Распространение низкочастотных трубных волн в радиально

34
Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 — (Ученые записки СПбГУ; № 444)
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
НИЗКОЧАСТОТНЫХ ТРУБНЫХ ВОЛН
В РАДИАЛЬНО-СЛОИСТЫХ ПРОНИЦАЕМЫХ СРЕДАХ
Введение
Впервые задача о распространении упругих волн в жидком цилиндре, окруженном
упругой средой, была рассмотрена Лэмбом в 1898 г. [14], однако Лэмб ограничился изучением низких частот. Более детально эта задача была изучена М. Био в 1952 г. [11].
В своей работе М. Био рассмотрел модели пустого цилиндра в упругой среде и жидкого цилиндра, окруженного упругой средой. Был выявлен особый тип волны, которая
получила название трубной, или волны Стоунли. Такая волна слабо диспергирует; ее
фазовая скорость увеличивается с частотой, но не превышает скорости звука в жидкости.
В 1976 г. П. В. Крауклис решил задачу о нахождении поля точечного источника в
скважине [1]. Для этого были рассмотрены уравнения движения в упругой среде для
продольных ϕs , ϕf и поперечного ψs потенциалов смещений:
1 ∂ϕs
∂ 2 ϕs
1 ∂ 2 ϕs
∂ 2 ϕs
+
+
−
= 0,
∂r2
r ∂r
∂z 2
vp2 ∂t2
∂ 2 ϕs
1 ∂ϕs
∂ 2 ϕs
1 ∂ 2 ϕs
+
+
− 2
= 0,
2
2
∂r
r ∂r
∂z
vf ∂t2
∂ 2 ψs
1 ∂ψs
∂ 2 ψs
ψs
1 ∂ 2 ψs
+
+
−
−
= 0.
∂r2
r ∂r
∂z 2
z2
vs2 ∂t2
Здесь vp и vf — скорости продольных волн в жидкости и в твердой среде соответственно;
vs — скорость поперечных волн в упругой среде. Поскольку задача обладает цилиндрической симметрией, решение можно представить в виде интегрального преобразования
Фурье—Бесселя и Лапласа:
ϕf = vs
R∞
k cos kzdk
0
ϕs = vs
R∞
k cos kzdk
0
ψs = vs
R∞
0
r
где αs = 1 +
σ+i∞
R
σ−i∞
σ+i∞
R
σ−i∞
k sin kzdk
AJ0 (−ikrαf )ekηvs t dη,
σ+i∞
R
σ−i∞
(2)
BH0 (−ikrαs )ekηvs t dη,
(2)
CH1 (−ikrβs )ekηvs t dη,
q
p
vs2 2
v2
2 и β =
η
,
α
=
1
+
η
1 + η 2 vs2 . На основании граничных усло2
f
s
v
f
p
вий (непрерывности радиальной компоненты смещения и напряжения, равенство нулю тангенциальной компоненты напряжения на границе жидкость—упругость) можно
c
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан, 2011
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
35
построить систему линейных уравнений для определения коэффициентов A, B и C.
Дальнейшее решение задачи предполагает вычисление интегралов, для чего необходимо найти полюсы и точки ветвления подынтегральных функций относительно η. Для
нахождения полюсов необходимо решить дисперсионное уравнение
(2)
(2)
vf2
H0 (y)
H0 (x1 )
ρf v 4
2iαs v 2
α
J
(x)
+
α
J
(x)
−
2
−
+
4α
β
−
= 0,
(1)
s s (2)
f 1
(2)
ρs v 4 s 0
v2
kr0 v 2
s
s
H1 (y)
H1 (x1 )
s
x = −ikr0 αf , y = −ikr0 αs , v = −iηvs ,
которое накладывает связь на фазовую скорость v и волновое число k. Вещественные
корни этого уравнения относительно v (мнимые относительно η) соответствуют трубной
волне, которая распространяется без затухания.
