ЛАГРАНЖИАН ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ МАГНИТНОГО

ЛАГРАНЖИАН ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ МАГНИТНОГО
МОНОПОЛЯ БЕЗ НИТЕЙ .
С.Ю.Шишков, РНЦКИ
Дана новая формулировка вариационного принципа для движения заряженной частицы в
поле магнитного заряда без нитей. Вначале подробно рассматривается движение частицы
по сфере единичного радиуса с монополем в центре этой сферы. Явный вид изотропного
лагранжиана включает в себя необычную зависимость от ускорений частицы, но
уравнения движения, получаемые из вариационного принципа, при этом тем не менее
совпадают с правильными классическими уравнениями движения заряженной частицы в
магнитном поле монополя. Приводится также обобщение на случай произвольных
трёхмерных движений заряженной частицы в центрально-симметричном потенциале.
1. Введение.
В работе [1] В.В. Соколов сделал попытку развить лагранжев и канонический
формализм в нерелятивистской теории взаимодействующих между собой точечного
заряда и монополя без введения сингулярного на нити потенциала, выразив при этом
изотропный лагранжиан через вектор угловой скорости Ω. Такая инвариантная
относительно вращений теория представляется весьма привлекательной вследствие
отсутствия логических трудностей, возникающих из-за введения этих гипотетических
сингулярных нитей. Долгое время такая задача построения вариационного принципа и
гамильтоновского формализма считается вообще безнадёжной, как это отмечено,
например, в современной энциклопедии [2].
Однако, хотя в целом направление работы [1] и является перспективным, ряд деталей
этой теории заслуживает дальнейшей доработки и уточнения. Это связано с тем
обстоятельством, что вектор угловой скорости точечного заряда относительно начала
координат задаётся радиус-вектором r= rn точечной частицы и её скоростью не
однозначно, а всего лишь с точностью до произвольного вектора , направленного
вдоль радиус-вектора , соединяющего точечный заряд и начало координат. Поэтому из
работ [1] в действительности не ясно, как именно следует пользоваться формулой
Соколова для лагранжиана, выраженного через неопределённый вектор угловой
скорости Ω . Вариационный принцип наименьшего действия и основанный на нём
лагранжев и гамильтонов формализм необходимы для того, чтобы можно было
сформулировать квантовую динамику заряженной частицы в поле магнитного заряда,
например, для определения изменения спектров атомов в присутствие на ядре
магнитного заряда. Эта задача была поставлена и решена ещё в 1931 году И.Е. Таммом
[3] в предположении, что магнитный монополь ничем не отличается от конца
бесконечно длинного и тонкого соленоида с постоянным током, для которого
достаточно хорошо известен вектор-потенциал A(x,y,z,t) и уравнение Шредингера для
заряженной частицы в магнитном поле с этим векторным потенциалом A(x,y,z,t).
Существует тем не менее одно принципиальное отличие магнитного поля такого
соленоида от настоящего магнитного заряда без нитей, которое заключается в том, что
электромагнитный момент импульса заряженной частицы, происходящий от вектора
Пойнтинга в скрещенных электрических и магнитных полях, тождественно равен
нулю для любого соленоида и не равен нулю для настоящего монополя без нитей. В
случае настоящего магнитного заряда этот момент импульса равен M =-(eg/4π)n, где nэто единичный вектор, направленный по линии, соединяющей электрический и
магнитный заряды e и g соответственно. Это отличие не сказывается на классических
уравнениях движения, но проявляет себя в квантовой динамике, так как компоненты
любого момента импульса, в том числе и электромагнитного, в квантовой теории не
коммутируют друг с другом, а следовательно, в силу соотношения M =-(eg/4π)n, повидимому не должны коммутировать также и пространственные координаты
заряженной частицы в поле монополя, раз уж компоненты момента импульса
непосредственно выражаются через эти координаты r= rn . Кроме того, квантование
электромагнитного момента импульса M =-(eg/4π)n можно использовать также для
обоснования квантовых условий Дирака-Швингера, как это утверждается, например, в
[4]. Для корректного учёта этой отличительной особенности настоящего магнитного
заряда необходим как раз такой, как в [1], альтернативный изотропный
гамильтоновский формализм, обладающий требуемой симметрией относительно
пространственных вращений и не содержащий сингулярных нитей.
Данная работа носит предварительный характер и целью настоящей работы является
получение на первом этапе явной формулы и выяснение физического смысла вектора
угловой скорости Ω , который действительно может быть использован для
формулировки вариационного принципа и лагранжиана заряженной частица в поле
магнитного заряда. На основе этих полученных здесь предварительных результатов в
дальнейшем планируется исследование также и квантовой динамики.
В данной работе предложен наиболее естественный способ определения вектора Ω
угловой скорости точечной частицы из её ускорения и скорости. Показано, что такое
новое уточнение определения угловой скорости Ω приводит в итоге к правильным
уравнениям движения из вариационного принципа, но лагранжиан при этом
приобретает качественно новые черты, связанные с включением ускорений в число
аргументов лагранжиана. Для простоты рассмотрения здесь вначале решена задача о
частице, находящейся на сфере постоянного единичного радиуса с целью выяснения
структуры одной лишь угловой части лагранжиана точечного заряда в поле
магнитного монополя. В заключительных разделах статьи сделано обобщение на
случай произвольных трехмерных движений заряженной частицы в поле покоящегося
монополя.
Хотя магнитный монополь и относится к рязряду ненайденных гипотетических
частиц, знание лагранжевого формализма для него может существенно облегчить
решение некоторых задач со сферической геометрией из других областей физики. Не
исключено, например, что возникающая при этом геометрия функций действия на
поверхности сферы представляет интерес , в частности, для задач нерадиальной
вихревой кавитации в гидродинамике схлопывающихся сферических полостей и
схлопывания дейтерий-тритиевой мишени лазерного термоядерного синтеза или в
задаче о трёхмерном ведущем центре спиральных автоволн реакции БелоусоваЖаботинского. По крайней мере излагаемый ниже материал возник на основе попыток
автора продвинуться в решении задачи о векторных полях в жидкости при
нерадиальной вихревой кавитации.
