Глава 5 Центральное поле

Глава 5
Центральное поле
5.1
Задача двух тел в квантовой механике
Задача двух тел имеет важное значение как в классической, так и в квантовой
механике. Естественно, в квантовой механике задача также сводится к движению двух независимых частиц (подсистем): частице с суммарной массой, описывающей движение центра масс (системы как целой), и частице с приведенной
массой, описывающей относительное движение. Все сказанное справедливо с
одной оговоркой: взаимодействие между частицами должно быть однородным,
т.е. не должно иметь тензорного характера.
Итак, пусть две частицы с массами m1 и m2 взаимодействуют по закону
U (r1 − r2 ). В таком случае гамильтониан системы можно записать в виде:
2
2
b = p̂1 + p̂2 + U (r1 − r2 ).
H
2m1 2m2
(5.1)
В координатном представлении гамильтониан имеет вид:
2
2
b = − ~ ∆1 − ~ ∆2 + U (r1 − r2 ).
H
2m1
2m2
(5.2)
Введем новые переменные
R=
m1 r1 + m2 r2
,
m1 + m2
r = r1 − r2 .
Тогда соответствующие первые производные в новых переменных равны
∂
∂
m1
∂
=
+
;
1
∂xα
∂xα m1 + m2 ∂Xα
∂
∂
m1
∂
=−
+
.
2
∂xα
∂xα m1 + m2 ∂Xα
Теперь легко получаем
~2
~2
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
−
∆1 −
∆2 = −
−
,
2m1
2m2
2M ∂Xα2 2µ ∂x2α
где
M = m1 + m2 ,
1
1
1
=
+
µ
m1 m2
1
− приведенная масса.
(5.3)
Итак, гамильтониан системы двух частиц принимает вид
2
2
b = − ~ ∆R − ~ ∆r + U (r).
H
2M
2µ
(5.4)
В новых переменных волновую функция системы можно представить в виде
Ψ(r1 , r2 , t) = Φ(R, t)Ψ(r, t).
b
Соответственно, в стационарном уравнении Шредингера Hφ(R)ψ(r)
= E0 φ(R)ψ(r)
переменные разделяются, и уравнение сводится к системе двух уравнений
−
−
~2
P2
∆R φ(R) =
φ(R),
2M
2M
~2
∆r ψ(r) + U (r)ψ(r) = Eψ(r),
2µ
(5.5)
где E0 = P2 /2M + E.
Как и следовало ожидать, движение центра масс описывается волной де
Бройля частицы с суммарной массой и полным импульсом P, поэтому волновая
функция системы двух частиц всегда может быть представлена в виде
Ψ(r1 , r2 , t) =
5.2
1
− ~i (Et−PR)
e
Ψ(r, t).
(2π~)3/2
(5.6)
Центральное поле
Наиболее распространенное взаимодействие в задаче двух тел имеет центральный характер, т.е. U (r) = U (|r|) = U (r). Как известно из классической физики,
в такой системе сохраняется момент количества движения и движение происходит в одной плоскости, а саму задачу удобно рассматривать в сферической
системе координат. В таком случае классический гамильтониан можно представить в виде
p2
M2
H= r +
+ U (r),
2m
2I
а обобщенные координаты есть r, θ, ϕ.
В квантовой механике радиальному импульсу и моменту импульса должны
соответствовать операторы. Их следует выделить из лапласиана, записанного
в сферических координатах. Напомним его выражение. Как известно, сферическая система координат ортогональна, но криволинейна. В таком случае можно
воспользоваться формулой Ламэ. Обозначим, как обычно принято, обобщенные
координаты q1 , q2 , q3 и запишем элемент длины dl в виде
dl2 = h21 dq12 + h22 dq22 + h23 dq32 ,
(5.7)
где h1 , h2 , h3 – так называемые коэффициенты Ламэ. Очевидно, элемент объема
в криволинейных координатах равен dV = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq2 . Лапласиан выражается через коэффициенты Ламэ:
½
µ
¶
µ
¶
µ
¶¾
∂
h2 h3 ∂
∂
h1 h3 ∂
∂
h1 h2 ∂
1
+
+
∆=
(5.8)
h1 h2 h3 ∂q1
h1 ∂q1
∂q2
h2 ∂q2
∂q3
h3 ∂q3
2
В сферических координатах переменные есть
q1 = r,
q2 = θ,
q3 = ϕ,
0 ≤ r < ∞,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ ϕ < 2π.