В случае низких частот (kr0 → 0) удается выписать явное выражение для скорости
трубной волны:
vt0 = r
vs
ρf
ρs
+
.
vs2
vf2
Такое выражение для скорости низкочастотной трубной волны на основании квазистатического подхода получено Уайтом [7]. Трубная волна может возбуждаться источником, находящимся на стенке скважины [5], полем точечного источника, находящегося
вне скважины [4], а также медленной волной в жидком слое, пересекающем скважину [2].
Зачастую скважина оказывается заполнена не жидкостью, а двухфазной средой —
смесью твердых частиц и жидкости. Такую двухфазную среду можно моделировать
пористой средой Био [12]. В безграничной среде Био распространяются две продольные и одна поперечная волны. Различие между продольными волнами заключается
в колебаниях жидкой и твердой фаз вещества: в случае быстрой продольной волны
колебания происходят в фазе, в случае медленной волны — в противофазе. П. В. Крауклис показал, что в модели скважины, заполненной средой Био, распространяются
две трубные волны [3].
Значительный прикладной интерес представляет модель, состоящая из нескольких цилиндрических слоев, поскольку с ее помощью можно описать распространение
волн в обсаженных скважинах с цементированием или в скважинах с более сложной
конструкцией. Такую модель рассмотрел в своей работе А. А. Сидоров [15], применив матричный метод, предложенный Л. А. Молотковым [6]. Был рассмотрен вектор
W = (σrr rur uz rσrz )t , состоящий из нормального напряжения σrr , смещения вдоль
оси симметрии uz , поверхностного напряжения rσrz и изменения площади поперечного
сечения rur . Основываясь на уравнениях движения в упругой среде, можно показать,
что такой вектор удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
d
W = D(r, k, ω)W.
dr
(2)
Дифференцирование по времени t и координате z снято в результате повторного
Фурье-преобразования и перехода к частоте ω и волновому числу k. Матрица D, помимо
36
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
радиуса, частоты и волнового числа, содержит параметры Ламе λ и µ. Предметом
исследования в работе является фундаментальная матрица G, связывавшая значения
вектора W для разных значений радиуса:
W (r) = G(r, r0 )W (r0 ).
Легко заметить, что матрица G удовлетворяет дифференциальному уравнению (2) c
единичными граничными условиями:
(
d
dr G(r, r0 ) = D(r)G(r, r0 ),
G(r0 , r0 ) = I.
Такой подход позволяет вместо задачи о нахождении волнового поля в системе из
большого количества однородных цилиндрических упругих слоев ограничиться вычислением матрицы Gi (r, r0 ) для каждой среды. Тогда вектор W в произвольной точке
среды r может быть найден в результате перемножения разрешающих матриц Gi :
W (r) = Gn (rn , rn−1 )Gn−1 (rn−1 , rn−2 )...G1 (r1 , r0 )W (r0 ),
(3)
где ri — координаты границ цилиндрических слоев. На основании системы уравнений
(3), в которой вектор W (r0 ) представляет собой граничные условия, можно получить
дисперсионное уравнение. В работе [8] рассмотрена модель с двумя упругими коаксиальными трубами, пространство между которыми заполнено жидкостью. Показано,
что на низких частотах дисперсионное уравнение для такой модели распадается на
два квадратных уравнения относительно фазовой скорости. Решением каждого уравнения являются скорости трубной и пластинчатой волн. Таким образом, в этой системе
с чередующимися жидкими и упругими слоями распространяются две трубные и две
пластинчатые волны.
Рассмотренная модель представляет большой практический интерес, в частности,
для описания распространения упругих волн в глубоководных добывающих скважинах. Некоторые цилиндрические слои в таких системах могут быть проницаемыми. Как
видно из приведенного обзора, описание подобных моделей отсутствует. Для изучения
данного вопроса в компании «Шелл» была создана экспериментальная установка, моделирующая глубоководную скважину. В работе представлены результаты численного
моделирования, которые были использованы для интерпретации экспериментальных
данных.