2. Кинематика вращений относительно центра.
Как известно, вектор угловой скорости Ω по определению – это такой вектор Ω, что
вектор v мгновенной скорости точечной частицы на поверхности сферы радиуса r
выражается через радиус-вектор r= rn этой частицы и Ω по формуле
V=r[Ω×n]
(1).
Очевидно, что добавление к вектору угловой скорости Ω произвольного вектора,
пропорционального радиус-вектору r= rn , не изменяет величины вектора мгновенной
скорости v. В этом и состоит неоднозначность вектора угловой скорости Ω в
формализме В.В.Соколова, который выразил в [1] лагранжиан L точечного заряда e c
массой m в поле магнитного монополя g в виде
L=(m/2)v2-(eg/4π) (nΩ) = (m/2)( r [Ω×n] )2-(eg/4π) (nΩ)
(2).
Важной привлекательной особенностью формулы (2) является то, что производная
(∂L⁄∂Ω)
от лагранжиана L по угловой скорости Ω даёт абсолютно правильное выражение для
углового момента системы в виде суммы обычного механического момента
материальной точки (m[v×r])
и электромагнитного момента -(eg/4π)n,
образованного вектором Умова-Пойнтинга в скрещенных электрических и магнитных
полях заряда e и магнитного полюса g. Однако ввиду упомянутой выше
неоднозначности угловой скорости Ω, польза от этого выражения будет только тогда,
когда вектор Ω удастся выразить явно через локальные характеристики траектории
точечного заряда, такие как скорость и радиус вектор.
Простая подстановка Ω=([v×n]/r), как нетрудно видеть, приводит к нулевому вкладу
от магнитного полюса в лагранжиан (2), и поэтому не может служить правильной
интерпретацией вектора Ω в формуле (2). В то же время добавка к вектору Ω
произвольного вектора, пропорционального радиус- вектору r= r n самым
существенным образом влияет на величину лагранжиана (2) и действия, хотя величина
мгновенной скорости частицы при этом не изменяется. Поэтому необходимо другое
определение угловой скорости Ω. Как показано ниже, правильные результаты
получаются, если определять вектор угловой скорости Ω с учётом локальной кривизны
траектории частицы на маленьком участке поверхности сферы, где локально этот
маленький участок сферы в месте нахождения частицы можно считать евклидовым и
рассматривать не только скорость, но и касательные ускорения частицы в этой
плоскости. Если точка на сфере движется не по экваториальной окружности, а по
некоторой другой окружности меньшего радиуса, причём с постоянной скоростью, то
естественным образом возникает другое определение угловой скорости Ω, которое
позволяет вычислить не только величину мгновенной скорости, но и радиус
окружности, по которой движется точка при вращении сферы относительно оси,
направленной вдоль вектора угловой скорости Ω. Примем эту вторую угловую
скорость Ω за основу для построения лагранжева формализма в теории Соколова. Как
будет показано ниже, это уточнённое определение угловой скорости Ω действительно
приводит к правильным уравнениям движения в лагражевом формализме Соколова с
лагранжианом (2).
Для того, чтобы выразить такую Ω в явном виде через локальные характеристики
траектории точки на сфере, очевидно, необходимо знать также радиус кривизны
траектории точки, который в свою очередь, выражается через ускорение и скорость
точки при движении по траектории. А именно, нормальная к скорости компонента
ускорения a равна со знаком минус радиусу кривизны, умноженному на квадрат
угловой скорости:
а= - (Ω)2 ρ
(3) ,
где ρ есть вектор, направленный от оси вращения Ω к данной движущееся точке , и
ортогональный вектору угловой скорости Ω . Вычислим сначала векторное
произведение [v×a] мгновенной скорости v=[Ω× ρ] и этого ускорения a:
[v×a] =[ [Ω×ρ]×(- ρ(Ω)2 )]=Ω ((Ω)2 (ρr))-r ((Ω)2 (ρΩ))= Ω(v)2
(4) ,
по формуле для двойного векторного произведения и силу ортогональности векторов
ρ и Ω и того, что (ρr)= (ρ)2 , а (v)2 = (Ω)2(ρ)2 . Деля обе части (4) на ненулевой
квадрат мгновенной скорости (v)2 , получаем отсюда искомое определение угловой
скорости Ω в терминах ускорений и скоростей точки на траектории на поверхности
единичной сферы:
Ω= [v×a] /(v)2
(5).
Поскольку в формулу для лагранжиана (2) входит скалярное произведение Ω и радиусвектора r= rn , проведённого из центра сферы, по которой происходит движение
данной точки, умножим обе части (5) скалярно на нормаль n=r/r и получим
окончательное выражение для скалярного произведения в «магнитной» части
лагранжиана (2), пропорциональной величине g магнитного заряда монополя:
(nΩ)= ([v×a]r)/(r(v)2 )
(6).
Необычным в (6) является то, что в (6) входит ускорение a, поскольку лагранжиан
обычных динамических систем теоретической механики как правило зависит только
от обобщённых скоростей и обобщённых координат ( см., например [6]). По этой
причине выражение (6) первоначально вообще не принималось в рассмотрение.
Однако анализ размерности выражения (6) показывает, что результирующий вклад в
действие от магнитного полюса в действительности зависит только от геометрической
формы траектории электрического заряда по поверхности сферы и зависимость
лагранжиана от ускорений не приводит в конечном итоге к существенному выходу за
рамки ньютоновской механики. Это связано с тем, что каждый локальный участок
траектории может быть представлен как элемент окружности, по которой движется
заряд со скоростью v , причём в (6) вклад вносят только компоненты
центростремительного ускорения, перпендикулярные вектору v мгновенной скорости
заряда и пропорциональные квадрату его модуля. Поэтому умножение магнитного
вклада (6) на отрезок времени dt при вычислении полного интеграла действия с
лагранжианом (2) есть выражение([dtv×a]r)/(r(v)2 ), которое зависит только от
локальной кривизны траектории в каждой точке.
