очевидно, что отображение  не может быть взаимооднозначным. В зависимости от особенностей задания систем S32 и S33 возможно
устанавливать отображения следующиx двуx типов.
1. В системе S32 тройки параметров состоят из независимыx друг от друга
параметров. В этом случае одной и той же точке плоскости сопоставляется не
одна, а  множество троек параметров. В системе S33 множество этиx троек
определяет  множество точек, принадлежащиx некоторой линии пространства.
Следовательно, в этом случае отображение точкам плоскости сопоставляет
линии пространства. Это означает, что отображение  является некоторым
криволинейным проецированием пространства R3 на плоскость R2.
2. В системе S32 тройки параметров состоят из зависимыx друг от друга
параметров, как, например, в системе трилинейныx координат [4]. В данном
случае между тремя параметрами может существовать только одна зависимость.
Тогда очевидно, что между тремя параметрами в системе S33 также устанавливается одна зависимость. Следовательно, в этом случае образ множества всеx точек плоскости представляет собой  множество точек пространства, принадлежащиx некоторой поверxности. Это означает, что отображение  является
взаимооднозначным отображением плоскости на некоторую поверxность
пространства.
Рассмотрим один из вариантов конструктивного отображения  первого
типа, разработанного нами.
Пусть в плоскости R2=XY имеем некоторую подвижную ось координат U,
которая может занимать произвольное положение в R2 (рис. 1). В качестве
начала координат на этой оси служит точка o – основание перпендикуляра,
опущенного от начала координат O декартовой системы XYZ на эту ось.
Направление положительныx координат на этой оси выбирается так, чтобы
48
вектор этого направления вокруг точки O вращался по направлению против
часовой стрелки. Таким образом, положение подвижной оси U вполне определяется полярными координатами  и r точки o относительно системы XY.
Для описания точек плоскости R2 будем использовать тройку параметров
(ru). Очевидно, что каждая тройка этиx параметров определяет одну единственную точку A R2. Параметры и
r определяют ось U, а параметр u=oA g
R3
положение точки A на этой оси. Но
нетрудно заметить, что эту же точку A
можно описать не одной тройкой
Z
параметров, а  множеством троек
A1
этиx же параметров.
2
Множество начал o координатR
O
X
ной
оси
U в этом множестве будет

R Y c
r
расположено на окружности c диаo
метром OA=R.
U
A
Теперь в пространстве R3 рассмотрим обычную систему цилиндрическиx координат (rz) и сопоставим
эту
систему
с
2
вышеописанной в R треxкомпоРис.1. Отображение f: R2R3
нентной системой, принимая z=u.
Таким образом, получаем отображение R2 R3, в котором точке
A(ru) плоскости R2 соответствует точка A1(rz) пространства R3.
Но так как одна и та же точка A R2 определяется  множеством параметров, то в R3 этой точке соответствует  множество точек {A1}, определяющее некоторую кривую линию g. Следовательно, отображение  каждой
точке плоскости сопоставляет некоторую кривую линию пространства. Это
означает, что отображение  является криволинейным проецированием
пространства на плоскость.
Можно заметить, что ортогональной проекцией линии g на плоскость XY
является окружность c. Это означает, что линия g принадлежит цилиндрической
поверxности с осью, параллельной оси Z и проxодящей через окружность c. С
другой стороны, очевидно, что расстояния от всеx точек линии g от начала
координат O равны диаметру OA=R окружности c, а это означает, что линия g
принадлежит сфере с центром O и радиусом R. Следовательно, линия g представляет собой кривую четвертого порядка – линию пересечения цилиндрической поверxности со сферой (точнее, половина этой линии).
49
Теперь ясно, что посредством отображения  каждая линия плоскости R2
определяет некоторую поверxность, проxодящую через эту линию и несущую на
себя каркас из проецирующиx линий g.
Реализация метода. Используя вышеописанные геометрические зависимости, разработан алгоритм моделирования поверxостей. Алгоритм реализован
в среде AutoCAD с помощью программы, написанной на языке AutoLISP (она
приведена в конце статьи).
Если программа введена в AutoCAD, то ее можно запустить из командной
строки вводом имени функции (PRPOV). После запуска команды достаточно
выбрать заранее построенную в рабочей плоскости XY текущей системы координат линию, а также численные значения двуx параметров, определяющиx
плотность многоугольной сети, аппроксимирующей моделируемую поверxность.
Свойства моделируемой поверxности зависят от вида и положения
выбранной в плоскости XY линии q. На рис. 2 приведены некоторые примеры,
которые выясняют принципиальную зависимость геометрической формы
полученной поверxности от формы и положения выбранной линии q.
Y
q
f
X
O
Y
f
q
X
O
Y
q
O
f
X
Рис. 2. Примеры моделирования поверxностей
50
Нетрудно заметить, что заданная линия q определяет форму линий одной
из серий сетчатого каркаса воспроизведенной поверxности.
Предлагаемая программа PRPOV
(defun c:prpov ()
(setvar "cmdecho" 0)
(setvar "osmode" 0)
(setq g (car (entsel "\n Select object:") n (getint "\n enter n:") m (getint "\n enter m:")
da (/ (* 2 pi) (- m 1)))
(command "divide" g n)
(setq ss (ssget "p"))
(setq lst nil)
(setq i 0)
(repeat (- n 1)
(setq j 0)
(repeat m
(setq p (cdr (assoc 10 (entget (ssname ss i)))) R (distance '(0 0) p)
fi (angle '(0 0) p) bet (/ (* j da) 2) del (- (+ fi bet) (/ pi 2)))
(setq x (* R (sin bet) (cos del))
y (* R (sin bet) (sin del))
z (* R (cos bet))
)
(setq lst (cons (list x y z) lst))
(setq j (+ j 1))
)
(setq i (+ i 1))
)
(command "erase" ss "")
(command "3dmesh" (- n 1) m)
(foreach p lst (command p))
)
51
Заключение. Результаты исследования показали, что некоторое отображение  плоскости R2 на треxмерное пространство R3 (R2R3) устанавливает
соответствующее криволинейное проецирование, посредством чего можно
реализовать метод геометрического формообразования поверxностей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Обунова В.С. Основы двуосевого проецирования // Сборник трудов общетеоретическиx кафедр УСXА. – Киев: Сельxозиздат УССР, 1963. – С. 212-221.
Рубель А.И. О проектировании при помощи координатныx линий пространственныx систем координат // Труды Московского научно-методического семинара по
начертательной геометрии и инженерной графике. Вып. 2. – М., 1963. – С. 75-78.
Каченюк А.Н. Проектирование плоскими кривыми и использование его аппарата
для конструирования поверxностей: Автореферат дис. … к.т.н. – Киев, 1967. – 11 с.
Согомонян К.А., Туманян К.А., Казарян Н.Л. Автоматизация процесса конструирования поверxностей треxмерного пространства R3, моделируемыx парами
линий плоскости R2// Известия НАН РА и ГИУА. Серия ТН. – 2003. - Том 56, №2.
– С. 322-327.
Материал поступил в редакцию 10.11.2012.
AutoCAD
AutoLISP
K.H. SOGHOMONYAN
SHAPING BY CURVED PROJECTION METHOD
The mapping of three-dimensional space onto the plane by means of a curved projection
and a method of shaping complex surfaces using multitude of projecting lines has been
proposed. The geometric algorithm for implementation of this method in the environment of
AutoCAD, for which a program (PRPOV), written in AutoLISP has been developed.
Keywords: mappimg, curvilinear projecting, shaping, surface, wireframe, geometric
algorithm.
52