Экспериментальная установка
На рис. 1 представлена схема лабораторной установки. Установка состоит из двух
коаксиальных труб длиной 10 м. Внешняя труба, так называемая обсадная колонна,
имеет перфорации, через которые в установку может поступать вода. Пространство
между обсадной колонной и внутренней трубой — противопесочный фильтр — в зависимости от этапа эксперимента заполнено водой либо смесью воды с крупнозернистым
песком. В случае заполнения межтрубного пространства гравием установка представляет собой полномасштабную модель скважины с гравийным фильтром.
Конструкция противопесочного фильтра, далее для краткости называемого экраном, отображена на рис. 2. Экран представляет собой перфорированную алюминиевую
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
37
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
Рис. 2. Конструкция противопесочного фильтра (экрана).
Зазор между витками обмотки 0.2 мм
трубу с пластиковой обмоткой. Для моделирования непроницаемого экрана внутренняя
труба заменяется сплошной алюминиевой трубой без перфораций. Основной функцией экрана и гравийного фильтра является предотвращение выноса в скважину песка
из резервуара.
Кроме того, гравийный фильтр рассеивает энергию высокоскоростных потоков нефтесодержащей жидкости, поступающей через перфорации, тем самым защищая экран
от повреждений. Поэтому важно знать, насколько качественно был установлен гравийный фильтр, а также сохраняет ли он свою структуру в процессе добычи. Если из
гравийного фильтра будет вымыт песок, появятся участки, где скорость потока жидкости достаточно высока, чтобы повредить экран. В свою очередь, это повлечет вынос
в скважину песка из резервуара [17]. Кроме того, вещество окружающей породы может
перемешаться с гравием фильтра и частично его заменить. При этом проницаемость
38
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
смеси уменьшится со 100–500 до 1 Д. Уменьшение проницаемости на одних участках
скважины приведет к перераспределению потоков жидкости и, возможно, к увеличению скорости потоков через другие перфорации. Слишком высокая скорость, в свою
очередь, может привести к вымыванию гравийного фильтра, разрушению экрана и
остановке добычи [17].
Акустические измерения проводятся с помощью 24 оптоволоконных приемников,
намотанных на внешнюю трубу [13]. Оптоволоконные приемники позволяют измерить
радиальную компоненту смещения обсадной колонны; принцип действия приемников
основан на изменении длины оптоволокна при расширении или сжатии скважины. Акустические волны возбуждаются пьезоэлектрическим источником, расположенным на
оси скважины.
Результаты численного моделирования
Скважина без гравийного фильтра. Рассмотрена идеализированная модель
скважины со свободной внешней границей, состоящая из четырех цилиндрических слоев: двух жидких слоев, проницаемого экрана и обсадной колонны. Численные расчеты
реализованы при помощи алгоритма численного решения уравнения, описывающего
среду Био [12]. Для моделирования проницаемого экрана используется пористая среда
Био. Центральная частота сигнала составляет 500 Гц. Конечно-разностным алгоритмом получены значения радиальной компоненты смещения внешней стенки обсадной
колонны, поскольку оптоволоконные приемники в эксперименте измеряют именно эту
компоненту волнового поля.
В статье А. В. Бакулина [8] показано, что в такой четырехслойной модели, где пористый экран заменен упругим слоем, в низкочастотном диапазоне распространяются четыре волны: две трубные и две пластинчатые. Согласно численным расчетам, в модели
с проницаемостью экрана 1 мД также наблюдаются две трубные волны. По скоростному признаку их можно разделить на быструю и медленную. Таким образом, при низких
значениях проницаемости пороупругий экран эквивалентен упругому непроницаемому
веществу, для которого обе трубные волны распространяются без затухания.