Следует отметить, хотя это и не имеет непосредственного отношения к дальнейшему
изложению лагранжевого формализма, что входящее в (6) смешанное произведение
нормали, скорости и ускорения можно интерпретировать также как локальную
трёхточечную метрику для параметрических линий на двумерной поверхности сферы.
Так называемая «трёхточечная метрика» определяется площадью треугольника на
плоскости, образованного тремя точками, аналогично тому, как обычная метрика
определяется длиной отрезка между двумя точками. Взяв в качестве трёх точек
положение на параметрической траектории в три близких момента времени t1, t2, t3,
нетрудно получить непосредственным вычислением инфенитезимальное выражение
для площади S(t1,t2,t3) малого треугольника, образованного положениями точки на
траектории, пропорциональное указанному смешанному произведению и
произведению трёх малых сомножителей (t1-t2)(t2-t3)(t3-t1). Для этого достаточно
выразить положение r(t) точки на траектории в виде ряда Тейлора в малой
окрестности параметра t=t1:
r(t) = r(t1) +v(t1)(t-t1) +(1/2)a(t1)(t-t1)2
,
(7)
а потом вычислить векторное произведение сторон (r(t2)-r(t1)) и (r(t3)-r(t2)) этого
треугольника на поверхности сферы, скалярно умноженное на вектор n(t) нормали к
поверхности сферы.
(r(t2)-r(t1)) = v(t1)(t2-t1) +(1/2)a(t1)(t2-t1)2
,
(8)
(r(t3)-r(t2))= v(t1)(t3-t1) +(1/2)a(t1)(t3-t1)2 -( v(t1)(t2-t1) +(1/2)a(t1)(t2-t1)2 ) =
= v(t1)(t3-t2) +(1/2)a(t1)(t3-t2)(t3+t2-2t1)
,
(9)
[ (r(t2)-r(t1))× (r(t3)-r(t2)) ]= (1/2)[v×a]((t2-t1)(t3-t2)(t3+t2-2t1)-(t2-t1)2 (t3-t2))=
=(1/2)[v×a](t2-t1)(t3-t2)(t3-t1)
,
(10)
и
S(t1,t2,t3)=(1/2)([ (r(t2)-r(t1))× (r(t3)-r(t2)) ] n(t))=
(1/4) (t2-t1)(t2-t3)(t3-t1) ([v×a]n)
,(8)
где v(t1)= v, a(t1)= a, n(t1)= n.
Другими словами, отношение (S(t1,t2,t3)/ (t1-t2)(t2-t3)(t3-t1)) имеет предел при
сближении всех трёх точек t1,t2,t3 к t1 , и этот предел неожиданным образом
совпадает с магнитной частью (6) лагранжиана (2) Соколова.
Величина мгновенной скорости v в таком подходе определяется из обычной «двухточечной метрики», равной длине отрезка между двумя точками на траектории в два
близких момента времени t1 и t2. Хотя исследование приложений «трёх-точечной
метрики» к геометрии функций на сфере находится в начальной стадии развития и не
является необходимым для дальнейшего изложения, но тем не менее уже на этом этапе
оно в какой-то степени способствовало правильному выбору лагранжиана в форме (6)
среди множества других вариантов при подборе оного методом «проб и ошибок». В
качестве других приложений вкратце укажем, например, что были проделаны также
численные компьютерные эксперименты по моделированию аналогов эллипсов,
гипербол и парабол на сфере, построенных путем перенесения их определений в
терминах локальной «трёх-точечной метрики» с плоскости на сферу. В результате
получались достаточно любопытные примеры причудливых нелинейных
динамических систем с бифуркациями удвоения периода, но их рассмотрение
выходит за рамки данной работы.
3. Лагранжиан и вариационный принцип в сферических координатах.
Для дальнейшего удобно рассмотреть выражение (6) в сферических координатах
(φ,θ).Ограничимся при этом рассмотрением случая, когда движение материальной
точки сторго ограничено поверхностью сферы единичного радиуса с центром в начале
координат
Координаты X, Y, Z материальной точки тогда выражаются.через углы (φ,θ)
следующим образом:
X(t)=sin(θ)cos(φ),Y(t)=sin(θ)sin(φ),Z(t)=cos(θ),
(9)
где (0<θ<π) и увеличивается от нуля на «северном» полюсе до π на «южном» полюсе.
В прикладном пакете для автоматизации аналитических выкладок “Mathematica 4”,
который интенсивно использовался для выполнения данной работы, это записывается
как
.
Вычисление смешанного произведения в выражении (6) тогда приводит к вычислению
детерминанта матрицы, образованной из компонент радиус-вектора материальной
точки и их первых и вторых производных по времени:
(nΩ)= ([v×a]r)/(r(v)2 ) =
(X’’(t)(Y’(t)Z(t)-Z’(t)Y(t))-Y’’(t)(X’(t)Z(t)-Z’(t)X(t))+Z’’(t)(X’(t)Y(t)-Y’(t)X(t))))/(X’(t)2 +
Y’(t)2 +Z’(t)2)
.
(10)
Подставляя в (10) выражения (9) для евклидовых координат в сферической системе
координат, после выполнения несложных вычислений в (10) получим
соответствующую тригонометрическую запись для искомого вклада в лагранжиан:
(nΩ)= (-2cos(θ)( θ’(t)2)(φ’(t))+(sin θ (t)) (φ’(t))(- cos(θ)sin(θ))(φ’(t)2)+ (θ’’(t)))-(sin(θ (t)))
(θ’(t)) (φ’’(t)))/( (θ’(t)2)+ (sin θ (t))2 (φ’(t)2))
(10a)
В программе “Mathematica 4” соответствующая запись команды для вычисления имеет
вид
,что после вычисления
сводится к
.