(5.9)
Элемент длины в сферических координатах равен dl2 = dr2 + r2 dθ + r2 sin θdϕ,
соответственно h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ.1 Таким образом, лапласиан в сферических координатах имеет вид:
½
¾
1 ∂ 2∂
1
1 ∂
∂
1 ∂2
∆= 2 r
+
sin θ
+
.
(5.10)
r ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
Из формулы (5.10) видно, что квадрат оператора радиального импульса равен
1 ∂ 2∂
r
,
r2 ∂r ∂r
и, соответственно, сам оператор радиального импульса есть
¶
µ
∂
1
1 ∂
r = −i~
+
.
p̂r = −i~
r ∂r
∂r r
p̂2r = −~2
Поскольку момент инерции есть I = mr2 , оператор квадрата момента импульса
равен:
½ 2
¾
2
∂
∂
∂
1
2
2
c = −~
M
(5.11)
+ ctgθ
+
.
∂θ2
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
Вид лапласиана в сферических координатах можно получить, не прибегая
к коэффициентам Ламэ, для этого нужно помнить, что в криволинейных координатах при вариации переменных варьируются не только переменные, но и
направления осей локальной системы отсчета (локального репера).
Действительно, запишем оператор ∇ в сферической системе координат:
∂
∂
∂
∇ = nr
+ nθ
+ nϕ
.
(5.12)
∂r
r∂θ
r sin θ∂ϕ
Вариации переменных определяют направления осей локального репера, составленного из трех ортогональных единичных векторов, соответствующих трем
переменным: nr , nθ и nϕ (см. рис. ??) Поскольку ∆ = div grad = (∇ · ∇, видим,
что возникают производные от единичных векторов ∂nα /∂qβ (например,∂nr /∂θ
и т.п.).
Рассмотрим их все:
∂nr
∂nr
∂nr
= 0,
= nθ ,
= sin θnϕ ,
∂r
∂θ
∂ϕ
∂nθ
∂nθ
∂nθ
= 0,
= nr ,
= cos θnϕ ,
(5.13)
∂r
∂θ
∂ϕ
∂nϕ
∂nϕ
∂nϕ
= 0,
= 0,
= −nθ .
(5.14)
∂r
∂θ
∂ϕ
(5.15)
1
Заметим, что h1 h2 h3 = r2 sin θ – якобиан перехода от декартовых координат к переменным сферической системы.
3
Итак, появляются кинематические эффекты, которые следует учесть при определении вида лапласиана в сферических координатах:
∂
∂
∂
+ (∇ · nθ )
+ (∇ · nϕ )
=
∂r
r∂θ
r sin θ∂ϕ
µ
¶
∂2
∂
1 ∂nr
1 ∂nr
= 2+
+ nϕ
nθ
+
∂r
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
¶
µ 2
∂2
1
1 ∂nθ ∂
1
∂
+ 2
+
n
+
=
ϕ
r
∂θ2
r sin θ ∂ϕ ∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
¶
µ 2
1
∂2
2 ∂
1
∂
∂2
∂
+
= 2+
+ 2
+
ctg
θ
.
∂r
r ∂r r
∂θ2
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2
∆ =(∇ · nr )
(5.16)
Итак, видно, что структура лапласиана и гамильтониана в целом такова, что
радиальные и угловые переменные в решении уравнения Шредингера могут
быть разделены, причем угловые переменные описывают состояние системы,
связанное с наличием орбитального момента импульса. Представим волновую
функция в как
ψ(r) = R(r)Y (θ, ϕ),
(5.17)
тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид
p̂2r
1
c 2 Y (θ, ϕ)+U (r)R(r)Y (θ, ϕ) = ER(r)Y (θ, ϕ). (5.18)
R(r)+
R(r)M
2
2m
2mr
Полученное уравнение распадается на систему двух уравнений, соответственно
для радиальной R(r) и угловой Y (θ, ϕ) частей волновой функции:
Y (θ, ϕ)
c 2 Y (θ, ϕ) = ~2 ΛY (θ, ϕ),
M
¶
p̂2r
~2 Λ
R(r) + U (r) +
R(r) = ER(r).