Эмпирическим путем установлено, что в эксперименте проницаемость экрана, состоящего из перфорированной алюминиевой трубы с пластиковой обмоткой, составляет 250–1000 Д. В то же время закупоривание пор может уменьшить проницаемость
до нуля. Численные расчеты выполнены для моделей, в которых проницаемость экрана варьируется от 1 мД до 100 кД. С увеличением проницаемости экрана обе волны
начинают затухать по мере распространения вдоль скважины, однако зависимость затухания от проницаемости экрана для этих мод различна. Для оценки характера этой
зависимости используются двумерные спектры частота—медленность:
U (ω, p) =
Z∞ Z∞
u(z, t)eiωt eiωpz ωdpdω,
−∞ −∞
где u(z, t) — сейсмические данные; ω — частота; p — медленность, скоростной спектр
(рис. 3). Скоростной спектр получается в результате интегрирования первого спектра
по частоте и перехода от медленности к скорости.
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
39
Рис. 3. Двумерный спектр частота—медленность (а) и скоростной спектр (б ) для
модели без гравийного фильтра с непроницаемым экраном
Для каждой сейсмограммы по локальному максимуму скоростного спектра определяется скорость трубной волны. Само значение максимума используется для оценки
амплитуды конкретной моды. Нормировка скоростного спектра проведена относительно модели с непроницаемым экраном: максимум спектра быстрой волны взят за единицу. Подобный подход применяется как к синтетическим, так и к реальным данным,
поскольку усреднение по приемникам и по частотам делает его устойчивым к шуму.
На рис. 4 показаны зависимости скоростей и амплитуд трубных волн от проницаемости экрана, полученные на основании численного моделирования. Скорость быстрой
трубной волны уменьшается с ростом проницаемости. В отличие от скорости амплитуда быстрой волны меняется не монотонно. Сначала затухание волны растет, однако
при достижении максимума при проницаемости около 300 мД начинает уменьшаться,
возвращаясь к значению, близкому к исходному.
Поведение медленной трубной волны существенно отличается от быстрой волны.
Как видно на рис. 4, г, затухание медленной волны увеличивается по мере роста проницаемости. При значении проницаемости более 100 мД медленная трубная волна становится неразличима на фоне быстрой трубной волны. Скорость медленной волны увеличивается с увеличением проницаемости (рис. 4, в), в то время как в простых моделях с
колонной жидкости, окруженной пористой средой, наблюдается обратный эффект [16].
Можно предположить, что скорость медленной моды увеличивается и при высоких
значениях проницаемости экрана быстрая и медленная моды сливаются в одну.
Качественное объяснение поведения трубных волн в рассматриваемых моделях
можно дать, основываясь на радиальном распределении компонент смещения. На рис. 5
представлены зависимости нормированных компонент смещения для каждой моды от
расстояния до оси скважины. В случае пористой среды показано среднее смещение
жидкой и твердой фазы. Вертикальные пунктирные линии показывают границы экрана и внутреннюю границу обсадной колонны.
На рис. 5, а отображена данная зависимость для модели, в которой проницаемость
экрана внутренней трубы была равна 10 мД. Такое распределение смещения практи-
40
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
Рис. 4. Зависимость скорости и амплитудного коэффициента от проницаемости экрана для быстрой (а, б ) и медленной (в, г) трубных волн в модели
без гравийного фильтра
чески совпадает с моделью, в которой пороупругий экран заменен упругим слоем. Это
сходство еще раз подтверждает тот факт, что при низких значениях проницаемости
пороупругий экран эквивалентен упругому непроницаемому веществу.
Анализ распределения вертикальной компоненты смещения трубных волн показывает, что между быстрой и медленной волнами существует характерное различие. Как
видно на рис. 5, а, аксиальная компонента смещения медленной моды имеет противоположные знаки во внутренней жидкости и в жидкости между экраном и обсадной
колонной, в то время как у той же компоненты смещения быстрой трубной волны одинаковый знак в обеих жидкостях. Как только экран становится проницаемым, разница
давления в двух жидких слоях приводит к движению жидкости через экран, и в случае
медленной волны несинфазное движение приводит к затуханию. Отметим, что для всех
значений проницаемости медленная мода имеет один и тот же характерный профиль
распределения осевой компоненты смещения вдоль радиуса скважины.