Поэтому лагранжиан (2) материальной точки с электрическим зарядом e, который мы
для упрощения записи примем равным далее e=4π, имеет в сферической системе
координат следующий явный вид:
где первое слагаемое соответствует простой кинетической энергии материальной
точки массы m,движущейся по поверхности единичной сферы, а второе слагаемое
отвечает за взаимодействие с магнитным полюсом и пропорционально величине
магнитного заряда монополя g. Докажем теперь, что уравнения Эйлера для такого
лагранжиана
L =(mr2/2)( (θ’(t)2)+ (sin θ (t))2 (φ’(t)2)) +(ge/ 4π) (-2cos(θ)( θ’(t)2) φ (’(t))+(sin θ (t))
(φ’(t))(- cos(θ)sin(θ))( φ’(t)2)+ (θ’’(t)))-(sin(θ (t))) (θ’(t)) (φ’’(t)))/( (θ’(t)2)+ (sin θ (t))2
(φ’(t)2)) ,
(11)
действительно эквивалентны обычным уравнениям Ньютона для заряда e=4π и массой
m, в сферической системе координат для материальной точки массой m, которая
находится на поверхности сферы единичного радиуса r=1. Бесконечно тяжёлый
магнитный полюс g, предполагается расположенным в начале координат.
Вариационный принцип для лагранжианов, содержащих первые и более высокие
производные по времени, изложен в справочнике [5], откуда приведём условия
максимума и минимума для действия с лагранжианом
L=L(y1,y2,…,yn; y1’,y2’,…,yn’; y1”,y2”,…,yn”; …,t),
(12)
Cогласно [5] , условия максимума и минимума для действия с лагранжианом (12)
имеют вид:
∂L⁄∂yi – (d⁄dt)(∂L⁄∂yi’)+ (d2⁄dt2)(∂L⁄∂yi”)- (d3⁄dt3)(∂L⁄∂yi’’’)+…=0 (i=1,2,…,n);(13)
при этом предполагается, что подынтегральная функция Лагранжа L (12) является
достаточно гладкой. Надо отметить также, что для того, чтобы решить вариационную
задачу полностью, следует ещё задать граничные значения всех производных до (n-1)
порядка включительно каждой из функций yi , входящих в лагранжиан L (12).
Прямая подстановка в условия максимума и минимума (12) для действия с
лагранжианом (11) с переменными y1= φ, y2=θ и их производными до второй
включительно, приводит к следующему уравнению:
Это – лагранжиан (12) для заряженной частицы в поле магнитного монополя,
расположенного в центре сферы, где вместо переменных y1= φ, y2= θ и их производных
по времени далее введены для удобства использования пакета автоматизации
алгебраических выкладок МАТЕМАТИКА-4 переменные a[t]=θ’[t], A[t]=φ’[t], b[t]= θ’’[t],
B[t]= φ’’[t], с1[t]= θ’’’[t], C1[t]= φ’’’[t]:
Условия (13) максимума и минимума для действия с лагранжианом (11) принимает
тогда вид обычных уравнений Ньютона для компонент ускорений заряда в
сферической системе координат под действием силы Лоренца при движении по
поверхности сферы, в центре которой расположен магнитный полюс g:
(14)
g sin[θ [t]]φ’[t]+m cos[θ [t]] sin[θ [t]] (φ’[t])2-mθ’’[t]=0 ,
-g sin[θ [t]] θ’[t]-2m cos[θ [t]] sin[θ [t]]( θ’[t] )( φ’[t])-m (sin[θ [t]])2 φ ’’[t]=0. (15)
В этом нетрудно убедиться и непосредственным вычислением, но ввиду громоздкости
выкладок удобнее использовать для этой цели готовую программу решения
алгебраического уравнения относительно неизвестной величины x, встроенную в пакет
МАТЕМАТИКА-4:
Убедиться в том, что при этом получаются правильные уравнения Ньютона для движения
заряженной частицы в поле магнитного монополя можно также, взяв стандартное
выражение Тамма [3] для лагранжиана заряженной частицы в поле магнитного полюса,
представленного как расположенный в начале координат конец бесконечно-длинного и
тонкого соленоида с током. Магнитное поле простого соленоида с током описывается
тогда как ротор вектор-потенциала A магнитного поля и в применении к данной задаче
искомый лагранжиан имеет вид L1=(m/2)v2 - e/c(Av), который в сферических координатах
на поверхности единичной сферы принимает вид
(16)
L1=(m/2)( (θ’(t)2)+ (sin θ (t))2 (φ’(t)2)) +(g) (1- cos[θ (t)]) (φ’(t))).
В пакете МАТЕМАТИКА-4 это запишется как оператор присвоения
Для такого лагранжиана L1 условия максимума и минимума (13) тоже сводятся к тем же
уравнениям Ньютона (14) и (15) для компонент ускорения заряженной частицы в
сферической системе координат под действием силы Лоренца при движении по
поверхности сферы, в центре которой расположен магнитный полюс g. Уравнения Эйлера
в сферических координатах получаются стандартным образом и имеют вид:
Таким образом, доказано, что правильные уравнения движения заряженной частицы по
поверхности сферы под действием силы Лоренца со стороны магнитного полюса,
расположенного в центре сферы, получаются из условий максимума и минимума для
действия с лагранжианом (11), который в отличие от стандартного лагранжиана (16) не
имеет особенностей, обусловленных сингулярным характером векторного потенциала A
магнитного поля от бесконечно тонкого и длинного соленоида. Лагранжиан (11)
изотропен, так как содержит лишь смешанное произведение локальных значений радиусвектора, скорости и ускорения заряженной частицы на сфере в качестве «магнитной»
части и не содержит произвола в выборе направления воображаемой сингулярной нити.