2m
2mr2
µ
(5.19)
(5.20)
Как видим, вся информация о взаимодействии и, соответственно, энергетический спектр заключены в уравнении для радиальной части волновой функции:
·
¸
2m
1 d 2 dR
Λ
r
+
(E − U (r)) − 2 R(r) = 0.
(5.21)
r2 dr dr
~2
r
Уравнение (5.21) называется радиальным уравнением Шредингера. Уравнение
для угловой части волновой функции вообще не содержит взаимодействия и
поэтому его решение носит универсальный характер.
Заметим, что волновая функция должна быть нормирована на 1. В нашем
случае условие нормировки может быть записано следующим образом:
Z
ZZZ
Z ∞
ZZ
2
2
2 2
2 2
|ψ(r)| dr =
|R(r)| |Y (θ, ϕ)| r drdΩ =
|R(r)| r dr
|Y (θ, ϕ)|2 dΩ = 1.
0
Удобно нормировать на единицу независимо радиальную и угловую части волновой функции, т.е.:
Z ∞
Z Z
2 2
(5.22)
|R(r)| r dr = 1,
|Y (θ, ϕ)|2 dΩ = 1.
0
4
Легко видеть, что в уравнении для угловой части волновой функции также
могут быть разделены переменные θ и ϕ:
Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ).
(5.23)
В этом случае уравнение для угловой части принимает вид:
½
¾
1 ∂
∂Θ(θ)
Θ(θ) ∂ 2 Φ(ϕ)
2
−~ Φ(ϕ)
sin θ
+
= ~2 ΛΘ(θ)Φ(ϕ).
2
2
sin θ ∂θ
∂θ
sin θ ∂ϕ
(5.24)
Полученное уравнение вновь распадается на систему двух независимых уравнений:
d2 Φ
= −αΦ,
dϕ2
1 d
dΘ
α
sin θ
−
Θ = −ΛΘ.
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
(5.25)
(5.26)
Функции Θ(θ) и Φ(ϕ) будем также независимо нормировать на единицу:
Z 2π
Z π
2
|Φ(ϕ)|2 dϕ = 1.
|Θ(θ)| sin θdθ = 1,
0
0
Уравнение для функции Φ тривиально решается:
√
√
Φ = a1 ei αϕ + a2 e−i αϕ , еслиα 6= 0,
Φ = A + Bϕ, еслиα = 0.
(5.27)
Очевидно, должно выполняться условие однозначности
функции Φ(ϕ + 2π) =
√
Φ(ϕ), откуда следует для α = 0 Φ = A = 1/ 2π.
Если α 6= 0, получаем
√
Φ(ϕ + 2π) = a1 ei
√
αϕ i2π α
e
√
√
αϕ −i2π α
+ a2 e−i
e
.
Поскольку ϕ может принимать любое значение, сразу следует, что
√
√
e±i2π α = 1 −→ α = m,
где m – любое целое число. Таким образом, получаем общее выражение для
функции Φ :
1
Φm (ϕ) = √ eimϕ .
(5.28)
2π
Легко видеть, что функции (5.28) ортогональны, т.е.
Z 2π
Φ∗m0 Φm dϕ = δm0 ,m .
0
Осталось теперь найти функцию Θ. Уравнение (5.26) хорошо известно из курса
уравнений математической физики: это уравнение Лежандра. Сделаем замену
переменной cos θ = x, dx = − sin θdθ, тогда оператор
d
d
d
1 d
sin θ
=
(1 − x2 ) .
sin θ dθ
dθ
dx
dx
5
Для функции Θ(θ) ≡ P (x) получается уравнение
µ
¶
d
m2
2 dP
(1 − x )
+ Λ−
P = 0.
dx
dx
1 − x2
(5.29)
В нашем случае переменная |x| ≤ 1, и регулярное решение уравнения (5.29)
существует для Λ = l(l + 1), где l = 0, 1, 2, . . . – целое неотрицательное число,
при этом |m| ≤ l. При таких значениях параметров решение уравнения (5.29)
есть присоединенные полиномы Лежандра степени l :
Plm (x) =
l+m
1
2 m/2 d
(1
−
x
)
(x2 − 1)l .