При низких значениях проницаемости аксиальная компонента смещения быстрой
трубной волны имеет одинаковый знак в обеих жидкостях, однако разные амплитуды
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
41
Рис. 5. Зависимость радиальной и аксиальной компоненты смещения от расстояния до оси
скважины для модели без гравийного фильтра.
Проницаемость экрана для моделей: а —
10 мД; б — 150 мД; в — 10 Д
колебаний. Как только проницаемость экрана увеличивается, разница давлений приводит к обмену жидкостью через экран. Наиболее интенсивным обмен становится при
значениях проницаемости около 300 мД, что сопровождается быстрым выравниванием
профиля аксиальных смещений, а также резким падением скорости (см. рис. 4, а). При
высоких значениях проницаемости вертикальная компонента смещения перестает меняться с радиусом (рис. 5, в). Профиль радиальной компоненты становится линейным,
что характерно для модели с одной трубой, заполненной жидкостью.
Экран с высоким значением проницаемости ведет себя в данной модели как слой
жидкости. Вещество становится настолько проницаемым, что практически не оказывает сопротивления радиальному движению жидкости через стенки экрана.
Скважина с гравийным фильтром. Рассмотрим модель скважины с гравийной
набивкой. Основным отличием от предыдущей модели является наличие гравийного
фильтра в пространстве между трубами. Для моделирования гравийного фильтра используется пороупругая среда. Модуль сдвига скелета этого пористого вещества был
равен 0.01 ГПа. А. В. Бакулин и др. [8], основываясь на изучении каналовой волны,
заключили, что скорость поперечных волн в такой среде должна быть низкой, но не
нулевой, порядка 30–80 м/с. Численные расчеты показывают, что в модели с такими
параметрами распространяются одна трубная и одна пластинчатая волна, как будто источник находился в жидкости, окруженной несколькими упругими радиальными
слоями. Однако эксперимент демонстрирует наличие как быстрой трубной волны, так
и медленной. На основании экспериментальных данных, можно сделать вывод о том,
что скорость поперечных волн в смеси песка и воды пренебрежимо мала. Поэтому
42
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
гравийная набивка моделируется как пористый слой с почти нулевым модулем сдвига
скелета.
Гравийный фильтр и непроницаемый экран. На рис. 6 отражены зависимости скорости трубных волн и амплитудных коэффициентов от проницаемости песка.
Несмотря на тот факт, что обе трубы — и экран, и обсадная колонна — непроницаемы,
наблюдается значительное влияние проницаемости песка на характер распространения
волн, особенно на медленную трубную волну. Как показано на рис. 6, б и г, обе трубные
волны имеют максимум поглощения в модели, в которой проницаемость песка равна
300 мД. В случаях, когда проницаемость песка мала или, напротив, высока, обе волны распространяются практически без затухания. Этому может быть дано следующее
объяснение. Когда проницаемость песка низкая, жидкая и твердая фазы гравийного
фильтра двигаются синхронно и ведут себя как эффективная жидкость из-за нулевого
модуля сдвига.
Рис. 6. Зависимость скорости и амплитудного коэффициента от проницаемости песка для быстрой (а, б ) и медленной (в, г) трубных волн в модели с
гравийным фильтром
При высоких значениях проницаемости жидкая фаза может двигаться по порам без
сопротивления, поэтому такой пористый слой также ведет себя как идеальная жидкость, хотя и с другими параметрами по сравнению со слоем с закрытыми порами.
Как видно на рис. 7, радиальные профили компонент смещения для модели с высоко
проницаемым песком и эффективной жидкостью вместо него совпадают.
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
43
Рис. 7. Зависимость компонент смещения от расстояния до оси скважины для модели с гравийным
фильтром (а) и эффективной жидкостью вместо фильтра (б )
Рис. 8. Отношение вертикального смещения поровой жидкости (Vz ) к вертикальной компоненте смещения скелета (Uz ) пористой среды, моделировавшей
гравийный фильтр
При промежуточных значениях проницаемости относительное движение жидкости
в порах приводит к затуханию обеих трубных волн и особенно медленной волны. Вязкие силы (рис. 8) удерживают жидкость в пористом веществе песка до тех пор, пока
проницаемость не достигнет значения около 10 Д. Дальнейшее увеличение проницаемости ведет к значительному росту амплитуды колебаний жидкой фазы по сравнению
с твердой фазой. При этом мы переходим в высокочастотный режим, где центральная
частота сигнала (500 Гц) превышает частоту Био∗ для данной модели (80 Гц).