Удивительным образом производные третьего и четвёртого порядков по времени
исчезают из окончательного выражения для условий максимума и минимума (14-15),
полученных из (13) при подстановке туда лагранжиана (11), содержащего производные от
обощённых координат до второго порядка включительно. Возможно, это указывает на
наличие слагаемого в виде полной производной по времени от некоторой функции
угловых переменных и их скоростей в лагранжиане (11), которое можно выделить,
например, в виде полной производной по времени от арктангенса отношения
меридианальной и азимутальной компонент мгновенной скорости частицы, после чего
лагражиан становится неотличимым от известного ещё с 30-х годов прошлого века
лагранжиана Тамма с вектор-потенциалом вида
A =(g) (1- cos[θ (t)])/ (sin θ (t)). На языке программы «МАТЕМАТИКА-4» это выражается
как следующая выкладка:
.
То обстоятельство, что в рассматриваемой магнитной части лагранжиана можно выделить
полную производную по времени от арктангенса отношения компонент мгновенной
скорости в ортогональной системе сферических угловых координат (φ,θ), а именно
отношения меридианальной и азимутальной компонент, позволяет пролить свет на
геометрический смысл столь странной на первый взгляд магнитной части лагранжиана,
выражающейся через компоненты мгновенного ускорения частицы. Физический смысл
магнитной части лагранжиана и интеграла от него по времени на участке траектории на
единичной сфере от момента времени от t1 до t2 состоит в том, что этот вклад является
неким функцианалом от траектории, таким, что при варьировании по разным
траекториям, имеющим общие начальные и конечные точки на сфере в моменты времени
от t1 до t2 соответственно, а также имеющим общие касательные в начальные и конечные
моменты времени, величина вариации от магнитного вклада пропорциональна величине
площади участка на единичной сфере, заметаемого линией траектории при варьировании
её от одной формы к другой. Поскольку поле магнитного заряда без нитей предполагается
изотропным и не зависящим от угловых координат (φ,θ) и ортогональным к поверхности
единичной сферы, то эта вариация заметаемой площади пропорциональна вариации
магнитного потока от кулоновского магнитного поля магнитного заряда в центре
единичной сферы, проходящего через участок площади на единичной сфере,
ограниченный двумя разными траекториями при вариации траекторий с общими
начальными и конечными точками, а также с общими касательными в этих граничных
точках. Но для единичной сферы хорошо известно, что дефект угла, возникающий при
параллельных переносах единичного вектора по замкнутой траектории на искривлённой
поверхности как раз пропорционален площади этого участка на поверхности единичной
сферы, ограниченной двумя разными траекториями с общими граничными точками,
участвующими в этой вариации по траекториям. Поэтому наличие координатной сетки на
сфере в сферической системе координат позволяет выразить часть дефекта угла через
скорость изменения угла наклона траектории по отношению к этой фиксированной
координатной сетке, и именно эта часть дефекта угла будет тогда представлена в виде
полной производной по времени в магнитной части лагранжиана. В случае
неискривлённой плоской поверхности дефект угла равен нулю и поэтому при вариациях
по траекториям на плоскости указанный магнитный член в лагранжиане сводится просто к
полной производной по времени и не даёт вклада в результирующие уравнения движения
заряженной частицы, из-за чего область применимости рассматриваемого здесь
лагранжиана ограничивается только случаем сферы и не распространяется на плоскость,
где следует применять уже известные способы выражения лагранжиана заряженной
частицы через известный векторный потенциал однородного магнитного поля.
Как правило, в общем случае любой другой лагранжиан, зависящий от ускорений,
приводит к уравнениям (13) для производных четвёртого порядка по времени.
В следующем разделе кратко рассмотрен вопрос о форме гамильтонианов для таких
экзотических лагранжианов, которые зависят не только от обобщённых координат и
скоростей, но ещё и от ускорений.
4. Гамильтониан для лагранжианов, зависящих от ускорения.
Условия максимума и минимума для действия с лагранжианом
L=L(y1,y2,…,yf; y1’,y2’,…,yf’; y1”,y2”,…,yf”; …,t),
как уже упоминалось выше, имеют вид:
∂L⁄∂yi – (d⁄dt)(∂L⁄∂yi’)+ (d2⁄dt2)(∂L⁄∂yi”)- (d3⁄dt3)(∂L⁄∂yi’’’)+…=0 (i=1,2,…,f);(13)
при этом предполагается, что подынтегральная функция Лагранжа L (12) является
достаточно гладкой. Кроме функции Лагранжа должна существовать также функция
Гамильтона. Для случая лагранжианов, зависящих от ускорений, в качестве функции
Гамильтона можно выбрать следующее выражение:
H= (fi yi ‘’)-(fi’ yi’)+(pi yi’)-L,
(17)
где pi –это обычные обобщённые импульсы pi=(∂L⁄∂yi’), а fi=(∂L⁄∂yi”)- это аналоги
обобщенных импульсов при взятии частных производных от лагранжиана L по
производным более высокого порядка от обобщенных координат по времени,
возникающие при добавлении обобщённых ускорений в функцию Лагранжа L.