2l l!
dxl+m
(5.30)
Соответственно, угловая полная часть волновой функции имеет вид
m
Y (θ, ϕ) ≡ Yl,m (θ, ϕ) = A(l, m) sin 2 θ
dl+m
(cos2 θ − 1)l eimϕ ,
(d cos θ)l+m
(5.31)
где нормировочная константа A(l, m) будет нами определена несколько позже,
а функции удовлетворяют условиям нормировки:
ZZ
Yl∗0 ,m0 (θ, ϕ)Yl,m (θ, ϕ)dΩ = δl0 ,l δm0 ,m .
(5.32)
Таким образом формально решается задача о движении частицы в центральном поле. Определим теперь связь полученных значений параметров (квантовых чисел) с теми физическими величинами, о которых говорили в начале
параграфа, а именно: с моментом количества движения.
5.3
Орбитальный момент количества движения
Как известно, в классической механике момент количества движения частицы
определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы и ее импульса. В квантовой механике введем оператор соответствующей физической
величины согласно принципу соответствия:
c = [r̂ × p̂].
M
(5.33)
c
Оператор (5.33) определяет величину орбитального момента, т.е. M = hψ|M|ψi.
В координатном представлении оператор момента количества движения имеет
вид:
c = −i~[r × ∇], или M
cα = −i~eαβγ x̂β ∂ .
M
(5.34)
∂xγ
Как видно, величина орбитального момента измеряется в единицах ~, поэтому
удобнее ввести безразмерный оператор
c = ~L
b
M
6
и определять величину момента количества движения в квантовой механике в
безразмерных единицах.
Легко видеть из определения (5.33), что компоненты оператора момента
количества движения определения через некоммутирующие между собой операторы координаты и импульса. Если каждая проекция определена через коммутирующие между собой проекции операторов координаты и импульса, то в
различных проекциях обязательно встретятся некоммутирующие операторы.
Поэтому необходимо прежде всего вычислить коммутаторы операторов различных проекций момента импульса. Воспользуемся определением операторов
проекций момента в тензорных обозначениях и вычислим коммутатор:
[L̂α , L̂β ] = ~−2 eαµν eβκλ [x̂µ p̂ν , x̂κ p̂λ ].
Далее займемся преобразованием собственно коммутатора произведений проекций операторов координаты и импульса:
[x̂µ p̂ν , x̂κ p̂λ ] = x̂µ [p̂ν , x̂κ p̂λ ] + [x̂µ , x̂κ p̂λ ]p̂ν = −i~δνκ x̂µ p̂λ + i~δµλ x̂κ p̂ν .
Далее замечаем, что возникают свертки типа
eαµν eβκλ δνκ = eαµν eβνλ = eαµν eβλν = δαβ δµλ − δαλ δµβ .
Подставляя полученные свертки в коммутатор, получаем
[L̂α , L̂β ] = i~−1 (−δαβ x̂µ p̂µ + x̂α p̂β + δαβ x̂ν p̂ν − x̂β p̂α ) = i~−1 (x̂α p̂β − x̂β p̂α ).
Можно заметить, что в полученном выражении при α 6= β получается компонента векторного произведения, т.е. третья проекция оператора момента:
[L̂α , L̂β ] = ieαβγ L̂γ .
(5.35)
Итак, никакие две проекции оператора момента между собой не коммутируют, а это означает, что они не могут быть одновременно измерены и, соответственно, включены в полный набор величин, определяющих состояние
квантовой системы. Таким образом, получается значительно более "скудная"по
сравнению с классической системой информация. Однако ситуация не так "безнадежна", как это может показаться. Вспоминая, что момент количества движения связан с вращением, а при вращении остаются инвариантными все скалярные величины, можно видеть, что операторы скалярных величин должны
коммутировать с проекциями оператора момента. С самим оператором момента можно связать единственный скаляр – его квадрат. Убедимся, что оператор
квадрата момента коммутирует с любой своей проекцией:
³
´
b 2, L
b α ] = [L
bβ L
bβ , L
bα ] = ieβαγ L̂γ L
bβ + L
bβ L̂γ = 0.