∗ При частоте колебаний выше критической частоты Био движение жидкости в порах перестает
быть ламинарным [11].
44
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
Гравийный фильтр и проницаемый экран. В последней рассмотренной модели среда Био используется для моделирования и гравийного фильтра, и экрана. На
рис. 9 представлены зависимости скоростей и амплитудных коэффициентов быстрой и
медленной трубных волн в модели с гравийным фильтром и экраном, проницаемость
которого составляет 100 Д. Варьируется проницаемость песка. При высоких и низких
значениях проницаемости затухания быстрой волны не наблюдается. Низкая проницаемость вещества, моделирующего песок гравийного фильтра, не позволяет жидкости
двигаться относительно скелета пористого вещества. Поэтому, несмотря на высокую
проницаемость экрана, сообщение между жидкостью в порах и жидкостью внутри экрана отсутствует. При увеличении проницаемости песка начинается обмен жидкостью,
что приводит к значительному затуханию быстрой волны и полному поглощению медленной волны. Высокая проницаемость песка позволяет жидкости двигаться по порам,
практически не встречая сопротивления, и быстрая волна перестает затухать. Поэтому
в пределе высокой проницаемости систему песок гравийного фильтра — экран можно
рассматривать как один слой, близкий по своим параметрам к жидкому слою.
Рис. 9. Зависимость скорости и амплитудного коэффициента от проницаемости песка для быстрой (а, б ) и медленной (в, г) трубных волн в модели с гравийным фильтром и проницаемым экраном (100 Д)
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
45
Сравнение численных расчетов
с результатами эксперимента
На рис. 10 представлены сейсмограммы, полученные в ходе эксперимента для трех
моделей: а) скважина с непроницаемым экраном (сплошной алюминиевой трубой) и без
гравийного фильтра; б) скважина с проницаемым экраном (см. рис. 2) и без гравийного
фильтра; в) скважина с проницаемым экраном и гравийной набивкой. Как видно на
сейсмограммах рис. 10, а и б, при замене сплошной алюминиевой трубы экраном с проницаемостью 250–1000 Д амплитуда быстрых трубных волн практически не меняется,
как и предсказано моделированием (см. рис. 4, б ). Кроме того, моделирование предполагает падение скорости быстрой трубной волны на 10% (см. рис. 4, а). В эксперименте
скорость трубной волны также падает, однако изменение скорости составляет порядка
20% от значения в модели с непроницаемым экраном.
Рис. 10. Результаты измерений в эксперименте: а — с непроницаемым экраном без гравийного
фильтра; б — с проницаемым экраном без гравийного фильтра; в — с проницаемым экраном и
гравийным фильтром
В эксперименте возможность менять проницаемость гравийного фильтра не предусмотрена. Однако измерения проводятся в процессе установки гравийного фильтра.
Песок в пространство между экраном и обсадной колонной намывается с одного торца экспериментальной установки [9]. В процессе установки фильтра скважину можно
условно разделить на три зоны: область без песка; область смеси воды и песка; область,
где песок полностью заполнил межтрубное пространство (200–300 Д). Предполагая,
что первые две зоны покрывают диапазон значений проницаемости от 200 Д до бесконечности, мы можем качественно сравнить результаты эксперимента с теоретическими
расчетами. На рис. 11 представлены сейсмограммы, полученные в процессе установки гравийного фильтра. Прямоугольником на рисунке обозначен участок установки,
где песок достиг максимальной высоты. Перед этим участком имеется область, лишь
частично заполненная песком. На сейсмограмме отчетливо видно, что именно в этой
области наблюдается уменьшение амплитуды волн. Эта амплитудная аномалия перемещается по мере заполнения скважины песком и исчезает, как только процесс установки
фильтра окончен.