. Непосредственным вычислением производной по времени (dH⁄dt ) от такой функции
Гамильтона (17) легко проверить, что эта производная равна нулю:
(dH⁄dt )= (fi’ yi ‘’)+ (fi yi ‘’’) -(fi’’ yi’)-(fi’ yi’’)+(pi’ yi’) +(pi yi’’)-( fi yi ‘’’+ pi
yi’’+(∂L⁄∂yi)yi’)=(-fi’’+pi’-(∂L⁄∂yi))yi’=0,
(18)
где слагаемое ( fi yi ‘’’+ pi yi’’+(∂L⁄∂yi)yi’) есть производная dL⁄dt., а правая часть (18)
обращается в нуль в силу условий максимума и минимума (13). Если следовать
стандартной методике [6] определения энергии из лагранжевой функции L, то
функция полной энергии системы происходит из условия однородности времени , т.е.,
того обстоятельства, что лагранжева функция L замкнутой системы не зависит явно от
времени , которое означает, что полная производная по времени от лагранжевой
функции dL⁄dt может быть записана в виде
dL⁄dt=( fi yi ‘’’+ pi yi’’+(∂L⁄∂yi)yi’)
,
(19)
(если бы L зависела явно от времени, к правой стороне равенства (19) добавился бы
член (∂L⁄∂t)). Заменяя производные (∂L⁄∂yi) согласно условиям (13) максимума и
минимума на (d⁄dt)(∂L⁄∂yi’)- (d2⁄dt2)(∂L⁄∂yi”), получим:
dL⁄dt=( fi yi ‘’’+ pi yi’’+((d⁄dt)(∂L⁄∂yi’)- (d2⁄dt2)(∂L⁄∂yi”))yi’)= ( fi yi ‘’’+ pi yi’’+(pi’- fi’’)yi’),
или
(d/dt)( (fi yi ‘’)-(fi’ yi’)+(pi yi’)-L)= (fi’ yi ‘’)+ (fi yi ‘’’) -(fi’’ yi’)-(fi’ yi’’)+(pi’ yi’) +(pi yi’’)- (
fi yi ‘’’+ pi yi’’+(pi’- fi’’)yi’)=0,
(20)
что и приводит к выражению (17) для полной энергии.
5. Уравнение Гамильтона-Якоби
зависящих от ускорений.
и
скобки
Пуассона
для
лагранжианов,
Как известно, наличие гамильтониана H позволяет сформулировать гамильтоновский
формализм динамики системы, включая скобки Пуассона и уравнение ГамильтонаЯкоби [6]. Наличие гамильтониана необходимо также для изучения квантовой
динамики системы. В данном разделе найдены аналоги уравнений Гамильтона-Якоби
и скобок Пуассона для лагранжианов L, зависящих от ускорений, с гамильтонианом
(17). Найденный гамильтоновский формализм может оказаться полезным не только
для рассмотрения задачи о движении заряда в поле монополя, но и для ряда других,
менее экзотических задач. Например, задачи из области теоретических основ
электротехники колебательных контуров, содержащих тороидальные катушки
индуктивности с большим вихревым электрическим полем при изменении тока в
последних, когда кроме магнитной энергии соленоида с током необходимо учитывать
дополнительно ещё и энергию вихревых электрических полей при изменении тока.
Подробное рассмотрение таких колебательных контуров, содержащих тороидальные
катушки индуктивности, выходит за рамки данной работы.
Гамильтониан (17) можно записать в несколько ином виде
H= (fi yi ‘’)+(ui yi’)-L(yi,yi’,yi’’) ,
(21)
где введена новая переменная ui=-fi’+pi. По размерности она совпадает с обобщенным
импульсом pi=(∂L(qi,qi’)⁄∂qi’) и поэтому её тоже следовало бы назвать обобщенным
импульсом. Сохранение этой величины прямо связано с однородностью пространства
при трансляциях, как это имеет место для обычных импульсов, и вытекает из условия
максимума и минимума (13) при отсутствии явной зависимости лагранжиана от
обобщённых координат, т.е., когда в (13) ∂L⁄∂yi=0
Аналогичным образом величину fi=(∂L⁄∂yi”) назовём обобщённым гиперимпульсом
или импульсом второго порядка ввиду её расположения в гамильтониане (21) в паре
(fi yi ‘’) с обощённым ускорением yi ‘’. По-видимому, эта величина как-то связана с
симметрией относительно группы галилеевых трансляций в пространстве обобщенных
скоростей yi, при отсутствии явной зависимости лагранжиана L (yi,yi’,yi’’) в уравнении
максимума и минимума (13) от обобщённых скоростей yi’и координат yi.
Гамильтониан H(fi, yi ,ui yi’ )= (fi yi ‘’)+(ui yi’)-L (yi,yi’,yi’’) может быть выражен через
новые переменные fi, yi ,ui yi’ подобно тому, как обычный гамильтониан H=piqi’L(qi,qi’) в классической механике выражается в терминах обобщенных импульсов
pi=(∂L(qi,qi’)⁄∂qi’) и координат qi , а не обобщенных скоростей qi’ и координат qi..
Пользуясь этими обозначениями, находим аналоги канонических уравнений
гамильтоновского формализма:
∂H(fi, yi ,ui yi’)⁄∂fi= yi ‘’=d (yi’)/dt,
(22)
∂H(fi, yi ,ui yi’)⁄∂yi’=-fi’+pi-∂L( yi , yi’, yi ‘’)⁄∂yi’=-fi’
(23)
∂H(fi, yi ,ui yi’)⁄∂yi=-∂L( yi , yi’, yi ‘’)⁄∂yi=fi’’-pi’=-d(ui)/dt,
(24)
∂H(fi, yi ,ui yi’)⁄∂ui= yi’=d(yi)/dt
(25).
Из уравнений (22)-(25) видно, что совокупность динамических переменных fi, yi ,ui yi’
распадается на канонические пары (22)-(23) координат и импульсов (yi ,ui ).и
канонические пары (24)-(25) скоростей yi’ и гиперимпульсов fi ( yi’, fi), которые
аналогичны координатам и импульсам для новой степени свободы .Для таких
канонических пар гамильтоновский формализм досконально изучен в обычной
классической механике и скобка Пуассона функций F(fi, yi ,ui yi’) и G(fi, yi ,ui yi’)
имеет, следовательно, вид:
{ F(fi, yi ,ui yi’) , G(fi, yi ,ui yi’)}= ( ∂F(fi, yi ,ui yi’)⁄∂fi)( ∂G(fi, yi ,ui yi’)⁄∂yi’)- ( ∂G(fi, yi ,ui
yi’)⁄∂fi)( ∂F(fi, yi ,ui yi’)⁄∂yi’) +( ∂F(fi, yi ,ui yi’)⁄∂ui)( ∂G(fi, yi ,ui yi’)⁄∂yi)- ( ∂G(fi, yi ,ui
yi’)⁄∂ui)( ∂F(fi, yi ,ui yi’)⁄∂yi).
(26).