[L
Таким образом одновременно могут быть измерены квадрат момента и одна
из его проекций. Обычно выбирают в качестве оси, на которую определена проекция момента – оси квантования – ось z. Часто вместо операторов проекций
7
bx,y вводят неэрмитовы линейные комбинации их L
b± = L
bx ± iL
by . Удобмомента L
ство введения этих операторов будет понятно в следующих параграфах, а пока
получим коммутационные соотношения так введенных операторов с оператоb 2, L
bz и между собой.
рами L
b 2, L
b± ] = 0,
[L
bz , L
b± ] = ±L
b± ,
[L
b+ , L
b − ] = 2L
bz .
[L
(5.36)
Используя полученные коммутационные соотношения (5.36), запишем полезные выражения для квадрата оператора момента с помощью новых операторов:
³
´
b 2 =L
b2z + L
b2x + L
b2y = L
b2z + 1 L
b+ L
b− + L
b− L
b+ =
L
2
2
2
bz + L
b+ L
b− .
b
b
b
b
b
(5.37)
=Lz + Lz + L− L+ = Lz − L
Мы видели, что момент количества движения удобнее описывать в сферических координатах, иными словами, выразим операторы L̂z и L̂± в переменных
r, θ, ϕ. Вид оператора bl2 нам уже известен. Для этого заметим, что в определении (безразмерного) оператора момента следует выразить в переменных r, θ, ϕ
как проекции самого радиус-вектора, так и оператора ∇.
Вернемся к записи оператора ∇ в сферических переменных (5.12), из которой легко записать соответствующие проекции оператора ∇ в декартовой
системе координат через сферические переменные:
∂
∂
∂
∂
= ∇x = (nx ∇) = (nx nr ) + (nx nθ )
+ (nx nϕ )
=
∂x
∂r
r∂θ
r sin θ∂ϕ
∂
1
∂
1 sin ϕ ∂
= sin θ cos ϕ + cos θ cos ϕ −
,
(5.38)
∂r r
∂θ r sin θ ∂ϕ
∂
∂
1
∂
1 cos ϕ ∂
= sin θ sin ϕ + cos θ sin ϕ +
,
∂y
∂r r
∂θ r sin θ ∂ϕ
∂
∂
1
∂
= cos θ − sin θ .
∂z
∂r r
∂θ
Теперь элементарно находим
bz = −i ∂ .
L
(5.39)
∂ϕ
Оставшиеся два оператора сперва запишем в декартовых координатах:
µ
¶
∂
∂
∂
b
L± = ±z
±i
∓ (x ± iy) .
∂x
∂y
∂z
Подставляя теперь выражения операторов в сферических координатах, получаем
µ
¶
∂
∂
±iϕ
b
L± = e
± + ictgθ
(5.40)
.
∂θ
∂ϕ
Как видим, часть угловой функции Φm (ϕ) есть собственная функция оператора
bz :
L
bz Φm (ϕ) = mΦm (ϕ).
L
(5.41)
8
Таким образом видим, что состояние квантовой системы, обладающей определенным моментом импульса, задается собственными функциями операторов
квадрата момента и проекции на ось z. Мы видели также, что квадрат оператора момента импульса коммутирует с любой проекцией, однако все проекции
между собой не коммутируют, а потому не могут быть одновременно измерены
и, соответственно, входить в полный набор физических величин, определяющих
состояние квантовой системы. Таким образом, состояние с определенным значением квадрата момента импульса вырождено по состояниям с различными
проекциями на какую-либо ось. Обычно принято выбирать определенную проекцию на ось z, задавая таким образом стандартный базис, или стандартное
представление квантовой системы, как решение системы уравнений:
b 2 Ylm (θ, ϕ) = L(L + 1)Ylm (θ, ϕ),
L
bz Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).
L
9
(5.42)