Таким образом, мы наблюдаем хорошее согласие между экспериментом и численными расчетами. Значения скоростей трубных волн, а также характер затухания для моделей с гравийным фильтром и без него согласуются с численными расчетами (рис. 11, а
и б ). Кроме того, между предельными значениями бесконечной проницаемости для во-
46
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
Рис. 11. Экспериментальные сейсмограммы, полученные в процессе установки гравийного фильтра.
Песок намывается с правого конца скважины. Область скважины, полностью заполненная песком, обозначена прямоугольником над сейсмограммой
ды и проницаемости песка в гравийном фильтре (около 200 Д) находится некоторое
критическое значение, при котором наблюдается существенное уменьшение амплитуды (см. рис. 11). Наличие минимума амплитуды предсказано и моделированием, хотя
и при несколько отличном значении проницаемости песка (40 Д). В целом сравнение
эксперимента с моделированием подтвердило, что пористая среда Био адекватно описывает вещество гравийного фильтра.
Основные расхождения между экспериментом и моделированием связаны прежде
всего с поведением медленной трубной волны. Согласно численным расчетам, медленная мода полностью исчезает при значении проницаемости экрана более 0.1 Д (см.
рис. 4, г) для модели без гравийного фильтра. Также моделирование предсказывает
отсутствие медленной волны при значении проницаемого экрана и песка более 1 Д (см.
рис. 9, г). Тем не менее медленная волна в эксперименте наблюдается в обеих моделях
(см. рис. 10, б и г). Видно, что наибольшие различия между экспериментом и численными расчетами возникают при наличии проницаемого экрана. Таким образом, использование модели пористой среды Био при моделировании экрана не позволяет корректно
описать распространение медленной трубной волны в системе. Экран состоял из трех
слоев: алюминиевой трубы с перфорациями диаметром 9.5 мм, направляющих, расположенных с зазором 17 мм, и пластиковой обмотки с зазором 0.2 мм (см. рис. 2).
Толщина стенки трубы составляла 3.2 мм, толщина направляющих и пластиковой обмотки 1.8 мм. Таким образом, размеры перфораций, зазоры между направляющими и
обмоткой сравнимы или превышают толщину экрана. Вероятно, именно по этой причине использовавшееся пороупругое описание экрана привело к расхождениям между
экспериментом и моделированием.
Распространение низкочастотных трубных волн в радиально-слоистых проницаемых средах
47
Заключение
На основании данных лабораторного эксперимента и численного моделирования, использующего уравнения среды Био, изучено распространение волн в скважинах с гравийным фильтром. Результаты эксперимента и моделирования позволяют заключить,
что в таких моделях на низких частотах преобладают быстрая и медленная трубные
волны. На скорость и амплитуду волн оказывает значительное влияние проницаемость
экрана и гравия. Поэтому анализируя распространение трубных волн в таких системах,
можно судить об изменении проницаемости гравийного фильтра. Были проведены численные расчеты для нескольких моделей, в которых экран и песок моделировались пороупругим веществом. Моделирование показывает, что вертикальная компонента смещения быстрой трубной волны имеет одинаковый знак в обеих колоннах жидкости.
Вертикальная компонента смещения медленной трубной волны, напротив, имеет различные знаки во внутреннем и внешнем жидком слое. Это свойство приводит к сильному затуханию медленной волны при значении проницаемости экрана выше 0.1–1 Д
независимо от того, заполнено ли пространство между экраном и обсадной колонной
жидкостью или смесью жидкости и песка. Быстрая трубная волна имеет максимум затухания для этих значений проницаемости, но превращается в обычную трубную волну
без затухания при высокой проницаемости экрана, поскольку такой экран ведет себя
как слой эффективной жидкости.