Это позволяет сразу записать аналог уравнения Гамильтона-Якоби для лагранжианов,
зависящих от ускорений, просто путем добавления дополнительной степени свободы,
соответствующей канонической паре «скорость - гиперимпульс»:
∂S( yi , yi’)⁄∂t =H ( yi , ∂S( yi , yi’)⁄∂yi, yi’, ∂S( yi , yi’)⁄∂yi’),
(27)
где в выражении для гамильтониана H(fi, yi ,ui yi’) импульс ui заменяется на ∂S( yi ,
yi’)⁄∂yi, а гиперимпульс fi заменяется на ∂S( yi , yi’)⁄∂yi’ в соответствие с рассмотрением
канонической пары скорость - гиперимпульс как дополнительной степени свободы.
Дифференциал dS функции действия S приобретает тогда вид:
dS= Ldt = fi d(yi’)+ui dyi –H dt
(28).
Таким образом, доказано, что, вообще говоря, включение обобщённых ускорений в
лагранжиан не является препятствием для развития гамильтоновского формализма и в
этом случае. В следующем разделе найденный выше лагранжиан заряженной частицы
в поле магнитного заряда обобщён на случай произвольных трехмерных движений
заряженной частицы и выражен в декартовых координатах для удобства дальнейшего
использования полученных выше соотношений в формулировании гамильтоновского
формализма, необходимого для рассмотрения квантовой динамики .
6. Обобщение лагранжиана на случай произвольных движений в центральносимметричном потенциале.
Выше рассматривался для простоты только случай движения заряженной частицы по
поверхности единичной сферы. Обобщение на случай произвольного движения
заряженной частицы в центрально-симметричном потенциале U[R[t]] не вызывает особых
затруднений и сводится к добавлению в лагранжиан (2)
L=(m/2)v2-(eg/4π) (nΩ) = (m/2)( r [Ω×n] )2-(eg/4π) (nΩ)
(2).
кинетической энергии от радиальной компоненты мгновенной скорости и слагаемого -e
U[R[t]] . В программе «МАТЕМАТИКА-4» это выглядит как
.
Применение изложенной выше процедуры получения уравнений движения из
вариационного принципа для лагранжианов, зависящих от ускорений, точно также
приводит к правильным уравнениям Ньютона, как и в случае простого движения по
поверхности единичной сферы. Это можно проверить, вычисляя в программе
«МАТЕМАТИКА-4» компоненты ускорения заряженной частицы по осям координат
например вдоль оси X это сводится проверке равенства нулю выражения
,
если в получающемся выражении
подставить следующие значения, найденные из вариационной задачи для указанного
лагранжиана
В итоге получается
,
что, как нетрудно видеть, равно нулю и поэтому уравнение Ньютона для движения
заряженной частицы в поле магнитного заряда и центрально-симметричного потенциала
U[R[t]] действительно получается правильным, как и следовало ожидать .
Заметим также, что магнитная часть
-(eg/4π) (nΩ)
лагранжиана (2) так же легко может быть вычислена в декартовой системе координат
при помощи программы «МАТЕМАТИКА-4»:
и приводит к выражению
, которое, затем может быть преобразовано к явно изотропному виду
g(|R(t)| ([a(t)xV(t)]· R(t))/((R(t)^2)( V(t)^2)-(R(t)·V(t))^2)),
(29)
где ([a(t)xV(t)]· R(t))- это смешанное произведение трёх векторов: радиус-вектора R(t),
вектора скорости V(t) и вектора ускорения a(t). Можно проверить, пользуясь пакетом
«МАТЕМАТИКА-4», что и в декартовых координатах вариационный принцип
наименьшего действия для лагранжиана
L=(m/2)v2 -e U[R[t]] + g(|R(t)| ([a(t)xV(t)]· R(t))/((R(t)^2)( V(t)^2)-(R(t)·V(t))^2)),
с магнитной частью вида (29) тоже приводит к правильным уравнениям движения.
Опуская громоздкие выкладки, отметим, что решение также не содержит производных
выше второго порядка по времени, что обычно характерно для наличия полной
производной по времени в составе лагранжиана. После упрощения этого громоздкого
выражения при помощи процедуры Simplify в рамках пакета «МАТЕМАТИКА-4»
получим сравнительно простое выражение
которое, как нетрудно видеть, совпадает с правильными уравнениями движения заряда в
поле монополя и центрально-симметриного потенциала U[R[t]], если помнить, что это
выражение согласно уравнениям Эйлера равно нулю и отсюда сразу следует правильное
выражение для проекции ускорения заряженной частицы на ось x, например. Для других
декартовых осей получаются аналогичные уравнения.
Не следует, однако, думать, что вектор угловой скорости Ω есть просто выражение
(|R(t)|^2) ([a(t)xV(t)])/((R(t)^2)( V(t)^2)-(R(t)·V(t))^2)), которое в формуле (29) хотя
скалярно и умножается на единичный вектор n= R(t)/ (|R(t)|), но умноженное векторно на
радиус-вектор R(t)| , не сводится к вектору линейной скорости [Ω×R(t)]
[Ω×R(t)] = V(t) - R (t) (( R(t)·V(t))/(R(t)^2) ).
. В действительности, выражение для вектора угловой скорости Ω в декартовых
координатах является более сложным и вычисляется также в рамках пакета
«МАТЕМАТИКА-4» по формуле (5) и замены
в формуле для скалярного произведения вектора Ω и единичного вектора Ex,
направленного вдоль декартовой оси x, например. Учитывая в получающемся выражении,
что
,
,
и замечая, что
=0,
то есть, что знаменатель совпадает со знаменателем
((R(t)^2)( V(t)^2)-(R(t)·V(t))^2)),
в формуле (29) для скалярного произведения (nΩ) , и делая также циклическую
перестановку по координатам x,y,z в полученной формуле для проекции вектора Ω на
единичные векторы Ex, Ey, Ez , направленные вдоль осей x,y,z, получим следующую
явную формулу для вектора угловой скорости Ω в декартовых координатах x,y,z :
Ω=(-R(t))(( -(( R(t)·V(t))/(R(t)^3) )+((V(t) ^2) + (R(t)·a(t)) ) /R(t) ) [V(t)xR (t)]- ((
R(t)·V(t))/(R(t)) ) [a(t)xR (t)]+R(t) [a(t)xV (t)])/ ((R(t)^2)( V(t)^2)-(R(t)·V(t))^2)),
(30).