Численные расчеты объясняют качественно большую часть экспериментальных
данных в моделях с открытыми и закрытыми порами экрана при наличии и отсутствии гравия. Тем не менее остается существенное различие между экспериментом и
численным моделированием. В эксперименте наблюдается медленная трубная волна
в случае, когда экран имеет высокую проницаемость, хотя согласно численным расчетам должна отсутствовать. Можно заключить, что для описания экрана требуется
уточнение модели пористой среды. В самом деле, к значительным расхождениям между моделированием и экспериментом приводит именно замена непроницаемого экрана
проницаемым. В то же время при замене жидкости в пространстве между экраном
и обсадной колонной песком результаты эксперимента в целом согласуются с моделированием. Поэтому для интерпретации экспериментальных данных необходима более
точная модель, описывающая противопесочный экран.
Несмотря на некоторые несоответствия между экспериментом и моделированием,
существует значительная разница в характере распространения волн для различных
моделей скважин с гравийным фильтром, что позволяет использовать информацию
о трубных волнах для оценки проницаемости слоев системы. Кроме того, описанный
метод наблюдения за состоянием скважины предполагает получение данных в реальном
масштабе времени без необходимости остановки добычи [10].
Работа выполнена при поддержке гранта АФГИР RUG-1-30005-ST-08
и ГК 02.740.11.0331.
Указатель литературы
1. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Волновое поле точечного источника в скважине // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1976. № 16. С. 41–53.
2. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Возбуждение трубной волны в скважине медленной волной, распространяющейся в жидком слое // Зап. науч. сем. ПОМИ. 1995. № 230. С. 115–
124.
48
Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан
3. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Возбуждение трубной волны радиальным и вертикальным источниками, прикрепленными к стенке скважины // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2007.
№ 297. С. 154–161.
4. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Трубная волна от точечного источника, находящегося
вне скважины // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2006. № 332. С. 99–122.
5. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Возбуждение трубной волны радиальным и вертикальным источниками, прикрепленными к стенке скважины // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2007.
№ 342. С. 153–163.
6. Молотков Л. А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих
и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 270 c.
7. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн / пер. с англ.
О. В. Павловой и С. В. Гольдина. М.: Недра, 1986. 261 c.
8. Bakulin A., Sidorov A., Kashtan B., Jaaskelainen M. Real-time completion monitoring with
acoustic waves // Geophysics. 2008. Vol. 73. E15–E33.
9. Bakulin A., Sidorov A., Kashtan B., Jaaskelainen M. Downhole acoustic surveillance of deepwater wells // The Leading Edge. 2008. Vol. 27. P. 518–531.
10. Bakulin A., Alexandrov D., Sidorov A., Kashtan B. Acoustic waves in sand-screened deepwater completions: Comparison of experiments and modeling // Geophysics. 2009. Vol. 74.
P. 45–56.
11. Biot M. A. Propagation of elastic waves in cylindrical bore containing a fluid // Journal of
the Acoustical Society of America. 1952. Vol. 23(9). P. 997–1005.
12. Biot M. A. Theory of propagation of elasticwaves in a fluid-saturated porous solid // Journal
of the Acoustical Society of America. 1956. Vol. 28. P. 168–191.
13. Kirkendall C. K., Dandridge A. Overview of high performance fibre-optic sensing // Journal
of Physics D: Applied Physics. 2004. Vol. 37. R197–R216.
14. Lamb H. On the velocity of sound in a tube as affected by the elasticity at the walls //
Manchester Memories. 1898. Vol. 42. P. 1–16.
15. Sidorov A., Bakulin A., Kashtan B., Ziatdinov S., Alexandrov D. Low-frequency symmetric
waves in fluid-filled boreholes and pipes with radial layering // Geophysical Prospecting.
2008. Vol. 57. P. 863–882.
16. Tang X. M., Cheng A. Quantitative borehole acoustic methods. Elseiver, 2004.
17. Wong G. K., Fair P. S., Bland K. F., Sherwood R. S. Balancing act: Gulf of Mexico sand
control completions, peak rate versus risk of sand control failure // SPE. 2003. P. 844–850.