Нетрудно убедиться простым вычислением, что умножая обе части (30) векторно на
радиус–вектор R(t), и раскрывая двойные векторные произведения в правой части (30) по
формуле
[Ax[BxC]]=B(A·C)-C(A·B),
мы действительно получим правильное выражение для вектора линейной скорости
[Ω×R(t)]:
[Ω×R(t)] = V(t) - R (t) (( R(t)·V(t))/(R(t)^2) )
Как и следовало ожидать, понятие угловой скорости теряет смысл при чисто-радиальном
движении, когда знаменатель в (30) обращается в ноль.
Эта явная формула (30) может быть использована в следующем разделе для дальнейшего
обобщения лагранжевого формализма на случай произвольного числа магнитных зарядов.
7. Обобщение на случай произвольного числа неподвижных магнитных зарядов.
Выше уже отмечалось, что важной привлекательной особенностью формулы
Соколова (2) , которая в трехмерном случае принимает вид :
L=(m/2)v2-(eg/4π) (nΩ) ,
(31)
с вектором угловой скорости Ω, определяемым из соотношения (30), является то, что
производная (∂L⁄∂Ω) от лагранжиана L по угловой скорости Ω даёт абсолютно
правильное выражение для углового момента системы в виде суммы обычного
механического момента материальной точки (m[v×r])
и электромагнитного
момента -(eg/4π)n, образованного вектором Умова-Пойнтинга в скрещенных
электрических и магнитных полях заряда e и магнитного полюса g. Наличие не
одного g, а сразу нескольких неподвижных тяжёлых магнитных зарядов g1, g2, g3 …gi,
расположенных в точках R1, R2, R3,…Ri соответственно, в силу этих же
соображений о виде конечной формулы для момента импульса (∂L⁄∂Ω) , то есть
выражения вида
(∂L⁄∂Ω)= (m[v×r])
где
-(eg1/4π)n1-(eg2/4π)n2-(eg3/4π)n3 ,
(32)
n1=(R(t)-R1)/(| R(t)-R1|),
n2=(R(t)-R2)/(| R(t)-R2|),
n3=(R(t)-R3)/(| R(t)-R3|),
и т.д., приводит к естественному предположению о том, что обобщение лагранжиана
L на случай сразу нескольких неподвижных тяжёлых магнитных зарядов имеет вид
L=(m/2)v2 +((-(eg1/4π)n1-(eg2/4π)n2-(eg3/4π)n3 )·Ω)
,
(33)
где единая для всех магнитных зарядов g1, g2, g3 …gi, угловая скорость Ω
определяется по найденной выше формуле (30). К сожалению, в силу ограниченных
возможностей современных персональных компьютеров пока не удаётся подтвердить
или опровергнуть с помощью пакета «МАТЕМАТИКА-4» справедливость этого
естественного предположения даже для того случая, когда есть только один заряд g1,
расположенный не в начале координат, как уже было рассмотрено в начале статьи, а в
точке R1 такой, что расстояние до неё от начала декартовой системы координат (|
R1|) не равно нулю. В силу аддитивности лагранжиана (33), линейности уравнения
Эйлера и принципа суперпозиции магнитных полей, вклады от других магнитных
зарядов g2, g3 …gi, , расположенных в точках R2, R3,…Ri соответственно, должны
просто добавляться потом как независимые аналогичные слагаемые.
В заключение следует отметить, что такое предполагаемое обобщение на случай
движения в поле произвольного числа магнитных зарядов пока не доведено до
завершения, но работа в этом направлении ведётся. Однако в любом случае можно с
уверенностью утверждать, что к правильным уравнениям движения заведомо приводит
лагранжиан с магнитной частью вида
L=(m/2)v2 +((-(eg1/4π)(n1· Ω1) -(eg2/4π)(n2· Ω2) -(eg3/4π)(n3 ·Ω3) ,
(34)
где угловые скорости Ω1, Ω2, Ω3 и т. д. вычисляются относительно каждого
магнитного заряда по отдельности с помощью формулы (30) в декартовых системах с
началами координат в точках R1, R2, R3,…Ri , где эти магнитные заряды покоятся.
Это следует из аддитивности лагранжиана (34), линейности уравнения Эйлера и
принципа суперпозиции магнитных полей.
Выражаю глубокую признательность В.М. Дубовику за постановку задачи, поддержку и
обсуждения.
8. Список литературы.
[1]. В.В. Соколов. Теория Магнитных полюсов и условие квантования Дирака-Швингера
без нитей. Ядерная Физика. Journal of Nuclear Physics. Т.23, вып. 3, 1976.стр.628-635
В.В. Соколов. К теории магнитных полюсов Дирака. Ядерная Физика. Journal of Nuclear
Physics. Т.26, вып. 2, 1977.стр.429-432.
[2] А.Д.Долгов. Магнитный монополь. В книге: «Физическая Энциклопедия .т2». Москва,
«Большая Российская энциклопедия», 1990 ,стр. 687-688.
[3] Tamm I.-Zs.Phys.,1931, Bd.71, S.141.
[4] A. Goldhaber, Phys. Rev., 140, B1407 (1965).
А. Голдхабер. Значение спина в проблеме монополя. –( Перевод в сб. «Монополь Дирака»/
Под ред. Б.М. Болтовского, Ю.Д. Усачёва. – Москва.: «Мир», 1970., стр 269)
[5]. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и
инженеров.Москва, «Наука», 1978, стр 350.
[6]Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая Физика. т.1 Механика. Москва,
«Наука»,1973.